Wugi's Verzamelaar en Verzamelleer Verzamelingen, stellingen, en hun waarheid- Sets, statements, and their truth Guido "Wugi" Wuyts @ Dilbeek, Belgium, Europe, World, Solar System, Milky Way, Local Cluster, ... |
|
|
|
(Be)spiegelingen over verzamelingen en uitsprakenlogica
De
verzamelaar en de verzamelleer De
verzamelingenleer is een van de fundamenten van de
wiskunde. Als die op zijn grondvesten gaat daveren is er
dus wat aan de hand. Dat gebeurt wanneer er paradoxale
eigenschappen of essentieel tegenstrijdige uitspraken
over opduiken. Die blijken ook hun tegenhangers te
hebben in het domein van de logica. Sommigen zoals B.
Russell hebben daarvan hele verzamelingen (!) aangelegd.
Hier doen we enkele oefeningen om te proeven van wat er
zoal verkeerd kan lopen bij het manipuleren van
verzamelingen, en waarom. Twee
basisbegrippen van de verzamelleer zijn, verzameling en
element. In den beginne is er een element e. Daarmee kan
je vervolgens een verzameling V definiëren: V =
{e,*}. (Lees
daarbij ", *" als: "en eventuele andere elementen";
impliciet bij te voegen in de meeste
verzamelingdefinities hierna, ook de geneste). In
principe kan zowat alles element van een verzameling
zijn. En een verzameling kan zelf element worden, een
element zelf een verzameling zijn. Maar
er zijn restricties, en niet zo'n onbelangrijke. De
definitie van een verzameling en die van haar elementen
mogen niet van elkaar afhangen, in elkaar grijpen. Er
moet een ondubbelzinnige "externe productieregel" voor
elk element zijn, onafhankelijk van de verzameling waar
het bij gevoegd wordt. Binnenin haar eigen definitie kan
een verzameling dan ook geen element zijn van zichzelf,
en een element kan niet zijn bezittende verzameling
beschrijven: !
V =
{e} en e = V kunnen niet tegelijk gelden, noch !
V = {V}. De
gelijkheid op elementniveau wordt verhinderd door de
gelijkheid in de verzamelingdefinitie en omgekeerd. De
accolades { } vormen een scheiding tussen twee
begripsniveaus "verzameling V" en "element e", zodat een
object niet tegelijkertijd deze twee niveaus kan
bezetten. Een
verzameling heeft wel deelverzamelingen, en is namelijk
haar eigen grootste deelverzameling. Maar deze worden
gedefinieerd op hetzelfde accolade-niveau als de
verzameling zelf. Voor een deelverzameling D geldt D Ì V, en
dus ook V Ì V.
Maar ! V Î V is
"verboden" voor verzamelingen, in tegenstelling tot e Î {e}
en V Î {V}. Deze
scheiding dient ook in cascade (of in ketting, of
genest) gehandhaafd. Zo kan je twee verzamelingen
definiëren: A =
{B}, B = {C}, maar daarbij kan niet ! C =
A worden gesteld, want A = {{C}}; en ook niet ! C =
B, want B = {C}. De ketting A, B, C kan onbeperkt worden
verlengd, maar elke volgende schakel kan niet met enige
vorige worden gelijkgesteld ; een D
van C = {D} kan
geen A, B of C zijn, enzovoort. In de
gewone omgangstaal daarentegen kunnen vlotweg
eigenaardige en zelfs paradoxale verzamelingen worden
"gedefinieerd". Zoals we net nog zagen, kan dat
eigenlijk zelfs met formele taal, maar dan met een
overtreden van de niveauregel: A =
[A] A =
[[{A}]] B =
[A] en A = [B] Zulke
verzamelingen, waarvan we de definities tussen
[vierkante haken] zullen plaatsen, leiden een louter
taalkundig bestaan: een bestaan dat we "formalastisch"
zouden kunnen noemen t.t.z. het taalformalisme
misbruikend. Dit ter onderscheid met de formeel correcte
status van een wiskundige verzameling, die zoals
gebruikelijk tussen {accolades} wordt voorgesteld. De
paradoxen die uit [verzamelingen] kunnen voortvloeien
zijn taalkundig, niet wiskundig van aard. Toch zien ze
er soms bedrieglijk wiskundig uit, en hebben menigeen al
verbijsterd. Voorbeelden
van taalzamel: [een
witte verzameling] (wit
is geen eigenschap van verzamelingen, eventueel wel van
elementen) [de
derde verzameling] (gegeven
twee verzamelingen. Zie het grapje "Welke (van beide)
kies je?" "De derde!") [een
verzameling van elementen die niet tot deze verzameling
behoren] (is
tegenstrijdig, maar elementen zijn niet gedefinieerd
buiten de verzameling om) [een
verzameling die zichzelf als element heeft] [een
verzameling van verzamelingen die zichzelf als element
hebben] [de
verzameling van alle ideeën] (is
