Rijen en limieten




Rijen and limieten

Voorbeelden van rijen

De elementen van een rij noemen we de termen.
De 'n-de term' of 'algemene term' van het eerste voorbeeld is (2n + 1).
De rij is volledig bepaald door deze algemene term. Daarom schrijven we de eerste rij als {2n + 1}.
De tweede rij is {1.2.3.4...n} of {n!}.
 
De derde is

       {(-1)n+1 }
We noteren een algemene theoretische rij als t1,t2,t3,... of ook als {tn}.

Afstand tussen twee reele getallen.

We definieren de afstand tussen twee reele getallen a en b als |b - a|.

Voorbeeld: De afstand tussen -2 en 4 is | 4 - (-2) | = 6

Basisomgeving van een reeel getal b.

Neem een vast reeel getal b.
Voor elk strikt positief reeel getal epsilon, zeggen we dat de getallenverzameling { x | b - epsilon < x < b + epsilon } een basisomgeving is van b met straal epsilon.

We schrijven die omgeving als ]b - epsilon , b + epsilon[.
In de meeste toepassingen is epsilon willekeurig klein strikt positief reeel getal.

Een eindige limiet

Hieruit volgt

De limiet van een rij aantonen steunend op de definitie van limiet van een rij.

Het is mogelijk om, in niet te ingewikkelde gevallen, aan te tonen dat een rij een gegeven limiet heeft door te steunen op de bovenstaande definitie van limiet van een rij.

Men moet dan aantonen dat met elke epsilon een rangnummer N correspondeert zodat
n > N => |tn - b|< epsilon .

De werkwijze gaat als volgt. Men vertrekt van ( |tn - b|< epsilon ) en men vervangt stap voor stap deze uitdrukking door een voldoende voorwaarde tot men voor elke epsilon een voldoende grote N kan vastleggen zodat de definitie vervuld is.

Dit alles lijkt nogal theoretisch. Daarom kan je hier uitgewerkte voorbeelden vinden.

Criterium van Cauchy

Men kan aantonen dat
 
   De rij {tn} convergeert

                   <=>

   Met elk willekeurig klein strikt positief getal e,
    correspondeert een gepast rangnummer N zo dat

        n > N  => |tn+p - tn|< e  voor  p=1,2,3,...

Nul-rij

Elke rij die convergeert naar 0 heet een nul-rij.
Als voor elke n: tn>0 en lim tn = 0, dan kunnen we schrijven lim (tn) = +0.
Als voor elk n: tn<0 en lim tn=0, dan kunnen we schrijven lim (tn) = -0.

Limiet oneindig

rijen zonder limiet

Niet elke rij heeft een limiet. Voorbeeld: 1,-1,1,-1,1,-1,...

Begrensde en monotone rijen

Begrensde rijen ; monotone rijen

Neem een rij {tn}.
 
        Een reeel getal M is een bovengrens voor {tn}
                als en slechts als
                voor elke n : M >= tn
Opm: Elk getal groter dan een bovengrens voor {tn} is ook een bovengrens voor {tn}.
Men kan aantonen: "Als een rij een bovengrens heeft dan heeft die rij een kleinste bovengrens."
Deze stelling wordt bewezen op de pagina Theoretisch deel over limieten

Voorbeeld: De rij 0.9 ; 0.99 ; 0.999 ; 0.9999 ; ... heeft 3 als een bovengrens, maar de kleinste bovengrens is 1.
We zien hier dat de kleinste bovengrens niet noodzakelijk tot de rij behoort.

 
        Een reeel getal m is een benedengrens voor {tn}
                als en slechts als
                voor elke n : m  =< tn
Opm: Elk getal kleiner dan een benedengrens voor {tn} is ook een benedengrens voor {tn}.
Men kan aantonen: Als een rij een benedengrens heeft dan heeft die rij een grootste benedengrens.

Voorbeeld: De rij 1, 2, 1, 2, 1, 2, ... heeft 0 als een benedengrens, maar de grootste benedengrens is 1.

 
                Een rij {tn} is begrensd
                 als en slechts als
        {tn} heeft een bovengrens en een benedengrens

Als een rij een eindige limiet heeft is ze begrensd.

