Poolcoordinaten




Poolcoordinaten van punt P.

In het vlak kiezen we een vast punt O, en we noemen het de pool.
We kiezen ook een x-as door de pool en noemen dit de poolas.
Op de x-as, is er juist 1 vector E zo dat abs(E)=1.
De pool en de poolas vormen de basis van het poolcoordinatenstelsel.

Neem een punt P.
Op de rechte OP kiezen we een as u.
Het getal t is een waarde van de hoek van de x-as naar de u-as.
Het getal r is zo dat P = r.U
De getallen r en t bepalen ondubbelzinnig het punt P.
We zeggen dat (r,t) een stel poolcoordinaten van P is.

 
    
Een punt P heeft vele stellen poolcoordinaten. Als (r,t) een stel poolcoordinaten is van P, dan is (r, t + 2.k.pi) ook een stel poolcoordinaten en bovendien is (- r, t + (2.k+1).pi ) ook een stel poolcoordinaten van P.
Natuurlijk is k een geheel getal.

Voorbeelden

Eerste figuur:
Poolcoordinaten van P zijn (2 , 0.3) of (-2 , 3.44) of (2 , -5.98) ...

Tweede figuur:
Poolcoordinaten van P zijn (-1.4 , 3.6) of (1.4 , 0.46 ) of (1.4 , -5.8) ...

Derde figuur:
Poolcoordinaten van P zijn (3 , 5.7) of (3 , -0.58) of (-3 , 2.56 ) ...

De stellen poolcoordinaten van de pool O zijn, bij definitie, (0,t) met t volledig willekeurig.

Van poolcoordinaten naar cartesische coordinaten.

Een poolcoordinatenstelsel is gegeven en punt P heeft poolcoordinaten (r,t). We kiezen een y-as door de pool O en loodrecht op de x-as. We hebben cartesische assen x en y. Noem (x,y) de cartesische coordinaten van P.

Volgens de vorige definitie zijn de cartesische coordinaten van U (cos t, sin t).
Daar P = r.U zijn de cartesische coordinaten van P (r.cos t, r.sin t).

De transformatieformules zijn x = r.cos t ; y = r.sin t

Eerste figuur: de cartesische coordinaten van P zijn (1.91, 0.59)
Tweede figuur: de cartesische coordinaten van P zijn (1.25, 0.62)
Derde figuur : de cartesische coordinaten van P zijn (2.50, -1.65)

Van cartesische naar poolcoordinaten.

We starten met een cartesisch coordinatenstelsel. We kiezen O als pool en de x-as als pool-as.

De cartesische coordinaten van een punt P zijn (x,y).
Kiezen de u-as zo dat r > 0. Dan

 

        P = r U => P2 = r2  U2  => x2  + y2 = r2

        r = sqrt(x2  + y2)

        Nu, kiezen een  t-waarde  zo dat x = r.cos t en y = r.sin t
Zo hebben we een stel poolcoordinaten (r,t) van P.
Uitgaande van dit stel vinden we alle stellen
(r, t + 2.k.pi) en (- r, t + (2.k+1).pi )

Oefening : Transformeer de drie paren cartesische co÷rdinaten van P hierboven terug naar poolco÷rdinaten.

Poolvergelijking van een kromme .

Beschouw een verband tussen de poolcoordinaten of een punt en veronderstel dat dit verband kan uitgedrukt worden in de vorm F(r,t)=0 of misschien expliciet in de vorm r = f(t).
Zo'n vergelijking heet een poolvergelijking of een kromme.
Met elke oplossing (ro,to) van de poolvergelijking, correspondeert een punt met poolcoordinaten (ro,to). Over het algemeen heeft de vergelijking oneindig veel zulke oplossingen en dan zijn er oneindig veel punten op de kromme. De verzameling van al deze punten is de grafiek van de vergelijking.

Elk punt P van de kromme heeft minstens 1 stel poolcoordinaten welke voldoet aan de vergelijking. Noteer dat over het algemeen niet alle stellen poolcoordinaten van P oplossingen zijn van de vergelijking. Het kan ook voorkomen dat eenzelfde kromme verschillende poolvergelijkingen heeft.

