Taylor en Maclaurin




Taylor en Maclaurin veeltermen

Het doel is een functie te benaderen door middel van een veelterm in de omgeving van x=a.

We noteren de opeenvolgende afgeleiden van een functie g(x) als volgt

 
g'(x); g"(x); g(3)(x); g(4)(x); ...; g(n)(x); ...

Maclaurin veelterm

Stelling:
Als de n-de afgeleide van f(x) bestaat in a omgeving van x=0, dan is er juist 1 veelterm V(x), van graad n of lager, zo dat
 
V(0)=f(0); V'(0)=f'(0); V"(0)=f"(0); ... ; V(n)(0)=f(n)(0)

Bewijs

 
Neem
  V(x)  = a + b x + c x2 + ... + l xn
Dan
  V'(x) =     b   + 2c x  + ... + n l xn-1

  V"(x) =           2 c   + 3.2.d + ... + n(n-1) l xn-2

  ...


  V(n) =  n! l

en dan

  V(0)  = a

  V'(0) = b

  V"(0) = 2! c

  ...


  V(n)(0) =  n! l
We eisen nu dat
 
    V(0)=f(0); V'(0)=f'(0); V"(0)=f"(0); ... ; V(n)(0)=f(n)(0)

<=>
    a = f(0);

    b = f'(0);

  2!c = f"(0);

  ...

  n! l = f(n)(0)
Dus alle coefficienten van V(x) zijn gekend en we kunnen besluiten :

De enige veelterm van graad n of lager, zo dat

 
V(0)=f(0); V'(0)=f'(0); V"(0)=f"(0); ... ; V(n)(0)=f(n)(0)
is
 
f(0) + x.f'(0)/1! + x2.f"(0)/2! + x3.f(3)(0)/3! +...+ xn.f(n)(0)/n!
Die veelterm heet de Maclaurin veelterm van orde n voor de functie f(x).

Notatie: Tnf(x)

De Maclaurin veelterm van orde n voor de functie f(x) is
 
Tn f(x) = f(0) + x.f'(0)/1! + x2.f"(0)/2! + x3.f(3)(0)/3! +...+ xn.f(n)(0)/n!

ex en zijn Maclaurin veelterm

 
We weten dat  als f(x) = ex dan is f(n)(x) = ex en f(n)(0) = 1

Dus

Tn ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n!

sin(x) en zijn Maclaurin veelterm

 
f(x)    = sin(x)                     => f(0)  = 0
f'(x)   = cos(x)  = sin(x + pi/2)    => f'(0) = 1
f"(x)   = -sin(x) = sin(x + 2.pi/2)  => f"(0) = 0
f"'(x)  = -cos(x) = sin(x + 3.pi/2)  => f"'(0)= -1
...
f(n)(x) = sin(x + n.pi/2)         => f(n)(0) = sin(n.pi/2)

Dus

Tn sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + xn.sin(n.pi/2)/n!

Als x heel dicht ligt bij 0, dan zien we dat x - x3/6 een goede benadering is voor sin(x).

cos(x) en zijn Maclaurin veelterm

Op dezelfde manier als hierboven vinden we voor cos(x)
 
Tn cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... + xn.cos(n.pi/2)/n!

ln(1+x) en zijn Maclaurin veelterm

 
f(x) = ln(1+x)             => f(0)   = 0
f'(x) = (1+x)-1         => f'(0)  = 1
f"(x) = -1(1+x)-2       => f"(0)  = -(1!)
f"'(x)= 2(1+x)-3        => f"'(0) = 2!
f(4)= -2.3(1+x)-4    => f(4) = -(3!)
...

Dus

Tn ln(1+x) = x/1 - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... + (-1)n-1.xn/n

(1+x)q en zijn Maclaurin veelterm

 
f(x) = (1+x)q       => f(0) = 1
f'(x) = q(1+x)q-1  => f'(0) = q
f"(x) = q(q-1)(1+x)q-2 => f"(0) = q(q-1)
f"'(x)= q(q-1)(q-2)(1+x)q-3  => f"'(0) = q(q-1)(q-2)
...

Dus

Tn (1+x)q = 1 + q x + q(q-1)x2/2! + q(q-1)(q-2) x3/3! + ...

analoog

Tn (1+x)q = 1 - q x + q(q-1)x2/2! - q(q-1)(q-2) x3/3! + ...

Voor q = -1 hebben we

Tn (1+x)-1 = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn

Voor q = 1/2 hebben we

Tn sqrt(1+x) = 1 + x/2 - x2/8 + ...

Dus, als x zeer dicht ligt bij 0, zien we dat 1 + x/2 - x2/8 een goede benadering is.
voor sqrt(1+x).

analoog

Tn sqrt(1-x) = 1 - x/2 - x2/8 + ...

Als x zeer dicht bij  0 ligt, zien we dat 1 + x/2 - x2/8 een goede benadering is
voor sqrt(1-x).

Taylor veelterm

Stelling:

Als de n-de afgeleide van f(x) bestaat in een omgeving van x=a, dan is er juist 1 veelterm V(x), van graad n of lager, zo dat
 
V(a)=f(a); V'(a)=f'(a); V"(a)=f"(a); ... ; V(n)(a)=f(n)(a)

Bewijs:

 
Neem
  V(x)  = b + c (x - a) + d (x - a)2 + ... + l (x - a)n
Op dezelfde manier als voor de Maclaurin veelterm, kan je aantonen dat
 
  V(a) = f(a)  <=>  b = f(a)
  V'(a) = f'(a) <=> c = f'(a)/1!
  V'(a) = f"(a) <=> d = f"(a)/2!
  ...
  V(n)(a) = f(n)(a)  <=>  l = f(n)(a)/n!
Dus alle coefficienten van V(x) zijn gekend en we kunnen besluiten :

De enige veelterm van graad n of lager, zo dat

 
V(a)=f(a); V'(a)=f'(a); V"(a)=f"(a); ... ; V(n)(a)=f(n)(a)

is

f(a) + (x-a).f'(a)/1! + (x-a)2.f"(a)/2! + (x-a)3.f(3)(a)/3! +...+ (x-a)n.f(n)(a)/n!
Deze heet de Taylor veelterm van orde n voor de functie f(x) in de omgeving van x=a.

