Guido "Wugi" Wuyts @ Dilbeek, Belgium, Europe, World, Solar System, Milky Way, Local Cluster, ...

Stelling van Poincaré.

Kan iemand mij vertellen waar ik als geïnteresseerde leek omtrent fysica en wiskunde met mijn -niet zo weinige- vragen terechtkan? Ik heb bijvoorbeeld al de vraagbaak "Ask the experts" van Times Magazine geprobeerd, maar die lui reageren gewoon niet. Misschien is dit hier overigens een geschikte discussiegroep daarvoor. Laat ik alvast een voorbeeldvraagje geven.

De genaamde "stelling van Poincaré" beweert dat een fysisch systeem (gesloten? Ook het universum?) na een eindig tijdsinterval cycleert, dit wil zeggen in een vorige toestand terugkeert, zodat van dan af de hele film van zijn afwikkeling weer doorlopen wordt: het repeteert.

Dient men deze stelling als bewezen te beschouwen? En wat zijn de eventuele beperkingen van deze beschrijving? De stelling lijkt me alvast te zondigen tegen de wet van de entropie. Het enige wat deze wet statistisch toelaat is dat er ooit toch eens een fluctuatie "naar meer orde" mogelijk is, zodat er lokaal eilanden van nieuwe orde kunnen ontstaan. Niet dat het hele geval noodzakelijk weer in een toestand van vroegere orde terugkeert. De stelling zondigt ook tegen de chaostheorie waarvolgens geen enkele starttoestand voldoende precies beschreven kan worden om na verloop van tijd niet willekeurig ver af te wijken vanaf twee willekeurig nabije startsituaties.

Bovendien kan men zeer eenvoudige tegenvoorbeelden bedenken. Stel u een enkel gasmolekuul voor dat zich beweegt in een vlakke cirkelvormige ruimte, waar het volkomen elastisch weerkaatst tegen de wand. De impactpunten op de cirkelwand omvatten een constante booghoek. Indien deze hoek zich rationaal verhoudt tot 2pi, zal een impactpunt na een eindig aantal N impacts opnieuw worden "bezocht": het systeem cycleert, en slechts N punten van de cirkel worden getroffen. Is de verhouding echter irrationaal, dan keert het molekuul nooit weer in eenzelfde punt, maar bezoekt op een chaotische wijze steeds weer andere punten op de (ganse) cirkel: het systeem cycleert nooit.

Dus: dient men Poincaré als "bewezen" te beschouwen?

1. > Ik neem aan dat hier de stelling bedoeld wordt die in het engels bekend staat als "Recurrence Theorem". Deze zegt niet dat een toestand zich exact zal herhalen, maar zegt dat een mechanisch systeem na eindige tijd willekeurig dicht bij zijn begintoestand uit kan komen. Ik ken niet de precieze randvoorwaarden waaronder de stelling geldig is. Als een deeltje uit het systeem kan ontsnappen, lijkt me de stelling in ieder geval onwaar.

2. >> (antw. op 1.) Het systeem moet in ieder geval ruimtelijk begrensd zijn. Met een eindige energie is de hele faseruimte dan ook begrensd, waarna het bewijs van de stelling vrij rechttoe rechtaan is: de inhoud in de faseruimte van een gebiedje blijft constant in de tijd, en met een eindige totale inhoud moet dat gebiedje dus wel weer eens zijn eigen baan kruisen.

De tijd die daarvoor nodig is kan echter wel zeer lang zijn (vele malen de levensduur van het heelal), zodat de praktische betekenis van de wet niet zo groot is.

3. >> (idem ..., lijkt me de stelling in ieder geval onwaar)

Dit is in alle gevallen zo:
- Een deeltje kan een quantum-sprong maken door elke barriere.
- Het helaal dijdt uit / onsnapt naar de rand van het heelal.

Volgens mij bestaat er geen "gesloten" fysisch systeem.

4. > Hmmm. Dit soort stellingen zijn over het algemeen inderdaad slechts geldig voor gesloten systemen, en meestal ook pas als t --> oneindig. Maar ik ken deze stelling zelf niet dus ik kan het mis hebben.

(De stelling lijkt me alvast te zondigen tegen de wet van de entropie)
Maar die geldt alvast alleen voor gesloten systemen, en is ook niet absoluut maar statistisch.