zelf een idee). Overigens is er geen universele
productieregel om alle ideeën te noemen. Een idee kan
worden "gedacht", er kan aan een idee worden gedacht,
over een idee, aan het denken over een idee... en ook
over het idee van de verzameling van ideeën... Dat geldt
trouwens ook voor de volgende verzameling, een heel
gekende: [de
verzameling van alle verzamelingen] Die
zou zichzelf als element moeten hebben. Dus kan zij niet
bestaan. Er is niet zoiets als een universele
verzameling. Men kan hoogstens verwijzen naar een zo
algemeen mogelijke referentieverzameling. Zou
men het probleem kunnen verhelpen met een herziene
definitie ?{de
verzameling van alle verzamelingen, behalve zichzelf}? Zo
krijgen we een formeel correcte verzameling. Blijft het
feit dat er geen universele productieregel is om alle
elementen te noemen, laat staan om alle verzamelingen
daarover te definiëren. Het is dus eigenlijk een grote
bak waarin je alles mag stoppen wat je aan samenhangende
verzamelingen kunt bedenken, zonder de bak ooit te
kunnen vullen. Bertrand
Russell creëerde met [de
verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als
element hebben] de
volgende paradox. Indien
deze verzameling zichzelf als element zou hebben, is ze
zo'n verzameling die niet zichzelf als element heeft wat
in tegenspraak is; en indien ze zichzelf niet als
element zou hebben, hoort ze bij de verzamelingen die
element van zichzelf zijn wat ook in tegenspraak is.
Maar zoals we nu weten, bestaan laatstgenoemde
verzamelingen eigenlijk niet en vormen samen niets
anders dan de ledige verzameling; de verzameling van
Russell wordt dan gelijk de universele verzameling, en
die bestaat niet. De paradox is taalkundig, niet
wiskundig. Ook
hier kan men er toch uit proberen te raken door de vraag
waar de verzameling thuishoort ten opzichte van
zichzelf, te stellen vóórdat men de verzameling "finaal"
definieert, en in die definitie de verzameling zelf te
onderscheiden van "alle" overige elementen. Stel,
ze is geen element van zichzelf, dan moet de definitie
eigenlijk luiden: ?{de
verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als
element hebben, met uitsluiting van zichzelf} Is ze
echter wel een element van zichzelf, dan wordt de
definitie: [de
verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als
element hebben, én met zichzelf erbij] Deze
laatste kan niet bestaan, want heeft zichzelf als
element. Het is eigenlijk andermaal de universele
verzameling, immers erbuiten bestaan er ook geen
verzamelingen met zichzelf als element. De eerste is de
herziene universele verzameling, verbeterd met de
clausule "behalve zichzelf". De
universele verzameling is een voorbeeld van waar er in
de wiskunde paradoxen op de loer liggen, en wel door het
gebruik van het woordje "alle": een heel verraderlijke
(maar intuïtief o zo aantrekkelijke) hefboom voor
definities van verzamelingen, maar bijvoorbeeld ook bij
stellingen allerhande, waarover later meer. De
verzameling van Russell toont de subtiele wijze waarop
verzameling- en element-definities in elkaar kunnen
grijpen zodat minstens een element niet expliciet,
buiten de verzameling om, is gedefinieerd. Wat maakt
eigenlijk een goed element? We
zagen dat een verzameling haar bestaan ontleent aan dat
van een of meer elementen (met inachtname van de nodige
omzichtigheid): "in den beginne is er het element". Wat
is nu de bestaansinhoud van zo'n element? Men is geneigd
te stellen: elk bestaand object kan element zijn van een
verzameling. Zijn het object en het element dan
hetzelfde ding? Niet dus. Een
object leidt een eigen bestaan, dat zich kan afspelen in
de fysieke ruimte en tijd, of zelfs in onze collectieve
of jouw persoonlijke geesteswereld. Dat bestaan
manifesteert zich buiten welkdanig voornemen ook, om het
object in kwestie als verzamelelement te beschouwen. Een
verzamelelement bestaat slechts bij gratie van de wil om
het bij een verzameling te betrekken (wel, volgens
sommigen bestaan wiskundeobjecten zoals verzamelingen
ook wanneer ze niet door iemand worden gedacht). Eenmaal
"gewild" kan het element evenwel een onbeperkt aantal
malen verschijnen in een onbeperkt aantal verzamelingen.