Voorbeelden

 
    
Oefening 1:
Met een grafisch rekentoestel kan je de grafiek van een poolvergelijking bekijken.
Via deze link kom je op een site waar je een poolvergelijking van een kromme kan intikken en de grafiek ervan bekijken. Je moet wel vooraf kiezen voor 'polar' in plaats van 'cartesian'. Je kan ook kiezen om meerdere krommen op 1 figuur te kunnen plotten.
De grafieken van volgende uitdrukkingen kan je bijvoorbeeld achtereenvolgens intikken.
4*cos(t) geeft een cirkel
4*cos(2*t) geeft een vierbladige kromme
1/(1-cos(t)) geeft een parabool
1/(1-0.8*cos(t)) geeft een ellips met een brandpunt in de pool
(1 + cos(t)) geeft een cardioide
 
    
Oefening 2:
Plot de vierbladige kromme r = 4 cos(2*t). Bepaal de poolvergelijking van de cirkel welke raakt aan de topjes van die vier blaadjes. Plot de gevonden cirkel

Oefening 3:
Neem de kromme met poolvergelijking r = 2.tan(t).sin(t). Plot de kromme.
Neem op de kromme het punt A corresponderend met t = pi/4 en B is het spiegelbeeld van A t.o.v. de poolas. Bereken de oppervlakte van driehoek OAB.

Oefening 4:
Neem de kromme met poolvergelijking r = 2.tan(t).sin(t). Neem het punt A op de kromme zodat |OA| = 1/sqrt(3) en t in het eerste kwadrant.
Bereken t.

Richting van een kromme in poolcoordinaten

 
      
Onderstel dat een kromme c een poolvergelijking r = f(t) heeft.
In een variabel punt P van de kromme tekenen we een raaklijn en op die rechte plaatsen we de as b in de richting van de stijgende t-waarden.
Dit definieert de hoek n en de hoek a.
tan(n) definieert de richting van de kromme c in punt P. Deze tan(n) is gelijkaardig met de richtingscoefficient in cartesische coordinaten.
We bereken tan(t).
 
        t + n = a

=>      n = a - t

                 tan(a) - tan(t)
=>      tan(n) = -----------------
                 1 + tan(a).tan(t)

Stel dat het variabel punt P  cartesische coordinaten (x,y) heeft.
Dan weten we dat

                 dy                  y
        tan(a) = ---  en  tan(t) = ---
                 dx                  x
Dus,

                   dy   y
                   -- - -
                   dx   x       x dy - y dx
        tan(n) = ---------- = --------------
                     dy   y     x dx + y dy
                 1 + -- . -
                     dx   x

Uit x = r cos(t) en y = r sin(t)
hebben we
        dx = dr.cos(t) - r.sin(t) . dt
        dy = dr.sin(t) + r.cos(t) . dt
we bereken

        x dy - y dx = r2 dt


Uit     x2  + y2  = r2  volgt

        2 x dx + 2 y dy = 2 r dr     of

         x dx +  y dy =  r dr

nu kunnen we  tan(n) vereenvoudigen

                 r2 dt         r
        tan(n) = -------  = ------- =
                  r dr       dr/dt

                    r
        tan(n) = -----
                    r'

De volgende formule geeft de richting of de kromme c in punt P. Hierin is r = f(t) de vergelijking of de kromme en r' staat voor (dr/dt) = f'(t). Uit r en r' kan je de richting n bereken (zie vorige figuur ) in elk punt.
 
             r
tan(n) = --------
             r'

Oefening1:
We nemen de kromme met poolvergelijking r = 4 cos(t). De grafiek ervan is een cirkel met straal 2 door de pool en middelpunt op de poolas. Teken de cirkel. Kies punt P op de cirkel met poolcoordinaten (2 , pi/3 ). Teken OP en de raaklijn in P. Teken de hoek n zoals op de vorige figuur. Bereken die hoek met met de formule tan(n) = r/r' en controleer het resultaat op uw tekening.

Oefening2:
We nemen de kromme met poolvergelijking r = 1/(1-cos(t)). De grafiek ervan is de parabool met cartesische vergelijking y2 = 2x+1. Schets de parabool. Kies punt P op de parabool met poolcoordinaten (2 , pi/3). Teken OP en de raaklijn in P. Teken de hoek n zoals op de vorige figuur. Bereken die hoek met met de formule tan(n) = r/r' en controleer het resultaat op uw tekening.

