Guido "Wugi" Wuyts @ Dilbeek, Belgium, Europe, World, Solar System, Milky Way, Local Cluster, ...

Versnelde bewegingen.

Onze uiteenzetting heeft zich voor het grootste deel beperkt tot inertiaalstelsels en lichtlijnen, of nog tot eenparige, niet versnelde bewegingen in een Euklidische ruimte. Nu is het mogelijk in deze stelsels een versnelde beweging van een deeltje te beschrijven.

Blijkt dat er geen eenvoudige constructie van lichtklokken meer bestaat die homotetie en symmetrie van het licht ten opzichte van zo'n deeltje bewaart (Fig. Tiik1). Bijgevolg kan de wereldlijn van een versnelde beweging niet inertiaal zijn, aanleiding geven tot een geheel van wereldlijnen die de beweging van zogezegde 'vaste' objecten bepalen, conform onze eerste en tweede hypothesen.

Het enige dat we kunnen stellen is dat lokaal, infinitesimaal nabij elke gebeurtenis van de versnellingslijn, een inertiaalstelsel 'opereert' evenwijdig aan de raaklijn van de versnellingslijn. Zo'n stelsel beschrijft het ogenblikkelijke gedrag van een vast object dat de versnellingslijn volgt. Naast dit 'rakende' inertiaalstelsel bestaan ook andere lokale inertiaalstelsels gehecht aan voorwerpen die de versnellingslijn kruisen. Samen vormen ze het lokaal inertiaalveld bepaald door de lichtlijnen in elk wereldpunt van de versnelde beweging (Fig. Tiik2).

Zoals inertiale wereldlijnen kan ook een versnellingslijn uitgerust worden als tijdas, dit door de lokale tijden geregistreerd binnen de opeenvolgende 'rakende' inertiaalstelsels te ijken en samen te voegen in een consistente reeks (Fig. Tiik3).

Samenhang van materie.

Een vast voorwerp dat een versnelde beweging krijgt probeert op elk moment zijn beweging af te stemmen op het rakende inertiaalstelsel. Andere voorwerpen kunnen andere versnellingslijnen volgen : zo komt men tot een verzameling van versnellingslijnen en, zo zij elkaar niet kruisen, tot een versnellingsstelsel , naar analogie met een inertiaalstelsel. Hierin kunnen zelfs globale ruimteassen getrokken worden door een continu procédé van verbinden van lokale assen, analoog aan de opbouw van de tijdassen op de versnellingslijnen (Fig. Tiik4). Deze constructie is echter nog meer gekunsteld dan in het inertiale geval, omdat zij niet langer het gedrag beschrijft van 'grote' vaste objecten. Deze bestaan namelijk enkel nog lokaal, als ware het deeltjes, en daarmee begrippen zoals gelijktijdigheid en ruimteassen, dragers van meetstaven. Een versneld deeltje kan de rest van de ruimte niet langer volgens die materiële criteria indelen.

Zodra een object niet meer infinitesimaal te beschrijven valt zal er een conflict ontstaan tussen zijn neiging tot interne (inertiale) samenhang, en de versnellingslijnen opgelegd aan zijn verschillende delen. Deze laatste zullen onvermijdelijk aan inwendige krachten blootgesteld worden, en het object zal ofwel het versnellingsveld niet helemaal kunnen volgen, ofwel uiteengescheurd worden in kleinere delen die de afzonderlijke versnellingslijnen beter volgen (Fig. Tiik5). Getuigen van zulke processen zijn de ringen van planeten, afkomstig van manen die te dicht in de buurt van hun moederplaneet waren gekomen en uit elkaar zijn gevallen door de differentiële zwaartekracht in hun verschillende delen (Fig. Tiik6). Dit lot zou ook onze maan te wachten staan in een verre toekomst.

Zelfs als een object slechts in één van zijn punten aangegrepen en versneld wordt, en de overige 'vrij' kan laten volgen naarmate ze door bijvoorbeeld lichtlijnen van de versnelling worden 'verwittigd', zien we dat het niet lokaal inertiaal kan blijven (Fig. Tiik7). Elke versnelling dus, die niet oneindig langzaam aangrijpt of op een niet oneindig klein object, gaat gepaard met werkelijke inwendige krachten en vervormingen. Ook de versnelling die nodig is om een voorwerp van een inertiale bewegingstoestand naar een andere te brengen.

Kinematika en dynamika.

In deze verhandeling beperkten we ons tot een beschrijving van bewegingen, tot het kinematisch aspect van de relativiteit. Met de versnellingen komt ook het begrip krachten op de proppen, dus het dynamisch aspect. Wij hadden het reeds over de interne spanningen die versnelling in een groot vast object teweegbrengt. De versnelling zelf is echter ook een gevolg van uitwendige krachten uitgeoefend op het voorwerp.

Vermelden we in dit verband dat de versnelling a=dv/dt <> a'=dv'/dt' geen invariant is voor verschillende inertiaalstelsels, dit in tegenstelling met de theorie van Newton. Hetzelfde geldt voor de massa M, (zie volgend deel), en dus a fortiori voor krachten F=Ma.

Zwaartekracht en de Algemene Relativiteit.

