Rechten in een vlak ; loodrechte stand ; afstanden





Variabel punt van een rechte

Neem de rechte d met vergelijking y = m x + q . Zij t een veranderlijk reeel getal. Dan ligt punt P(t, m.t+q) op de rechte d. Als t varieert, doorloopt punt P de rechte. P is een veranderlijk punt van de rechte. De veranderlijke t heet een parameter.

Voorbeeld: P(t, 3t-1 ) is een veranderlijk punt van de rechte y = 3x-1.

Toepassing:
Bereken het snijpunt van de rechte d met vergelijking y = 3x-1 en de rechte d' met vergelijking 4 x+ 3y -1=0.

We nemen een veranderlijk punt P(t, 3t-1 ) op d.
De voorwaarde opdat dit punt ook op d' zou liggen is 4 t + 3(3t-1) - 1 = 0 <=> t = 4/13.
Het snijpunt is P(4/13 , -1/13)

Concurrente rechten

Drie of meer rechten heten concurrent als en slechts als ze snijden in 1 enkel gemeen punt.

Vergelijking van een rechte door het snijpunt van twee gegeven rechten.

We starten met twee snijdende rechten ax + by + c = 0 en a'x + b'y + c' = 0.
We noemen S(xo, yo) het snijpunt van die twee rechten.
Dan is axo + byo + c = 0 en a'xo + b'yo + c' = 0.
Beschouw nu de rechte d met vergelijking
 
   (ax + by + c) + t (a'x + b'y + c') = 0
Hierin is t een willekeurige parameter verschillend van 0.
S(xo, yo) ligt op de rechte d want
 
(axo + byo + c) + t(a'xo + b'yo + c') = 0 + t.0 = 0
Besluit:
 
  Voor elke t, verschillend van 0, is de rechte

  (ax + by + c) + t (a'x + b'y + c') = 0

  een variabele rechte door het snijpunt van

  ax + by + c = 0   en   a'x + b'y + c' = 0 .

  t is een parameter.

Voorbeeld: Bereken de vergelijking van de rechte welke punt P(1,2) verbindt met het snijpunt van de rechten 2x+3y-1=0 en x-y+4=0.

Een variabele rechte d door het snijpunt van 2x+3y-1=0 en x-y+4=0 heeft vergelijking (2x+3y-1) + t(x-y+4) = 0.
We kunnen nu de gepaste waarde van t berekenen zodat die rechte d het punt P bevat.
De voorwaarde is

 
   (2.1+3.2-1) + t(1-2+4) = 0
<=>
   t = -7/3
De gevraagde rechte is -x + 16y - 31 = 0.

Loodrechte stand

Orthonormaal assenstelsel

In alles wat volgt veronderstellen we:
We noemen dit een orthonormaal assenstelsel.

Vergelijking en richtingscoefficient (rico) van een rechte

We weten dat elke rechte l een vergelijking heeft van de vorm
 
        ax + by + c = 0
Als b niet 0 is, is de rico van de rechte -a/b .
Rechten met dezelfde rico zijn evenwijdig.

Opm: ax + by = 0 is de vergelijking van de rechte door O evenwijdig met l.

Voorbeelden:

Rechte y = 3x + 4 is evenwijdig met de rechte 6x - 2y + 7 = 0

Rechte 5x - 3y +3 = 0 is evenwijdig met de rechte 3y - 5x -14 = 0.

Bereken t zodat de rechte 2x + (t-1) y + 4 = 0 evenwijdig is met de rechte x + y -12= 0.
opl: t = 3

Richtingsvector van een rechte

Neem de rechte l : ax + by + c = 0 en de evenwijdige rechte door de oorsprong l' : ax + by = 0
Elk punt P van l' is het beeldpunt van en vector P welke de richting van de rechte l vastlegt. Daarom heet P een richtingsvector van de rechte l of l'. Elk veelvoud van P (verschillend van 0) is ook een richtingsvector van l.
Een eenvoudige keuze voor P is P(b,-a).