(Niet dat het hele geval noodzakelijk weer in een toestand van vroegere orde terugkeert)
Jawel hoor, alleen is die kans heeeeeel klein, oftewel, je moet heeeeel lang wachten.

(De stelling zondigt ook tegen de chaostheorie waarvolgens geen enkele starttoestand voldoende precies beschreven kan worden)
Dat is een incorrecte beschrijving van het begrip chaos. Chaotische systemen zijn klassiek en volkomen deterministisch. Hoewel er natuurlijk een fundamentele grens is aan de nauwkeurigheid van de begincondities, nl. quantumfluctuaties, schijnen de chaosonderzoekers daar niet zoveel interesse in te hebben voor zover ik het kan overzien.

5. > (...van zijn afwikkeling weer doorlopen wordt: het repeteert)
Met wat technische beperkingen: Eindig aantal vrijheidsgraden. Met waarschijnlijkheid een, willekeurig dicht bij iedere gegeven toestand. Een stelling beweert nooit iets, hij is juist of onjuist, en de bij het bewijs gebruikte aannames zijn wel/niet van toepassing.

(Niet dat het hele geval noodzakelijk weer in een toestand van vroegere orde terugkeert)
Dit is al bijna honderd jaar geleden door Ehrenfest uit de doeken gedaan. Zie bv de Ehrenfest biografie van Martin? Klein voor een begrijpelijke, niet technische uitleg. Kijk eens in de oude boeken onder "Wiederkehreinwand", of recurrence paradox of zoiets tegenwoordig.

(De stelling zondigt ook tegen de chaostheorie...)
Ook niet, en een stelling kan niet zondigen. De theorie zegt alleen dat er fasebanen zijn die in het begin exponentieel uit elkaar lopen.

(Bovendien kan men zeer eenvoudige tegenvoorbeelden bedenken...)
Is van maat nul, dus irrelevant. (Opm. O ja? Waarom?)

(Dus: dient men Poincaré als "bewezen" te beschouwen?)
Jazeker, en onder geschikte aannamen is het bewijs zelfs triviaal nl. als de fasebaan dicht ligt in een eindig fasevolume.

6. > Ik heb de 'stelling van Poincare' als naam nooit gehoord, het zegt me niks, en ik kan dus ook geen uitspraak doen over de specifieke waarde van deze stelling.

Maar hetgeen je hier boven aanhaalt is dus duidelijk niet waar, inderdaad omwille het feit dat in gesloten systemen de entropie steeds stijgt, en de toestand dus nooit dezelfde kan zijn. Of de entropie in het universum ook stijgt hangt ervan af of het universum open of gesloten is ... iets waar we niet echt een antwoord op weten.

(De stelling lijkt me alvast te zondigen tegen de wet van de entropie... Niet dat het hele geval noodzakelijk weer in een toestand van vroegere orde terugkeert.)
In boeken die energie- en entropie e.d. behandelen staat die inderdaad ook in. Lokaal kan je wel een entropie-afname vastsstellen (meer orde), maar het omringende gesloten systeem zal een entropiestijging ondergaan (meer wanorde).

(De stelling zondigt ook tegen de chaostheorie...)
Hmm, heeft dat hier iets mee te maken?

(Bovendien kan men zeer eenvoudige tegenvoorbeelden bedenken... het systeem cycleert nooit)
Behalve als je het simuleert op computer, want daar bestaan geen irrationele getallen, en zal het systeem dus wel cycleren ;-)

(Dus: dient men Poincaré als "bewezen" te beschouwen?)
Kan iemand een meer preciese omschrijving van de stelling geven vooraleer tot verdere discussie over te gaan?

7. > Als ervaren nieuwslezer van be.science kan ik U verzekeren: U bent in de goede nieuwsgroep verzeild geraakt. Welkom in ons midden, zou ik zo zeggen. Spui Uw artikelen maar over onze schermen, wij zullen ze met gretigheid lezen en becommentariëren. Spijtig genoeg zijn niet alle leden van onze familie echte en gedegen wetenschap- pers en er zal ook een hoop zever in Uw postbus terechtkomen... Niet erg: soms volgt er ook een interessant sociaal contact uit.