Notatie: Tn,af(x)

De Taylor veelterm van orde n voor de functie f(x) in een omgeving van x=a is
 
Tn,a f(x) = f(a) + (x-a).f'(a)/1! + (x-a)2.f"(a)/2!
           + (x-a)3.f(3)(a)/3! +...+ (x-a)n.f(n)(a)/n!

Stel x = a + h en de vorige formule wordt
 
Tn,a f(a + h) = f(a) + h.f'(a)/1! + h2.f"(a)/2!
           + h3.f(3)(a)/3! +...+ hn.f(n)(a)/n!

ex en de Taylor veelterm

Op dezelfde manier als voor de Maclaurin veelterm, kan je aantonen dat
 
Tn,a ex = ea( 1 + (x-a)/1! + (x-a)2/2! + (x-a)3/3! + ... + (x-a)n/n!)

sin(x) en zijn Taylor veelterm

Op dezelfde manier als voor de Maclaurin veelterm, kan je aantonen dat
 

Tn,a sin(x)

       sin(a + i.pi/2)
= som ----------------- .(x-a)i   voor i=0...n
   i        i!

cos(x) en de Taylor veelterm

Op dezelfde manier als voor de Maclaurin veelterm, kan je aantonen dat
 

Tn,a cos(x)

       cos(a + i.pi/2)
= som ----------------- .(x-a)i   voor i=0...n
   i        i!

Taylor formule met restterm

Stelling:

Als f(n+1)(x) bestaat in een omgeving van a welke a+h bevat, dan is
 
f(a+h) = f(a) + h.f'(a)/1! + h2.f"(a)/2!
 + h3.f(3)(a)/3! +...+ hn.f(n)(a)/n! + hn+1.f(n+1)(c)/(n+1)!
met c tussen a en a+h.

Bewijs:
Er bestaat altijd een gepast getal r zo dat

 
f(a+h) = f(a) + h.f'(a)/1! + h2.f"(a)/2!
 + h3.f(3)(a)/3! +...+ hn.f(n)(a)/n! + hn+1.r/(n+1)!
We tonen aan dat r = f(n+1)(c) met c tussen a en a+h.

Creeer de functie

 
g(x) = f(a+x)-( f(a) + x.f'(a)/1! + x2.f"(a)/2!
 + x3.f(3)(a)/3! +...+ xn.f(n)(a)/n! + xn+1.r/(n+1)! )
en bereken n+1 opeenvolgende afgeleiden.
 
g'(x) = f'(a+x) -( f'(a) + x.f"(a)/1! + ...
       + xn-1.f(n)(a)/(n-1)! + xn.r/n! )

g"(x) = f"(a+x) -( f"(a) + ... + xn-2.f(n)(a)/(n-2)! + xn-1.r/(n-1)! )

...

g(n)(x) = f(n)(a+x) -( f(n)(a) + x r )

g(n+1)(x) = f(n+1)(a+x)-r

Daar f, ... f(n) continu is in de omgeving van a, kunnen we steunen op de Stelling van Rolle voor g(x) en alle afgeleiden.
 
g(0)=g(h) => Er is een c1 tussen 0 en h zo dat g'(c1) = 0.

g'(0)=g'(c1) => Er is een c2 tussen 0 en h zo dat g"(c2) = 0.

...

g(n)(0)=g(n)(cn) => Er is een cn+1 tussen 0 en h zo dat
                                        g(n+1)(cn+1) = 0.

En steunend op het laatste besluit kunnen we schrijven
 
        0 = f(n+1)(a+cn+1)-r

<=>    f(n+1)(c) = r  voor een waarde c tussen a en a+h.
De term hn+1.f(n+1)(c)/(n+1)! heet 'de restterm'.

Maclaurin formule met restterm

Neem de Taylor formule met restterm, kies a = 0 en schrijf x in plaats van h.

Als f(n+1)(x) bestaat in een omgeving van 0 welke x bevat, dan
 
f(x) = f(0) + x.f'(0)/1! + x2.f"(0)/2!
 + x3.f(3)(0)/3! +...+ xn.f(n)(0)/n! + xn+1.f(n+1)(c)/(n+1)!
met c tussen 0 en x.

Ontwikkeling van ex

Met de Maclaurin formule kunnen we schrijven
 
ex = 1 + x/1! + x2/2! + ... + xn/n! + ec.xn+1/(n+1)!

Als n --> oneindig  dan heeft xn+1/(n+1)! de  limiet 0 voor alle  x.
Daarom kunnen we schrijven
ex = 1 + x/1! + x2/2! + ... + xn/n! + ... voor alle x

Ontwikkeling van sin(x)

Met de Maclaurin formule kunnen we schrijven
 
sin(x) = x/1! - x3/3! + x5/5! - ... + sin(n.pi/2).xn/n! +
                              sin(c + (n+1).pi/2).xn+1/(n+1)!

Als n --> oneindig  dan heeft xn+1/(n+1)! de limiet 0 voor alle  x.
Daarom kunnen we schrijven
sin(x) = x/1! - x3/3! + x5/5! -x7/7! + ...

Ontwikkeling van cos(x)

Op dezelfde manier bekomen we de formule voor cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! -x6/6! + ...



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.