Een
element IS dus niet het object, het is een subjectieve
verwijzing naar een objectief object, een naam voor een
ding. En het bestaan van de naam hangt niet af van het
bestaan van het ding. Ik kan
onbestaande dingen noemen: de
eenhoorn, de vierkante cirkel, de leider van de
Martianen, mijn spiegelbeeldige zelf, mijn antimateriële
zelf, mijn volgende reïncarnatie, de dichtste reële buur
van het getal nul, de dichtste rationale buur van het
getal pi. En
vermits onmogelijke dingen genoemd kunnen worden, kunnen
ze ook elementen zijn van een verzameling. Of elementen
kunnen slaan op onmogelijke dingen. Anderzijds zijn er
bij mijn weten geen onmogelijke elementen, zijn er dus
geen dingen die niet als element van een verzameling
kunnen worden gedacht (er zijn wel onmogelijke relaties
element-verzameling). Voorbeelden
van verzamelingen van onmogelijke dingen: {10
mythologische figuren} {20
onmogelijke meetkundige figuren} {de
naaste reële buren van 0 en pi, en de natuurlijke wortel
van 2} Je kan
steeds wel de nodige elementen van deze verzamelingen
bedenken. Daartoe moeten die elementen verwijzen naar
objecten waarvan het bestaan of het niet bestaan
vastgesteld kan worden buiten het definiërend
formalisme om, waarmee element en verzameling worden
verbonden. Verzamelingen
zelf kunnen onmogelijk zijn. We noemden er al enkele.
Andermaal: de
verzameling van [zichzelf] is een onbestaand wiskundig
object. Dat
zijn ook de verzamelingen van: [alle
ongeboren mensen] [alle
onbestaande elementen] [alle
onmogelijke verzamelingen] Er is
hier namelijk geen universele productieregel voor -alle-
onbestaande dingen. Zulke onbestaanbare verzamelingen
kunnen, zoals elk ander object, op hun beurt als
onbestaand ding verzameld worden: {30
onmogelijke verzamelingen} Men
zegt o zo makkelijk: zij deze appel een element a van
verzameling A. Een
appel is, maar hij is geen element van een
verzameling. Hij trekt zich niets aan van wat onze geest
met het beeld van de appel aanvangt. Wij maken een
abstractie "de appel" van de appel, en daarvan maken we
een verdere abstractie "element van een verzameling". De
appel zelf is een object dat een cyclus van
bestaansvormen doormaakt: nog niet gevormd, bloem,
bevruchte bloem, kiem, groeiend, al dan niet volgroeid,
van de boom gevallen of geplukt, in de schuur, in de
winkel, in de fruitschaal, onrijp, rijp, rot,
opgegeten... Een geheel van moleculen, atomen,
elementaire deeltjes en straling,... Een structuur met
een schil, vruchtvlees en een kern met pitten,... Een
ding met smaak zus en kleur zo, met gewicht x,
waterinhoud y% en met N erop en erin levende organismen,
dat alles op een gegeven moment t... "De appel" maakt
abstractie van deze aspecten, maar elk daarvan kan zelf
weer aanleiding geven tot een geestesbeeld, en verderop
tot een element-definitie. Bovendien krijg je naast elk
mogelijk element "de appel" het algemeen begrip "Appel"
zonder verwijzing naar een specifiek exemplaar, en ook
dat kan element worden voor een verzameling. Eén
element? Is er wel één begrip "Appel"? De Appel als
eetwaar, in de schilderkunst, in de bijbel, in de
literatuur, in de landbouwsector, in de economie, in de
geschiedenis, in de beschouwingen over de verzamelleer,
als louter abstract idee omwille van niets anders... En
dan hebben we het nog nauwelijks over het aspect van de
Tijd gehad. De appelen van de toekomst, de Appel van de
toekomst, en zelfs die van het verleden, zelfs van het
heden: niemand "kent" ze of kent ze allemaal, dus er kan
geen "volledige" verzameling van worden vastgelegd, kan
die verzameling dan "bestaan"? En dan heb je nog de
twijfelgevallen... wanneer houdt een appel op appel te
zijn? Een onvolgroeide, een verkankerde wildgroei. Of op
het pad van de evolutie: wanneer heb je al een
appelboom, en wanneer heb je nog een "rozelaar"?
