Splitsen van veeltermbreuken in partieelbreuken




Veeltermbreuken

Als T(x) en N(x) veeltermen zijn in de onbepaalde x, dan heet T(x)/N(x) een rationale vorm of een veeltermbreuk in x.
Hierin wordt stilzwijgend veronderteld dat de graad van N(x) minstens 1 is. Als er geen verwarring mogelijk is, noemen we een veeltermbreuk soms kortweg een breuk.

Echte en onechte breuken

Als de graad van T(x) kleiner is dan de graad van N(x) spreken we van een echte of eigenlijke veeltermbreuk. In het andere geval spreken we van een onechte of oneigenlijke breuk.

Eigenschap van een onechte veeltermbreuk

Elke onechte breuk kan geschreven worden als de som van een veelterm en een echte breuk.

Inderdaad,
De euclidische deling van T(x) door N(x) geeft ons een quotient Q(x) en een rest r(x). Het verband tussen T(x), N(x), Q(x) en r(x) is

 
        T(x)            r(x)
        ---- = Q(x) + --------
        N(x)            N(x)
Voorbeeld
 
        3x2 + 4x                     7
        ---------- =  (3x + 7) + ---------
         x - 1                     x - 1

Partieelbreuken

Er zijn vier soorten partieelbreuken. Ze zijn van de vorm
 
           A               A
        -------   ;     ---------
        (x - a)         (x - a)n


           Ax + B             Ax + B
        --------------  ;  -----------------    met b2 - 4c < 0
        x2 + bx + c        (x2 + bx + c)n

    Hierin zijn A, B, b en  c reele constanten.

Voorbeelden
 
     5
  ---------
   (x -2)2

    2x + 3
  ------------
   x2 + x+ 4

    2x + 3
  ----------------
   (x2 + x+ 4)2

Splitsing van een veeltermbreuk in partieelbreuken

Elke echte veeltermbreuk kan geschreven worden als som van partieelbreuken.
We tonen hieronder hoe die som kan gevonden worden.

Uit het bovenstaande volgt dan onmiddellijk:
Elke onechte veeltermbreuk kan geschreven worden als som van een veelterm en partieelbreuken.

Methode voor het splitsen van een echte breuk in partieelbreuken:

Voorbeeld 1

 
We zullen de volgende echte breuk splitsen in partieelbreuken

             2x + 5
        --------------------
        x3 - 3x2 - 4x + 12

We ontbinden de noemer in factoren en vinden (x-3)(x+2)(x-2)
Elke factor veroorzaakt juist 1  partieelbreuk in de gezochte som.
Dus
             2x + 5            A         B         C
        ---------------- =  ------- + ------- + -------
        (x-3)(x+2)(x-2)     (x - 3)   (x + 2)   (x - 2)

A, B en C zijn nog onbekend. We berekenen nu de waarden van A, B en C.
We maken het rechterlid van vorige uitdrukking gelijknamig. De noemers zijn dan gelijk.
dan moeten de tellers ook gelijk zijn.
Dus moet

        (2x + 5) = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 3)(x - 2) + C(x - 3)(x + 2)

<=>
        (2x + 5) = (A + B + C)x2 + (-5B - C)x + (-4A +6B -6C)

<=>
        / A + B + C = 0
        | -5B - C   = 2
        \ -4A +6B -6C=5

<=>     . . .  en na enig rekenwerk komt er

<=>
        A = 2.2   B = 0.05   C = -2.25

Besluit
             2x + 5           2.2      0.05      2.25
        ---------------- =  ------- + ------- - -------
        (x-3)(x+2)(x-2)     (x - 3)   (x + 2)   (x - 2)

Voorbeeld 2

 
We zullen de volgende echte breuk splitsen in partieelbreuken

                  7x
        ---------------------
        x3 - 6x2 + 12x - 8

We ontbinden de noemer in factoren en vinden   (x - 2)3
De  factor (x - 2)3 in de noemer veroorzaakt een som 3 partieelbreuken