Isogonale Krommen

We zoeken nu krommen zo dat de richting n (zie vorige figuur ) van de kromme gelijk is aan een constante k.

 
    cot(n) = r'/r = (ln(r))'
Nu moet
    (ln(r))' = k voor alle t.
Neem eerst k = 0. Dan is ln(r) = constant en daardoor is r constant. De krommen zijn de cirkels met middelpunt in de oorsprong.
Neem nu k niet 0. Dan is
 
    (ln(r))' = k

      dln(r)
<=>  ------- = k
       dt

<=>   ln(r) = k t + constante

                  we noteren de constante als ln(m)

<=>    ln(r) = k t +  ln(m)

<=>     r = m ekt

Deze isogonale krommen heten logaritmische spiralen of spiralen van Bernouilli.

Oefening:
Geef aan de parameters m en k verschillende waarden en plot enkele spiralen. Laat t varieren zodat je enkele omwentelingen kan zien.

Voor welke waarde van k is de constante hoek 60 graden? (oplossing: k = 1/sqrt(3) )

Raaklijn evenwijdig met de de poolas

Uit vorige figuur volgt
 
      De raaklijn is evenwijdig met de poolas

<=>     t + n = k.pi

<=>     tan(t) = - tan(n)

                    r
<=>     tan(t) = - ---
                    r'
De volgende formule geeft de t-waarden van alle punten of een kromme r=f(t), zodat de raaklijn parallel is met de pool-as.
De waarde r' staat voor (dr/dt) = f'(t). Om de t-waarden te berekenen moet je de volgende goniometrische vergelijking oplossen:
 
             r
tan(t) = - -----
             r'

Raaklijn loodrecht op de poolas

Steunend op vorige figuur :
 
        De raaklijn is loodrecht op de poolas

<=>     t + n = pi/2 + k.pi

<=>     tan(t) = cot(n)

                    r'
<=>     tan(t) =   ---
                    r
De volgende formule geeft de t-waarden van alle punten of een kromme r=f(t), zodat de raaklijn loodrecht staat de pool-as.
De waarde r' staat voor (dr/dt) = f'(t). Om de t-waarden te berekenen moet je de volgende goniometrische vergelijking oplossen:
 
           r'
tan(t) = -----
           r

Onderzoek van een kromme

Voorbeeld 1

Neem de kromme met poolvergelijking r = cos(t/2).

 
        

Voorbeeld 2

Neem de kromme met vergelijking r = cos(2t))/cos(t)
Stel f(t) = cos(2t))/cos(t)

 
        
Uit de vorm van de kromme volgen dan vermoedens welke hieronder door berekeningen bevestigd worden.

Van een cartesische vergelijking naar een poolvergelijking

Veronderstel dat een kromme C een cartesische vergelijking F(x,y) = 0 heeft.
Als we zonder nadenken x en y respectievelijk vervangen door r.cos(t) en r.sin(t) dan we hebben een poolvergelijking F(r.cos(t), r.sin(t)) = 0 van een kromme C'.
We tonen aan dat C = C'.
Veronderstel dat een kromme C een cartesische vergelijking F(x,y) = 0 heeft.

Als we x en y respectievelijk vervangen door r.cos(t) en r.sin(t) dan we hebben een poolvergelijking F(r.cos(t),r.sin(t))=0 van de kromme C.


Voorbeeld 1:
We wensen een poolvergelijking te vinden voor de kromme met cartesische vergelijking y2 + x2 - 4 x = 0.
We vervangen x en y respectievelijk door r.cos(t) en r.sin(t).
 
      r2 cos2(t) + r2 sin2(t) - 4r cos(t) = 0
<=> r2 - 4r cos(t) = 0
<=> ( r= 0 of r - 4 cos(t) = 0 )
Het deel r = 0 is de vergelijking van de pool zelf. De pool behoort dus tot de grafiek.
Het deel r = 4 cos(t) bevat ook de pool want voor t = pi/2 is r = 0.
De grafiek zal dus niet veranderen als we het deel r= 0 weglaten.
De volledige kromme heeft dus poolvergelijking r = 4 cos(t).

Voorbeeld 2:
We wensen een poolvergelijking te vinden voor de kromme met cartesische vergelijking

 
     y2 (1 + x) - x2 (1 - x) = 0

   We vervangen x en y respectievelijk  door  r.cos(t) en  r.sin(t)

     r2 sin2(t) ( 1 + r cos(t)) - r2 cos2(t) (1 - r cos(t)) = 0

<=>  r2 ( sin2(t) - cos2(t) + r cos(t) sin2(t) + r cos3(t)) = 0

<=>  r = 0 of  - cos(2t) + r cos(t) = 0

<=>  r = 0 of cos(2t) = r cos(t)

                   cos(2t)
<=>  r = 0 of r = --------
                   cos(t)
Daar r = cos(2t)/cos(t) de pool bevat is het deel r=0 overbodig.
r = cos(2t)/cos(t) is de gevraagde poolvergelijking.