Het begrip appel is, zoals alle levensvormen, niet
scherp genoeg gedefinieerd om zich ondubbelzinnig af te
bakenen van verwante begrippen. We
moeten ons er maar bij neerleggen dat we nooit alle
elementen kunnen "produceren", dat de term "alle
elementen" een chimere is. En dan ook de term "alle
verzamelingen". Laten we dus, ons beperkend tot een
fysiek of geestelijk wezenlijk element, eens onderzoeken
hoe zo'n element een verzameling kan aankleden. Een
element "de appel" kan namelijk eenmalig, maar ook bij
herhaling optreden in de definitie van verzamelingen,
zelfs binnen die van één verzameling! Dit doet de vraag
rijzen: hoe rijm je de uniciteit van een element met
zijn herhaald gebruik? Is het dan nog eenzelfde element,
of zijn het klonen van eenzelfde element, of zijn het
verschillende dingen die je van elkaar kan
onderscheiden? Een
onderscheidend principe moet blijven bestaan, namelijk:
elke manifestatie van een element in een of meer
verzamelingdefinities moet onderscheidbaar blijven wat
betreft zijn plaats of "niveau". Je kan twee dezelfde
element-"klonen" niet gewoon naast elkaar zetten. Wel
kunnen ze bijv. verschillend ingebed liggen in een of
meer verzamelingen. Zij a
= "de appel". De
verzameling {a} is goed gedefinieerd, maar [a,a] is geen
correcte definitie. Wel kan je zeggen dat je twee keer
aan a denkt, maar dan maak je een nieuw denkbeeld
"gedachten aan a", waarvan er dan verschillende
"verzameld" kunnen worden: {a',a"}={eerste
en tweede gedachte aan a} Anderzijds
is {a,{a}} opnieuw goed gedefinieerd, want eenzelfde
element speelt een rol op 2 verschillende niveaus. Definieer
nu volgende verzamelingen: {a} {a,
{a}} {a,{a},{a,{a}}} {a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}}} Het
element "de appel" vermenigvuldigt zijn bestaan op
duizelingwekkende wijze. Is het mogelijk (en nodig?) om
al die verschijningen "a" van elkaar te kunnen
onderscheiden? Zien we hier een voorbeeld van waar het
probleem van het fameuze Keuze-axioma om draait? Ik laat
deze vraag maar open... Wat
alvast niet kan, is om dit proces ONbeperkt, "tot in
oneindig", voort te zetten: [a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}},{a,{a},{a,{a}},{a,{a},{a,{a}}}},
...] Het
"oneindigste" element hiervan is immers deze
[verzameling] zelf, of nog: de [verzameling] pakt
zichzelf als "oneindigste" element in, en verliest
daarbij zijn wiskundige natuur. Zulk
procédé wordt nochtans gebruikt om de verzameling
natuurlijke getallen op te bouwen, steunend op een
element a = de ledige verzameling. Hieruit besluit ik
dat men weliswaar elk natuurlijk getal op deze wijze kan
construeren (als aantal elementen van een eindige
verzameling), maar niet het een of ander getal "omega"
of "oneindig" dat aan de limiet de natuurlijke getallen
staat op te wachten (want de oneindige
[limietverzameling] is wiskundig onbestaande, en kan dan
ook geen oneindig aantal benoemen). Zie het thema over
het getal oneindig, verderop. Het
kan nog erger. Definieer volgende verzamelingen: {a} {a,{a}} {a,{a,{a}}} {a,{a,{a,{a}}}} Onbeperkt
voortzetten leidt tot: [a,[a,[a,[a,[... ...]]]]] Elk
onderdeel [...