Noem lim tn = b, en kies een willekeurig klein strikt positief getal e. Dan zitten enkel een eindig aantal termen van de rij buiten het interval ]b - e,b + e[. Daardoor is het altijd mogelijk een bovengrens en benedengrens van de rij te kiezen.
Opm: Een begrensde rij heeft niet altijd een eindige limiet. Voorbeeld: 1,2,1,2,1,2,1,2,..

Monotone rijen

Als voor alle n geldt dat tn+1 > tn dan zeggen we dat de rij stijgt.
Als voor alle n geldt dat tn+1 < tn dan zeggen we dat de rij daalt.
Als voor alle n geldt dat tn+1 =< tn dan zeggen we dat de rij niet stijgt.
Als voor alle n geldt dat tn+1 >= tn dan zeggen we dat de rij niet daalt.
Als een rij niet stijgt of niet daalt, dan spreken we van een monotone rij.

Elke niet dalende naar boven begrensde rij heeft een eindige limiet.

{tn} is een niet ledige en naar boven begrensde verzameling. Die verzameling heeft dan een kleinste bovengrens s. Er is dan een term tN in ]s - e , s + e[ voor elke strikt positieve waarde van e. Daar de rij niet daalt zitten alle volgende termen in ]s - e , s + e[. Vandaar dat lim tn = s.

Elke niet stijgende naar beneden begrensde rij heeft een eindige limiet.

Het bewijs verloopt analoog aan het vorige .

Voorbeeld 1 :
De rij {(n+1)/n} met n = 1,2,3,... is een niet stijgende rij en ze is naar beneden begrensd door 0. Ze heeft dus een eindige limiet.

Voorbeeld 2 :
De rij tn = 2 + (6/7)n is een dalende rij en 2 is een benedengrens. Ze heeft dus een eindige limiet.

Elke niet dalende rij, welke niet naar boven begrensd is, divergeert

Kies een reeel getal r. Daar r geen bovengrens is, is er een term tN > r en alle volgende termen zijn groter dan r . Dus voor elke r, is er een N zo dat ( n > N => tn > r ) Dus tn divergeert.

Voorbeeld:
De rij tn = (n2+1)/(n+1) met n = 1,2,3,... is stijgend want

 
    tn < tn+1
<=>
    n2 + 1     (n+1)2 +1
    -------  < ------------
      n+1         n+2
<=>
   (n2 + 1)(n+2) < (n+1)((n+1)2 +1)
<=>
    n3 + 2n2 + n + 2 < n3 + 3n2 + 4n +2
<=>
    0 < n2 + 3n
Bovendien is die rij niet naar boven begrensd want
 
     n2 + 1     n2 - 1
    -------  >  --------- = n-1
      n+1         n+1
en daar n-1 niet naar boven begrensd is, is de nog grotere waarde tn dat ook niet!

Besluit : De rij tn = (n2+1)/(n+1) is divergent.

Een niet stijgende rij, welke niet naar beneden begrensd is, divergeert

Het bewijs verloopt analoog aan het vorige.

Eigenschappen van rijen

Zonder bewijs aanvaarden we volgende eigenschappen (n is een vast geheel getal.)

Regels voor eindige limieten

Regels in verband met oneindig

We definieren de volgende regels om te rekenen met oneindig.
We schrijven infty voor (+infty of -infty)
 
        -(+infty)=-infty  -(-infty)=+infty

        +(-infty)=-infty  +(+infty)=+infty

        |+infty|= +infty  |-infty|= +infty

        (+infty)n = +infty   (-infty)2n= +infty   (-infty)2n+1= -infty

        n-de-machtswortel-uit(+infty)=+infty

        (2n+1)de-machtswortel-uit(-infty)=-infty


        voor elke r = strikt positief reeel getal

        r(+infty)=+infty  r(-infty)=-infty

        -r(+infty)=-infty   -r(-infty)=+infty


        voor elk reeel getal r

        r/+infty = 0    r/-infty = 0

        +infty + r = +infty    -infty + r = -infty

        r - infty = -infty    r + infty = +infty


        +infty +(+infty)= +infty

        -infty +(-infty)= -infty

        +infty -(-infty)= +infty

        -infty -(+infty)= -infty

        (+infty)(+infty)= +infty

        (-infty)(+infty)= -infty

        (+infty)(-infty)= -infty

        (-infty)(-infty)= +infty

Regels voor oneindige limieten

 
        lim tn = +infty => lim (-tn) = -infty

        lim tn = -infty => lim (-tn) = +infty

        lim tn = +infty => lim |tn| = +infty

        lim tn = -infty => lim |tn| = +infty

als lim tn = +infty of lim tn = -infty, dan

        lim tnp = (lim tn)p

        lim (n-de-machtswortel-uit(tn)) = (n-de-machtswortel-uit(lim tn)  (als beide leden bestaan)

