Sorry, only in Dutch.

Een onopgelost probleem in het domein van de vlakverdelingen

(Gedeelte van lezing voor de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraars (VVWL))

P.Raedschelders

 

Dames en heren,

Vooraleer ik met de lezing begin, wens ik de Vlaamse Vereniging van Wiskunde Leraars te danken voor de mogelijkheid die me vandaag geven om hier iets meer te komen vertellen over een hobby: nl. de kombinatie van wiskunde en kunst. Voor alle duidelijkheid ik ben noch een wiskundige noch een kunstenaar. Dus is het misschien beter te spreken over de kombinatie tussen wiskunde en amateur-tekeningen.

Wat betreft de wiskunde gaan we ons in deze lezing beperken tot de meetkunde en zelfs slechts een zeer klein gedeelte van de meetkunde nl. Vlakverdelingen. Als men iets meer wil weten over vlakverdelingen dan is het standaardwerk van Prof. Grünbaum and Prof. Shephard zeker een aanrader. Als men nu dit boek doorbladert, dan komt men hier en daar onopgeloste problemen tegen. En over zo'n onopgelost probleem zou ik het vandaag met u willen hebben.

Bestaat er een a-periodieke verzameling vlakverdelingen met slechts 1 tegel?

Eerst zullen we trachten een duidelijker beeld te schetsen van wat eigenlijk het onopgelost probleem is, om vervolgens uit te leggen welke weg er gevolgd werd en welke resultaten er bekomen werden in de zoektocht om dit probleem op te lossen. Ik ga u eerst aan de hand van voorbeelden trachten uit te leggen wat een vlakverdeling is met 1 tegel, vervolgens iets meer zeggen over niet-periodieke vlakverdelingen om dan te komen tot a-periodieke verzamelingen.

Voor alle duidelijkheid moeten we melden dat de gebruikte definities niet volledig in onereenstemming zijn met de wiskundig juistere definities zoals vermeld in het standaardwerk over vlakverdelingen "Tilings and Pattern" van Prof. Grünbaum en Prof. Shephard, maar we hebben getracht ze zo begrijpbaar mogelijk voor te stellen niet omdat ik twijfel aan uw wiskundige kennis maar anders kan ikzelf moeilijker volgen.

1 Eerste vereiste: vlakverdeling met slechts 1 tegel

Als we een vloer volledig bedekken met tegeltjes, zoals een badkamervloer die volledig bedekt is met vierkante tegels, dan noemen we dit een vlakverdeling of beter een vloerverdeling.

We hebben het vlak van de badkamervloer verdeeld in tegels en theoretisch moeten we ons niet beperken tot de badkamer maar we kunnen oneindig lang tegels blijven bijleggen zodat het volledig meetkundige vlak verdeeld wordt in vierkanten. Het vlak is verdeeld in tegels, we hebben een vlakverdeling. De figuur dat we daarvoor gebruikt hebben, in dit geval een vierkant, noemen we de tegel. Zo eenvoudig is het. Vanzelfsprekend moeten de tegels geen regelmatige vorm hebben, we kennen hopelijk allemaal prachtige voorbeelden van tegels in de vorm van vogels of vissen uit de prenten van Escher. Deze kan u nu echter niet laten zien want dan moet ik publikatierechten betalen, en daar heb ik geen zin voor. Daarom toont ik u nu een zelfgemaakt voorbeeld.

Deze figuren zijn natuurlijk nogal abstract, maar met wat fantasie kan men ze aanpassen tot herkenbare dingen. Zo kan ik me indenken dat deze figuur verder vervormd zou kunnen worden tot een gans of zoiets. De bedoeling is toch dat we er een herkenbare tekening mee maken , tenslotte zijn we hier om over de relatie wiskunde en kunst te spreken. Ik ga u nu enkele uitgewerkte prenten tonen die al dan niet voldoen aan de vereisten.

TEK SCHILDPADDEN EN KERSTMANNEN

Hier zien we uitgewerkte voorbeelden waarbij de tegel nl. de schildpadden gespiegeld is. Maar eigenlijk is dit in deze tekening niet noodzakelijk, de schildpadden blijven perfect in elkaar passen ook als men ze allemaal in dezelfde richting laat lopen.

De kerstmannen zijn gespiegeld op een andere manier niet per rij maar om en om.\

Kenmerkend voor deze tegels is dat ze allemaal dezelfde vorm hebben en dezelfde grootte, en dat is juist wat we zoeken. Maar we kunnen rustig vlakverdelingen maken waarbij dit niet geldt:

Limietschildpadden (klik hier voor vergroot beeld)

De schildpadden hebben wel dezelfde vorm maar worden kleiner en kleiner en vormen zo een limiet.

