Stelsels lineaire vergelijkingen, matrices, determinanten




Gelijkwaardige stelsels van lineaire vergelijkingen

Voorbeelden van stelsels lineaire vergelijkingen

 
/ x+2y+3z=5
| x-y+6z=1
| 3x-2y=4
\ y+4z=8

/ x+y+3z-4t=12
\ 3x+y-2z-t=0

/ 2x+3y+4z=5
| x-y+2z=6
\ 3x-5y-z=0

Elk van deze stelsels kan uitgedrukt worden met behulp van matrices.
 
[ 1  2  3]   [x]   [5]
[ 1 -1  6] . [y] = [1]
[ 3 -2  0]   [z]   [4]
[ 0  1  4]         [8]


                [x]
[ 1  1  3 -4]   [y]   [12]
[ 3  1 -2 -1] . [z] = [ 0]
                [t]


[ 2  3  4]   [x]   [5]
[ 1 -1  2] . [y] = [6]
[ 3 -5 -1]   [z]   [0]
De eerste matrix van elke voorstelling van een lineair stelsel bevat de coefficienten van de onbekenden welke voorkomen in het stelsel. Deze matrix heet de coefficientenmatrix.
De essentiele informatie van een stelsel is de coefficientenmatrix A samen met de kolommatrix B van de bekende termen.
We kunnen heel kort zo'n stelsel noteren als A.X=B waarin X de kolommatrix van de onbekenden is. Eigenlijk kunnen we alle info van een stelsel verzamelen in 1 matrix, door de kolommatrix van de onbekenden toe te voegen aan de coefficientenmatrix.
Voor het eerste stelsel hebben we dan
 
[ 1  2  3  5]
[ 1 -1  6  1]
[ 3 -2  0  4]
[ 0  1  4  8]
Deze matrix heet de vermeerderde matrix van het stelsel.
Omgekeerd, als we beschikken over de vermeerderde matrix van het stelsel kunnen we het stelsel zelf daaruit afleiden en de oplossingen ervan berekenen.

Gelijkwaardig stelsels

Twee stelsels zijn gelijkwaardig als en slechts als ze dezelfde oplossingen hebben.
We zullen nu 5 basis-acties beschrijven, welke op een stelsel kunnen toegepast worden zodat het stelsel in een gelijkwaardig stelsel overgaat.

Actie 1 :

Beide leden van een vergelijking met een van nul verschillend getal vermenigvuldigen
Dit is gelijkwaardig met :
Een rij van de vermeerderde matrix van het stelsel met een van nul verschillend getal vermenigvuldigen

Actie 2 :

Een veelvoud van een vergelijking bij een andere vergelijking optellen.
Dit is gelijkwaardig met :
In de vermeerderde matrix van het stelsel een veelvoud van een rij bij een andere rij optellen.

Actie 3 :

Twee vergelijkingen omwisselen.
Dit is gelijkwaardig met :
In de vermeerderde matrix van het stelsel twee rijen omwisselen

Actie 4 :

Een vergelijking gelijkwaardig met 0 = 0 verwijderen
Dit is gelijkwaardig met :
Een nulrij uit de vermeerderde matrix van het stelsel schrappen

Actie 5 :

Als een vergelijking van a stelsel is gelijkwaardig met 0=k, voor k niet 0, dan heeft het stelsel geen oplossingen.
Dit is gelijkwaardig met :
Als een rij uit de vermeerderde matrix van het stelsel van de vorm [0 0 0 0 ... 0 k] is, voor k niet 0, dan heeft het stelsel geen oplossingen.

Rij transformaties

Uit vorige paragraaf volgt : Elke beschreven actie die een stelsel omzet naar een gelijkwaardig stelsel is gelijkwaardig met een actie op de rijen van de vermeerderde matrix van het stelsel. Deze acties noemen we 'rij-transformaties'

Door een gepaste opeenvolging van de beschreven acties kan elk stelsel lineaire vergelijkingen op doeltreffende wijze opgelost worden. Deze methode heet 'de methode van Gauss'.

De methode van Gauss

We zullen de methode illustreren met 4 wezenlijk verschillende voorbeelden

Strategie:
Gebruik enkel de hierboven vermelde rijtransformaties.

Werk vanaf de eerste rij naar beneden!!
1. Maak in elke rij het eerste van nul verschillend element (hoofdelement) gelijk aan 1.
2. Transformeer zodanig dat onder dat hoofdelement enkel nullen komen.
3. Als er een nulrij voorkomt mag ze geschrapt worden.
4. Als er een rij van de vorm [0 0 0 0 ... 0 k] voorkomt heeft het stelsel geen oplossingen.

Voorbeeld1

 
/ 2x-3y+2z=21
| x+4y-z=1
\ -x+2y+z=17
is gelijkwaardig met de vermeerderde matrix van het stelsel
 
[2  -3   2  21]
[1   4  -1   1]
[-1  2   1  17]
Nu volgen gepaste rijtransformaties
 
                R1 <-> R2
[1   4  -1   1]
[2  -3   2  21]
[-1  2   1  17]
                R2 + 2.R3
[1   4  -1   1]
[0   1   4  55]
[-1  2   1  17]
                R3 + R1
[1   4  -1   1]
[0   1   4  55]
[0   6   0  18]
                (1/6).R3
[1   4  -1   1]
[0   1   4  55]
[0   1   0   3]
                R3-R2
[1   4  -1   1]
[0   1   4  55]
[0   0  -4 -52]
                (-1/4).R3

[1   4  -1   1]
[0   1   4  55]
[0   0   1  13]
We keren naar het stelsel terug
 
/ x+4y-z=1
|   y+4z=55
\      z=13
werkend van z naar x, vinden we gemakkelijk z=13 ; y=3 ; x=2.