Oefening: Toon aan dat de hyperbool x y = 2 een poolvergelijking r2 sin(2t) = 4 heeft.

Van een poolvergelijking naar een cartesische vergelijking

Veronderstel dat een kromme C een poolvergelijking G(r,t) = 0 heeft.
Het kan voorkomen dat die vergelijking kan omvormd worden tot een vorm
F(r.cos(t), r.sin(t)) = 0.
In dit geval kan je, op dezelfde manier als hierboven, aantonen dat F(x,y) = 0 de cartesische vergelijking is van C.
De omvorming van G(r,t) = 0 naar F(r.cos(t), r.sin(t)) = 0 is dikwijls heel moeilijk of onmogelijk.
Veronderstel dat een kromme C een poolvergelijking G(r,t) = 0 heeft.

Als deze vergelijking kan omvormd worden tot een vergelijking van de vorm
F(r.cos(t), r.sin(t))=0
Dan is F(x,y)=0 is de cartesische vergelijking of C.


Voorbeeld 1:.. Veronderstel dat een kromme C een poolvergelijking r2 = 4 heeft. We kunnen dit transformeren tot
 
        r2  cos2 (t)  + r2  sin2 (t)  - 4 = 0  <=>  x2  + y2  = 4

Voorbeeld 2:
Veronderstel dat een kromme C een poolvergelijking r = -3 sin(t) heeft.
Voor t = 0 is ook r = 0 dus de kromme bevat de pool en dus voegen we geen punt toe aan C als we beide leden van de vergelijking vermenigvuldigen met r.
C heeft dus ook poolvergelijking r2 = -3 r sin(t).
De cartesische vergelijking is dan x2 +y2 + 3y = 0. De kromme is een cirkel.

Voorbeeld 3:
Veronderstel dat een kromme C een poolvergelijking r = 1 + 2.cos(t) heeft.
We kiezen t zo dat cos(t) = 0.5, dan is r = 0. Dus, de pool behoort tot C en dus voegen we geen punt toe aan C als we beide leden van de vergelijking vermenigvuldigen met r.
C heeft een poolvergelijking r2 = r + 2.r.cos(t) <=> r = r2 - 2.r.cos(t)

Neem nu de kromme C' : r = -( r2 - 2.r.cos(t)) . We tonen aan dat elk punt van C ook op de kromme C' ligt.
We nemen daartoe een willekeurig punt van P(ro,to) van C. Daar P op C ligt geldt

 
      ro = ro2 - 2.ro.cos(to)    (*)
Maar hetzelfde punt P heeft ook poolcoordinaten ( -ro, to + pi ). Dus geldt ook P(-ro,to + pi). We tonen nu aan dat P op C' ligt.
 
   P( -ro, to + pi) ligt op C'
<=>
   - ro = -( ro2 + 2.ro.cos(to + pi) )
<=>
    ro = ro2 - 2.ro.cos(to)

     en dit laatste is geldig steunend op (*)
Op analoge wijze toont men aan dat elk punt van C' ook tot C behoort. (oefening)

We kunnen nu schrijven:

 
C heeft een poolvergelijking    r = (+1 of -1).( r2 - 2.r.cos(t))

<=> C heeft een poolvergelijking r2  = (r2  - 2 r cos(t))2

<=> C heeft een  cartesische vergelijking x2  + y2  = ( x2  + y2 -2 x )2

Meer voorbeelden van krommen met poolvergelijking

Er is een site op het net waar je grafieken kan zien van alle merkwaardige krommen samen met hun poolvergelijking en het cartesische equivalent (als het bestaat).
 
        Cardioide
        Cissoide van Diocles
        Cochleoide
        Conchoide
        Trifolium
        Folium
        Folium van Descartes
        Hyperbolische Spiraal
        Lemniscaat van  Bernoulli
        Right Strophoide
        enz...