           7x           A          B          C
        -------- =    -------  + -------  + -------
               3                       2          3
        (x - 2)      (x - 2)    (x - 2)    (x - 2)

A, B en C zijn nog onbekend. We berekenen nu de waarden van A, B en C.
We maken het rechterlid van vorige uitdrukking gelijknamig. De noemers zijn dan gelijk.
dus moeten de tellers ook gelijk zijn.
Dus moet

        7x  = A (x - 2)2 + B (x-2) + C
<=>
        7x  = A x2 + (B - 4A) x + 4A - 2B + C

Zoals in vorig voorbeeld berekenen we A B en C door middel van een stelsel.
Men vindt na enig gereken

        A = 0 ; B = 7; C = 14

Besluit:

           7x            7          14
        -------- =    -------  + -------
               3             2          3
        (x - 2)       (x - 2)    (x - 2)




Voorbeeld 3

 
We zullen de volgende echte breuk splitsen in partieelbreuken

            2
          5x  + 4x + 1
        -----------------
          3    2        2
        (x  + x )(x + 1)

We ontbinden de noemer in factoren en vinden  x2 (x + 1)3
Dus

            2                       2
          5x  + 4x + 1            5x  + 4x + 1
        ----------------- =     -----------------
          3    2        2           2        3
        (x  + x )(x + 1)          (x )(x + 1)

De  factor x2  in de noemer veroorzaakt een som 2 partieelbreuken.
De  factor (x + 1)3 in de noemer veroorzaakt een som 3 partieelbreuken.

            A     B        C          D          E
           --- + ---- +  -------  + -------  + -------
                   2                      2          3
            x     x     (x + 1)    (x + 1)    (x + 1)

De tellers  zijn nog onbekend. We berekenen nu die waarden
We maken vorige uitdrukking gelijknamig. De noemer dan gelijk aan  x2 (x + 1)3.
Dus moeten de overeenkomstige tellers ook gelijk zijn.

   5 x2  + 4x + 1 = A x (x + 1)3  + B (x + 1)3 + C x2 (x + 1)2 + D x2 (x + 1) + E x2

<=>

   5 x2  + 4x + 1 =(A + C) x4 + (3 A + B + 2C + D)x3 + (3A + 3B + C + D + E)x2 + (A + 3B)x + B

We drukken uit dat de coefficienten en beide leden dezelfde moeten zijn en we vinden een stelsel.
Men vindt na enig gereken


        A = 1 ; B = 1; C = -1 ; D = -2 ; E = 2

De splitsing van de gegeven breuk in partieelbreuken is

            1     1        -1         -2        2
           --- + ---- +  -------  + -------  + -------
                   2                      2          3
            x     x     (x + 1)    (x + 1)    (x + 1)



Voorbeeld 4

 
We zullen de volgende echte breuk splitsen in partieelbreuken

                (2x + 1)
        ------------------------
           2        2
        ( x  + 1)( x  +  x + 1)

De noemer kan niet verder ontbonden worden in reele factoren van de eerste graad.
Elke factor van de noemer levert ons 1 partieelbreuk op met een teller van de eerste graad.


                (2x + 1)              Ax + B            Cx + D
        ----------------------  =  --------------- + -----------------
           2        2                   2                2
        ( x  + 1)( x  +  x + 1)      ( x  + 1)        ( x  +  x + 1)

De tellers  zijn nog onbekend. We berekenen nu die waarden van A, B, C en D.
We maken vorige uitdrukking gelijknamig. De noemers zijn dan gelijk.
Dus moeten de overeenkomstige tellers ook gelijk zijn.