We herhalen de strategie:
Gebruik enkel de hierboven vermelde rijtransformaties.

Werk vanaf de eerste rij naar beneden!!
1. Maak in elke rij het eerste van nul verschillend element (hoofdelement) gelijk aan 1.
2. Transformeer zodanig dat onder dat hoofdelement enkel nullen komen.
3. Als er een nulrij voorkomt mag ze geschrapt worden.
4. Als er een rij van de vorm [0 0 0 0 ... 0 k] voorkomt heeft het stelsel geen oplossingen.

Opm: De opeenvolgende matrices noemt men rij-gelijkwaardig.
De uiteindelijke matrix heet een echelon matrix.
Het is ook mogelijk zodanig te transformeren dat in elke kolom met een hoofdelement, dat hoofdelement het enige van nul verschillend element is. Als dat het geval is spreekt men van een rij-canonieke matrix.

We illustreren de beschreven strategie met nog enkele voorbeelden.

Voorbeeld2

 
/ 3x-4y+5z-4t=12
| x-y +z -2t = 0
| 2x+y+2z+3t=52
| 2x-2y+2z-4t=0
\ 2x-3y+2z-t=4
of gelijkwaardig
 
[3  -4  5  -4  12]
[1  -1  1  -2   0]
[2   1  2   3  52]
[2  -2  2  -4   0]
[2  -3  2  -1   4]
                        R1-R4
[1  -2  3   0  12]
[1  -1  1  -2   0]
[2   1  2   3  52]
[2  -2  2  -4   0]
[2  -3  2  -1   4]
                        R2-R1; R3-2R1; R4-2R1;R5-2R1
[1  -2  3   0  12]
[0   1 -2  -2 -12]
[0   5 -4   3  28]
[0   2 -4  -4 -24]
[0   1 -4  -1 -20]
                        R3-5R2; R4-2R2; R5-R2;
[1  -2  3   0  12]
[0   1 -2  -2 -12]
[0   0  6  13  88]
[0   0  0   0   0]
[0   0 -2   1  -8]
                        delete R4; R3<->R4;
[1  -2  3   0  12]
[0   1 -2  -2 -12]
[0   0 -2   1  -8]
[0   0  6  13  88]
                        R4+3R3; (1/16)R4; R3/(-2);
[1  -2  3   0  12]
[0   1 -2  -2 -12]
[0   0  1 -1/2  4]
[0   0  0   1   4]
We krijgen een echelon matrix. We keren terug naar het stelsel.
 
/ x-2y+3z =12
| y -2z -2t =-12
| z-0.5t=4
\ t=4

x=10 ; y=8 ; z=6 ; t=4

Voorbeeld3

 
/ x+y-4z+10t=24
\ 3x-2y-2z+6t=15

[1  1  -4  10  24]
[3 -2  -2   6  15]
                        R2-3R1
[1  1  -4  10  24]
[0 -5  10 -24 -57]
                        r2/(-5)
[1  1  -4  10   24  ]
[0  1  -2  4.8  11.4]


/ x + y -4z +10t =24
\    y  -2z +4.8t=11.4
Nu is het onmogelijk alle onbekenden te berekenen.
Daarom schrijven we het stelsel als volgt :
 
/ x + y = 4z -10t + 24
\    y  = 2z -4.8t+ 11.4

<=>

/ x = 2z - 5.2t + 12.6
\ y = 2z -4.8t+ 11.4

Voor elke keuze van z en t is er juist 1 oplossing van het stelsel.
Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen.
De waarden van z en t mogen totaal willekeurig gekozen worden.
De verzameling van alle oplossingen kan als volgt geschreven worden.
 
S = {2 z - 5.2 t + 12.6 ,2 z -4.8 t + 11.4 , z, t} met z, t in R

Voorbeeld4

 
/ x-3y=21
| 4x+2y=14
\ 3x+3y=7

[1  -3  21]
[4   2  14]
[3   3   7]
                (1/2).R2 ; R3-3.R1
[1  -3  21]
[2   1   7]
[0  12 -56]
                R2-2.R1
[1  -3  21]
[0   7 -35]
[0  12 -56]
                (1/7)R2 ; (1/4)R3
[1  -3  21]
[0   1  -5]
[0   3 -14]
                R3 -3.R2
[1  -3  21]
[0   1  -5]
[0   0   1]
Door de aanwezigheid van de laatste rij heeft het stelsel geen oplossingen.

Rang van een matrix en inverse matrix

Singuliere en reguliere matrices

Als de determinant van een vierkante matrix 0 is, zeggen we dat de matrix singulier is. Is dit niet het geval dan heet de matrix regulier.

De matrix rang

Neem een vaste matrix A. Door op gepaste wijze rijen en/of kolommen uit die matrix te schrappen, kunnen we verschillende vierkante matrices creeren. Dit kan over het algemeen op veel manieren gebeuren.

Zodoende kunnen we op zoek gaan naar een zo groot mogelijke (groot aantal rijen en kolommen) reguliere matrix B. Het kan voorkomen dat B=A. Het aantal rijen van B noemen we de rang van de matrix A.

Voorbeelden

Neem de 3 x 2 matrix A =

 
[1 2]
[0 0]
[4 0]
De rang is maximaal 2 want de grootste vierkante matrices in A zijn 2 x 2 matrices. Als we de tweede rij schrappen krijgen we een zo groot mogelijke reguliere matrix B. De rang van A is 2.