Ga kijken naar

Famous Krommen Index

Scalair product in poolcoordinaten

Neem een poolcoordinatenstelsel en twee vectoren
 
        u(r1 , t1 ) en v(r2 , t2 )

In het corresponderend  cartesische coordinatenstelsel hebben de twee  vectoren
 cartesische coordinaten
        u(x1 , y1 ) en v(x2 , y2 )

met
        x1  = r1  cos(t1 )   x2  = r2  cos(t2 )


        y1  = r1  sin(t1 )   y2  = r2  sin(t2 )


Het scalair product u.v

        = x1 x2  + y1 y2


        = r1  cos(t1 ) . r2  cos(t2 ) + r1  sin(t1 ).r2  sin(t2 )


        = r1 r2 (cos(t1 )cos(t2 ) + sin(t1)sin(t2 ))


        = r1 r2  cos(t1 - t2 )

 
Het scalair product van  twee vectoren u (r1 , t1 ) en v (r2 , t2 )

 is     u . v = r1 r2  cos(t1 - t2 )


Oefening:
De punten P en Q zijn variabele punten met resp poolcoordinaten (sin(t) , t) en (2, 2t). Hierin is t een parameter verschillend van 0.

Bereken voor welke waarden van t is het scalair product van OP en OQ gelijk aan 2.
Neem achteraf een gevonden t-waarde en teken de vectoren OP en OQ en controleer meetkundig of het scalair product 2 is.

Een rechte en zijn poolvergelijking

Een rechte door de pool.

Daar alle punten van de rechte corresponderen met een constante waarde van de hoek t en omgekeerd, is de vergelijking of zo'n rechte t = constante.
Voorbeeld :
t = 0 is de poolas
t = pi/2 is de y-as
t = 1
...

Een rechte d niet door de pool.

Teken een rechte door de pool loodrecht op de gegeven rechte d.
Noem N(ro,to) het snijpunt.
 
        punt P(r,t) ligt op rechte d

<=>     PN is loodrecht op ON

<=>     PN . ON = 0

<=>     (N - P). N = 0

<=>     N.N - P.N = 0

<=>     ro.ro.cos(0) - r.ro.cos(t - to) = 0

Daar ro en cos(t - to)   niet 0 zijn
                ro
<=>     r = -----------
            cos(t - to)
Neem een rechte d niet door de pool.
De rechte l, door de pool en loodrecht op de rechte d snijdt d in een punt N(ro,to).
De vergelijking van d is
 
            ro
      r = -----------
          cos(t - to)

Oefening 1:
De punten A, B en C hebben poolcoordinaten (2 , pi/2) (2 , 0) en (2 , pi). Bereken de poolvergelijkingen van de rechten AC, AB en BC.
(oplossing : r = sqrt(2)/cos(t-pi/4) ; r = sqrt(2)/sin(t-pi/4) ; t = 0 )

Oefening 2:
Gegeven is de poolvergelijking van een kromme c.

 
               12
r = ---------------------------
       6 sin(t) - 4 cos(t)
Gevraagd:
Bereken de cartesische vergelijking van c.

Een cirkel en zijn poolvergelijking

Een cirkel met de pool als middelpunt.

In dit geval is de poolvergelijking vanzelfsprekend.
Voorbeelden :
r = 2
r = 5
r = -5 (Zelfde cirkel als r = 5)
r = 0 is de pool
...
Een cirkel met de pool als middelpunt en straal R heeft een poolvergelijking r = R

Een willekeurige cirkel

Zij C(ro,to) het middelpunt en R de straal.
 
        P(r,t) is op de cirkel

<=>     || CP ||  = R


<=>     || CP ||2  = R2


<=>     (P - C)2 = R2


<=>     P2  - 2 P C + C2  = R2


<=>     r2  - 2 r ro cos(t - to) + ro2  = R2
Een cirkel, met C(ro,to) als middelpunt en R als straal, heeft een poolvergelijking
 
        r2  - 2 r ro cos(t - to) + ro2  = R2

Oefening:
Bereken middelpunt en straal van de cirkel r(r + 4 sin(t)) = 21.
Oplossing: C(-2,pi/2) R=5

Een speciale cirkel

Neem de cirkel met middelpunt C(R,0) en R als straal.
Voor de vergelijking nemen we de vorige formule met ro = R en to = 0.
De vergelijking is
 

        r2  - 2 r R cos(t) = 0

<=>     r = 0  of r = 2R cos(t)


<=>     r = 2R cos(t)
        (Want deze kromme bevat reeds de pool voor  t = pi/2)
Een cirkel, met C(R,0) als middelpunt en R als straal, heeft een poolvergelijking
 
                r = 2R cos(t)

Snijpunten van twee krommen

Een probleem met snijpunten of twee krommen

Een kromme l is een rechte met een poolvergelijking t = 1.
Een kromme c is een cirkel met een poolvergelijking r = 2.