       (2x + 1) = (Ax + B)(x2 + x + 1) + (Cx + D)(x2 + 1)

<=>         en na omvorming van het rechter lid vinden we

       (2x + 1) = (A + C) x3 + (A + B + D) x2 + (A + B + C) x + B + D


Als we uitdrukken dat de coefficienten in beide leden dezelfde moeten zijn,
dan vinden we een stelsel.
De oplossing van dit stelsel is


        A = -1 ; B = 2 ; C = 1; D = -1

Besluit:


                (2x + 1)              - x + 2            x - 1
        ----------------------  =  --------------- + -----------------
           2        2                   2                2
        ( x  + 1)( x  +  x + 1)      ( x  + 1)        ( x  +  x + 1)

Voorbeeld 5

We zullen de volgende echte breuk splitsen in partieelbreuken
 
      x4 + 5x3 + 16x2 + 26x + 22
     ------------------------------
         x3 + 3 x2 + 7x + 5

  We schrijven eerst deze onechte  breuk als som van een veelterm en een echte breuk


                 3 x2 + 7 x + 12
     (x+2) + -------------------------
              x3 + 3 x2 + 7x + 5

 We ontbinden de noemer in factoren en we vinden (x+1)(x2 + 2x + 5)

   3 x2 + 7 x + 12             A            B x + C
  ---------------------- = ------------ +  -----------------
   (x+1)(x2 + 2x + 5)       x + 1          x2 + 2x + 5

 De tellers  zijn nog onbekend. We berekenen nu die waarden van A, B, en C.
 We maken vorige uitdrukking gelijknamig. De noemers zijn dan gelijk.
 Dus moeten de overeenkomstige tellers ook gelijk zijn.

  3x2 + 7x + 12 = A(x2 + 2x + 5) + (Bx + C)(x + 1)

 Zoals in de vorige voorbeelden berekenen we A, B en C door middel van een stelsel.

  A = 2 ; B = 1 ; C = 2

    3 x2 + 7 x + 12             2              x + 2
  ---------------------- = ------------ +  -----------------
   (x+1)(x2 + 2x + 5)       x + 1          x2 + 2x + 5

Oefeningen

Schrijf het linkerlid als een som van partieelbreuken en controleer je resultaat.
 
           16                  1                1                4
    ------------------   =  -----------   -  -----------   -  ------------
    x3 - x2 - 5x - 3         (x - 3)          (x + 1)          (x + 1)2


   - 3 x3 + 8 x2 - 4 x + 5                x            3         1
  ---------------------------------- = ------------ + ------- - ------
   - x4 + 3 x3  - 3 x2 + 3 x - 2         x2 + 1       x - 1     x - 2



   2 x3 + 7 x2 - 2 x + 6            2x                  3
   ------------------------ = ------------------ + ---------------
        x4 + 4                  x2  - 2 x + 2         x2  + 2 x + 2

Toepassing

In deze toepassing gebruiken we de notatie voor een som zoals uiteengezet in Sommen in de wiskunde

Toon aan dat voor elk vast geheel getal n > 0
 
k = 1 ... n
                1
   som -------------------- = 1/(2n)
        (n + k)(n + k - 1)

 
We splitsen de gegeven breuk in partieelbreuken.

Stel   x = n + k
De breuk wordt dan

          1
      -----------
        x (x - 1)

We splitsen in partieelbreuken

          1          A        B
      ----------- = ---  + -------
        x (x - 1)    x       x - 1

We berekenen A en B en vinden A = -1 en B = 1
De splitsing is

          1         -1        1
      ----------- = ---  + -------
        x (x - 1)    x       x - 1

We gaan terug naar n en k

          1               1           1
      ------------- = ----------  - -------
      (n+k)(n+k-1)      n + k -1     n + k

We geven aan k achtereenvolgens de waarden 1 ... n
De gevraagde som kunnen we nu schrijven als

 1       1      1     1      1       1               1      1
--- -  ---- + ---- - ---- + ---- - ---- +    ...  + ---- - ----
 n      n+1    n+1    n+2    n+2    n+3             2n-1    2n

Alle termen, behalve de eerste en de laatste, vallen weg.
De gevraagde som wordt
 1      1
--- - ----
 n     2n

= 1/(2n)



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.