...] is identiek aan de [moederverzameling], die
dus een "oneindig" aantal keer als element in zichzelf
genest ligt. Je kan
een verzameling niet fractaal inbedden in zichzelf,
zonder de wiskundige aard van de verzameling te
verliezen. Bestaat
de keuze waar/onwaar altijd? Wat
maakt een uiting van de geest tot een bewering, een
stelling, een uitspraak over iets? Zijn een bewering, en
de stelling dat die bewering waar is, hetzelfde? Over
deze vraag even nadenken, en het antwoord is neen.
Gegeven een stelling (s), dan is de stelling "s is waar"
een nieuwe stelling, net zoals de stelling "s is
onwaar". Stellingen die over het waar-zijn van andere
(moeder-) stellingen gaan zullen we dochter- of
meta-stellingen noemen. In
eerste instantie, in den beginne, is er evenwel een
basis- of oerstelling s die niet over het waar zijn van
een stelling gaat, ook niet van zichzelf (die laatste
bewering zit wel impliciet ingebakken in het expliciet
beweerde). Waarover zo'n stelling dan wel gaat: over
"iets" in de buitenwereld, over objecten daarin en hun
onderlinge relaties. Het
waar zijn of niet van een meta-stelling volgt mechanisch
uit het waar zijn of niet van de moeder-stelling,
volgens elementaire uitspraken-logica. Maar het waar
zijn of niet van een basis-stelling volgt uit een
consensus over waarnemingen van een stuk buitenwereld.
Het is geen resultaat van uitspraken-logica. Laat
ons nu vertrekken van zo'n oerstelling a, die iets over
"de wereld daarbuiten" beweert. Deze stelling genereert
nu een onbeperkte reeks metastellingen, als volgt: a
(bijv. a = "alle mensen zijn sterfelijk") "a is
waar" ""a is
waar" is waar" """a
is waar" is waar" is waar" ... Maar
ook: a "a
onwaar" ""a
onwaar" onwaar" """a
onwaar" onwaar" waar" ... en: """a
waar" onwaar" onwaar" """a
onwaar" waar" onwaar" ... waarvan
allemaal kan worden onderzocht of die weer waar of niet
waar zijn. Stel
dat we "is waar" als 1 schrijven, en "is onwaar" als 0,
en zij x de waarheidswaarde van de stelling a zelf (a
geeft zichzelf impliciet een 1, maar een expliciete
waarneming kan bij consensus een 1 of 0 opleveren). Al
de genoemde stellingen nemen zo de volgende vormen aan: x; x1;
x11; x111 ... x; x0;
x00; x001 ... x100;
x010 ... een
willekeurige stelling: x011100100010010101011101010001... Er
zijn evenveel zulke "eindige" stellingen als er
natuurlijke getallen zijn. Daarbovenop zijn er evenveel
"oneindige" stellingen als er reële getallen zijn (in
binaire ontwikkeling tussen 0 en 1). En vanaf het waar
zijn of niet van a (vast te stellen buiten de logica),
zijn er ware en onware meta-stellingen, "ware en onware
getallen" (vast te stellen binnen de logica). Niet
van alle oneindige meta-stellingen echter kan de
waarheid getoetst worden: die overeenstemmend met
irrationale getallen (niet repeterende reeksen enen en
nullen "tot in oneindig") blijven onbeslist. In feite
geldt dat voor alle getallen die tot in het oneindige
nullen kunnen bevatten, ook de rationale getallen met
nullen in hun repeterende reeksen. Enkel getallen die
vanaf een bepaalde rang alleen nog enen hebben zijn
beslisbaar. Inderdaad,
in een ketting 11111..., hetzij """"...
is waar" is waar" is waar..." heeft elke schakel
dezelfde toestand, waar of onwaar, als zijn voorganger.