Chinezen

Hier een vlakverdeling die gebaseerd is op regelmatige zevenhoeken op een zodanige manier geplaatst dat de tussenruimten tussen de zevenhoeken steeds dezelfde vorm hebben. De tussenruimten zijn opgevuld met enerzijds krabben en anderzijds de hoedjes van de grootste chinezen. De hoeden van de steeds kleiner wordende chinezen zijn iets anders zodat ze perfekt passen in de steeds kleiner wordende zevenhoeken. We hebben dus eigenlijk drie soorten tegels, de krabben, de grootste chinezen en de steeds kleiner wordende chinzen.

STEGOSAURUS

Nog een voorbeeld van een vlakverdeling met slechts 1 tegel, een stegosaurus. In principe is het volledige vlak op deze manier te vullen, maar om de prent een beetje duidelijk te houden is er een landschap toegevoegd waarin deze dieren zouden hebben geleefd. We hebben weer een soort centrale limiet , de limiet ligt echter niet mooi in het centrum.

ZEEHONDEN

Nog een voorbeeld waarbij we 1 tegel gebruiken, in dit geval een zeehond. De tegels steeds kleiner worden tot ze aan de omtrek komen van de onregelmatige achthoek. Deze vlakverdeling is dus wel oneindig uitbreidbaar maar doordat de zeehonden oneindig klein worden ontstaat er dus een grens voor de afmetingen van de prent.

VLINDERS 1

Dit is ook niet wat we zoeken, we hebben twee soorten vlinders en ze worden nog kleiner ook. Er zitten limieten in de prent zelf, zowel in het centrum als aan de rand zien we op verschillend eplaatsen limieten ontstaan en er is waarschijnlijk grenslimiet die de grootte van de prent beperkt.

VLINDERS 2

Hier een prent die we nog amper een vlakverdeling kunnen noemen, verschillende vormen , verschillende groottes en de tegels passen zelfs niet volledig meer in elkaar. Er onstaan onopgevulde tussenruimten en op zich is dit dus als vlakverdeling onaanvaardbaar.

Tropische vissen

Hier een groep tropische vissen, binnen een vijfhoek waarvan de zijden hyperbolen zijn. De tekening kan oneindig worden uitgebreid zodat het volledige vlak wordt gevuld er is dus geen begrenzing, geen limiet.

Deze laatste waren dus allemaal voorbeelden van wat we niet zoeken, de tegels moeten dezelfde vorm hebben en even groot zijn. Maar er was nog een vereiste.

Nl:de verzameling van vlakverdelingen moet a-periodiek zijn. Om het eenvoudig te zeggen: alle vlakverdelingen die we kunnen maken met een tegel mogen zich niet herhalen.

Dit wil praktisch zeggen dat als we een vlakverdeling op papier tekenen, we nemen daar een kopie van op transparant papier en als er nu twee verschuivingen mogelijk zijn die niet evenwijdig zijn, waarbij de tekening terug samenvalt met de oorspronkelijke dan noemen we de vlakverdeling periodiek. Bestaan deze verschuivingen niet, m.a.w. het is onmogelijk de kopie terug te laten samenvallen met de originele tekening dan is de vlakverdeling niet-periodiek. \par Veronderstellen we dat we een vlakverdeling hebben die niet-periodiek is dan kan het natuurlijk best mogelijk zijn dat we met diezelfde tegel nog andere vlakverdelingen kunnen maken.

En mogelijk is die dan wel periodiek. Als nu alle mogelijke vlakverdelingen die we maken met die tegel steeds niet-periodiek zijn dan noemen we de verzameling van vlakverdelingen met deze tegel a-periodiek. Waarschijnlijk de best bekende a-periodieke verzameling is de verzameling van vlakverdelingen ontworpen door Prof. Penrose. Hij heeft twee tegels ontworpen en gelijk welke vlakverdeling men maakt met deze twee tegels ze zijn steeds niet-periodiek. Dus de verzameling van alle vlakverdelingen met deze twee tegels is a-periodiek.

 

Het enigste probleem waar we nog mee zitten is dat er twee tegels zijn gebruikt en we zouden graag een vlakverdeling hebben met slechts 1.

Samengevat: we gaan op zoek naar vlakverdelingen met slechts 1 tegel, die allemaal niet-periodiek zijn en dan noemen we die verzameling a-periodiek. En dit is nu juist het onopgeloste probleem.

