Guido "Wugi" Wuyts @ Dilbeek, Belgium, Europe, World, Solar System, Milky Way, Local Cluster, ...

Herhaling en oriëntatie.

Het eerste ruimtelijk begrip is er een buiten tijdsverband, een ruimte bevolkt door materiële punten en voorwerpen, vastgelegd in een momentopname. In zo'n tijdeloze ruimte kunnen plaats, afmeting en afstand worden gedefinieerd als onveranderlijke eigenschappen van groepen objecten.

In een ruimte die door de tijd evolueert, waarin voorwerpen bewegen en de genoemde eigenschappen veranderen, wordt het definiëren van tijdloze momentopnamen lastiger, en dus ook het bepalen (meten) van die eigenschappen.

De tijd wordt aanvankelijk gezien als een unieke parameter die overal in de ruimte gelijkmatig bestaat, zonder er evenwel af te hangen van enige fysische beweging. Gelijktijdigheid is het aannemen van dezelfde waarde van die parameter mits voorzorgen voor ijking.

Om allerlei fenomenen te verklaren moet men afzien van dit intuïtieve beeld. In de relativiteitstheorie bestaan ruimte en tijd niet meer onafhankelijk van elkaar. Zowel ruimtemetingen zoals afmeting en afstand, als tijdsmetingen zoals tijdsverschillen en gelijktijdigheid, gaan afhangen van de onderlinge beweging der participerende objecten inclusief de waarnemer.

De afwijkingen die verschillende waarnemers van elkaar constateren zullen wel wederzijds blijken te zijn, wat kenmerkend is voor een relativiteitsprincipe. Zo kan elkeen zichzelf als referentie voor de anderen beschouwen, zonder het absoluut te zijn !

Nog even de tijd.

Het is misschien een vreemde gedachte op het eerste gezicht, maar het is a priori helemaal niet vanzelfsprekend dat de tijd gelijkmatig zou verlopen in verschillende punten, of in een punt volgens verschillende richtingen. Inderdaad, om de tijd van een fysisch proces te meten gebruiken we een klok, maar dit is zelf een fysisch proces dat weer afhangt van een 'interne' klok, die weer een fysisch proces is...

Van zo'n fysisch proces aanvaarden we zonder veel moeite zijn afhankelijkheid van beweging, dus van plaats, richting en tijdstip. Maar hetzelfde moet dan ook gelden voor klokken, de personalisaties van de tijd ! Wat is immers de basis van zo'n ultieme inwendige klok ? Niets anders dan het feit dat elke interne beweging tot op deeltjesniveau wordt afgestemd op de beweging van de 'buren', zodat meer bepaald periodische bewegingen in de pas blijven verlopen. Daartoe moeten de deeltjes wel van elkaar weten.

Dus is de factor die onderlinge beïnvloeding op afstand begroot de lichtsnelheid, zoals eerder geopperd. Dit betekent dat elke uitspraak over het gedrag van de tijd, in ruimte en tijd, in wezen een uitspraak is over het gedrag van de lichtsnelheid. Als deze zou gaan verschillen volgens positie of richting, of evolueren met de tijd, zou dit alle fysische processen tot en met hun interne klokken beïnvloeden. Er zou geen uniek tijdsbesef meer zijn, ja de tijd zelf zou een variabele functie worden, zelfs binnen een voorwerp.

Een bouwsteen voor de ruimtetijd.

Uit het voorgaande kunnen we afleiden dat de meest 'elementaire' klok een lichtklok is, zoals vroeger gedefinieerd, tussen twee willekeurig dicht bij elkaar gelegen punten. De lichtklok wordt de bouwsteen van de ruimtetijd-constructie, tenminste van haar meetkundig aspect, de kinematika. Het massa-aspect van de materie, de dynamika, blijft in dit betoog terzijde.

