Infinities

	Oneindig simpel? Hoewel mijn infinities bedoeld zijn te klinken ende luiden als definities, verwijzen ze wel degelijk naar wat Engelsen ook als infinities zouden spellen. Een uitnodiging dus tot nadenken over oneindigheid. Ze wordt niet opgediend als een afgewerkt stuk overtuiging, daar weet ondergetekende zich te zeer leek voor, maar als samenraapsel van bedenkingen en twijfels die tijdens mijn studie en latere lectuur opdoken en daar niet door weggenomen of opgelost raakten. Mijn laatste leesvoer was The Mystery of the Aleph van Amir D.Aczel, een interessante bron voor de stroom van mijn bedenkingen die ik hierna zijn weg laat zoeken. Met Cantor gaat er een wereld open van oneindig veel graden van oneindigheid, alefs genoemd, de ene onbereikbaar ver boven de andere. Daarbij lijkt de eerste graad van oneindigheid, alef-0 "de aftelbare", een vertrouwd buurtjongetje dat iedereen goed meent te kennen. Mijn bewering is nu echter dat deze aftelbare oneindigheid zelf al niet als een "uniek gegeven" bestaat, laat staan een basis zou bieden voor hogere alefs. Een rode draad van het boek is dat oneindigheid enerzijds al sinds de oudheid gekend is als een potentieel gegeven, iets waarnaar je bij middel van lijstjes, reeksen... toe kan streven zonder het ooit te bereiken. Anderzijds, dat Cantor de eerste was die er geen graten in zag om oneindigheid, namelijk een oneindige verzameling, te beschouwen als iets afs, een kant en klaar, afgerond geheel waar je een "aantal" op kan plakken. (p 140) Cantor accepted that infinity exists even without a way to see or touch or feel every one of these endless numbers, as we seem to want to do. He could accept actual infinity rather than the safe idea of a potential infinity of the Greeks and Cantor's contemporaries. Furthermore, Cantor was comfortable with the concept that there could be different kinds of infinity: one larger than the other..... In de praktijk wordt er echter voortdurend heen en weer geschakeld tussen beide noties (en ik zal dat in wat volgt even grif blijven doen), en worden conclusies van een "aftellende" aanpak gehecht aan basisprincipes van een "afgeronde". Terwijl beide visies eigenlijk moeten leiden tot onderling tegenstrijdige conclusies (en paradoxen!), reden waarom ik de "affe" visie in twijfel trek. En daarmee wellicht alle alefs.
	Oneindig natuurlijk? Een eerste voorbeeld: een verzameling wordt gedefinieerd als een afgerond geheel van elementen die in een {lijstje} kunnen worden weergegeven. Intuïtief neemt men aan dat alle elementen in het lijstje welgekend zijn en "meteen" present en beschikbaar. Dat lijkt (ik zeg lijkt) alvast zo voor de natuurlijke getallen; men kan zich intuïtief elk willekeurig groot getal voorstellen. Maar het pakt al vlug stukken moeilijker uit met de reële getallen: irrationale getallen laten zich immers slechts benaderen door een oneindige rij van decimale cijfers (herinner u, we zijn nog bezig met oneindige lijsten, euh verzamelingen, als kant en klare objecten te beschrijven, en we hebben al oneindig werk met een willekeurig element ervan). Maar dat geeft niet denken we: we kunnen alvast de eindig benoembare getallen in de lijst vermelden en met slimme strevende reeksen de niet eindig benoembare mee in ons (open) lijstje sluiten op de oneindige plaatsen. Maar zo doende construeren we onze verzameling, aangepakt als een afgerond geheel, op een potentieel aftellende wijze. We zijn dus van standpunt veranderd. Nu een voorbeeld van tegenstrijdige conclusies. We willen de verzameling natuurlijke getallen beschrijven. Historisch gebeurde dat vanuit een aftellend standpunt. Men constateerde dat je altijd en overal "er 1 kan blijven bijtellen", maar dat er nooit een einde aan komt. Er kon dus geen "grootste" of "oneindig" getal bestaan. Maar dan komt Cantor, kijkt op een afgeronde verzameling en definieert daar een transfiniet oneindig aantal op. (p 141) He [Cantor] proposed the existence of a number that was infinite and yet the smallest number greater than all the finite numbers. (...) While there is no greatest [finite] number --you can always add one to any number and get a larger one-- there is still the possibility of the existence of a number larger than all the finite numbers. Cantor named his first transfinite number omega. Dat is echter in tegenspraak met het "affe" standpunt zelf (en eigenlijk ook met het aftellend). Neem een element weg uit je verzameling en je hebt een