2 Werkwijze

Het eerste wat we moesten doen was het ontwerpen van een tegel die liefst geen periodieke vlakverdeling zou veroorzaken. We wisten dat we met regelmatige zeshoeken een regelmatige periodieke vlakverdeling kunnen maken.

Als we nu deze zeshoeken verplichten bepaalde orientaties aan te nemen dan ontstaan mogelijk iets leuks. Dus tekenden we op elke zeshoek een pijl die deze richting aangaf, hierna verplichten we de zeshoeken om de orientatie te volgen van deze pijlen door op één zijde van de zeshoek bv. een driehoekje te plaatsen waardoor de zeshoek een orientatie krijgt. Bij onze eerste poging werden de pijlen willekeurig geplaatst, en later zal dan blijken of we met onze keuze van pijlen er goed aan gedaan hebben m.a.w. resulteren de pijlen in een tegel waarmee een interessante vlakverdeling gemaakt kan worden.

Als we dit driehoekje tekenen bij alle zeshoeken, krijgt de centrale zeshoek automatisch twee driehoekje bij.

Als we dit herhalen voor alle zijden, dan is onze tegel klaar.

Wat we nu natuurlijk nog niet weten is of deze tegel speciale vlakverdelingen geeft, want als we onze pijlen in het begin niet goed plaatsen, kan het goed zijn dat de tegel helemaal geen vlakverdeling geeft. Maar blijkbaar hadden we die dag zeer veel geluk. We hadden onze pijlen goed gekozen want na veel puzzelen ontstond een vrij mooie vlakverdeling. De zeshoeken hebben we verder vervormd tot eendjes.

3 Resultaten

a) De prent "Eendjes"

Tijdens het puzzelen bleek al snel dat als men in het begin op een willekeurige manier begon te puzzelen dat dikwijls situaties ontstonden waarbij het onmogelijk was de vlakverdeling te vervolledigen, er ontstonden namelijk plaatsen waar het eendje niet meer paste. Op bepaalde plaatsen passen er soms verschillende orentaties van eendjes en als men dan een verkeerd orientatie kiest kan het zijn dat de vlakverdeling na enige tijd blokkeert. Men moet dan een gedeelte van de vlakverdeling terug verwijderen, een betere orientatie kiezen en opnieuw proberen.

Daarom zijn we nadien iets meer systematisch te werk gegaan, we nummerden de verschillende orientaties van de eendjes van 1 tot 6. We namen eendje 1, probeerden terug eendje 1 erin te passen, lukte dit niet dan probeerden we eendje 2 enz. En zo bleek dat men een oneindig lange rij van eendje 1 kan maken. Dit namen we als basis voor de prent: een oneindig lange rij van steeds dezelfde orientatie van eendjes. Deze rij is op de prent in het midden terug te vinden:een reeks zwarte eendjes die allemaal achter elkaar naar links vliegen.

Eenmaal we deze centrale rij hadden, konden we starten met het leggen van de rijen erboven. En al snel bleek dat er nu iets bijzonder aan de hand was. Het bleek dat we niet veel keuze meer hadden in de orientatie van de eendjes voor het vormen van de nieuwe rijen. Bv. de tweede rij: hier bleken slechts twee soorten eendjes te passen en eenmaal we één van deze twee gelegd hadden, was de volledige rij gedwongen. We waren namelijk gedwongen de twee mogelijke eendjes afwisselend naast elkaar te leggen , een andere mogelijkheid was er niet.

De derde rij: net hetzelfde, 4 soorten (of orientaties van) eendje pasten, éénnmaal we één van deze vier eendjes gelegd hadden dan waren we verder gedwongen deze vier afwisselend naast elkaar te leggen dus de volledige rij is gedwongen. Men moest dus eigenlijk niet kiezen, het resultaat is toch steeds hetzelfde, hooguit is de rij iets verschoven. Maar voor het eindresultaat maakte dit echter niets uit. Het patroon bleef toch hetzelfde. M.a.w. het globale patroon van de vlakverdeling lag reeds vast, het enigste wat we blijkbaar nog konden kiezen was de plaats waar we aan het werken waren in het patroon.

 

 

Voor sommige rijen bleek zelfs dat we totaal geen keuze hadden. Onze keuze had toch geen invloed op het totale patroon, maar bij sommige rijen waren we zelfs verplicht één bepaalde orientatie van eendje op een bepaalde plaats te leggen. Andere orientaties pasten op deze plaats gewoon niet. En zoals steeds éénmaal dit eendje gelegd was de rij gedwongen. Het gedwongen karakter van deze rijen was dus nog sterker.