Dus ook de volledige ketting. Maar
in een ketting waarin onbeperkt de schakel ...0...,
hetzij "...
is onwaar" kan optreden, alterneren zulke schakels
telkens weer tussen een toestand van waar zijn en een
van niet waar zijn. In de limiet is geen van beide
toestanden permanent, en de toestand van de volledige
ketting blijft onbeslist. Een
andere manier waarop het onderscheid waar/onwaar in een
patstelling komt is, wanneer de stelling a, in plaats
van objecten in de buitenwereld, als object zichzelf
neemt. Een stelling die zichzelf in de staart bijt
a.h.w. We
komen dan terecht bij de leugenparadox. Zolang
a over fenomenen buiten zichzelf gaat is er geen
probleem, zoals bvb. a =
"alle mensen zijn sterfelijk". Maar
wat met a = "a
is onwaar" ? Het
besluit "a waar" zou dan betekenen ""a is onwaar" is
waar", dus "a onwaar", terwijl "a
onwaar" oplevert ""a is onwaar" is onwaar", hetzij "a
waar". Om
waar te zijn moet a onwaar zijn, en omgekeerd: er is een
tegenstrijdigheid. Stelling a lijkt dus niet te kunnen
bestaan, of tenminste geen toestand te kennen van waar
of onwaar zijn. Het is een paradox. Waarom? Een
meta-stelling "a is onwaar" neemt de tegentoestand aan
van de stelling a waar ze op teruggrijpt. Wanneer zo'n
stelling dat echter op zichzelf gaat toepassen wil ze
haar eigen toestand tegenspreken! Maar is het dan nog
een echte stelling, of enkel een van betekenis ontblote
taalspitsvondigheid? Dat laatste lijkt me het geval. Zo'n
stelling is als een acteur die verschillende rollen wil
spelen van personages die weliswaar met elkaar moeten
dialogeren. Een meta-stelling a zegt dat een stelling a
onwaar is, en stelling a zou iets moeten beweren over
een buitenwerelds object a. Maar
er ís zo geen object a dat aan een "objectieve" waarheid
getoetst kan worden, er ís geen basisstelling a over
zo'n object, er is alleen een [meta-stelling a] die zich
van de wereld van basisstellingen heeft afgesneden door
naar zichzelf te verwijzen. Het is een "formalastisch"
monster in de wereld van de logica, zoals de
[verzameling die zichzelf als element bevat] in die van
de verzamelleer. En
zoals bij de [verzamelingen], kunnen ook
[meta-stellingen] elkaar in de staart bijten. Aldus: [a =
"b is onwaar"] [b =
"a is waar"] Ook
hier de paradox: om waar te zijn, moeten a en b onwaar
zijn. Laten we nogmaals de logische niveaus expliciet
vermelden. Meta-stelling a is waar als stelling b onwaar
is, dus als object a onwaar is. Of meta-stelling b is
onwaar als stelling a onwaar is, dus als object b waar
is. En, mutatis mutandis, nog twee andere formuleringen.
Maar
wat zijn de objecten a en b? Er zijn er geen, en er zijn
ook geen basisstellingen a en b over. Er is alleen een
vals paar [meta-stellingen], zoals eerder A = [B] en B =
[A] een vals paar verzamelingen vormde. De
logici hebben, of maken, naar verluidt minder problemen
met stellingen als: a = "a
is waar", of nog a = "b
is waar" en b = "a is waar", of a = "b
is onwaar" en b = "a is onwaar". Hier
volgen inderdaad geen paradoxen uit. Ze kunnen
schijnbaar vredig naast elkaar (of zichzelf) bestaan, in
waarheid of onwaarheid. Toch zijn het even
"wereld-vreemde" stellingen, zonder toetsingscriterium
in de buitenwereld. Kan
een leugenaar van zichzelf zeggen dat hij liegt? Ja,
maar dan doet hij de op hem slaande definities, namelijk
hijzelf als zijnde "iemand die steeds onwaarheid
spreekt", of zijn uitspraken als een verzameling
{leugens}, in elk geval teniet. Die definities worden
namelijk onvolledig of onjuist in het licht van zijn
jongste uitspraak. Stel
dat hij het over zijn vroegere uitspraken heeft: "Ik
loog". Dan is
er geen paradox. Er kan immers in principe en objectief
nagegaan worden of ie liegt met zijn bewering dat hij
liegt (zo ja, dan sprak hij vroeger wel eens de waarheid
en was dus geen leugenaar) of, integendeel, de waarheid
spreekt (dan was hij vroeger inderdaad een leugenaar,
maar met zijn huidige uitspraak niet). Spreker is dus
niet langer beperkt tot leugens: de hem betreffende
definities dienen herzien. Het
wordt helemaal staartjebijten als hij zich uit komt te
spreken over wat hij op het ogenblik zelf beweert: "Wat
ik nu zeg is gelogen". Deze
uitspraak is onbeslisbaar, en alle meta-uitspraken
erover meteen ook. Er is een paradox. Maar er is dan ook
geen zuiver-op-de-graat-uitspraak. Hij gaat over
zichzelf en levert geen falsifieerbaar criterium dat,
buiten de uitspraak om, op waarheidsgehalte getest kan
worden. Hij is als een element dat zichzelf tot zijn
opsommende verzameling opblaast, of als een verzameling
die niets anders opsomt dan zichzelf... Het is wel een
taalkundig correcte zin, maar geen stelling. Dus ook
geen leugen: de definities dienen herzien. En de paradox
verdwijnt. Het is
het vasthouden aan (eerder gedane) definities in het
licht van nieuwe stellingen (of onfalsifieerbare
"zinnen") dat leidt tot paradoxale of pre-paradoxale
situaties. Het volstaat de definities aan te passen. Er
zijn overigens genoeg zinnen die geen stelling zijn.
