Invloed van een elementaire transformatie van de vergelijking van een functie op de grafiek en omgekeerd.




f(x) en f(x-a)

We onderzoeken de functies met vergelijking y = f(x) en y = f(x-3).

Om concreet goed te beseffen wat dit betekent kunnen we een voorbeeld nemen:

 
y  = 3 x2 + 4 x + 5    en

y  = 3 (x-3)2 + 4 (x-3) + 5
De grafieken zijn twee parabolen.

Het beeld van a door de eerste functie is

3. a2 + 4.a + 5

Als we voor de tweede functie net hetzelfde beeld willen dan moeten we x vervangen door a+3. Dan komt er als beeld :

3. ((a+3)-3)2 + 4.((a+3)-3) + 5 = 3. a2 + 4.a + 5

Het beeld van a door de eerste functie is hetzelfde als het beeld van a+3 door de tweede functie en dit geldt voor alle waarden van a.
Hieruit volgt :

Het beeld van x door de eerste functie is hetzelfde als het beeld van x+3 door de tweede functie.

Als we de eerste functie noteren als f(x) dan is de tweede functie f(x-3) en de grafiek van f(x-3) ontstaat door de grafiek van f(x) juist 3 eenheden naar rechts te schuiven.

oefening: plot de twee gegeven parabolen en bekijk de verschuiving.

We kunnen dit inzicht veralgemenen:
De grafiek van y = f(x-a) ontstaat door de grafiek van f(x) naar rechts te schuiven over a eenheden.

f(x) en f(x) + a

We vergelijken de functies met vergelijking y = f(x) en y = f(x) + a.

We zien onmiddellijk dat, voor elke vaste x, het beeld door de tweede functie a meer is dan het beeld door de eerste functie.

De grafiek van y = f(x) + a ontstaat door de grafiek van f(x) naar boven te schuiven over a eenheden.

oefening: plot y = x2 - x en y = x2 - x +3 bekijk de verschuiving.

Translatie of verschuiving van een grafiek volgens een vector v

We kiezen een willekeurige vaste vector v(a,b).
Stel dat we de grafiek met vergelijking y = f(x) verschuiven volgens de vector v.
Eerst verschuiven we de grafiek a eenheden naar rechts. De verschoven grafiek heeft dan vergelijking y=f(x-a).
Daarna verschuiven we de grafiek b eenheden naar boven. De nieuwe vergelijking is nu y = f(x-a) + b

Besluit:
Als we de grafiek van y = f(x) onderwerpen aan een translatie volgens de vaste vector v(a,b) dan heeft de verschoven grafiek de vergelijking y = f(x-a)+b

f(x) en f(a.x)

We vergelijken de functies met vergelijking y = f(x) en y = f(3x).

Om concreet goed te beseffen wat dit betekent kunnen we een voorbeeld nemen:

 
y  =  x2 - x   en

y  = (3x)2 - (3x)
Het beeld van a door de eerste functie is

a2 - a

Als we voor de tweede functie net hetzelfde beeld willen dan moeten we vertrekken met x= a/3 dan komt er voor het beeld :

(3. a/3 )2 - (3. a/3) = a2 - a

Het beeld van a door de eerste functie is hetzelfde als het beeld van a/3 door de tweede functie.

Algemener:

Het beeld van x door de eerste functie is hetzelfde als het beeld van x/3 door de tweede functie.

Dit betekent dat de grafiek van y=f(3.x) ontstaat door de grafiek van y = f(x) samen te drukken naar de y-as toe met een factor 3.

We kunnen dit inzicht veralgemenen:
De grafiek van y = f(a.x) ontstaat door de grafiek van f(x) samen te drukken naar de y-as toe met een factor a.

oefening :
Merk op dat een samendrukking met factor 1/4 naar de y-as toe, eigenlijk een uitrekking is met factor 4 van de y-as weg.
plot y = x2 en y = (x/4)2.

Samengestelde transformaties

De hierboven beschreven transformaties kunnen samengesteld worden door ze, in een bepaalde volgorde, na elkaar uit te voeren.
We geven enkele voorbeelden.

Voorbeeld 1

We vertrekken van de functie met vergelijking y = sin(x).

Voorbeeld 2

We vertrekken van de parabool met vergelijking y = 3(x-1)2 - 4

Voorbeeld 3

We vertrekken van de functie met vergelijking y = x2 -x

Voorbeeld 4

We vertrekken van de functie met vergelijking y = 5 cos(2x-6) + 4
We willen door een gepaste opeenvolging van elementaire transformaties die vergelijking sterk vereenvoudigen.

Voorbeeld 5

Men kan ook, vertrekkend van de standaard cos functie y = cos(x), een algemene cosinus functie opbouwen door een gepaste opeenvolging van elementaire transformaties uit te voeren.
Stel dat we de functie y = 5 cos(2x-6) + 4 willen opbouwen vertrekkend van y = cos(x).

Oefeningen

De volgende oefingen veronderstellen de kennis van het hoofdstuk goniometrie.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.