        lim (c.tn) = c.(lim tn)       ( c reeel getal)

        lim (c/tn) = 0         ( c reeel getal)

        lim tn = +0 => lim (1/tn)=+infty

        lim tn = -0 => lim (1/tn)=-infty

als lim tn = infty en lim tn'= b (reeel en niet 0) dan

        lim(tn+tn')=lim tn +lim tn'

        lim(tn-tn')=lim tn -lim tn'

        lim(tn'-tn)=lim tn' -lim tn

        lim(tn'.tn)=lim tn' .lim tn

        lim(tn/tn')=lim tn / lim tn'

        lim(tn'/tn)= 0

        lim tn = +infty en lim tn' = +infty

                => lim(tn+tn')=lim tn + lim tn'

        lim tn = -infty en lim tn' = -infty

                => lim(tn+tn')=lim tn + lim tn'

        lim tn = +infty en lim tn' = -infty

                => lim(tn-tn')=lim tn - lim tn'

        lim tn = -infty en lim tn' = +infty

                => lim(tn-tn')=lim tn - lim tn'

        lim tn = infty en lim tn' = infty

                => lim(tn.tn')=lim tn . lim tn'

Rekenkundige en Meetkundige rijen

Over rekenkundige rijen

Constructie rekenkundige rij

Neem een vast reeel getal v, en definieer een rij
 
        tn = t1 + (n-1).v
Met elke keuze van t1 correspondeert juist 1 rij
Al deze rijen heten rekenkundige rijen.
v heet het verschil van de rekenkundige rij
Als v = 0 : de rij is constant.
Als v > 0 : de rij is stijgend en heeft geen bovengrens. lim tn = +infty.
Als v < 0 : de rij is dalend en heeft geen benedengrens. lim tn = -infty.

Som van enkele termen van een rekenkundige rij.

Noem S = t1 + t2 + ... + tn , dan
 
S = t1 + t1 + v + t1 + 2.v + ... + tn

We schrijven nu dezelfde som in omgekeerde volgorde

S = tn + tn - v + tn - 2.v + ... + t1

en we tellen lid aan lid op

2.S = (t1 + tn).n

Dus,
            (t1 + tn).n
        S = ----------------
                  2

Toepassing 1

Stel dat n een even getal is. Toon aan dat
 
 S =  12 - 22 + 32 - 42 + 52 - ... - n2 = (-1/2)(n2 + n)
Oplossing:
 
 S =  (12 - 22) + (32 - 42) + (52 - 62) ... +((n-1)2 - n2)

   = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + ...  (n-1-n)(n-1+n)

   = - (1+2) - (3+4) -  ...  - (n-1+n)

   = - (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n )

        tussen de haakjes staat een som van n termen van een rekenkundige rij

   = - (1 + n).n / 2

   = (-1/2)(n2 + n)

Toepassing 2

Bereken de waarden van m zodat de wortels van de vergelijking
x4 - (1+3m) x2 + m2 = 0
een rekenkundige rij vormen.

Daar de som van de wortels nul is, zijn de wortels van de vorm ( -3h, -h, h, 3h ). Dus moet

 
   (x+3h)(x-h)(x+h)(x-3h) = x4 - (1+3m) x2  + m2
<=>
   (x4 - 9h2)(x2-h2) =  x4 - (1+3m) x2  + m2
<=>
   9h4 = m2
   10h2 = 1 + 3m

Eerste geval :
   m = 3h2
   h2 = 1
   m = 3

Tweede geval :
   m = -3h2
   19h2 = 1
   m = -3/19

Over meetkundige rijen

Constructie meetkundige rij

Neem een t1 en een constant reeel getal q, en definieer een rij
 
                tn = tn-1.q
Met elke keuze van t1 correspondeert juist 1 rij
Al deze rijen heten meetkundige rijen.
q het de reden van de meetkundige rij.