In cartesische coordinaten vinden we de coordinaten van de twee gemene punten door het stelsel op te lossen van de twee vergelijkingen.
Maar als we het stelsel oplossen van de poolvergelijkingen vinden we maar 1 punt met poolcoordinaten (2,1).

We zullen nu de oorzaak van dit verschijnsel aantonen

De oorzaak van het probleem

Een kromme c heeft een poolvergelijking F(r,t)=0.
Noem V de verzameling van alle oplossingen van de vergelijking F(r,t)=0.
Dan is kromme c de verzameling van alle punten corresponderend met de verzameling V.
Met elk element van V correspondeert juist 1 punt van c.

Analoog, De kromme c' heeft een poolvergelijking F'(r,t)=0.
Noem V' de verzameling van alle oplossingen of de vergelijking F'(r,t)=0.
Dan is kromme c' de verzameling van alle punten corresponderend met de verzameling V'.
Met elk element van V' correspondeert juist 1 punt van c'.

Met een element van de doorsnede van V en V' correspondeert een gemeen punt van c en c', MAAR het kan voorkomen dat V een oplossing (ro,to) bevat en dat V' een verschillende oplossing (r1,t1) bevat en dat, niettegenstaande ze verschillend zijn, toch beide oplossingen corresponderen met een gemeenschappelijk punt van c en c'. Dan zijn (ro,to) en (r1,t1) verschillende poolcoordinaten of dat zelfde punt.

In het vorige voorbeeld hebben we
(-2,1) is een oplossing van t = 1 en dit geeft een punt op de rechte l.
(2,1+pi) is een oplossing van r = 2 en dit geeft een punt op de cirkel c.
Alhoewel deze oplossingen verschillend zijn, is het corresponderende punt een snijpunt van de rechte en de cirkel. Dit snijpunt vinden we niet terug door het bovenvermelde stelsel van de vergelijkingen van cirkel en rechte op te lossen!

Een oplossing van dit probleem. Een speciale eigenschap (E).

Er zijn poolvergelijkingen met een speciale eigenschap. We zullen zien dat bij dergelijke poolvergelijkingen, het zojuist beschreven probleem niet kan voorkomen.

Die eigenschap van een poolvergelijking van een kromme c noemen we voortaan 'de eigenschap (E)'. Ze is deze :
ALLE poolcoordinaten van ELK punt van de grafiek zijn oplossingen van de poolvergelijking

Gevolg:

Stel dat een kromme c een poolvergelijking F(r,t)=0 heeft met de eigenschap (E), en een kromme c' heeft een poolvergelijking F'(r,t)=0 maar niet noodzakelijk de eigenschap (E).
Zij S een gemeen punt van de twee krommen c en c'. Minstens 1 stel poolcoordinaten (ro,so) van S is oplossing van F'(r,t)=0. Maar ALLE stellen poolcoordinaten van S zijn oplossingen van F(r,t)=0 dus ook (ro,so). Het stel (ro,so) is dus zeker een oplossing van het stelsel van de twee vergelijkingen. Hieruit volgt dat de oplossingenverzameling van het stelsel van de twee poolvergelijkingen, de coordinaten bevat van ALLE snijpunten van de twee krommen. Het probleem is verdwenen!

Besluit:
Als minstens 1 van twee poolvergelijkingen de eigenschap (E) bezit dan is het probleem verdwenen en dan kunnen alle snijpunten van de twee krommen gevonden worden door het stelsel van de twee vergelijkingen op te lossen. (De pool ontsnapt soms, zie verder)

Vergelijkingen met eigenschap (E)

De pool is een speciaal punt

Daar de pool zoveel poolcoordinaten heeft, moeten we altijd dit geval afzonderlijk onderzoeken.

Voorbeeld: We bereken de snijpunten van de krommen met vergelijking

 
  r = 4 cos(t)  en  r = 4 sin(t)
Daar de eerste vergelijking de eigenschap (E) heeft, zijn de snijpunten de oplossingen van het stelsel
 
        r = 4 cos(t)
        r = 4 sin(t)
De coordinaten van de pool zijn geen een oplossing van dat stelsel maar de pool IS toch een snijpunt van de krommen.