Echter, als ik van U was, ik zou mij niet beperken tot de nieuwsgroep be.science alleen. Ik publiceer mijn artikelen altijd tegelijkertijd op be.science, nl.wetenschap en fido.belg.wetenschap. Ik weet niet welke mailer U gebruikt maar daartoe hoeft U ook maar, denk ik, zoals ik de nieuwsgroepen die U opgeeft na elkaar in te vullen, gescheiden door simpele komma's. nl.wetenschap is de grootste nieuwsgroep in dit rayon en U misdoet als U deze groep niet gebruikt naast be.science maar U zult er ook een hoop geleuter aantreffen, jammer genoeg.

Ik heb reeds een hele tijd erg veel plezier gehad van deze drie nieuwsgroepen en ik wens U dit ook toe. Over Poincaré kan ik met U niet reden ofschoon zijn stelling mij wel bekend is. Dit mailtje was gewoon bedoeld als welkomstwoord, waarbij ik mezelf heb verheven tot denkbeeldige voorzitter van de vergadering. Dit laatste ben ik echt niet, hoor, maar wetenschap bedrijven kan heel sociaal zijn en het is altijd leuk reactie te ontvangen.

(mijn reply) Ik had inderdaad ook wel de andere groepen opgemerkt en ook nl.wetenschap met mijn berichtje opgezadeld. Daar zijn trouwens al heel wat meer reacties gekomen.
Ik blijf echter op mijn honger zitten omdat niemand een gedetailleerd antwoord geeft
(bv: geldt de stelling enkel in fasenruimten en zo ja, wat is dan zo'n ruimte in het geval van mijn eenvoudig voorbeeld? Is een fase bijvoorbeeld de verzameling toestanden met eenzelfde entropie? Dan kan ik systemen in evenwicht zien als verkerend in een constante fase, maar dat is niet hetzelfde als cycleren tussen verschillende waarden. Enzovoort...)

Bier, suiker en de andere...

(Zie mijn artikel in O, redactie)

(1) > Ik heb zo'n donkerbruin vermoeden dat buitenlanders ons altijd de das willen omdoen met hun theoriën omtrent onze "nationale" drank.

>> Lees eens een boek van "Michael Jackson", de blanke Brit (niet de intussen ook al blanke Amerikaan:) )
Hij wordt beschouwd als een der grootste bierkenners. Die persoon beschouwt onze bieren dus als 'grote bieren ' (uitgezonderd onze pils). Zelfs zo groot dat hij boeken schreef over ons bier.

> Aangaande Pils, wat in feite niet van ons is, spreek ik me niet uit; het enige wat men daarvan kan zeggen : Als men het Duitse Reinheidsgebot hanteert, smaken alle pilsen van Kiel tot Munchen 't zelfde, van welke brouwerij ze dan nog komen ook.

>> Dat is niet helemaal juist hoor. Men mag mout, hop, water en gist gebruiken. Er bestaan veel verschillende soorten mout. Ok, ja. De pilsmouten trekken waarschijnlijk heel goed op een. Maar vooral de hop en het water bepalen een groot deel van de pilssmaak. Het water wordt behandeld, dus ook daar worden de smaken wat dichter naar elkaar toegetrokken. Maar het aantal verschillende smaken van hop zijn niet weg te cijferen denk ik. Bij hoge gisting heeft de gist ook een enorme invloed op de smaak. Bij lage gisting (pils) weet ik het niet.

> Wat die andere -onwaarheden imho- betreft; ik ben een fervent gebruiker van Scotch-Ale en dies meer. Geen suikers, smaakstoffen en andere bij de Britten ? Laat me niet lachen...

>> Dikwijls niet nee. Evengoed als bij ons. (hiemee bedoel ik dan de kunstmatige he)

> BTW Maak ook eens gebruik van Alcohol.bn op Fidonet, misschien krijg je daar meer tegenkanting dan hier in de keuken...