aantal omega-1, nog altijd een oneindig ding. Omega is dus niet het kleinste oneindig ding. Bovendien blijkt uit het "affe" standpunt een duidelijke ongelijkheid. Bijvoorbeeld, uit {N} = {even getallen}+{oneven getallen} volgt {N} > {even getallen}. Dus zou het kardinaalgetal van {N} groter moeten zijn dan dat van {even getallen}. Maar Cantor "bewijst" dat beide kardinaalgetallen gelijk zijn. Wel gebruikt hij daartoe het aftellend standpunt: je kunt de even getallen namelijk mooi aftellen tegen de natuurlijke getallen. Maar het aftellend standpunt kon zelf geen oneindig kardinaalgetal "vinden" en kan nu dus ook geen uitspraak doen over het vergelijken van elkaars "aantallen" tussen verzamelingen. Het aftellend standpunt wordt dus opgevoerd voor de voor de bewering van een eigenschap van de kardinaliteit van {N} en zijn oneindige delen (gelijke kardinaliteit), terwijl het afgerond standpunt eigenlijk uitgangspunt was voor de definitie ervan (en dan nog op zijn beurt ongelijkheid tussen {N} en zijn oneindige delen suggereert). Maar zoals het citaat hierboven toont, eigenlijk begint het bij een hypothese: die van een kleinste oneindig getal. Mijn stelling is: er bestaat geen kardinaliteit van {N}. Er bestaat geen "kleinste" oneindig getal omega zodat omega > elk natuurlijk getal, en omega < elk ander oneindig getal. Het rijtje natuurlijke getallen, doorgetrokken tot in "oneindig", definieert geen uniek getal "oneindig". Men kan wel "oneindig" veel getallen "op oneindig van {N}" benoemen en ik zal er hier enkele van construeren: (....1 tot in "oneindig"(!) ).........................1111111111111111 (....2 tot in "oneindig")..............................2222222222222222 (Wie zegt dat dat hetzelfde is namelijk oneindig, of dat het geen getallen zijn omdat ze niets fysisch voorstellen, hij leze niet verder en ga elders zijn tijd besteden). Ik kan nu mijn twee "getallen" zelfs optellen en er een derde maken: (....3 tot in "oneindig")..............................3333333333333333 Voor de slimmeriken: wat als je boven de 9 komt en enen moet doorschuiven? Doen maar, geen probleem, dat kan "oneindig" doorgaan! Er zijn "getallen" mogelijk met repetitieve groepen bijvoorbeeld .........123123123123123123 en andere met onvoorspelbare cijfers bijvoorbeeld .....615713413571687136514. Tiens, waar heb ik dat nog gehoord? Hoewel allemaal onderling onderscheidbaar en dus als verschillend definieerbaar, laten deze getallen geen (eenvoudige) orde uitschijnen. Elk op zich kan als een grenspaal van de natuurlijke getallen beschouwd worden, te bereiken via een pad van natuurlijke getallen die telkens een cijfer meer hebben dan hun voorgaande (in ruwe beeldspraak, je laat het "oneindigste" cijfer weg en krijgt een natuurlijk getal, omgekeerd voeg je hieraan een "oneindigste" cijfer toe en je hebt zo'n grenspaalgetal). Maar er komt geen "uniek" oneindig getal te voorschijn, en evenmin een "kleinste". Zoals er ook geen "grootste" natuurlijk getal kan zijn. Het is een illusie te denken dat er één oneindigheid is voor de natuurlijke getallen. Er is meer gelijkenis met een oneindige reeks die maar niet wil convergeren.
	Oneindig tegennatuurlijk? Toemaatje: wie die oneindige getallen maar bizarrerieën vindt mag eens van de volgende proeven. Definieer oneindige getallen eens vanuit een kijkvenster "op oneindig", dus met de tientallen en eenheden oneindig naar rechts verschoven: 1111111111111111......................(tot in "oneindig"...) 2222222222222222......................(tot in "oneindig"...) 3333333333333333......................(tot in "oneindig"...) Hier rijst er wel een probleem van rangorde, wat blijkt bij over te dragen 1-tjes: ?55555555555555........................ ?66666666666666........................ 122222222222222........................ We moeten dus een rangpositie-onderscheid maken. We kunnen beginnen van "rang oneindig" en aftellen naar rechts, maar ik zit hier juist te betogen dat er geen aftelgetal oneindig bestaat. We beginnen dan maar omgekeerd van 0, en tellen op. Maar zoals gezegd, komen er hogere rangen aan te pas en breiden we in feite eveneens naar links uit... We zitten ergens "onderweg in oneindig" (;-) rang: (....tot in "oneindig")...........9876543210123456789.........(tot in "oneindig"....) getal: ---------------------------------------12222222222.........(tot in "oneindig"....) ander: ---------------------------------------01222222222.........(tot in "oneindig"....)