(b,-a) zijn de coordinaten van een richtingsvector van de rechte ax + by + c = 0

Voorbeelden :

(3,5) zijn de coordinaten van een richtingsvector van 5x - 3y +3 = 0.

(1,0) zijn de coordinaten van een richtingsvector van de x-as.

(0,1) zijn de coordinaten van een richtingsvector van de y-as.

(0,-7) zijn de coordinaten van een richtingsvector van de y-as.

Orthogonale rechten - formule

Neem twee rechten l : ax + by + c = 0 en l' : a'x + b'y + c' = 0
Richtingsvectoren zijn P(b,-a) and Q(b',-a').
 
        l en l'  zijn orthogonaal
                <=>
        P en Q  zijn orthogonaal
                <=>
                P.Q = 0
                <=>
        b.b' + a.a' = 0
                <=>
        a.a' + b.b' = 0
Twee rechten l : ax + by + c = 0 en l' : a'x + b'y + c' = 0 zijn orthogonaal als en slechts als
a.a' + b.b' = 0 .

Voorbeelden:

3x + 5y - 12 = 0 en 5x - 3y - 55 zijn orthogonaal.

y - 4 = 0 en 3 x +16 = 0 zijn orthogonaal.

Bereken t zodat 2x + (t-1) y + 4 = 0 en x + y -12= 0 orthogonale rechten zijn.
opl: t = -1

 
Bereken de rechte k door het snijpunt van
   rechte a :  2x + 3y -7 = 0
en rechte b :  x + y = 0
en zodat k loodrecht staat op rechte c :  x - 3y + 10 = 0

We nemen een veranderlijke rechte k door het snijpunt van a en b.

 
   (2x + 3y -7) + t (x + y) = 0
<=>
   (2+t)x + (3+t)y -7 = 0

   Rechte k staat loodrecht op c
<=>
     1(2+t) + 3(3+t) = 0
<=>
     11 + 4t = 0
<=>
     t = -11/4

De gevraagde rechte k heeft vergelijking

   (2-11/4)x + (3-11/4)y - 7 = 0
<=>
   3x - y + 28 = 0

Helling en Orthogonale rechten

Neem twee rechten l : ax + by + c = 0 en l' : a'x + b'y + c' = 0
Als b en b' niet nul zijn, dan zijn de rico's m = -a/b en m' = -a'/b' .
 
        l en  l' zijn orthogonaal
                <=>
        a.a' + b.b' = 0
                <=>
         aa'
        ---- +  1  = 0
         bb'

                <=>
          m.m' + 1 = 0
                <=>
             m.m' = -1
Rechte l met rico m en rechte l' met rico m' zijn orthogonaal als en slechts als m.m' = -1.

Afstand van punt tot rechte

Normaalvector van een rechte

Noem l : ax + by + c = 0
De vector P(b,-a) is een richtingsvector van l.
De vector Q(a,b) is orthogonaal met P want P.Q = 0.
Dus, Q(a,b) is een vector orthogonaal met l.
We noemen Q(a,b) een normaalvector van l.
Elk veelvoud, verschillend van 0, van een normaalvector is een normaalvector

Normaalvergelijking van een rechte

Zij l : ax + by + c = 0
Dan is ook l : rax + rby + rc = 0 met r reeel en niet 0.
We berekenen een gepaste r-waarde zodat de normaalvector Q(ra,rb) een eenheidsvector is.
 
        Q(ra,rb) is een eenheidsvector
                <=>
                Q.Q = 1
                <=>
           ra.ra + rb.rb = 1
                <=>

          r2 (a2  + b2  ) = 1
                <=>
               1                    - 1
        r = ------------  of  r = ------------
             ___________           ____________
            V a2  + b2            V a2  + b2
Breng de positieve waarde van r in de vergelijking van l.
 
               ax +  by + c
        l :  ----------------- = 0
                ____________
               V a2  + b2
Deze vergelijking noemen we normaalvergelijking van l.