Zwaartekracht en de ermee gepaard gaande (val)versnellingen maken het voorwerp uit van de Algemene Relativiteit. Deze stelt dat de wereldlijnen van de vrije valversnelling in feite geodetische lijnen zijn van een gekromde, niet-Euklidische tijdruimte (Fig. Tiik8 , zie ook Fig. Tik4 van eerste deel). Zij zijn dus een uitbreiding van de rechte, Euklidische wereldlijnen van inertiaalstelsels (die enkel kunnen bestaan in afwezigheid van zwaartekracht).

Uitgangspunt van de theorie is de vaststelling en daarmee postulering van de dynamische equivalentie tussen zware massa en trage massa. De eerste maakt een voorwerp 'zwaar', doet het gehoorzamen aan de zwaartekracht en geeft het gewicht als zijn vrijevalversnelling wordt tegengegaan, bijvoorbeeld door het te laten rusten op het aardoppervlak. De tweede maakt het 'traag', doet het 'tegenwerken' als het in de vrije ruimte waar geen netto zwaartekracht bestaat uit zijn inertiale beweging wordt gebracht, met andere woorden van buitenaf wordt versneld.

Schijnbaar heel verschillende bewegingen als een valparabool, een vertikale vallijn, een omwentelingsbaan en een ontsnappingshyperbool zijn uiteindelijk verwante want geodetische wereldlijnen van eenzelfde tijdruimtekader. In afwezigheid van zwaartekracht worden zij alle herleid tot rechte wereldlijnen binnen verschillende inertiaalstelsels.

Interessant hierbij is de bevinding dat een geodetische wereldlijn, die dus twee gebeurtenissen verbindt volgens een minimale tijdruimteafstand (welke laatste natuurlijk dient gedefinieerd ; pro memorie dS2 = dX2 - c2 dt2 ; dX = afstand tussen deze gebeurtenissen, dt = tijdsverschil ; dS is invariant, dit is onafhankelijk van coördinatenstelsel X,t als men rekening houdt met een tensorieel verband tussen dS en coördinaten) , dat zo'n wereldlijn tevens de lijn is van maximaal tijdsverschil tussen beide gebeurtenissen. Elke andere weg die ertussen gevolgd wordt registreert een kleiner tijdsverschil, nog een aspect van de traagheid van vrije beweging. De anekdotische formulering hiervan is de beroemde tweelingparadox.

Deze stelt dat een astronaut die een reis onderneemt en na bepaalde tijd terugkeert jonger blijft dan zijn tweelingbroer die de hele tijd op aarde bleef (in haar geodetische baan). Dit valt eenvoudig na te gaan in het bijzondere geval van inertiaalstelsels, waarbij de reizende broer vertrekt volgens een inertiaalstelsel 'heen', en dan omwisselt met een 'terug', terwijl de thuisbroer de hele tijd in hetzelfde inertiaalstelsel blijft (Fig. Tiik9 a).

Inderdaad, vanwege de tijddilatatie geldt voor de heenreis :

t'1 < t1 , en voor de terugreis t"2 < t2 .

De totaal doorlopen tijd voor de reisduif blijft dus kleiner dan die voor de huisduif. De paradox bestaat erin dat, hoewel de tijddilatatie omgekeerd ook geldt in beide reizende inertaalstelsels ten aanzien van het achterblijvende, die effecten zich niet samenvoegen voor de reiziger, precies door zijn omruiling van inertiaalstelsels. Voor hem geldt (Fig. Tiik9 b) :

t3 < t'1 , en t4 < t"2 ,

waardoor een deel van de 'thuistijd' voor de reiziger als het ware 'onopgemerkt' verloopt, namelijk het deel (t1+t2) - (t3+t4).

Een belangrijk besluit van de algemeen-relativistische beschrijving is dat de zwaartekracht helemaal geen kracht is, maar als het ware een meetkundige toestand van de gekromde tijdruimte : vandaar de uitspraak "materie kromt de (tijd)ruimte".

Een voorwerp dat een vrije valversnelling volgt voelt helemaal geen kracht. Deze treedt pas op als het voorwerp als geheel, of in zijn onderdelen, afwijkt van zo'n geodetische baan : bijvoorbeeld door op het aardoppervlak te blijven staan of ervan weggeschoten te worden. In dat geval worden andere dan zwaartekrachtversnellingen toegevoegd, en deze staan wel degelijk voor uitwendige krachten.

De theorie laat in het midden of de tijdruimtestructuur zelf, in het eerste deel reeds als etherveld bestempeld, kan bestaan onafhankelijk van materie (afgezien van de kromming ten gevolge van deze) dan wel door materie wordt gegenereerd, zoals Mach opperde. In het eerste geval zou een voorwerp dat zich alleen in de ruimte bevindt toch een versnelling of rotatie kunnen voelen, dus traagheidsmassa bezitten, in het tweede niet. In het eerste geval zou er dus een buitenmateriële verklikker van versnelde beweging bestaan.

Het probleem is analoog aan dat van de ether als van de materie onafhankelijk lichtmedium, verklikker van eenparige beweging. Evenmin als het etherprobleem toen, is de veronderstelling van Mach ten enenmale in deze of gene zin beslecht. Wellicht zal ook hier een 'overstijgend' antwoord dienen geformuleerd.