AFBEELDING VAN DE PRENT " EENDJES"

Eenmaal men de zwarte centrale rij eendjes getekend heeft , is de bovenste helft van de prent volledig gedwongen.

Voor de onderste helft hebben we niet veel moeite moeten doen: daar de rand van de centrale zwarte rij eendjes aan de bovenkant symmetrisch was ten opzichte van de onderkant, moesten we enkel de bovenste helft 180° draaien en er terug tegen zetten. Of met andere woorden we spiegelen de bovenste helft ten opzichte van het middelpunt van de prent.

We kunnen deze onderste helft terug mooi in het midden plaatsen, zoals op de prent, dit geeft dan een mooi symmetrisch beeld maar we kunnen evengoed de onderste helft eerst iets naar links of rechts verplaatsen. Maar principieel verandert er niets

b) De inkleuring

Er zijn zes verschillende orientaties van eendjes, 3 hebben een witte kleur en 3 werden zwart gekleurd. Als we de eendjes uit de centrale rij beschouwen als eendjes met een rotatie van 0°, en we roteren in klokwijzerszin, dan zijn de eendjes met een rotatiehoek van 0°, 120° en 300° zwart gekleurd, de andere eendjes met een rotatiehoek van 60°, 180° en 270° zijn wit.

Deze inkleuring is niet willekeurig gekozen, we hebben dit namelijk zodanig gekozen dat bepaalde eigenschappen duidelijk worden.

Doordat de inkleuring orientatie afhankelijk is, is de onderste helft niet op dezelfde manier ingekleurd als de bovenste. En een negatief beeld is het ook niet, alhoewel dit op het eerste zicht toch zo lijkt. Om het verschil te zien moet men maar de bovenste rij en de onderste rij van de prent vergelijken. Voor beide rijen zijn de linker eendjes zwart en de rechter eendjes wit. Ze veranderen dus niet van kleur en zodoende is de onderste helft bijna het negatief van de bovenste helft maar niet helemaal. Willen we toch een perfekt negatief beeld hebben dan zouden we de onderste helft van de prent over een afstand van 16 eendjes naar links of naar rechts kunnen verschuiven terwijl we de bovenste helft op zijn plaats laten staan. Nu hebben we een perfect positief/negatief prent maar helaas veranderen de eendjes in de onderste rij natuurlijk van orientatie. Hiermee hebben we de hierboven besproken spiegeling ten opzichte van het middelpunt verbroken! Dus ofwel kiezen we voor een positief-negatief-symmetrie ofwel kiezen we voor een vorm-symmetrie. Bij het maken van de prent hebben we voor dit laatste gekozen.

Laten we nu nog dieper ingaan op de inkleuring. Kijken we naar de bovenste helft, er staan verschillende driehoeken op de centrale rij. De driehoeken worden gevormd door opeenvolgingen van steeds dezelfde eendjes. We hebben de inkleuring zodanig gekozen dat de twee opstaande zijden van de driehoek een verschillende kleur hebben. Deze driehoeken hebben dus niet drie zwarte zijden, zoals men eerst wellicht zou denken. De zijden moeten opeenvolgingen zijn van dezelfde eendjes. Een driehoek bestaat dus uit een gedeelte van de centrale zwarte rij, een opstaande zwarte zijde en een opstaande witte zijde.

We hebben deze keuze van inkleuring gemaakt om twee redenen: ten eerste is er het uitzicht van de prent, ten tweede omdat er met deze opstaande zijden iets bijzonder aan de hand is. Het is namelijk zo dat er steeds één van de twee opstaande zijde stopt terwijl de andere doorloopt. En dit komt het duidelijkst tot uiting als we deze inkleuring gebruikten.

We zien dus dat als de opstaande zijden van de driehoeken "botsen" dat er een gevecht tussen de twee soorten eendjes ontstaat en dat één van de twee eendjes overwint. Dit winnende eendje kan dan zijn tocht verder zetten over een afstand die gelijk is aan de reeds afgelegde afstand. Het eendje zal onderweg nog wel enkele malen botsen maar het zal steeds de overwinnaar zijn. Enkel als het eendje nogmaals de reeds afgelegde weg heeft afgelegd ontstaat er terug een gevecht "op leven en dood". Als we de centrale rij, rij 0 noemen en de rijen dan verder nummeren, dan zal de overwinnaar steeds bekend zijn op een rij met nummer 2n.

Als in een driehoek bv. het zwarte eendje wint, dan zal in de evengrote driehoek links en rechts ervan automatisch het witte winnen.

Verder is er toch nog een troostprijs voor het verliezende eendje , het mag na de botsing verder vliegen maar in omgekeerde richting, het eendje draait dus door de botsing over 180°.