Neem de 3 x 3 matrix A =

 
[4 5 7]
[1 2 3]
[2 4 6]
De rang is maximaal 3 want de grootste vierkante matrix in A is A zelf. Maar A is niet regulier. We zoeken nu een reguliere 2 x 2 matrix. We schrappen bijvoorbeeld rij 3 en kolom 3. Dan blijft een reguliere matrix over. De rang van A is 2.

Neem de 3 x 3 matrix A =

 
[1 2 3]
[1 2 3]
[2 4 6]
De rang is maximaal 3 want de grootste vierkante matrix in A is A zelf. Maar A is niet regulier. We zoeken nu een reguliere 2 x 2 matrix. Waar we ook maar een rij en een kolom schrappen, telkens blijft een singuliere matrix over.
We zoeken nu een reguliere 1 x 1 matrix. We schrappen rij 2 en 3 en kolom 2 en 3. De rang van A is 1

Toepassing:

Gegeven de matrix A

 
[ a     a-1   a-2 ]
[3a-3   a+1   2a-4]
Gevraagd: Bepaal de rang voor alle waarden van a.

Oplossing:
De rang is maximaal 2. We nemen een 2 x 2 matrix uit A , bijvoorbeeld

 
[ a     a-1]
[3a-3   a+1]
De determinant van die matrix is -2a2 +7a -3 en heeft nulpunten 1/2 en 3. Hieruit volgt reeds dat, als a geen element is van { 1/2 , 3}, de rang 2 is.

Als we in de gegeven matrix a vervangen door 1/2, zien we onmiddellijk dat de rang 2 is.

Als we in de gegeven matrix a vervangen door 3 dan hebben we voor A

 
[3  2  1]
[6  4  2]
De rang van die matrix is duidelijk 1.

Besluit:
Voor a verschillend van 3 is de rang 2 en voor a = 3 is de rang 1.

Adjunct matrix van een vierkante matrix A

Eerst herhalen we een vroeger geziene methode om de cofactor van een element van een matrix te berekenen.

Kies in een matrix het element op de i-de rij en de j-de kolom.
Schrap die rij en die kolom uit de matrix.
Bereken de waarde D van de determinant van de overblijvende matrix.
De cofactor van het gekozen element is (-1)i+j.D We merken nog eens op dat de elementen van de i-de rij en de j-de kolom geen invloed hebben op de waarde van die gevonden cofactor.

Nu zijn we klaar om de adjunct matrix van de vierkante matrix A te definieren.
Vervang elk element van een vierkante matrix A door zijn eigen cofactor en transponeer het resultaat. Dan heb je de adjunct matrix B van A gevormd.

Voorbeelden

 
[ 1, 4 ]
[ 5, 8 ]

heeft als adjunct matrix

[ 8,  -4 ]
[ -5,  1 ]

tweede voorbeeld

[ 1, 2, 4 ]
[ 3, 2, 5 ]
[ 1, 3, 4 ]

heeft als adjunct matrix
[ -7, 4,  2  ]
[ -7, 0,  7  ]
[ 7,  -1, -4 ]

Cofactor eigenschap

Stelling : Als we de elementen van een rij van een matrix vermenigvuldigen met de cofactoren van de overeenkomstige elementen van een andere rij, dan is de som van die producten nul.

Bewijs :
We zullen de stelling bewijzen voor 3x3 matrices maar de methode is algemeen geldig.
Neem matrix P =

 
[a  b  c]
[d  e  f]
[g  h  i]
Noem A,B,C,D,E,F,G,H,I de cofactoren van a,b,c,d,e,f,g,h,i.

Kies bijvoorbeeld rij 2.
We vermenigvuldigen de elementen van de rij 2 met de cofactoren van de overeenkomstige elementen van een andere rij (kies nu rij 1).
We tellen de producten op. Dan verkrijgen we dA+eB+fC en we moeten aantonen dat dit nul is.

Welnu, beschouw de matrix Q =

 
[d  e  f]
[d  e  f]
[g  h  i]
Daar er twee gelijke rijen zijn is de determinant 0. Dus det(Q) = 0.
Doordat de elementen van de eerste rij geen invloed hebben op de waarde van hun cofactoren, zijn de cofactoren van de eerste rij van matrix Q dezelfde dan deze uit matrix P en dus ook gelijk aan A, B en C.

We ontwikkelen nu de determinant Q naar de eerste rij. We krijgen det(Q) = dA+eB+fC.

Daar we weten dat det(Q) = 0 is dA+eB+fC = 0.
Q.E.D.

Inverse matrix van een reguliere vierkante matrix

We zeggen dat B een inverse matrix is van A als en slechts als A.B=E=B.A . (E is de eenheidsmatrix.)

Uniciteit van een inverse matrix

We tonen aan dat het onmogelijk is dat er twee verschillende inverse matrices zijn voor A.
Onderstel een ogenblik dat B en C inverse matrices zijn van A. Dan hebben we
A.B=E=B.A en A.C=E=C.A
Dan is B=E.B=C.A.B=C.E=C
Dus B=C. Er is maar 1 inverse voor A!

Berekenen van de inverse matrix B van een reguliere matrix A.