Een normaalvergelijking van de rechte ax + by + c = 0 is
 
               ax +  by + c
             ----------------- = 0
                ____________
               V a2  + b2

Voorbeelden

Een normaalvergelijking van de rechte 3 x + 4 y -10 = 0 is 3/5 x + 4/5 y - 2 = 0

Een normaalvergelijking van de y-as is x=0

Een normaalvergelijking van de rechte y = x is (x - y)/sqrt(2) = 0

 
         lx + my + n = 0 is normaalvergelijking van een rechte l
                        <=>
                  Q(l,m) is een eenheidsvector en normaalvector van  l
                        <=>

                      l2  + m2  = 1
 
            lx + my + n = 0 is normaalvergelijking van een rechte

                        <=>

                      l2  + m2  = 1

Afstand van een punt naar een rechte

Neem punt P(a,b) en een rechte met normaalvergelijking lx + my + n = 0 .
Dan is Q(l,m) een eenheidsvector en normaalvector van l.
Noem S(c,d) het snijpunt van l met de loodlijn uit P op l.
Dan is de afstand van P tot l gelijk aan |P,S|.
Nu is PS = r.Q en |P,S| = |r| .

 
        PS = r.Q

=>      S - P = r. Q

=>      S.Q - P.Q = r.Q.Q

=>      cl + dm - (al + bm) = r. 1
                        daar S op l geldt: lc  +  md = -n

=>      -n -al - bm = r

=>      la  + mb  + n = -r

=>      |la  + mb  + n| = |r|
De afstand van een punt P(a,b) tot een rechte l met vergelijking ux + vy + w = 0 is
 
               u a +  v b + w
           | ----------------- |
                ____________
               V u2  + v2
Let op de absolute waarde tekens.

Voorbeeld 1:

We berekenen de afstand van P(1,-1) tot de rechte 3x + 4y -1 = 0.

De normaalvergelijking van de rechte is ( 3x + 4y -1 )/5 = 0.

De afstand is dan | (3.1 + 4.(-1) -1)/5 | = 2/5

Voorbeeld 2:

De afstand van de oorsprong naar de rechte x + 2y -4 = 0 is 4/sqrt(5).

Voorbeeld 3:

Bereken de rechten door het snijpunt van x + y - 2 = 0 en 3x - y + 1 = 0 en rakend aan de cirkel met middelpunt M(5,1) en straal 2.

Methode: We nemen een variabele rechte v door het snijpunt van x + y - 2 = 0 en 3x - y + 1 = 0. Die rechte v zal de cirkel raken als en slechts als de afstand van M tot v gelijk is aan 2.

De variabele rechte v heeft vergelijking

 
    (x + y - 2) + t (3x - y + 1) = 0
<=>
    (1 + 3t) x + (1 - t) y + (-2 + t) = 0



    |M , v| = 2
<=>
      (1 + 3t) 5 + (1 - t)  + (-2 + t)
   | ---------------------------------- | = 2
        _________________________
       V (1 + 3t)2 + (1 - t)2
<=>
                    ____________________
   | 4 + 15 t| = 2 V 2 + 4 t + 10 t2
<=>
   ( 4 + 15 t)2 = 4.( 2 + 4 t + 10 t2)
<=>
    ...
<=>
    t = -0.09  of t = -0.47
De gevraagde rechten zijn
 
  0.73 x + 1.09 y - 2.09 = 0

 -0.41 x + 1.47 y - 2.47 = 0

Bissectrices of deellijnen

Neem rechten l en l' met respectieve normaalvergelijking lx + my + n = 0 en l'x + m'y + n' = 0 .
Een punt P(a,b) ligt op een deellijn als en slechts als
 
        afstand van  P tot l = afstand van  P tot l'
                        <=>
        |la + mb + n| = |l'a + m'b + n'|
                        <=>
        la + mb + n = l'a + m'b + n' of la + mb + n = -(l'a + m'b + n')
De 2 deellijnen van l en l' met normaalvergelijkingen lx + my + n = 0 en l'x + m'y + n' = 0 zijn
 
        lx + my + n = l'x + m'y + n'
en
        lx + my + n = -(l'x + m'y + n')
Zo nodig moeten de vergelijkingen van de rechten eerst omvormd worden tot normaalvergelijkingen.