(2) > (over suiker toevoegen in bier) Hier sla je de bal mijns-insziens serieus mis. Het is perfect mogelijk zoet bier te brouwen zonder suiker toe te voegen! Westmalle wordt _niet_ aangezoet! Het wordt gebrouwen op een directe vlam, in tegenstelling tot stoom bij de meeste andere brouwerijen. Door die directe vlam onstaan er hete plekken in de ketel, waardoor de (natuurlijke!) suikers karameliseren. Hierdoor krijgt men wat een toffeesmaak. Bij bleke Westmalle wordt er kandijsuiker bijgevoegd voor de 3e gisting. Dit maakt het bier _niet_ zoeter, aangezien het suiker volledig vergist. Door de (witte in dit geval) kandijsuiker krijgt men een beetje een rum-achtige smaak, en een verhoogd alcoholpercentage. Geen druppel alcohol toegevoegd dus! Voor de andere voorbeelden die je opnoemde: idem. Suiker wordt enkel toegevoegd voor de gisting! vb: bij Duvel wordt dextrose bijgedaan. Dit vergist _volledig_ en laat _geen_ zoete smaak na! Niet vergistbare suikers (diegene die effectief een zoete smaak nalaten), of alcohol wordt bijna nooit in bier gedaan. Chemicalien soms echter wel.

(over teloorgang persoonlijk karakter meeste speciaalbieren en uniformisering pilsen)
Helemaal niet akkoord. Er is een enorme diversiteit aan speciale bieren. Bij pilsen geef ik je echter volledig gelijk.
(over Orval)
Volgens mij HET beste bier:)
(over Geuze)
Ga eens een Gueuze Mort-Subite drinken in de gelijknamige cafee in Brussel. Héél goede gueuze (naam wel waardig). Echter niet te vergelijken met de commerciele gueuze van Mort-Subite. Die is ook aangezoet:(
(over pils)
In Belgie is de pils inderdaad 'het' bier bij uitstek waar meer en meer naar goedkopere (mais) ingredienten gegrepen wordt, wat de kwaliteit natuurlijk doet dalen.

(over: wat doen we eraan?)
Zelf bier brouwen, zoals ik?

(over -te- zoete bieren en de smaak van Jan Publiek)
De zoete bieren zijn er juist gekomen omdat Jan Publiek ernaar vraagt! De meesten daarvan zijn echter niet kunstmatig gezoet. Men kan bier op verschillende manieren 'natuurlijk' zoeter maken.

- Minder hop, meer mout: moet is zoeter, en geeft dus een zoeter bier. De hop maakt het bier bitterder/droger. Door toevoegen van hop met minder alfa-zuren, of door gewoon minder toevoegen van hop, krijgt men dus al een zoeter bier.

- Het brouwproces aanpassen: in het brouwproces is er een fase waar vergistbare suikers worden gevormd, en een fase waar er onvergistbare suikers worden gevormd. Het zijn deze laatste die niet vergisten, en dus als zoetstof achterblijft. Als je nu die eerste fase verlengt, krijg je droger bier, met dezelfde ingredienten!

Dat je liever bitter bier drinkt (cfr Engels), dat is een persoonlijke smaak. Trouwens, engelse bieren zijn ook zoet (cfrm je vergelijkingen), maar over het algemeen bitterder. Groot verschil tussen 'niet zoet zijn' en 'bitter zijn'. Maar omdat je vindt dat onze bieren te zoet zijn, hoef je niet gelijk alle brouwerijen te beschuldigen van het gebruik van kunstmatige zoetstoffen, of het toevoegen van alcohol. Dit wordt zelden gedaan!

Volgens mij zijn bieren zoals Orval, Westmalle (tripple), Witkap, Leffe (tripple), Duvel, en diegene die ik nog vergeet, best bieren waar Belgie mee naar buiten mag komen. Zeker bij te trappistenbieren moet je niet te veel 'gefoefel' verwachten. Echter wel heel wat brouwkunst en ervaring.

Geen perpetuum mobile, maar toch bijna?

Ik voerde ooit een hopeloze discussie met een perpetuum mobile-bouwer omtrent een contraptie die een kettingproces water/lucht moest bestendigen. Het was vrij eenvoudig om aan te tonen dat de arbeidsleverende cyclus (waar hij op rekende) exact verbruikt werd door de arbeidsopslorpende cyclus (die hij straal negeerde), zodat het proces ten eerste geen netto energie leverde, en ten tweede door interne wrijving zou stilvallen.

Anderzijds hoorde ik ooit van manieren om energie te halen uit golfslag, een onuitputtelijke (nu ja...) energiebron.

> Ook al slaag je erin om hieruit een eeuwig durende beweging te creëren, dan nog is het eigenlijk geen perpetium mobile omdat er steeds energie van buitenaf wordt toegevoegd. (windenergie omgezet in golfslag.)