We zullen aantonen dat
A-1 = (adjunct of A) / det(A)

We zullen de stelling bewijzen voor 3x3 matrices maar de methode is algemeen geldig.
We tonen aan dat A.(adjunct of A) / det(A) = E of anders geschreven
We tonen aan dat A.(adjunct of A) = det(A) . E

We berekenen
A.(adjunct of A) =

 
[a  b  c]   [A D G]
[d  e  f] . [B E H]  =
[g  h  i]   [C F I]

[aA+bB+cC   aD+bE+cF   aG+bH+cI]
[dA+eB+fC   dD+eE+fF   dG+eH+fI]  =
[gA+hB+iC   gD+hE+iF   gG+hH+iI]

    Steunend op zonet bewezen eigenschap van cofactoren

[aA+bB+cC       0         0    ]
[  0        dD+eE+fF      0    ]  =
[  0            0      gG+hH+iI]
We weten: Als je de elementen van een rij vermenigvuldigt met hun eigen cofactor, en je telt de producten op dan bekom je de determinant van de matrix. Dus:
 
[  det(A)      0         0    ]
[  0         det(A)      0    ]  =
[  0           0        det(A)]

        [  1     0      0]
det(A). [  0     1      0]  =
        [  0     0      1]

det(A).E
Op dezelfde manier toont men aan dat (adjunct of A).A =det(A).E

Opm : Alle reguliere matrices hebben een inverse matrix en we kunnen ze berekenen.

Voorbeeld 1

 
[ 1, 4 ]
[ 5, 8 ]

heeft als determinant -12

en heeft als adjunct matrix

[ 8,  -4 ]
[ -5,  1 ]

Dus de inverse matrix is :
[ -2/3,  1/3  ]
[ 5/12, -1/12 ]

Voorbeeld 2
 
[ 1, 2, 4 ]
[ 3, 2, 5 ]
[ 1, 3, 4 ]

heeft als determinant 7

en heeft als adjunct matrix

[ -7, 4,  2  ]
[ -7, 0,  7  ]
[ 7,  -1, -4 ]

dus de inverse matrix is

[ -1, 4/7,  2/7  ]
[ -1,  0,    1   ]
[ 1,  -1/7, -4/7 ] ]

Singuliere matrices en de inverse.

Onderstel dat B de inverse is van een singuliere matrix A. Dan is A.B = E => |A|.|B|=1 Daar |A|=0, is dit onmogelijk!! Een singuliere matrix heeft geen inverse.

Stelsels van Cramer

Regel van Cramer

Een stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden heet een stelsel van Cramer als en slechts als de coefficientenmatrix regulier is.

Er bestaat een speciale methode om dergelijke stelsels op te lossen. Het is de regel van Cramer.

We zullen de regel bewijzen voor 3 vergelijkingen met 3 onbekenden, maar de methode is algemeen.

 
/ ax + by  + cz  = d
| a'x+ b'y + c'z = d'         (1)
\ a"x+ b"y + c"z = d"

           |a  b  c |
Met  |N| = |a' b' c'|
           |a" b" c"|

Dan hebben we
           |xa  b  c |
   x.|N| = |xa' b' c'|
           |xa" b" c"|

We gebruiken eigenschappen van determinanten

           |xa +by +cz    b  c |
   x.|N| = |xa'+b'y+c'z   b' c'|
           |xa"+b"y+c"z   b" c"|

en steunen op  (1)

           |d   b  c |
   x.|N| = |d'  b' c'|
           |d"  b" c"|
Dus ,
           |d   b  c |
     x   = |d'  b' c'| / |N|    (2)
           |d"  b" c"|
Analoog,
           |a   d  c |
     y   = |a'  d' c'| / |N|    (3)
           |a"  d" c"|

           |a   b  d |
     z   = |a'  b' d'| / |N|    (4)
           |a"  b" d"|
De formules (2), (3), (4) geven de regel van Cramer. Men kan aantonen dat die oplossing uniek is. De regel van Cramer is efficient om stelsels van Cramer op te lossen vooral als de coefficientenmatrix parameters bevat.

|N| = de determinant van de coefficientenmatrix = de gemene noemer van x, y en z.
De determinanten x.|N| , y.|N| en z.|N| zijn de tellers van x, y en z.

Voorbeeld:

Los het volgend stelsel met onbekenden x, y en z op. Het stelsel bevat een parameter p.

 
/ p x - y + z = 0
| 6 x + y - 2z = 2
\ px - 2y - z = 1

Men vindt :   |N| = -4p - 18
We veronderstellen verder dat p niet gelijk is aan -4.5 zodat de coefficientenmatrix regulier is.
Men vindt :

 x.|N| = -5

 y.|N| =  -2p + 6

 z.|N| = 3p + 6

 Dus  x = 5/(4p+18) ;  y = (p-3)/(2p+9) ;  z = (3p+6)/(-4p-18)

Homogeen stelsel van Cramer

Indien alle bekende termen van een stelsel van Cramer nul zijn, zeggen we dat het stelsel homogeen is in de onbekenden.

Uit de bovenstaande formules volgt onmiddellijk dat de enige oplossing van zo'n stelsel de nul-oplossing is. (alle onbekenden = 0). Deze oplossing heet ook de triviale oplossing.

Voorbeeld

/ x + 2 y + 4z = 0
| 3x + 2y + 5z = 0
\ x + 3y + 4z = 0

heeft enkel de oplossing x = y = z = 0

Classificatie van alle stelsels lineaire vergelijkingen

Hoofdvergelijkingen ; nevenvergelijkingen ; hoofdonbekenden ; nevenonbekenden

We vertrekken van een willekeurig stelsel van m vergelijkingen met n onbekenden.
Zij A de coefficientenmatrix van dit stelsel en r de rang(A).
We nemen eerst een zo groot mogelijke, reguliere matrix M in A. M is dan een r x r matrix.
Eenmaal M vastligt noemen we die matrix de gekozen hoofdmatrix.