Wij zullen stap voor stap de hypothesen opstellen, om de tijdruimte met een structuur van inertiale stelsels uit te rusten, waar lichtklokken 'in de pas' blijven lopen en voor verschillende waarnemers gelijkelijk van elkaar afwijken. Even belangrijk is het aantonen van overbodige hypothesen in verband met de klassieke relativiteit : over tijdsafhankelijkheid van afmetingen bijvoorbeeld, zie vroeger.

In haar meest algemene vorm is de lichtsnelheid, en daarmee de tijdseenheid, een functie van plaats, richting en tijdstip. In elk punt bestaat een tijdas die voor elke richting te ijken valt. In feite beeldt deze as niet alleen het tijdsverloop, maar ook de beweging van het punt uit : het is zijn wereldlijn. Onderling bewegende punten hebben dus snijdende of kruisende wereldlijnen die tevens hun tijdassen zijn.

Hoewel we nog niets precies gezegd hebben over de tijd, moeten we kunnen vertrekken van een Euklidische momentopname van de ruimte : voor één dimensie een rechte lijn, waar de tijd overal dezelfde waarde krijgt, bijvoorbeeld nul, en waar posities en afstanden van materiële punten gekend zijn. Voor het punt van waarneming, dat we in de oorsprong O kunnen plaatsen, zijn alle overige momentopnamen (lijnen van gelijktijdigheid volgens O) evenwijdigen aan deze beginlijn. Voor de andere punten is het nog niet gezegd dat hun tijdsindeling op hun wereldlijn dezelfde is als deze van de oorsprong: Fig. Tak1. Deze toestand vormt het uitgangspunt van onze eerste hypothese.

Eerste basishypothese.

Er bestaat een stelsel van starre materiële lichamen, met constante onderlinge dimensieverhoudingen.
 

Als we uitgaan van een lijn x (Fig. Tak2) kunnen we stellen dat de wereldlijnen van haar punten 1) in eenzelfde vlak liggen en 2) parallel lopen. Zelfs alvorens al deze lijnen te ijken op de tijd, kunnen we stellen dat de afstand tussen twee punten bepaald wordt door de snijpunten van hun wereldlijn met de initiële toestandslijn.

Men zou, stellend dat de tijd gelijkmatig vertikaal loopt, een stelsel van uiteen- of naar elkaar lopende wereldlijnen kunnen verzinnen dat toch de afstandsverhoudingen bewaart (Fig. Tak3), maar zoals vroeger gezegd is dit een niet-relevante en dus overbodige constructie (zie Fig. Tik1 van Deel 1).

Alvorens onze aandacht te richten op bewegende punten en afstanden in dit stelsel, moeten we eerst iets zeggen over het verloop van de tijd zelf, dus van de lichtsnelheid. Dit is de eerste beweging die in dit stelsel dient beschreven. Ook het licht op de lijn in kwestie volgt een wereldlijn. Zo bestaan er twee families wereldlijnen van het licht : een naar links en een naar rechts. Een lichtklok wordt beschreven door de wereldlijnen van haar uiteinden en een samenhangende reeks heen- en weer lopende wereldlijnen van ertussen 'gevangen' licht. De volgende hypothesen gaan over het vergelijken van lichtklokken.

Tweede basishypothese.

Lichtklokken in het basisstelsel voldoen aan de homotetie.
 

Daarmee wordt bedoeld dat lichtklokken met een gemeenschappelijk retourpunt altijd en overal retour- of kloktijden registreren in dezelfde verhouding als hun kloklengte: Fig. Tak4.

Homotetie impliceert symmetrie van lichtklokken: Fig. Tak5 ; de verhouding wordt gelijk aan 1. Zij impliceert de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid volgens de richting van de lijn. De wereldlijnen van het licht hellen met die van het basisstelsel. Een verandering van de lichtsnelheid van punt tot punt zou zich uiten in een verandering van hun helling. Men merkt dat alsdan de homotetie niet behouden zou blijven: Fig. Tak6 , zie ook Fig. Tik11b van Deel 1.