Kijken we nog even naar de lengten van opeenvolgingen met steeds dezelfde eendjes, dan zien we dat lengte steeds 2n -1 eendjes is. Andere lengten komen niet voor. We zullen zo dadelijk zien dat deze opeenvolgingen van 2n -1 dezelfde eendjes ons nog parten zal spelen.

c) Periodiciteit

Is deze vlakverdeling nu periodiek? Het antwoord is neen. Een verschuiving die niet evenwijdig loopt met de zwarte centrale rij is niet mogelijk daar er maar 1 oneindig lange zwarte rij voorkomt. Maar zelfs een verschuiving evenwijdig met de centrale rij is onmogelijk en dit is misschien op het eerste zicht niet zo duidelijk. Kijken we naar een driehoek van 7 eendjes hoog, dezelfde driehoek staat ernaast, volledig identiek. Dus op het eerste zicht toch periodiek. De top van de driehoek is echter in het ene geval zwart, bij de andere wit. Nu kan men zeggen kijk dan naar de grotere driehoek van 15 eendjes hoog, ernaast (buiten de prent) ligt weer zo'n driehoek van 15 hoog identiek hetzelfde, en de kleine driehoeken van 7 hoog komen beide voor dus toch periodiek. Neen, want de ene grote driehoek van 15 eendjes lang heeft een zwarte top, de andere zal automatisch een witte top hebben. Dus kijken we naar een driehoek van 31 hoog, enz, enz. Uiteindelijk blijkt dat als we zo doorgaan tot in het oneindige dat de vlakverdeling niet periodiek is, maar dat eender welk gedeelte wat we nemen van deze vlakverdelling, hoe groot dit ook is, toch nog oneindig keren voorkomt. Maar de totale vlakverdeling is niet periodiek.

Samengevat: we hebben een gedwongen (op de centrale rij na), niet-periodieke vlakverdeling gemaakt met slechts 1 tegel.

d) A-periodieke verzameling?

De laatste stap nu is, bewijzen dat alle vlakverdelingen die we kunnen maken met deze eendjes niet-periodiek zijn. Dan pas is de verzameling van alle vlakverdelingen met deze eendjes a-periodiek.

Helaas kunnen we dit niet bewijzen want we kunnen met tegenvoorbeelden aantonen dat er ook periodieke vlakverdelingen mogelijk zijn

We hadden al gezegd dat de opeenvolgingen van 2n -1 eendjes ons nog parten zou spelen. Want wat blijkt :Als we gelijkzijdige driehoeken vormen waarvan de zijden een lengte hebben van 2n -1 eendjes, dan kunnen we steeds hiermee een periodieke vlakverdeling maken.

Lengte van de zijden van de driehoeken: 22-1 eendjes.

Lengte van de zijden van de driehoeken: 2³-1

Met een van deze periodieke vlakverdeling werd ook een prent gemaakt.(Lengte van de zijden van de driehoeken 21 -1). De eendjes is inmiddels vervormd tot een soort knuffeldier.

AFBEELDING VAN DE PRENT "KNUFFELDIEREN"

Ik had de prenten met wat uitleg verstuurd naar Doris Schattschneider in de Verenigde Staten. Doris Schattschneider is een wiskundige die zich bezig houdt met de studie van de prenten van Escher en die hierover enkel boeken heeft geschreven.

Ze informeerde me dat het eendje voldoet aan de tegels beschreven door Prof. Haag en dat deze tegels altijd een periodieke vlakverdeling toelaten.

Tegel van Prof. Haag: ABC is een gelijkzijdige driehoek, X een willekeurig punt. De kurve AX wordt geroteerd over 120° rond A. X' is het beeld van X na rotatie. De kurve CX' (deze kurve moet niet dezelfde te zijn als de kurve AX) wordt geroteerd rond C. De kurve BX" wordt geroteerd rond B. Met de tegel die nu ontstaan is kan er een vlakverdeling gemaakt worden door 120°' rotaties rond de punten A, B en C. Voor de liefhebbers van symmetie-klassen: deze regelmatige vlakverdeling is van het type p3.

Daar het eendje voldoet aan deze voorwaarden moest er dus wel een regelmatige vlakverdeling mogelijk zijn.

Escher kende dit type tegel ook, hij leerde het kennen via een artikel geschreven in 1924 door de Duitse Professor F. Haag en gebruikte het later in de litho "Reptielen".

Het probleem van de a-periodieke vlakverdeling met slechts 1 tegel is dus nog steeds onopgelost!

Back to Index