Vraagzinnen bijvoorbeeld: Regent het? Wie is dat? Is die
stelling waar? Of een gebod: spreek! Niet roken. Van die
zinnen op zich stel je niet de vraag of ze waar zijn. En
wat met sprookjes: er was eens... Als de leugenaar je nu
eens opdroeg om de directeur te vragen of hij een
sprookje wil vertellen? Dan heb je geen leugen (meer).
Maar het karakteristieke van de staartbijtzin is wel dat
hij het formalisme van een logische uitspraak imiteert,
het is een "formalasme". De
leugenaar is er andermaal niet enkel toe beperkt
zichzelf in de staart te bijten. Er kan meer dan een
partij in de vicieuze cirkel zitten: A: "B
liegt." B: "A
heeft gelijk." Nogmaals,
als het over hun vroegere beweringen gaat is er geen
probleem tenzij een herziening van de definitie van de
leugenaar(s). Maar
je krijgt de paradox bijv. met: A:
"Wat B nu gaat zeggen is gelogen." B:
"Wat A net zei is de waarheid." Dat is
eenzelfde soort kortsluiting als bij de twee
verzamelingen die elkaar als hun respectieve element
definiëren. En we zijn weer terug bij "kale taal":
zinnen die zich als logische stellingen aanbieden om een
van logische grond gespeende uitspraak te doen. Sommige
leugenparadoxen lijken op de paradox van Russell in de
verzamelleer. Zo is
er de paradox van de kapper: de kapper van het dorp kapt
alle mannen van het dorp die niet zichzelf kappen. Kapt
de kapper zichzelf of niet? Zo ja, dan niet. Zo nee, dan
wel. En
zoals bij de paradox van Russell, bestaat ook de
kappersparadox bij gratie van onvoldoende uitgedrukte
verbanden tussen de verschillende medespelers. In dit
geval is de paradox te wijten aan het onterecht
gelijkstellen van twee verzamelingen, namelijk: K1 =
{mannen van het dorp die niet zichzelf kappen}, en K2 =
{mannen van het dorp die door de kapper gekapt worden}. Dat
kon gebeuren omdat de relatie van het element k =
"man van het dorp die kapper is" tot K1
(of tot K2) niet vermeld werd, laat staan in de
probleemstelling meegerekend. Als dat eenmaal gebeurt,
dan kan K2 correct worden afgeleid van K1 (of omgekeerd)
én van diens relatie tot k. De
uitweg bestaat dan ook, bijvoorbeeld, in het antwoord op
de vraag: Hoort
k in K1 ? Indien
ja (k kapt niet zichzelf), dan luidt de juiste relatie: "k
kapt allen van K1, behalve zichzelf", of K2 =
K1 zonder {k}. Indien
nee (k kapt zichzelf), dan wordt de relatie: "k
kapt allen van K1, én zichzelf", of K2 =
K1 samen met {k}. (Je
kan zoals gezegd de oefening ook doen door de relatie
k-K2 te bekijken en daaruit K1 af te leiden.)
|