Anderzijds is de homotetie onverschillig voor een verandering van de helling, of lichtsnelheid, met de tijd: Fig. Tak7, vergelijk met Fig. Tik11a van Deel 1. Correcter : gezien de tijdseenheid van de lichtklok zichzelf afstemt op de lichtsnelheid detecteert hij geen verandering hiervan 'met de tijd'.

De verhouding

vermits de homotetie inhoudt

wegens eerste hypothese.

De wereldlijnen van het licht op een lijn vormen nu rechten met een constante helling, dus families evenwijdigen, een naar links en een naar rechts: Fig. Tak8.

Uiteindelijk zijn homotetie en symmetrie ongevoelig voor een verschil in helling "links" en "rechts", te beschouwen als een verschil in lichtsnelheid c+ en c- : Fig. Tak9; zowel homotetie als symmetrie blijven bewaard. In feite kùnnen c+ en c- niet afzonderlijk worden gemeten, omdat men vanuit gebeurtenis (2) niet rechtstreeks het tijdsverschil tussen (2) en (3) of (2) en (4) kan meten. Beide kunnen echter gedefinieerd worden als de helft van het tijdsverschil tussen (2) en (5), de lichtkloktijd. Evenzo wordt de lichtsnelheid gedefinieerd als het dubbele van de waarde l/t, vermits de beide componenten "l/t-" en "l/t+" niet te meten vallen en toch de homotetie niet tenietdoen.

Een belangrijk gevolg is de definitie, en de relativiteit van de gelijktijdigheid van gebeurtenissen. Volgens het voorgaande zijn voor een waarnemer op de wereldlijn 2-5 (3) en (4) gelijktijdig met het halverende tijdstip tussen (2) en (5). Hun verbindingslijn 3-4 is gevuld met dergelijke punten ten opzichte van dat tijdstip, met andere woorden zij bepaalt een ruimteas, een x-as of evenwijdige hieraan voor die waarnemer en voor de ruimtelijn waarop wij startten.

Het tijdruimte-kader van de x-richting is nu uitgerust met twee paren families van rechten. Het eerste paar betreft de wereldlijnen of tijdassen van de materiële punten van ons beginstelsel, en de gelijktijdigheidslijnen of ruimteassen die volgen uit retourpunten van symmetrische lichtklokken. Het tweede paar wordt gevormd door de wereldlijnen van het licht, of lichtlijnen: Fig. Tak10.

Door de homotetie is het mogelijk stapsgewijs overal lichtklokken, afstanden en tijdseenheden te ijken: Fig. Tak11; zo kan een canonische grafiek van ons inertiaalstelsel gemaakt worden. De tijdas wordt vervangen door een ct-as, met ruimtedimensie zoals de x-as, en beide krijgen dezelfde eenheden. De wereldlijnen van het licht worden bissectrices op 45° : Fig. Tak12.

Algemene definitie van inertiaalstelsels.

In ons beginstelsel beschrijft een bewegend materieel punt een wereldlijn die geen rustlijn (tijdas) van het stelsel is, en ook geen lichtlijn. In elk van haar puntgebeurtenissen kan de snelheid van het object bepaald worden als

Indien overal op de wereldlijn de snelheid eenzelfde waarde v=vo behoudt, noemen we de beweging eenparig, en de wereldlijn is een rechte met constante helling. Een inertiaalstelsel is elk stel wereldlijnen die in ons beginstelsel een constante snelheid v hebben waarvoor geldt –c < = v < = +c. Het beginstelsel (v=0) is zelf inertiaal. De beide lichtstelsels ±c zijn gedegenereerd omdat een wereldlijn (tijdas) en bijhorende ruimtelijnen samenvallen en de rest van de tijdruimte niet meer bestrijken.

Derde basishypothese.

De punten van een materieel voorwerp behorend tot een inertiaalstelsel volgen de wereldlijnen van dit stelsel.
 