	Oneindig reëel? Over nu naar de reële getallen. Cantor bewijst dat die niet aftelbaar zijn, met een soort Cantorzeef: veronderstel een oneindig lijstje decimale getallen dat volledig wil zijn. Dan construeer je een nieuw getal door van het n-de getal in de lijst het n-de cijfer te bekijken en een daarvan verschillend n-de cijfer aan je nieuw getal toe te kennen: op die manier bekom je een van elk getal uit de lijst verschillend nieuw getal en dus was je lijst niet volledig en kan het ook niet zijn. Daar zeg ik het volgende op: stel, de lijst wil niet volledig zijn maar is "in constructie". Een nieuw gevonden getal, volgens genoemde methode of anderszins, krijgt vervolgens een plaatsje in de lijst volgens de Hiltonhotelmethode: schuif alle getallen een "kamer" naar boven op (of naar onder, in de lijst) en geef het nieuwe getal de onderste (of bovenste), vrijgekomen kamer. Zo kan je het lijstje vervolledigen, van getal op getal. Dat kan niet zeg je, want de reële getallen zijn niet aftelbaar? Ikke: Cantors bewijs, over een "affe" verzameling, gebruikt een aftelstandpunt en zoals gezegd is het daar een kwestie van "vooronderstellingen" over je beginlijst, namelijk zijn (on)volledigheid. Ja maar zeg je, met deze methode kan en zal je lijst ook nooit volledig zijn. Ikke: De lijst {N} zal ook nooit volledig zijn. Toch wel zeg je, de lijst {N} kan je je als volledig indenken maar de lijst {R} nooit. Ikke: De lijst {N} kan je je ook niet als volledig indenken want er bestaat geen eenduidig kardinaalgetal voor.
	Oneindig tegenreëel? Nu een volgende stelling. Er bestaat geen eenduidig reëel getal, zoals er geen eenduidig getal oneindig bestaat. Beschouwen we de decimale opbouw van een reëel getal, bijvoorbeeld met de vraag waar de limiet van het volgende rijtje naartoe gaat: 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ...? Voor iedereen is het "duidelijk", dat gaat naar 0. Wat nu met het volgend rijtje: 0,134685279 0,0134685279 0,00134685279 0,000134685279 0,0000134685279 ...? Gaan beide rijen naar 0? "Natuurlijk" zeg je. Maar ik: een reëel getal is slechts "op oneindig" te onderscheiden van een rationaal getal. Dus zijn er ook reële getallen die slechts op oneindig "niet nul" zijn, en ik toon er hier enkele. We schuiven ons "venster" nog eens naar "oneindig": (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....0000000 (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....00000011111111111 (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....000000122222222222222 (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....00000000.....(0-en tot oneindig....) [Het kan niet "nuller" zijn dan dat ;-] (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....00000011111111111.....(1-en tot oneindig....) (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....000000122222222222222.....(2-en tot oneindig....) (allemaal nullen achter een komma "op oneindig-links")....000000005405156468451.....(chaotisch tot oneindig....) Je kan dus de hele ontwikkeling van een rationaal getal als nul (en a fortiori, van een "meteen al na de komma" chaotisch getal) niet gebruiken ter onderscheid ervan met andere getallen die "slechts op oneindig" ervan verschillen. Algemeen: er bestaat geen uniek reëel getal op het einde van een limietreeks. Zoals er geen uniek oneindig getal op het einde van de reeks natuurlijke getallen bestaat. En als je dacht dat het daarbij stopte: laten we ons venster vanuit "oneindig-hier" opnieuw naar "oneindig-rechts" verschuiven: (oneindig rijtje nullen achter een komma)....0000000000000...(oneindig rijtje nullen....)....0000011111235645284.....(.......)