Eerste vraagje: wat voor een soort motor levert dit op?

> Vele mogelijkheden. O.a. geprobeerd:
een golfversterking die golven op laat lopen, een hoger gelegen reservoir in,
deinende eenden die op hun onderlinge beweging lucht comprimeren,
een U buis idem, en diverse andere briljante ideeen.
Helaas alle te duur en te kwetsbaar voor blijvend gebruik. Jammer voor GB, er zou meer dan genoeg golfenergie voor hun hele electriciteitsverbruik zijn.
Het is triest: er is een enorme hoeveelheid onuitputtelijke vrije energie, alleen het vernuft die op rendabele wijze te winnen ontbreekt.

Tweede vraagje: is het toch niet mogelijk een continu energieleveringsproces te bedenken dat gebruik maakt van de drukverschillen tussen, zeg, de lucht op zeeniveau en een diepte van enkele (tientallen) meter onder water? Of trap ik hier in dezelfde val en gaat het om statische toestanden die geen energietransport kunnen onderhouden?

> (1) uit hoogteverschil kan je inderdaad energie halen, maar alleen dan als er iets van boven naar beneden valt.

>> Als er iets van beneden naar boven valt ook. De truc is om dat voor elkaar te krijgen. In water kun je wel iets naar boven laten vallen. Lucht doet dat mn erg goed.

>>> (1) dan moet je wel eerst die lucht naar beneden krijgen, of in een moeras gaan zitten en het omhoogborrelende moerasgas opvangen :)

>>> (2) Ook bij een vallende steen, heb je eerst energie gebruikt om de steen zo hoog te krijgen, die je daarna (met verliezen) weer terug krijgt als hij naar beneden valt. Wil je dus daadwerkelijk energie winnen, dan moet de steen al aanwezig zijn, of moet hij zonder jouw ingrijpen iedere keer terug omhoog komen.... Voor onder water geld uiteraard exact hetzelfde verhaal.

>> over het drukverschil, er is inderdaad een drukverschil tussen het wateroppervlak en een eind onder water.
stop er echter een buis in die aan beide kanten open is, en de buis stroomt vol water, met dezelfde diepte/druk verhouding als het water dat buiten de buis is (communicerende vaten).

>>> Volgens mij wordt *daar mee* iets anders bedoelt.

>> klopt. maar het legt wel uit wat ik bedoel.
stop er een dichte buis in, en er kan niets stromen om energie op te wekken...
Laat je de pijp van boven dicht, gaat erop zitten met 10 man en als die eraf springen moet je eens kijken. (niet met je neus er boven) Je kunt dit ook doen met de pijp aan beide kanten dicht.

>>> *daar* zit hem het probleem. je wint geen energie omdat je er eerst meer energie instopt dan je er later weer uit krijgt.

>> Een touwtje eraan met een anker en dan x meter onder het oppervlak zweeft de dobber op en neer door de golfslag/beweging. Nu nog de wisselende spanning van het touwtje omzetten in transporteerbare energie en klaar. Of een luchtdruk verschil in de half open pijp, maar dat lijkt me niet veel opleveren...???

>>> (1) ook de Kijk gelezen? ;)
ja, dat kan inderdaad, maar de vraag was over het drukverschil an sich, niet over drukverschillen die door golfbewegingen opgewekt worden...

>>>> Eigenlijk ging de vraag over de mogelijkheid van een perpetuum mobile te creeren op de opgesomde manieren. Nu, zelfs al maak je efficient gebruik van golfslag of getijden of zonneenergie, het 'perpetuum' aspect (hoelang het ook bruikbaar kan zijn) is toch relatief beperkt.
Uiteindelijk zal de zon haar laatste adem uitblazen, en zal er van het zonnestelsel niet veel meer overblijven. Weg 'perpetuum' mobile.
Dit mag dan natuurlijk een detail zijn wat betreft nuttigheid voor mensen, maar ik vind dat we niet de indruk mogen wekken dat er werkelijk een perpetuum mobile kan bestaan. Elke vorm van energie is uiteindelijk maar tijdelijk beschikbaar. Je zou misschien kunnen zeggen dat het Universum zelf de enige echte perpetuum mobile is. Een deel daarvan kan dat nooit zijn.

>>>>> (1) Dat lijkt me een rare opvatting, > Of het kan ,of het kan niet.. Zo simpel is het gewoon.