Voorbeeld 1

Gegeven de rechten k : 3x +4y +10 = 0 en l : x + y + 2 = 0
De normaalvergelijkingen van de rechten zijn resp. (3/5)x +(4/5)y +2 = 0 en (x + y + 2)/sqrt(2) = 0
De afstand van P(0,1) tot k is 14/5.
De deellijnen van de twee rechten zijn :
(3/5)x +(4/5)y +2 = (x + y + 2)/sqrt(2)
(3/5)x +(4/5)y +2 = - (x + y + 2)/sqrt(2)

Voorbeeld 2
Gegeven zijn de rechten
 
   k :   3 x + 4 y - 7 = 0

   b :   x - y = 0
Bereken de rechte m zodat b een bissectrice is van k en m.

De gevraagde rechte m is een rechte door het snijpunt van k en b.
Ze heeft dus een vergelijking van de vorm

 
  ( 3 x + 4 y - 7) + t( x - y) = 0
<=>
  (3 + t) x + (4 - t) y - 7 = 0
Hierin is t een parameter verschillend van 0. We zullen de waarde van t berekenen zodat b de bissectrice is van k en m.
 
 De normaalvergelijking van k is

(3 x + 4 y - 7)/5 = 0

 De normaalvergelijking van m is

  (3 + t) x + (4 - t) y - 7
  -------------------------- = 0
   ______________________
  V (3 + t)2 + (4 - t)2

 De bissectrices van k en m hebben vergelijking

  (3 + t) x + (4 - t) y - 7
  -------------------------- = ± (3 x + 4 y - 7)/5
   ______________________
  V (3 + t)2 + (4 - t)2
We zoeken t zodat die rechte samenvalt met x - y = 0. De constante term moet in elk geval wegvallen. De voorwaarde is:
 
   _______________________
  V (3 + t)2 + (4 - t)2 =  ± 5

<=>
   ...
<=>
   2 t2 - 2t = 0
Daar t niet nul is, is t = 1.
De gevraagde vergelijking van m is dan 4x + 3 y - 7 = 0.

Richtingsvector concurrentie collineariteit

Deze begrippen worden behandeld op deze pagina, maar het vereist de kennis van de theorie omtrent determinanten en stelsels vergelijkingen.

Onderzoeken of een veranderlijke rechte door een vast punt gaat.

Een veranderlijke raaklijn aan een parabool is een veranderlijke rechte, maar er is geen vast punt S te vinden zodat S steeds op die raaklijn ligt.

Het kan echter voorkomen dat een veranderlijke rechte gegeven is, en dat we moeten onderzoeken of die rechte steeds door een vast punt gaat.

Twee stappen methode:

  1. We nemen twee verschillende standen r1 en r2 van de veranderlijke rechte r. We berekenen het snijpunt S van r1 en r2.
    Als er een vast punt bestaat, dan is S dit vaste punt.
  2. We controleren of S werkelijk het vaste punt is door te onderzoeken of S op r ligt, onafhenkelijk van de stand van r.

We geven nu drie voorbeelden van een dergelijk onderzoek.

Voorbeeld 1

We onderzoeken of de veranderlijke rechte r met vergelijking
(2+t)x + (3-t)y -8 + t = 0
door een vast punt gaat. Voor elke waarde van t neemt de rechte r een andere stand in.

  1. We nemen twee verschillende standen r1 en r2 door aan t twee goed gekozen waarden te geven.
    Voor t = -2 vinden we de rechte 5 y = 10 <=> y = 2.
    Voor t = 3 vinden we de rechte 5x = 5 <=> x = 1.
    Het snijpunt S is S(1,2)
  2. We controleren of S steeds op r ligt.
     