Hun afmetingen zoals gemeten in het beginstelsel blijven dus constant. Dit betekent dat zowel de eerste basishypothese van constante materiële verhoudingen, als de tweede basishypothese van behoud van homotetie nu geldig zijn in elk inertiaalstelsel: Fig. Tak13.

Voor elk inertiaalstelsel zijn ook gelijk-tijdigheids- of ruimteassen te bepalen op basis van symmetrische lichtklokken: Fig. Tak14. Dit betekent dat elk inertiaalstelsel dezelfde gebeurtenissen op een andere manier indeelt in de tijd (wereldlijnen, tijdassen, "gelijke ruimte") en de ruimte (ruimteassen, "gelijke tijd"). De lichtlijnen blijven bissectrices voor beide assen in elk inertiaalstelsel.

Materiële gelijkheid van afstand en tijd in verschillende stelsels.

Tot nog toe werd de gelijkwaardigheid van inertiaalstelsels vastgesteld voor de homotetie van lichtklokken, volgens een willekeurige richting die tevens onderlinge bewegings-richting is van deze stelsels. Hiertoe hebben we 1) het bestaan gepostuleerd van een beginstelsel waarin ruimtelijke materiële verhoudingen bewaard blijven, en 2) waarin de lichtsnelheid de tijdsverhoudingen van homotetische lichtklokken bewaart. Hierdoor konden we inertiaalstelsels definiëren als alle stelsels die eenparig bewegen in het beginstelsel, waarna we 3) postuleerden dat materiële voorwerpen in rust in een inertiaalstelsel inertiale wereldlijnen hebben. Tenslotte werden aldus alle inertiaalstelsels gelijkwaardig voor 1) en 2).

De vraag is nu hoe materieel gelijke objecten zich gaan gedragen in verschillende inertiaal-stelsels of nog : hoe zij elkaars eenheids-lengten en -tijden gaan registreren. Vermits gelijk-tijdigheid verschillend wordt gezien door onderling bewegende stelsels, is het niet moeilijk vast te stellen dat zij elkaars eenheden niet als eenheden zullen meten: Fig. Tak15.

Zij een waarnemer S(x,t) verbonden aan een voorwerp OA, en een waarnemer S'(x',t') aan een bewegend voorwerp OB, materieel gelijk aan OA. Voor S is OA, op de x-as, een lengtemeting van het voorwerp OA. Voor S' is OB langs de x'-as een lengtemeting van eenzelfde voorwerp OB. OA en OB stellen dus eenzelfde materiële lengte voor.

Nu is voor S OB' langs x een lengtemeting van OB, en gelijkerwijze is voor S' OA' langs x' een lengtemeting van OA. Men ziet dat nooit tegelijk OB'=OA en OA'=OB kunnen zijn. Mocht men zich al een "normaal" inertiaalstelsel indenken waar bewegende lengten constant blijven, dan kan hetzelfde niet gelden voor alle andere inertiaalstelsels. Een relativiteitsprincipe moet eerder op zoek naar een manier waarop OA' en OB' in gelijke mate afwijken van OB en OA.

Laten we ons eerst herinneren dat de lichtsnelheid in alle inertiaalstelsels dezelfde waarde heeft, als zijnde bepaald door materieel gelijke lichtklokken die dan in hun eigen stelsel per definitie eenzelfde kloklengte hebben, en ook per definitie eenzelfde kloktijd geven, die immers in het geval van naburige deeltjes de teleenheid is voor fysische interactieprocessen.

Tot nog toe beschouwden we enkel het gedrag van de lichtsnelheid in één richting, in inertiaalstelsels voor deze richting. Welke hypothesen kan een relativiteitsprincipe maken ter vergelijking van verscheidene richtingen ? In ons basisstelsel van de eerste en tweede hypothese, dat we in eerste instantie als een stelsel "in rust" zagen, kunnen we ons makkelijk indenken dat lichtsnelheid en tijd niet afhangen van de richting, dat zij isotrope eigenschappen zijn.