>>>>>> Inderdaad, ons universum heeft gewoon het 'geluk' gehad om met een bijna ridikuul laag entropiegehalte te mogen aanvangen, maar het wordt ouder en ouder en is dus niet reversibel. Moest ons universum op de een of andere manier een pm zijn, is het een kwestie van technologie om een eigen pm te bouwen.

>>>>> (2) Er is hier blijkbaar een misverstandje in het spel: alle opgesomde manieren creeren geen perpetuum mobile, maar zetten reeds aanwezige energie om in een bruikbare vorm. Een perpetuum mobile is een systeem dat meer energie levert dan het ontvangt, en dus in staat is eeuwig in beweging te blijven ondanks wrijving en andere energieverliezen.

>>>>>> (1) Zo'n perpetuum dingetje zou ik best willen hebben, trouwens.

>>>>>>> Helaas, zo'n dingetje bestaat niet, omwille van de wetten van de thermodynamica. Patentbureau's gunnen kandidaat-perpetuum mobile-bouwers zelfs niet eens het voordeel van de twijfel.

>>>>>>>> Zeker wel. Het U.S. Patent office neemt iedere patentaanvraag voor een perpetuum mobile in behandeling, mits er een werkend model bij de aanvraag gevoegd is.

>>>>>> (2) Dat is een definitie van een PM van de 1e soort. Er wordt ook gesproken over een PM van de 2e soort, en dat is een apparaat dat precies aangeeft wat de naam zegt: het blijft eeuwig bewegen zonder dat er energie aan toegevoegd wordt, maar het geeft geen netto rendement. Een PM van de 1e soort gaat in tegen de 1e hoofdwet van de thermodynamica (energiebehoud), een PM van ed 2e soort gaat in tegen de 2e hoofdwet (bij een proces is de verandering in entropie altijd >= 0).

>>>>>>> Gewoon een vraagje:
een electron rond een protonkern, is dat niet PM? Waardoor wordt het afgezwakt? De energiehoeveelheid blijft toch altijd gelijk (cfr QM) ?

>>>>>>>> (1) Dat beweegt niet in de zin van eeuwigdurende rotatie, zoals het primmitieve Bohrmodel suggereert. Uit de QM volgt dat je altijd minimaal een nulpuntsenergie zult hebben. Daarmee kom je op een ander conceptueel lastig probleem. De natuur gedraagt zich op deze tijdschaal namelijk tijdsymmetrisch. Om dit goed te begrijpen met je dan gaan kijken naar de afleiding van de 2e hoofdwet van de themodynamica uit de statistische fysica. Het komt er op neer dat de natuur welliswaar tijdsymmetrisch is, in de zin dat een reactie de ene kant op even waarschijnlijk is als de andere kant op, maar als de ene richting veel meer mogelijke eindtoestanden heeft dan de andere wordt ze daardoor toch waarschijnlijker omdat elke fundamentele eindtoestand even waarschijnlijk is (een, tot nu toe onbetwiste, aanname in de statistische fysica). In het jargon wil dat zeggen dat je moet corrigeren voor de benodigde faseruimte.
Om op het elektron-proton systeem terug te komen: dat is op de extreem lange duur niet altijd stabiel: een extern elektrisch veld geeft bv. in de praktijk alleen lichte een verstoring (Stark effect), maar het systeem wordt er in principe instabiel van. Alleen de tijdsduur waarop het vervalt is enorm.
(Waardoor wordt het afgezwakt?)
Nergens door.
(De energiehoeveelheid blijft toch altijd gelijk (cfr QM) ?)
Uiteraard, energiebehoud is de 1e hoofdwet van de thermodynamica. Hoewel ook die onderhavig is aan een onzekerheidsprincipe.

>>>>>>>> (2) Alles heeft zijn nulpuntsenergie, oneindig ervan veel zelfs, maar omdat de nulpuntsenergie altijd en overal is valt er niets van te winnen.
Het idee dat een electron in een waterstofatoom om een proton rondloopt is een achterhaald waanidee uit de oertijd, dat al veel te lang door luie middelbareschool leraren in leven gehouden is. (Vnl omdat je er een leuk sommetje over kan maken, dat dan weer zo leuk overhoord kan worden.)
De grondtoestand van waterstof is een stationaire ladingsverdeling met impulsmoment nul. Er draait niets, en het electron loopt niet in een cirkelbaan rond de kern.