Voorbeeld:

 
/ x+2y+z+2u=1
| 4x+4y=-3
| 3x+6y=-4.5
\ 2x+4y+2z+4u=2

De coefficientenmatrix is

[1  2  1  2]
[4  4  0  0]
[3  6  0  0]
[2  4  2  4]

De rang van die matrix is 3. Dus r = 3.

We kiezen een hoofdmatrix M

[1  2  1]
[4  4  0]
[3  6  0]

De vergelijkingen welke corresponderen met de rijen van M noemen we hoofdvergelijkingen.
De overige vergelijkingen heten de nevenvergelijkingen.
De onbekenden welke corresponderen met de kolommen van M noemen we hoofdonbekenden.
De overige onbekenden zijn de nevenonbekenden.

In het vorig voorbeeld hebben we :
De hoofdvergelijkingen zijn de eerste, tweede en derde vergelijking.
De hoofdonbekenden zijn x,y en z. De laatste vergelijking is de enige nevenvergelijking en u is de nevenonbekende.

Karakteristieke determinant

De karakteristieke matrix, geassocieerd met een bepaalde nevenvergelijking, is de matrix die ontstaat door aan de hoofdmatrix :
1. onderaan een rij toe te voegen met de coefficienten van de hoofdonbekenden in die nevenvergelijking.
2. rechts een kolom toe te voegen met de bekende termen van de hoofdvergelijkingen en de bekende term van de beschouwde nevenvergelijking.

De karakteristieke determinant is de determinant van die karakteristieke matrix.
Bij elke nevenvergelijking behoort juist 1 karakteristieke determinant.

We werken verder met het vorig voorbeeld.

De laatste vergelijking was de enige nevenvergelijking en u is de nevenonbekende. De karakteristieke determinant van die nevenvergelijking is

 
|1  2  1  1  |
|4  4  0 -3  |
|3  6  0 -4.5|
|2  4  2  2  |
Zo hoort bij elke nevenvergelijking een karakteristieke determinant. In dit voorbeeld is er maar 1.

Met behulp van al deze nieuwe begrippen kunnen we een indeling maken van alle stelsels lineaire vergelijkingen.

Classificatie

Eerste soort

Alle stelsels van n vergelijkingen met n onbekenden en zodat n = de rang van de coefficientenmatrix.
Het zijn de stelsels van Cramer. Ze hebben juist 1 oplossing. Ze kunnen opgelost worden met de regel van Cramer (zie hoger).

Tweede soort

Alle stelsels van m vergelijkingen met n onbekenden (m < n) en zodat m = de rang van de coefficientenmatrix.
In dit geval zijn er geen nevenvergelijkingen maar wel nevenonbekenden.
Men kan aantonen dat alle nevenonbekenden willekeurig mogen gekozen worden. Na elke keuze van die nevenonbekenden ontstaat een stelsel van Cramer en zo juist 1 oplossing van het stelsel.
 
Voorbeeld:

/ 2x+3y+z=4
\ x+2y-z=3

Kies de hoofdmatrix

[2  3]
[1  2]
z is de nevenonbekende. Met elke keuze van z krijg je 1 oplossing van het stelsel.
Brengt men de termen in z naar rechterlid en beschouwt men die termen als bekend dan krijgt men een stelsel van Cramer in x en y.

/ 2x + 3y = 4 - z
\ x + 2y = 3 + z

Berekent men nu x en y, dan krijg je de oplossingen voor elke z. Er zijn oneindig veel oplossingen.

Derde soort

Alle stelsels van m vergelijkingen met n onbekenden (m > n) en zodat n = de rang van de coefficientenmatrix.
In dit geval zijn er m-n nevenvergelijkingen, maar geen nevenonbekenden.
Er zijn dan (m - n) karakteristieke determinanten. Men kan aantonen dat het stelsel een oplossing heeft als en slechts als alle karakteristieke determinanten 0 zijn.
In dit geval toont men aan dat die nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van de hoofdvergelijkingen. De nevenvergelijkingen mogen gewoon geschrapt worden en er ontstaat een stelsel van Cramer met juist 1 oplossing.
Van zodra 1 karakteristieke determinant niet nul is heeft het stelsel geen oplossingen.

Voorbeeld:

 
/ 2x+y=1
| x+y=0
| 3x+2y=1
\ 4x+3y=1

We kiezen een hoofdmatrix.

[2  1]
[1  1]

x en y zijn hoofdonbekenden.
De derde en vierde vergelijking zijn de nevenvergelijkingen.

De karakteristieke determinanten zijn
|2  1  1|
|1  1  0| = 0
|3  2  1|

en

|2  1  1|
|1  1  0| = 0
|4  3  1|

Doordat beide  karakteristieke determinanten 0 zijn mogen de
nevenvergelijkingen weggelaten worden.

De unieke oplossing is de oplossing van

/ 2x+y=1
\ x+y=0

x=1, y=-1

Vierde soort

Een stelsel met m vergelijkingen en n onbekenden en met r = de rang van de coefficientenmatrix.
In dit geval zijn er (m-r) nevenvergelijkingen en (n-r) nevenonbekenden.
Er zijn (m - r) karakteristieke determinanten. Men kan aantonen dat het stelsel een oplossing heeft als en slechts als alle karakteristieke determinanten 0 zijn. In dit geval toont men aan dat die nevenvergelijkingen lineaire combinaties zijn van de hoofdvergelijkingen. De nevenvergelijkingen mogen gewoon geschrapt worden. Het resterend stelsel is een stelsel van de tweede soort.
Alle nevenonbekenden mogen willekeurig gekozen worden. Na elke keuze van die nevenonbekenden ontstaat een stelsel van Cramer en zo juist 1 oplossing van het stelsel.