Maar omdat dank zij de derde hypothese alle inertiaalstelsels gelijkwaardig zijn, tenminste per richting, is er geen reden om enkel dit beginstelsel te weerhouden voor richtings-onafhankelijkheid. Voor een willekeurig ander stelsel is het eerste in beweging en de isotropie is dus niet meer "vanzelfsprekend" voor het ene dan voor het andere. Zij zal dus meteen worden gepostuleerd voor alle inertiaalstelsels.

Vierde basishypothese.

In alle inertiaalstelsels tekenen isotrope lichtklokken gelijke tijden aan.
 

Feitelijk is dit een averechtse formulering. Materiële gelijkheid volgt uit, of schikt zich naar, gelijke kloktijden. Het juiste criterium luidt dus : voor lichtklokken in een punt, volgens verschillende richtingen, bepalen gelijke kloktijden gelijke kloklengten en dus gelijke materiële lengten.

Bijgevolg is de lichtsnelheid isotroop, neemt dus dezelfde waarden aan voor alle richtingen, volgend uit gelijke kloktijden voor gelijke kloklengten. In drie dimensies kunnen we schrijven :

vermits per richting c constant is. Voor twee richtingen x en y kan een tijdruimtediagram gemaakt met wereldlijnen van isotrope klokken in rust, die samenkomende lichtlijnen hebben: Fig. Tak16.

Een tweede gevolg is de relativiteit van bewegende lengten. Inderdaad is de isotropie in een t.o.v. ons bewegend stelsel er niet zomaar en veronderstelt een verschil in lengtemetingen. Echter niet vergeten dat t.o.v. anderen "wij" in beweging zijn en dat zij onze isotropie ook aan een vervorming toe-schrijven: Fig. Tak15.

Bewegende lichtklokken.

Beschouwen we een ruststelsel S(x,y,t), en daarin een bewegend stelsel S'(x',y',t') met snelheid v (langs x), en met twee isotrope lichtklokken volgens x' en y', met eigenlengte l_o. In S snijden hun wereldlijnen meetlengten l_xen l_y af, die we nu gaan berekenen: Fig. Tak17.

Volgens de isotropie moeten de lichtlijnen OAC en OBC elkaar treffen in een punt C. OA en OB liggen op de lichtkegel in O, AC en BC op de lichtkegel in C (de term lichtkegel wordt verderop verklaard). OC langs de t'-as is de gemeenschappelijke kloktijd t_o = 2l_o/c in S'. In S geeft OC een tijd t_C die gelijk moet zijn volgens beide lichtlijnen, dus gemeten langs x en langs y.

- Meting langs x :

- Meting langs y :

een meer conventionele voorstelling is de lichtweg in het (x,y)-vlak (geen tijdas, dus geen wereldlijn !) : Fig. Tak18. Op het tijdstip t_C[y] is x=OC=v t_C[y] . Ook is CD=c t_C[y] .

Dus is (driehoek van Pythagoras OCD) :

Isotropie :

Merk op dat in het bewegend stelsel een identieke betrekking geldt, vanwege de snelheid van S in S': v' = -v . Met g(-v) = g(v), en door isotropie van S (eigenlengte l_o, dezelfde als in S': gelijke lichtklokken) gezien in S' (meetlengten l'_x en l'_y ), komt er :

Er rest nog een verband tussen (i) en (ii), alsmede een verband tussen beide en de eigenlengte l_o te vinden. Nu is het mogelijk een betrekking tussen l_x en l'_x te vinden: Fig. Tak19.

Beschouw twee inertiaalstelsels S(x,t) en S'(x',t') met twee materieel gelijke voorwerpen OA in S, en OB in S'. De meetlengte van OB in S bedraagt OB'=l_x , maar OP is de ruimteafstand tussen gebeurtenissen O en B (gelijktijdig in S' maar niet in S).

Analoog is OA'=l'_x de meetlengte van OA in S', en OQ de ruimteafstand in S' tussen O en A (gelijktijdig in S maar niet in S').