       S(1,2)  ligt op r  voor alle t-waarden
    <=>
       (2+t)(1) + (3-t) 2 - 8 + t = 0 voor alle t-waarden
    
       We zien dat dit geldt voor alle t.
    
Besluit: S(1,2) is een vast punt van de veranderlijke rechte.

Voorbeeld 2

We onderzoeken of de veranderlijke rechte r met vergelijking
(t2-1)x + t y + 3 = 0
door een vast punt gaat. Voor elke waarde van t neemt de rechte r een andere stand in.

  1. We nemen twee verschillende standen r1 en r2 door aan t twee goed gekozen waarden te geven.
    Voor t = 1 vinden we de rechte y = -3
    Voor t = 0 vinden we de rechte -x = -3
    Het snijpunt is S(3, -3)
  2. We controleren of S steeds op r ligt.
     
         S(3,-3)  ligt op r  voor alle t-waarden
    <=>
        (t2-1).3 + t.(-3) + 3 = 0  voor alle t-waarden
    <=>
         3 t2 - 3 t = 0  voor alle t-waarden
    
       We zien dat dit NIET geldt voor alle t.
    
Besluit: De veranderlijke rechte gaat niet door een vast punt.

Voorbeeld 3

We onderzoeken of de veranderlijke rechte r met vergelijking
(3 sin(t)-2)x - 3 cos(t) y + 2 cos(t) = 0
door een vast punt gaat. Voor elke waarde van t neemt de rechte r een andere stand in.

  1. We nemen twee verschillende standen r1 en r2 door aan t twee goed gekozen waarden te geven.
    Voor t = pi/2 vinden we de rechte x = 0
    Voor t = 0 vinden we de rechte -3 y + 2 = 0
    Het snijpunt is S(0, 2/3)
  2. We controleren of S steeds op r ligt.
     
        S(0, 2/3) ligt op r  voor alle t-waarden
    <=>
        (3 sin(t)-2).0 - 3 cos(t)(2/3) + 2 cos(t) = 0   voor alle t-waarden
    <=>
          -2 cos(t) + 2 cos(t) = 0  voor alle t-waarden
    
         We zien dat dit geldt voor alle t.
    
Besluit: S(0, 2/3) is een vast punt van de veranderlijke rechte.

Oefeningen

Bereken de rechte d door het snijpunt van de rechten 2x+y-3=0 en x+y-2=0 en loodrecht op de rechte 3x-y+4=0

Gegeven is de rechte d met vergelijking x + y + 1 = 0 en het punt P(1,2). Zoek de punten Q van rechte d zodat |PQ|=4.

Gegeven zijn de rechten d en d' met respectievelijk vergelijking 3x + 4 y + 1 = 0 en x - y - 2 = 0. Bereken de punten P op de rechte d' zodat de afstand van P tot de rechte d gelijk is aan 7.

Volgende oefeningen steunen ook de kennis van de eigenschappen van scalair product van vectoren. ( zie vectoren )

De hoek tussen twee rechten d en d' is gelijk aan de scherpe hoek tussen een richtingsvector van d en een richtingsvector van d'.
Bereken de hoek ( in graden) tussen de rechten d en d' met respectievelijk vergelijking 3x + 4 y + 1 = 0 en x - y - 2 = 0.

Twee rechten d en d' hebben respectievelijk vergelijking 3x + 4 y + 1 = 0 en x - y - 2 = 0. Noem b en b' de twee deellijnen van die rechten.
Bereken de hoek ( in graden ) tussen de rechten d en b en de hoek tussen d en b'.

Het punt P(t, t2) is een variabel punt van de parabool met vergelijking y = x2.
Beschouw de rechte PQ met Q(6,0). Voor welke waarden van t is de hoek tussen PQ en de rechte y=0 gelijk aan 45 graden.

Een regelmatige vijfhoek heeft zijn middelpunt in de oorsprong O(0,0) en de zijde [AB] ervan is gelegen op de rechte z met vergelijking 3x + 4y -12 = 0.
Bereken de oppervlakte van die vijfhoek.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.