Om de snijpunten van kromme c met vergelijking F(r,t)=0 en c' met vergelijking F'(r,t)=0 te berekenen, is het voldoende het stelsel op te lossen van de vergelijkingen F(r,t)=0 en F'(r,t)=0 op voorwaarde dat minstens 1 van de vergelijkingen de eigenschap (E) heeft. Maar zelfs dan moet afzonderlijk onderzocht worden of de pool een gemeenschappelijk punt is.

Oefening:
Bereken de snijpunten van de kromme r = cot(2t) met de rechte door punt (1,0) en loodrecht op de poolas.

 
     

Oefening:
Bereken de snijpunten van de cirkel r = 2 sin(t) en de cardioide r = 1+cos(t).
 
      

Rotatie en de poolvergelijking.

Zij alpha een constante. Neem de krommen
 
        c met vergelijking F(r,t)=0             (1)
en
        c' met vergelijking F(r, t - alpha)=0   (2)

Nu  hebben we

P(ro,to) is een oplossing van (1)  <=> P(ro,to + alpha) is een oplossing van (2)
Dit betekent dat we de kromme c' verkrijgen door de kromme c , om O, te draaien over een hoek alpha.

Voorbeeld 1:

Als we de cirkel r = 4cos(t) draaien over een hoek van pi/2 radialen, dan heeft de nieuwe cirkel de vergelijking

 
        r = 4 cos(t - pi/2)
<=>     r = 4 sin(t)
Draaien we de kromme c met vergelijking F(r,t)=0 , om punt O, over een hoek alpha. dan heeft de nieuwe kromme de vergelijking F(r, t - alpha)=0.

Voorbeeld 2:

We nemen de kromme c met poolvergelijking r = sin(2t). We wentelen de kromme over pi radialen om de pool. De vergelijking van de gewentelde kromme c' is dan

 
  r =  sin(2(t-pi))  <=> r = sin(2t - 2pi) <=> r = sin(2t)
We vinden dezelfde vergelijking als voor de kromme c. Dus c en c' vallen samen. Dit betekent dat de kromme c invariant is voor een rotatie over pi radialen.

Asymptoten in poolcoordinaten

Visualisatie van dr/dt

 
    
Veronderstel dat een kromme c poolvergelijking r = f(t) heeft.
In een variabel punt P van de kromme, tekenen we een raaklijn en op die rechte duiden we de as b aan in de richting van toenemende t-waarden.
Dit definieert de hoek n en de hoek a.
Draai nu de as u in over pi/2 radialen. Dit geeft ons de as s.
Het snijpunt van punt b en s is T.
Neem N op s zo dat PN loodrecht staat op TP. (zie figuur)
B is de eenheidsvector met abscis 1 ten opzichte van de as b.
S is de eenheidsvector met abscis 1 ten opzichte van de as s.
We hebben

Asymptoten

Zij r = f(t) een poolvergelijking van een kromme c.
Eerst schrijven we deze vergelijking als 1/r = g(t).
Als to een oplossing is van g(t)=0, dan geeft to de richting van de asymptoot.
we hebben :
 
        1      d  1
        -  =  -- (-) = g'(t)  <=> m = 1/ g'(t)
        m     dt  r

Dus,
        mo = 1/ g'(to)
vanaf mo plaatsen we punt T en dan tekenen we de asymptoot.
 
    
De vergelijking van de asymptoot is
 
                mo
        r = ---------------
            cos(t-(to+pi/2))

                 mo
      <=> r = ----------
              sin(t -to)


We berekenen de asymptoten van de kromme c met poolvergelijking r = f(t) in vier stappen:
  • Schrijf g(t) = 1/f(t).
  • Bereken to = een oplossing van g(t)=0.
    to geeft de richting van de asymptoot.
  • Bereken mo = 1/ g'(to).
  • de asymptoot is de rechte door punt (mo,to+pi/2) en met richting to. De vergelijking is
     
                     mo
              r = -----------
                  sin(t - to)
    

Voorbeeld :

Neem de kromme c met vergelijking r = 3/(1+2cos(t)).
Dan is g(t) = (1+2cos(t))/3 en g'(t) = -2sin(t)/3
g(t) = 0 voor to = 2pi/3 en t1 = -2pi/3
Deze waarden zijn de richtingen van de asymptoten.
De corresponderende waarden van m zijn
mo = - sqrt(3) en m1 = sqrt(3).
De asymptoten zijn

 
                - sqrt(3)                        sqrt(3)
        r = ---------------  en         r = ---------------
             sin(t - 2pi/3)                  sin(t + 2pi/3)
In een grafiek geeft dit een hyperbool en zijn twee asymptoten.
 