Berekenen we de verhoudingen tussen OB' en OP, alsook tussen OA' en OQ.

Beschouw de coördinaat PB=ctB , die vanaf B'B (helling v/c) en OB (helling c/v) kan worden bekomen :

Op dezelfde manier volgt uit

Anderzijds volgt uit de gelijkvormigheden

OQ/OB = OA/OB’ , en met OA=OB= l_o

Þ OQ = l_o² / l_x

en

OP/OA = OB/OA’

Þ OP = l_o² / l’_x

Vanzelfsprekend zijn deze resultaten symmetrisch voor S en S'. Uit een en ander volgt een verband tussen lx , l’x , en lo:

l_x l’_x = l_o² / g²(v)        (iii)

Samen met (i) en (ii) krijgen we nog :

l_yl’_y = l_o²                   (iii bis)

Met deze formules zijn alle symmetrie-voorwaarden volgens de x-richting (bewegingsrichting) uitgedrukt. Er blijft echter nog een symmetrievoorwaarde volgens y (richtingen loodrecht op de beweging), die gepostuleerd kan worden in een nieuwe hypothese, naast die van de homotetie dus.

Vijfde basishypothese.

Lengtemetingen loodrecht op de bewegings-richting zijn symmetrisch voor elk tweetal inertiaalstelsels.
 

Dit betekent dat materieel gelijke voorwerpen tot gelijke lengtemetingen leiden in het andere stelsel, zodat (Fig. Tak20)

l_y = l’_y                            (iv)

Terug naar Tak

De lengtecontractie...

Uit (i) tot (iv) volgen uiteindelijk de bekende formules voor lengteverhoudingen, namelijk lengtebehoud loodrecht op de beweging, en een lengtecontractie volgens die beweging (zie ook Fig. Tik22 uit Deel 1):

-------------------------

l_x = l’_x = l_o / g (v)        lengtecontractie volgens x,

en

l_y = l’_y = l_o                   lengtebehoud loodrecht op x.

-------------------------

Terug naar Tak

De tijddilatatie...

Volgens de definitie van de tijd bepalen materieel gelijke lichtklokken gelijke eigen kloktijden. Hoe worden deze eigentijden nu onderling gemeten tussen bewegende stelsels? Beschouw een stelsel S' met een lichtklok OB = l _o, in beweging ten opzichte van S met een snelheid v : Fig. Tak21.

In S krijgt de lichtklok een gecontraheerde lengte OB'=l_o=l_o/g(v). Volgens S' wordt de kloktijd gegeven door ON = ct_o . In S vertoont ON benevens een verplaatsing OQ, een gemeten tijd ct , die berekend kan worden uit de hellingen van wereldlijnen.

Enerzijds is ctM =OP=OB'+B'P =l + (v/c) ctM , of

Anderzijds is

ct - ct_M = QP = OP - OQ = OB' + B'P - OQ = l + (v/c) ct_M - (v/c) ct Þ

(1+(v/c)) ct = (1+(v/c)) ct_M + l Þ

Rekening houdend met l =l_o/g(v) en, in S, ct_o = 2l_o , komt er tenslotte:

-------------

t = t_og(v)                   tijddilatatie.

-------------

Dit is geldig volgens de bewegingsrichting x, maar door de isotropie zal dezelfde kloktijd bestaan volgens loodrechte richtingen y, en in feite volgens alle richtingen : t_y = t_x = t .

Het is precies deze conditie die aanleiding gaf tot de lengtecontractie !

Terug naar Tak

Verwarring over waarnemers.

In vele verhandelingen over de relativiteit heerst een gedurige spraakverwarring tussen de begrippen "kijken" en "meten", beide bedacht met de term "waarnemen", en het ene begrip wordt uitgelegd met een voorbeeld van het andere !