>>>>>>>>> (1) Nee, het kan ook een ellipsbaan zijn. :-)
Ik heb eens de berekeningen (ik meen van Sommerfeld) gezien die het Bohrmodel aanpasten met o.a. relativistische correcties. Dan is de Schroedingervgl. toch ene heel stuk eenvoudiger (zelfs uitwerking van de Diracvgl. ziet er nog stukken simpeler uit).

>>>>>>>>>> Is dat zo? Volgens mij kan je het niet veel eenvoudiger krijgen dan H=-nabla^2/2m - Z/(4pi.r).

>>>>>>>>> Ik zeg toch juist dat de Schrodingervgl. stukken eenvoudiger is? Hoewel jij ook weer overdrijft, veel eenvoudiger dan een geladen kern met 1 elektron zul je het ook niet krijgen.

>>>>>>>>>> Als je hierop relativistische correcties gaat aanbrengen loop je al gauw tegen storingstheorie aan. Zie Bransden & Joachain, "Introduction to Quantum Mechanics".

>>>>>>>>> En dat is dus, zoals ik net schreef, vreselijk ingewikkeld.

>>>>>>>>>> Nee hoor. De schrodinger verg. is alleen voor niet-relativistische berekeningen. Bovendien is die verg. niet Lorentz-invariant. Voor relativistische berekeningen moet toch echt de Dirac verg, als uitgangspunt nemen. Wist je dat de spin-baan koppeling er direct uit volgt en dat de energie van het waterstof atoom exact te berekenen is, inclusief rel. correcties plus de spin-baan koppeling (L.S). Ook krijg het anomaal magnetisch moment van het electron (g=2) cadeau.

>>>>>>>>> Jazeker, die is bij quantumveldentheorie behandeld.
Er schijnt hier sprake te zijn van een aardige miscommunicatie. Wat ik bedoel is: Er zijn 5 manieren om atomen proberen door te rekenen:

1. Bohrmodel, niet-relativistisch. Redelijk een voudig maar niet helemaal correct.
2. Relativistische correcties toepassen op (1). Beter, maar vreselijk ingewikkeld.
3. Schrodingervergelijking. Beter dan (1), en stukken eenvoudiger dan (2). Of hij, qua resultaten, beter is dan (2) weet ik niet.
4. Diracvergelijking. Relativistische versie van (3). Ingewikkelder dan (1) en (3) maar eenvoudiger dan (2). Omdat deze ook beter resultaten geeft dan (1), (2) en (3) is hij dus zeker te verkiezen boven (2).
5. Volledig volgens het standaardmodel, dus via Feynmandiagrammen of padintegralen. Voor zover ik weet geeft dat voor eenvoudige atomen geen afwijkingen van (4) tenzij je gaat corrigeren voor zeldzame zaken als interacties met W en Z deeltjes.

>>>>>>>>> (2) a: Er zijn 2 soorten PM. 1ste soort zegt dat er energie te winnen is, 2de soort zegt dat het altijd bezig blijft. Als alles een nulpuntsenergie heeft, dan blijft alles toch altijd bezig ? :)
b: Waar heb ik gezegd dat het electron er rondloopt? Ik zei gewoon dat het errond is :) Een elektron en een proton kunnen toch niet dezelfde ruimte innemen, of is de wetenschap nu ook al zover dat het ook dat principe overboord gooit ? :)
c: Het electron beweegt niet in z'n grondtoestand? Wil dat dan zeggen dat zijn positie eenduidig bepaald is?

>>>>>>>>>> Sorry, de subtiliteiten van het Vlaams gaan mijn taalgevoel te boven.
b: Zeker kunnen electron en proton zich op dezelfde plaats bevinden, de golffunctie van het electron heeft zelfs zijn maximum waarde bij r = 0, ook al is de kans het daar aan te treffen wel nul. In de praktijk doen ze het ook, bij K-vangst pakt een proton in de kern een electron, en gaat onder emissie van een neutrino over in een neutron.
c: Waarom ook niet, het electron is immers een echt mathematisch punt deeltje.