Stelling:

 
voor alle n > 1  :
Als q = 1 + x > 1 , dan qn  > 1 + n.x    (1)
Bewijs:

Gevolg

Meetkundige rijen en limiet

 
tn = t1.qn-1     = t1.qn /q = (constant getal) .qn

Als q > 1  dan lim tn = + infty of -infty

Als q = 1  dan is de rij  constant lim tn = t1

Als 0 < q <1  dan  lim tn = 0

Als -1< q <0  dan  lim tn = 0

Als q = -1  dan lim tn bestaat niet

Als q < -1 dan lim tn bestaat niet

Som dan de eerste n termen van een meetkundige rij.

 

        S   = t1 + t2 + ... + tn , dan
=>      S.q = t1.q + t2.q + ... + tn.q
=>      S.q = t2 + ... + tn + tn.q

=>      S.q - S = tn.q - t1
=>      S(q-1) = tn.q - t1

             tn.q - t1          t1.qn - t1
=>      S = ---------------- = ----------------
               (q - 1)              (q - 1)

             t1.(qn - 1)
=>      S = ----------------
               (q - 1)

Voorbeeld 1

 
Bereken S = (-2)0 + (-2)1 + (-2)2 + (-2)3 + ... + (-2)2n
S is de som van de eerste (2n+1) termen van een meetkundige rij met als eerste term 1 en als reden q = -2.
 
        1.( (-2)2n+1 - 1)
   S = -----------------------
          ( -2 - 1 )

          1 - (-2)2n+1
     =  -----------------
               3

      en daar 2n + 1 een oneven getal is, krijgen we

         1 + 22n+1
   S = --------------
            3

Voorbeeld 2

De getallen a en b zijn gekende constanten.
Een rij heeft als eerste term t1 = a+ b.
Het verband tussen twee opeenvolgende termen wordt gedefinieerd door tn+1 = a.tn + b.
We stellen ons tot doel tn te berekenen in functie van a en b.
 
  t1 = a + b
  t2 = a.(a + b) + b = a2 + a b + b
  t3 = a.(a2 + a b + b) + b = a3 + b(a2 + a + 1)
  t4 = ... = a4 + b(a3 + a2 + a + 1)

  en zo verder

  tn = an + b(1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 )
Het deel tussen haakjes is de som van n termen van een meetkundige rij met reden a. De som is (an-1)/(a-1). Zo vinden we
 
                   an - 1
    tn = an + b. ----------
                    a - 1

De som van alle termen van een convergerende meetkundige rij.

 
Neem 0 < |q| < 1

                 t1.qn - t1         t1
        S = lim -------------- = -----------
                   (q - 1)        (1 - q)

Eigenschappen van een meetkundige rij gebruiken bij berekenen van andere sommen.

Het kan voorkomen dat men de som van n termen van een niet-meetkundige rij wil berekenen. Het kan gebeuren dit mogelijk is dank zij de kennis van de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij.

We geven een voorbeeld. Stel dat je de volgende som wil bepalen.

S = 1.2-1 + 2.2-2 + 3.2-3 + ... + n.2-n

We schrijven S als volgt:

 
2-1
2-2 + 2-2
2-3 + 2-3 + 2-3
2-4 + 2-4 + 2-4 + 2-4

. . . . .

2-n + 2-n + 2-n + 2-n + ... +2-n
In elke KOLOM staat de som van termen van een meetkundige rij met reden 1/2.
Het aantal termen, in zo'n kolom, vermindert van n tot 1.
Er zijn n kolommen.
We berekenen van elke kolom de som, door de formule van som van de termen van een meetkundige rij te gebruiken.
 
Som eerste kolom is na vereenvoudiging = 1  - 2-n
Som tweede kolom is na vereenvoudiging = 2-1 - 2-n
Som derde kolom is na vereenvoudiging  = 2-2 - 2-n
Som vierde kolom is na vereenvoudiging = 2-3 - 2-n

....

Som n-de kolom is                      = 21-n - 2-n
Dus S = ( 1 + 2-1 + 2-2 + 2-3 + ... + 21-n ) - n.2-n

Tussen haakjes staat er opnieuw een som van n termen van een meetkundige rij. Er komt na vereenvoudiging

S = 2 - 21-n - n 2-n

Dit was het uiteindelijke doel. De som van n termen van een niet-meetkundige rij werd berekend met behulp van de eigenschappen van een meetkundige rij.

Uitgewerkte oefeningen

 
opgeloste oefeningen over rijen kan je vinden via deze link.
 

Op het net:



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.