Zo worden lengtecontractie en tijddilatatie (meetproces) verklaard door het feit dat het licht die en die tijd nodig heeft om ons te bereiken uit die en die punten en richtingen van een bewegend voorwerp (kijkproces). Dit geeft aanleiding tot een foutief begrijpen van relativistische wetten. Laten we daarom het verschil tussen kijken en meten eens nader "bekijken".

De ruimteassen bepalen een verzameling gelijktijdige gebeurtenissen in de tijdruimte, voor een gegeven inertiaalstelsel. Alle zuiver ruimtelijke manifestaties van dit stelsel (momentopnamen, weet u nog) liggen op evenwijdigen aan deze assen. De gemeten manifestaties van een eendimensionaal stelsel rangschikken zich zoals aangegeven in Fig. Tak22.

Met enig nadenken gaat men inzien dat dergelijke pure ruimten, de hoeksteen van ons ruimtelijk denken (!), in feite erg ongrijpbare toestanden zijn. Zelfs binnenin een materieel lichaam voelt elk punt niet zijn gelijktijdige omgeving, maar een verleden van deze omgeving zoals het op elk ogenblik in dat punt wordt gesignaleerd. Als we even buiten beschouwing laten dat elementaire wisselwerking doorgaans trager is dan licht, liggen de gebeurtenissen die we op zijn snelst "gelijktijdig" kunnen zien op een stel samenkomende lichtlijnen. De geziene manifestaties van ons stelsel verlopen dus zoals in Fig. Tak23. Voor twee dimensies worden dat (halve) lichtkegels, en voor drie "hyperkegels" in de vierdimensionale tijdruimte.

Hoe wordt nu een eenparige beweging, resultaat van een meting, gezien in een ruststelsel ? Hiertoe volstaat het het traject van het bewegend voorwerp, zijn verzameling wereldlijnen, te doorsnijden met de kijklijnen van vorige figuur, en de bekomen doorsneden te projecteren ter hoogte van het tijdstip van waarneming: Fig. Tak24. Er ontstaat een traject van geziene bewegingslijnen, vervormd t.o.v. de wereldlijnen van het voorwerp.

Het blijkt dat bij verwijdering een extra lengtecontractie wordt gezien, bij nadering daarentegen een lengtedilatatie. Dit komt omdat de lichtweg "doorheen" het voorwerp respectievelijk korter is dan de gemeten lengte, en langer dan de eigenlengte. Een kleine berekening wijst dit uit. Zij de lichtweg, of geziene lengte, bij verwijdering , en bij nadering . Drukken we de gelijke tijden uit, doorlopen door de wereldlijnen van de lichtweg en van het voorwerp :

Enerzijds

anderzijds

Hieruit

-----------------------

en

-----------------------

Ook de geziene snelheden wijken af. Als we opmerken dat zowel geziene als gemeten lengten in dezelfde tijd worden doorlopen, geeft dit:

Hieruit

-------------

-------------

In het limietgeval v ® c krijgen we g (c) = ¥ , en

de bekende nullengte bij v=c ; waaruit

en

v+ ® v/2 = c/2 ,

v- ® ¥ .

Dit beduidt dat de hele nadering in één momentopname wordt gezien waarbij het voorwerp oneindig lang gerekt lijkt, waarna de verwijdering bij snelheid c/2 wordt gezien met lengte nul.

Laten we nog eens het aspect van het voorwerp in verschillende punten van nadering, voorbijkomen en verwijdering voorstellen in het geval van een treinwagon: Fig. Tak25. Tijdens het voorbijkomen blijkt er geen symmetrische positie te bestaan, gezien symmetrie niet "tegelijk" aan de uiteinden en rond het waarnemingspunt ontstaat.

Tenslotte kunnen wij als denkoefening aanraden eens alle lengten te overwegen die bij een onderling eenparige beweging tussenkomen : meetlengten, kijklengten, lengten op eigen gelijktijdigheid gebaseerd, en lengten op gelijktijdigheid van het bewegend stelsel.

Terug naar Tak