>>> (2) Enne.... waar komt de energie van die 10 mannen vandaan om je buis naar beneden te drukken? Eb en vloed kan theoretisch gezien wel gebruikt worden. Bij vloed een reservoir laten volstromen, en deze bij eb via een turbine weer laten leegstromen. Natuurlijk niet erg effectief. Je moet een groot verschil in waterstanden hebben, en erg plat reservoir, wat veel ruimte inneemt, en het levert maar heel weinig energie op. Maar het is mogelijk.

>>>> Het is niet alleen mogelijk, het wordt ook nog op een behoorlijke schaal gedaan! In de golf van Biscaje (zo in de buurt van Bordeaux) is een fikse getijdecentrale die heel wat stroom produceert (ga zelf maar op zoek naar de precieze getallen).
Je wint niet alleen stroom bij het leeg laten lopen van het bassin, maar ook bij het volstromen kun je stroom opwekken. Wel een beetje afwegen hoeveel energie je op deze manier aftapt, anders stroomt het bassin niet snel genoeg vol.
In de golf van Biscaje is inderdaad een groot hoogteverschil tussen eb en vloed.

> (2) Een soort onderwaterpaddestoelen zouden voor de kust van portugal liggen of komen te liggen? Zij zouden op de golfslag reageren. De "lucht" op zeeniveau speelt dacht ik geen rol.
De ellende met zeewater is het "agressieve" milieu. De stormen en de bereikbaarheid. Eb en vloed verschillen kunnen wel eenvoudiger benut worden, maar das ook weer niet zo vaak op een dag.

>> Die paddestoelen, zoals je ze noemt, vormen samen een Archimedes Water Schommel. Dit is een Nederlandse uitvinding die nog in ontwikkeling is. Vorig jaar zijn met succes proefnemingen bij het waterloopkundig laboratorium genomen en nu is er een proefproject op ware grootte in voorbereiding, of ondertussen in uitvoering.
De "paddestoelen" zijn zo'n 10 meter in doorsnede en op zekere afstand van elkaar geplaatst. De grap van het geheel is, dat een golf die aankomt (en bij Portugal zijn dat hoge vanaf de oceaan, daarom werkt het daar eerder rendabel dan bij de Noordzee) op een vast punt een hogere en dan weer lagere druk veroorzaakt op, zeg eens wat, 10 meter onder het gemiddelde wateroppervlak. Als je de afstand van de paddestoelen goed kiest, heb je het ene moment paddestoel A onder hoge druk, en B onder lage, zodat er lucht (via pijpen) van de een naar de ander stroomt (hierbij gelieve men stroom op te wekken) en even later, als de golf zich verplaatst heeft, is de situatie andersom en stroomt de lucht weer de ander kant op. De werkelijke uitvoering is iets ingewikkelder, maar doe je navraag maar eens bij het ECN (die doen ook mee) of bij AWS BV (ergens in Noord-Holland Noord).

> (3) Inderdaad. Wel is het mogelijk energie te winnen uit het temperatuurverschil tussen de diepzee en de oppervlakte.
Het oppervlaktewater is daar bijna 300 K, het diepe bodemwater 277 K. Op dit tempperatuurverschil kan je een thermodynamische cyclus laten lopen, als in je koelkast, maar dan omgekeerd.
Omdat het T verschil relatief klein is is het thermodynamische rendement Delta T / T klein. Voor iedere Joule gewonnen energie moet je er volgens de onverbiddelijke tweede hoofdwet vd thermodynamica minstens 13 Joule aan het oppervlak onttrekken en in de diepzee dumpen.
Wegens niet ideaal zijn van echte machines nog veel meer. Onlangs was er een mallotig Nederlands project om hetzelfde te doen met een 4 Km hoge toren en koude lucht van boven.

>> Niet leuk voor het milieu, het rendement is erg laag en de temperatuurverstoring dus groot. Er is ooit een proefproject bij Florida geweest. Als ze het daar op zeer grote schaal gaan doen kunnen we het hier nog koud krijgen als ze de golfstroom verstoren.

>>> De diepzee is heel koud. Het warme extra zoute water van de golfstroom verandert in de nooordelijke Atlantische oceaan in koud extra zout water doordat iemand er handenvol ijsblokjes in gooit. Dit koude zoute water zinkt tussen IJsland en Groenland de diepte in en loopt als koude onderstroom terug naar het zuiden. Verstoring van dit mechanisme leidt vermoedelijk tot een ijstijd.