Voorbeeld 1

/ -4.5x - y + z = 0
| 6x + y - 2z = 2
\ -4.5 x - 2y - z = 1

De rang van de coefficientenmatrix van het stelsel is 2.
We kunnen y en z kiezen als hoofdonbekenden en de derde vergelijking als nevenvergelijking. De nevenonbekende is x. Er is 1 karakteristieke matrix :

[ -1 1 0 ]
[ 1 -2 2]
[-2 -1 1]

De waarde van de karakteristieke determinant is -5.
Het stelsel heeft geen oplossingen.

Voorbeeld 2

/ x + y - z + u = 2
| 2x - y + z + u = 3
| 3x + 2u = 5
\ 4x + y - z + 3u = 7

De rang van de coefficientenmatrix is 2. We kiezen een hoofdmatrix M =

 
  [ 1   1]
  [ 2  -1]
De hoofdonbekenden zijn x en y en de hoofdvergelijkingen zijn de eerste en de tweede.
De nevenonbekenden zijn z en u en de nevenvergelijkingen zijn de derde en de vierde.
Er zijn twee karakteristieke determinanten
 
 | 1  1  2 |
 | 2 -1  3 | = 0
 | 3  0  5 |

 | 1  1  2 |
 | 2 -1  3 | = 0
 | 4  1  7 |
Daar de twee karakteristieke determinanten 0 zijn mogen de nevenvergelijkingen weggelaten worden. We krijgen een stelsel van de tweede soort.
We brengen de termen met nevenonbekenden naar het rechterlid.

/ x + y = 2 + z - u
\ 2x - y = 3 - z - u

Dit stelsel is een stelsel van Cramer. Voor elke waarde van de nevenonbekenden is er 1 oplossing

x = ( 5 - 2 u)/3
y = (1 + 3z - u)/3

Homogene vergelijkingen

Als alle bekende termen van een stelsel 0 zijn, spreekt men van een homogeen stelsel. Een homogeen stelsel heeft altijd de 0-oplossing. De vorige classificatie blijft geldig.
Doordat alle bekende termen van een stelsel 0 zijn, ziet men gemakkelijk in dat de karakteristieke determinanten altijd nul zijn.

Belangrijke besluiten voor homogene stelsels

  1. Een homogeen stelsel van Cramer heeft juist 1 oplossing, de 0-oplossing.
  2. In een homogeen stelsel van de tweede soort kan men alle nevenonbekenden willekeurig kiezen. Met elke keuze ontstaat juist 1 oplossing van het stelsel.
  3. Een homogeen stelsel van de derde soort heeft juist 1 oplossing, de 0-oplossing.
  4. In een homogeen stelsel van de vierde soort kan men alle nevenonbekenden willekeurig kiezen en de nevenvergelijkingen schrappen. Met elke keuze van de nevenonbekenden ontstaat juist 1 oplossing van het stelsel.
  5. Een homogeen stelsel van n vergelijkingen en n onbekenden is ofwel een stelsel van Cramer ofwel een stelsel van de vierde soort. Het heeft dus ofwel alleen de 0-oplossing, ofwel oneindig veel oplossingen. Hieruit volgt een heel belangrijke vaststelling :

    Een homogeen stelsel van n vergelijkingen en n onbekenden heeft een oplossing verschillend van de nuloplossing als en slechts als de determinant van de coefficientenmatrix nul is.

  6. Het is onmiddellijk duidelijk dat als een homogeen stelsel een oplossing heeft, elk veelvoud van die oplossing ook een oplossing is van het stelsel.

Voorbeeld

Onderzoek voor welke waarden van p volgend stelsel een oplossing heeft verschillend van de nuloplossing.

/ p x - y + z = 0
| 6 x + y - 2z = 0
\ px - 2y - z = 0

Dit stelsel is homogeen. De nodige en voldoende voorwaarde is dat de determinant van de coefficientenmatrix nul is.

Die determinant is gelijk aan -4p - 18. Dus voor p = -9/2 zijn er oplossingen verschillend van de nuloplossing.

Om ze te vinden vervangt men p door -9/2. Men laat een nevenvergelijking weg (bijvoorbeeld de laatste vergelijking).
We krijgen een stelsel van de tweede soort met oneindig veel oplossingen.

Toepassingen

Criterium voor collineaire punten

Neem 3 punten A,B,C in een vlak. De coordinaten zijn respectievelijk (a,a');(b,b');(c,c').
 