	Oneindig meetkundig en fysisch? Zijn we al onzeker over de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, en in gelijkaardige mate onzeker over de uniciteit (of densiteit) van de reële, irrationale getallen, dan betreft dat louter rekenkundige en algebraïsche objecten. Andere onzekerheden bestaan en beslaan andere wiskundige disciplines. Degene die ons hier aanbelangt is de meetkunde. Die bepaalt en beschrijft meetkundige lijnen. De wiskunde doet vervolgens met de algebraïsche lijn een grote vondst: namelijk een (vermeende) bijectie te realiseren tussen de meetkundige lijn en de reële getallen. Mijn bedenking: dat is slechts een illusoire gelijkenis, een kwestie van louter afspraken. De meetkundige lijn is zo oneindig "dicht" of "lek" als je je maar wil inbeelden. Lijn en getallen vertonen praktische overeenkomsten maar over hun respectieve oneindigheden gedragen ze zich "autonoom". Ze gedragen zich overigens ook anders bij pogingen om hun elementen aan te duiden. Getallen moet je noemen. Welnu, de reële kunnen niet in een eindig bestek worden genoemd, dus dienen ze met limietreeksen benaderd te worden en verdwijnen in "opsomlijstjes" steeds weer "naar oneindig". Op de meetkundige lijn kan je echter voor de vuist weg (of in een zorgvuldige constructie) elk willekeurig punt aanprikken. Maar je kan wel niet zeggen welk punt het is als het met een irrationaal getal zou overeenstemmen, en evenmin "het punt ernaast" aanprikken. Je kan dan weer wel "in een oogwenk" over alle punten heenfietsen, wat met de reële getallen niet wil lukken. Maar hoeveel punten er zijn, is een onafhankelijke hypothese van die, hoeveel getallen er zijn. En tenslotte is er de fysische ruimte. Hoeveel punten een lijn in de werkelijke ruimte om ons heen heeft, kan onderwerp zijn van fysisch onderzoek, maar die vraag is te allen tijde onafhankelijk van de vraag over het aantal punten op de meetkundelijn én van die over het aantal reële getallen. Het gaat om drie verschillende verzamelingen die slechts een (al dan niet toevallige) gelijkenis vertonen.
	Oneindig oneindig? Nog een toemaatje over het "afsluiten" van Cantors verzameling alefs. Het moge in de wiskunde vaak een kwestie zijn van afspraken om te bepalen wat tot de bestudeerde "werkelijkheid" behoort, ongeacht de wereld "daarbuiten". Het lijkt het me in het geval van de natuurlijke getallen nochtans eerlijker om te aanvaarden dat de oneindige werkelijkheid ervan niet te vatten is. En zoals getoond bestaan er construeerbare oneindige werkelijkheden (getallen) "voorbij" de natuurlijke getallen, maar niet op de manier van een vermeende kardinaliteit en een rijtje alefs. (p 146) At any rate, Cantor put forward the hypothesis that there was a series of alephs to describe higher and higher orders of infinity.... Toe maar, nog een hypothese? Wat betekent het rijtjes alefs van Cantor? Trouwens, waarom een rijtje en geen continuüm of iets anders? En waarom begrensd door een alef0 (die volgens mij niet bestaat) en niet bijvoorbeeld onbegrensd naar beneden? Maar gesteld dat Cantors alefs bestaan: hoever gaan ze door? Tot in het oneindige natuurlijk zegt u (tiens, zoals de natuurlijke getallen). Voorzover ik er iets van begrijpen kan volgt hier een paradox op de oneindige getallen, ontdekt door Burali-Forti. Paradox die men net zo goed op de natuurlijke getallen kan toepassen, wat ik erna dan ook even herdoe en wat neerkomt op mijn betoog hiervoren. (p 179) Burali-Forti considered the entire succession of ordinal numbers. He noticed that this set had to contain an ordinal number greater than all the ordinal numbers [uhh???]. But by definition the set of ordinal numbers must contain all ordinal numbers and to every such number one could be added. Therefore, there can be no set containing all ordinal numbers. By an extension of Burali-Forti's idea, it can be shown that there can be no greatest aleph. (...) In Zermelo's foundation for set theory based on Cantor's work, the problem raised by Burali-Forti is solved by assuming that the set of all ordinal numbers simply does not exist. Zoals ik zei: [uhh???]. Mutatis mutandis lees ik hier: er kan geen grootste natuurlijk getal zijn, dus de verzameling van alle natuurlijke getallen kan eenvoudig niet bestaan. Dat is zowat mijn stelling hierboven. Overigens, wat let een of andere Cantor in het kwadraat om dan maar een transfini-transfiniet getal (Beth?) te hypothetiseren als kleinste oneindig-oneindig groot getal voorbij de alefs? Met een nieuw rijtje Beth(n) 's gepaard natuurlijk. Tenzij men ondertussen doordrongen is van een standpunt vergelijkbaar met het mijne en gaat argumenteren dat er weliswaar geen unieke Beth0 kan bestaan maar wel een oneindige bende alef-oneindigs, bijvoorbeeld: alef111111111111111111.............. alef135173541612385497................. enzovoort. Veel piekerplezier!