            
Oefening: Bereken de asymptoot van de kromme r = 2 tan(t) . sin(t)

Oppervlakte met poolcoordinaten

Algemene formule

 
        
Een kromme heeft poolvergelijking r = f(t). Beschouw het gekleurde deel begrensd door OAB. Men kan aantonen dat de oppervlakte van dit deel gelijk is aan
 
    t2
  /
  |   1
  |   - r2 dt
  |   2
  /
  t1

Oppervlakte berekeningen

Een cardioide heeft poolvergelijking r = 2 a (1 + cos(t)). Op de grafiek is a = 1/2.
 
        
Daar de kromme symmetrisch is t.o.v de poolas berekenen we eerst de oppervlakte van de bovenste helft. De oppervlakte van dit deel is
 
    pi
  /
  |   1
  |   -  4 a2 (1 + cos(t))2 dt
  |   2
  /
  0

         pi
       /
       |
 =2a2 |  (1 + 2 cos(t) + cos2(t)) dt
       |
       /
       0

              nu is  cos2(t) = (1/2) (1 + cos(2t))

                                                     pi
 = 2 a2 [ t + 2 sin(t) + (1/2)( t + (1/2) sin(2t) ]
                                                     0

 =  2 a2  (3/2) pi = 3 pi a2
De totale oppervlakte van de cardioide is 6 pi a2

Oefening 1 :
De poolvergelijking r = sin(3t) geeft ons een driebladige kromme. Bereken de oppervlakte van 1 blad.

 
        

Oefening 2:

Bereken de oppervlakte van het deel van de cirkel r = 4 cos(t) gelegen buiten de cirkel r = 1.5

 
        

Oefening 3:
Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de kleinste lus van de kromme r = 1 + 2 cos(t).

 
        

Lengte berekening met poolcoordinaten

 
        
Een kromme heeft poolvergelijking r = f(t). Beschouw de boog AB.
Noem r' = dr/dt.
Men kan aantonen dat de lengte van die boog gelijk is aan
 
    t2
  /
  |
  |   sqrt( r2 + r'2) dt
  |
  /
  t1

lengte van een cardioide

We berekenen de lengte van de cardioide r = 1+cos(t).
 
    

   r' = - sin(t)

   r2 + r'2 = 1 + 2 cos(t) + cos2(t) + sin2(t)

        = 2 (1 + cos(t))

        = 4 cos2(t/2)

   De lengte van de halve cardioide is dan

    pi
  /
  |                                   pi
  |   2 cos(t/2) dt  = 2 [2 sin(t/2)]      = 4
  |                                   0
  /
  0

De totale lengte is 8.
De lengte van r = a.(1+cos(t)) = 8 a

Meetkundige plaats en poolcoordinaten -- voorbeeld

Punt A is een vast punt van een cirkel C met straal 1.
De rechte r is de raaklijn in een veranderlijk punt P van die cirkel.
Door punt A trekken we de loodlijn l op rechte r.
We zullen de meetkundige plaats berekenen van het snijpunt S van de rechten r en l.

 
    
Om de meetkundige plaats te berekenen passen we de methode toe van geassocieerde krommen (zie theorie meetkundige plaatsen).

De rechten r en l kunnen aanzien worden als geassocieerde rechten waarvan het snijpunt S de meetkundige plaats beschrijft.
De veranderlijke hoek a nemen we als parameter. We zullen de vergelijkingen berekenen van die geassocieerde rechten en dan de parameter a elimineren.

De poolcoordinaten van S zijn ( 1+cos(a) , a )

 
 De poolvergelijking van de rechte l door de oorsprong is

         t = a                      (1)

 De poolvergelijking van de rechte r is

                1 + cos(a)
         r = ---------------        (2)
                cos(t-a)
Om de meetkundige plaats te vinden eleimineren we a uit (1) en (2). Het volstaat (1) in (2) te brengen.
 
 De meetkundige plaats heeft vergelijking

             1 + cos(t)
       r = --------------
            cos(t - t)
<=>
       r =  1 + cos(t)

  Dit is de vergelijking van een cardioide.

    





MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.