      De drie punten zijn collineair

<=>   Er is een rechte u x + v y + w = 0 door A(a,a'), B(b,b') en C(c,c')

<=>   Er zijn waarden u, v en w verschillend van  0,0,0 zo dat
        u.a + v.a' + w = 0
        u.b + v.b' + w = 0
        u.c + v.c' + w = 0


<=>     Het homogeen stelsel
        a.u + a'.v + w = 0
        b.u + b'.v + w = 0
        c.u + c'.v + w = 0
        heeft een oplossing voor  u,v,w verschillend van de nul-oplossing.


        |a      a'      1|
<=>     |b      b'      1| = 0
        |c      c'      1|
De punten A(a,a'), B(b,b'), C(c,c') zijn collineair als en slechts als
 
        |a      a'      1|
        |b      b'      1| = 0
        |c      c'      1|

Vergelijking van een rechte door twee punten

Neem twee punten A(a,a') en B(b,b') in het vlak. Steunend op de vorige toepassing , kunnen we schrijven
 
        Een derde punt P(x,y) ligt op rechte AB

        |x      y       1|
<=>     |a      a'      1| = 0
        |b      b'      1|
Dit is dus de vergelijking van AB, want het is de nodig en voldoende voorwaarde waaraan de coordinaten van een punt moeten voldoen opdat het op de rechte zou liggen.
De vergelijking van de rechte door A(a,a') en B(b,b') is
 
        |x      y       1|
        |a      a'      1| = 0
        |b      b'      1|

Criterium voor concurrente rechten

Neem drie elkaar snijdende rechten in het vlak. De vergelijkingen zijn respectievelijk
 
    u x + v y + w  = 0
    u'x + v'y + w' = 0
    u"x + v"y + w" = 0


     De drie rechten zijn concurrent

<=>  De drie rechten hebben een gemeenschappelijk punt P(xo,yo)

<=>  Er bestaat een xo en een yo  zodat
    u xo + v yo + w  = 0
    u'xo + v'yo + w' = 0
    u"xo + v"yo + w" = 0

<=>  Er bestaat een xo en een yo  zodat
    u  xo + v  yo = -w
    u' xo + v' yo = -w'
    u" xo + v" yo = -w"

<=>  Het stelsel
         u  x + v  y = -w
         u' x + v' y = -w'
         u" x + v" y = -w"
     heeft een oplossing voor x en y.

    De coefficientenmatrix van het stelsel is
    [ u   v ]
    [ u'  v']
    [ u"  v"]

    Daar de rechten elkaar snijden , is de rang 2
    We kunnen de eerste twee vergelijkingen als hoofdvergelijkingen kiezen.


    Het stelsel heeft een oplossing voor x en y
<=> De karakteristieke determinant = 0

<=>    | u   v  w |
       | u'  v' w'| = 0
       | u"  v" w"|
 
   Drie elkaar snijdende rechten hebben vergelijkingen
    u x + v y + w  = 0
    u'x + v'y + w' = 0
    u"x + v"y + w" = 0

   De rechten zijn concurrent als en slechts als

       | u   v  w |
       | u'  v' w'| = 0
       | u"  v" w"|

Het onderzoeken van stelsels welke een parameter bevatten

De bespreking in al de volgende voorbeelden steunt op de bovenstaande classificatie van stelsels en op de theorie die daaromtrent werd uiteengezet.

Voorbeeld 1

Neem het stelsel met parameter m

/mx + y + z = m+1
| x + my + z = 0
\ x + y + mz = 1

We berekenen de determinant van de coefficientenmatrix en vinden na ontbinden in factoren (m - 1)2 .(m+2)
De nulpunten zijn 1 en -2.

Eerste geval m is verschillend van 1 en -2

We hebben dan een stelsel van Cramer welke oplosbaar is met de regel van Cramer. Men vindt voor x, y en z oplossingen in functie van m

 
     m(m-1)(m+2)
x = ------------------  = m/(m-1)
     (m - 1)2 (m+2)

     -(m-1)(m+2)
y = -----------------  = 1/(1-m)
      (m - 1)2 (m+2)

z = 0

Tweede geval m = 1

We vervangen in de opgave m door 1.

/ x + y + z = 2
| x + y + z = 0
\ x + y + z = 1

We zien op het zicht dat het stelsel geen oplossingen heeft.

Derde geval m = -2

We vervangen in de opgave m door -2

/-2x + y + z = -1
| x - 2y + z = 0
\ x + y + -2z = 1

De rang van de coefficientenmatrix is 2.
We kiezen als hoofdvergelijkingen de eerste en derde vergelijking en x en y als hoofdonbekenden.

We berekenen de karakteristieke determinant van de nevenvergelijking

 
| -2  1  -1 |
|  1  1   1 | = 0
|  1 -2   0 |
De nevenvergelijking mag geschrapt worden en we brengen de termen in z in het rechterlid. Er ontstaat een stelsel van Cramer
 
/ -2x + y = -1 -z
\ x + y   = 1 + 2z
Na oplossing met de regel van Cramer vindt men:

x = z + 2/3
y = z + 1/3

en z is willekeurig. Er zijn oneindig veel oplossingen.

Voorbeeld 2

Neem het stelsel met parameter m

/(m-1)x + (2m+1)y + z = m
\ x + y + 2z = m+1

De coefficientenmatrix is

 
[ m-1    2m+1   1]
[  1      1     2]
Kies een zo groot en zo eenvoudig mogelijke determinant
 
| m-1 1 |
|  1  2 |
De determinant is 2m-3

Eerste geval m is verschillend van 1.5

In dit geval kunnen we de matrix

 
[ m-1 1 ]
[  1  2 ]
kiezen als hoofdmatrix. De hoofdonbekenden zijn x en z. De nevenonbekende is y.
We brengen de termen in y naar rechterlid. We krijgen een stelsel van Cramer, welke opgelost kan worden met de regel van Cramer.

Men vindt :

 
     m-1 -4my -y
x = ---------------
     2m-3

     m2 -m - 1 -3my + 2y
z = ----------------------
       2m-3
Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen. y mag willekeurig gekozen worden.

Tweede geval m = 1.5

Het stelsel wordt:

 
/ 0.5 x + 4 y + z = 1.5
\  x + y + 2z    = 2.5
Kies y en z als hoofdonbekenden. We brengen de termen in x naar rechterlid. We krijgen een stelsel van Cramer.
Voor elke x is er 1 oplossing.

Voorbeeld 3

Neem het stelsel met parameter m
 
/ 2x -my + z = 0
| x + y + 2z = 0
\ 3x - y + z = 0
Het stelsel is homogeen. We weten dat het stelsel altijd de nuloplossing heeft. Verder weten we dat de karakteristieke determinanten altijd nul zijn. We berekenen de determinant van de coefficientenmatrix en we vinden -5m+2.

Eerste geval m is verschillend van 2/5.

Het stelsel is een stelsel van cramer en heeft juist 1 oplossing, namelijk de nul-oplossing.

Tweede geval m = 2/5

De rang van de coefficientenmatrix is nu 2. We kiezen een hoofdmatrix en zorgen ervoor dat ze zo eenvoudig mogelijk is, liefst zonder m.

 
[1  2]
[-1 1]
y en z zijn hoofdonbekenden. De eerste vergelijking is de nevenvergelijking die mag geschrapt worden. We brengen de termen in de nevenonbekende x naar het rechterlid en krijgen een stelsel van Cramer. Men vindt na oplossen y = 5x/3 en z = -4x/3. x is willekeurig en er zijn oneindig veel oplossingen. Al die oplossingen zijn alle reele veelvouden van x=3; y=5 ; z=-4.

Voorbeeld 4

Neem het stelsel met parameter a
 
/ ax + y = 0
| 4x - y = 1
\ (a + 2) x + 3 y = 0
Dit is een stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden. De rang van de coefficientenmatrix is maximaal 2.

Eerste geval: a is verschillend van -4

Nu is de rang van de coefficientenmatrix 2. We kiezen de eerste twee vergelijkingen als hoofdvergelijkingen. De karakteristieke determinant van de nevenvergelijking is :

 
| a    1  0|
| 4   -1  1| = -2 (a - 1)
|a+2   3  0|
Als a = 1 dan is de karakteristieke determinant 0. De nevenvergelijking mag weggelaten worden. We krijgen dan een stelsel van Cramer. Na oplossing vinden we x=1/5 en y = -1/5

Als a niet 1, dan is de karakteristieke determinant niet 0, en dan zijn er geen oplossingen.

Tweede geval: a = -4

We vervangen in het gegeven stelsel a door -4 en zien onmiddellijk dat er geen oplossingen zijn.

Voorbeeld 5

Bepaal a en b zodanig dat volgend stelsel oneindig veel oplossingen heeft.
 
/ ax - y + az = 4
| -x + 3y + z = b
\ 3x + y + 5z = 1
De determinant van de coefficientenmatrix is 4(a-2). Als a niet 2 is, hebben we een stelsel van Cramer en is er 1 oplossing. Dus a moet 2 zijn.

We nemen de eerste 2 vergelijkingen als hoofdvergelijkingen. Er zullen oneindig veel oplossingen zijn als en slechts als de karakteristieke determinant nul is. Die karakteristieke determinant van de nevenvergelijking is -5b -35 .

Besluit: Er zijn oneindig veel oplossingen voor a= 2 en b=-7.

Voorbeeld 6

We berekenen de reele waarden van a en b zodat volgend stelsel een oplossing heeft.
 
 / ax + by  = 1
 | ax +  y  = b
 \  x + by  = a
Eerst zien we dit: Als a = b= 1 is het stelsel gelijkwaardig met de vergelijking x + y = 1. Er zijn oneindig veel oplossingen. Met elke x correspondeert juist 1 y-waarde. Veronderstel verder dat a en b niet beide gelijk zijn aan 1.

De drie 2 x 2 determinanten die we kunnen vormen aan de hand van de coefficientenmatrix zijn gelijk aan a-ab ; ab-1 en ab-b.

Eerste geval: a.b is niet 1
De rang van de coefficientenmatrix is 2 en de tweede en derde vergelijking beschouwen we als hoofdvergelijkingen. De karakteristieke determinant van de nevenvergelijking is dan

 
  | a  1  b|
  | 1  b  a|
  | a  b  1|
Die determinant is (b + a + 1) (1 - a) (b - 1). Ze is 0 als en slechts als ( a = 1 of b = 1 of b = -a -1) In deze gevallen is er een oplossing voor het stelsel.

Tweede geval: a.b = 1 ( a niet 1 )
De drie determinanten van de 2 x 2 deelmatrices zijn a-1 ; 0 ; 1-b.
Daar a niet gelijk aan 1, is ook b verschillend van 1. Dan is de rang van de coefficientenmatrix gelijk aan 2 en we kunnen de eerste en tweede vergelijking beschouwen als hoofdvergelijkingen. De karakteristieke determinant is dan

 
  | a  b  1|
  | a  1  b| = (b + a + 1) (1 - a) (b - 1)
  | 1  b  a|
Het stelsel heeft een oplossing als en slechts als b = - a -1. Maar :
 
  b =  - a -1 en a.b = 1

 =>   a(- a -1) = 1

 =>   a2 + a + 1 = 0
Dit is voor geen enkele reele waarde van a vervuld. Dus dit tweede geval kan zich niet voordoen.

Samenvatting:
Als (a = b= 1) zijn oneindig veel oplossingen.
Als (a.b niet 1) dan heeft het stelsel een oplossing op voorwaarde dat ( a = 1 of b = 1 of b = -a -1).

Uitgewerkte oefeningen

 
Opgeloste oefeningen over matrices, determinanten en stelsels kan je via deze link vinden.
 





MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.