Ongelijkheden met twee veranderlijken




Notatie afspraak:

 
  >=  betekent  'groter of gelijk aan'

  =<  betekent  'kleiner of gelijk aan'

Positieve en negatieve gebieden in een vlak

Onder x-y-vlak verstaan we een vlak waarin de x-as, de y-as en de eenheden zodanig zijn gekozen dat ze samen een orthonormaal assenstel vormen.

Zij f(x,y) een veelterm in x en y. De kromme met vergelijking f(x,y)= 0 verdeelt het x-y-vlak in gebieden. In elk gebied heeft f(x,y) een vast teken. Om het teken in een bepaald gebied te kennen is het voldoende het teken van f(x,y) te bepalen in een eenvoudig punt van dit gebied. Zo ontstaan positieve en negatieve gebieden in het vlak

Voorbeeld:

De parabool y - 2x2 - x - 4 = 0 verdeelt het x-y-vlak in 2 gebieden.
Hier is f(x,y) = y - 2x2 - x - 4.
Het punt O(0,0) behoort tot een negatief gebied want f(0,0) = -4 <0.
Het punt P(0,5) behoort tot een positief gebied want f(0,5) = 1 > 0.

ongelijkheden met twee variabelen

Werkwijze

In de beschrijving van de werkwijze gebruiken we een x-y-vlak.
De namen van de twee variabelen, x en y, zijn eigenlijk bijkomstig en zijn afhankelijk van de toepassing.

  1. Breng de gegeven ongelijkheid in de vorm f(x,y) > 0 of in de vorm f(x,y) >= 0
  2. Plot de grafiek met vergelijking f(x,y)=0 in een x-y-vlak.
  3. De gevonden grafiek verdeelt het vlak in verschillende gebieden.
  4. In elk gebied heeft f(x,y) een vast teken. Markeer het gebied met dit teken. Zo ontstaan een positieve of negatieve gebieden.
  5. Als de gegeven ongelijkheid in de vorm f(x,y) > 0 geschreven werd, dan is de oplossingenverzameling van de ongelijkheid de verzameling van de coordinaten van de punten gelegen in de positieve gebieden.
  6. Als de gegeven ongelijkheid in de vorm f(x,y) >= 0 geschreven werd, dan is de oplossingenverzameling van de ongelijkheid de verzameling van de coordinaten van de punten gelegen in de positieve gebieden en van de punten gelegen op de kromme f(x,y)=0 zelf.

Voorbeeld 1

 
    x + 6 y >  4 - x

<=> x + 3 y - 2 > 0
Hier is f(x,y) = x + 3 y - 2
We tekenen de rechte in een x-y-vlak en er ontstaan 2 gebieden.
Het gebied dat punt (0,0) bevat is het negatief gebied.
Het gebied dat punt (0,1) bevat is het positief gebied.
 
        
De oplossingenverzameling is de verzameling van de coordinaten van de punten gelegen in het positief gebied.

Voorbeeld 2

 
       4 x - 2 =< x2 - y

<=>    x2 - y - 4x + 2 >= 0
Hier is f(x,y) = x2 - y - 4x + 2
De grafiek van f(x,y) = 0 is de parabool met vergelijking y = x2 - 4x + 2
We tekenen de grafiek en er ontstaan 2 gebieden.
Het gebied dat punt (0,0) bevat is het positief gebied.
Het gebied dat punt (1,0) vat is het negatief gebied.
 
       
De oplossingenverzameling is de verzameling van de coordinaten van de punten gelegen in het positief gebied of op de parabool zelf.

Voorbeeld 3

 
    b + 2 - a b < (3-b)2

<=> (3-b)2  + a b - 2 - b > 0

  De twee variabelen zijn hier b en a.
  We krijgen een ongelijkheid van de vorm f(b,a) > 0.

<=> b2 - 7b + a b + 7 > 0

  Hier is f(b,a) = b2 - 7b + a b + 7
  De grafiek van  f(b,a) = 0  in het b-a-vlak is de grafiek met vergelijking

        - b2 + 7b  -7
   a = -------------------
              b
  Onderzoek van deze functie toont een hyperbool waarvan de  2 asymptoten
   a = - b + 7  en b = 0 zijn.

  We plotten de grafiek en er ontstaan 3 gebieden
  Het gebied dat (0,0) bevat is het positief gebied.
  De andere gebieden zijn negatieve gebieden.

       
De oplossingenverzameling is de verzameling van de coordinaten van de punten gelegen in het positief gebied.

Toepassing 1

Gegeven :
  • De hyperbool met vergelijking y = 1/x.
  • De veranderlijke rechte met vergelijking m x + n y + 4 = 0, welke afhangt van de twee parameters m en n.
Gevraagd:

Voor welke waarden van m en n zullen de rechte en de hyperbool elkaar niet snijden.


De snijpunten van de rechte en de hyperbool zijn de oplossingen van het stelsel
 
  / m x + n y + 4 = 0
  \ y = 1/x

  De abscissen van die snijpunten zijn de oplossingen van

     m x + n/x + 4 = 0

<=>  m x2 + 4 x + n = 0

Welnu:

     De rechte en de hyperbool snijden elkaar niet

<=>  De discriminant van de vorige vierkantsvergelijking is negatief

<=>  16 - 4 m n < 0

<=>   m n - 4 > 0

  m n - 4  > 0  is een ongelijkheid met de twee variabelen m en n.

  Nu is f(m,n) = m n -4

  f(m,n) = 0 stelt, in het m-n-vlak een hyperbool voor met vergelijking n = 4/m


       


  De hyperbool verdeelt het m-n-vlak in 3 gebieden

  f(0,0) < 0 dus punt (0,0) ligt in een negatief gebied
  f(4,4) > 0 dus punt (4,4) ligt in een positief gebied
  f(-4,-4) > 0 dus punt (-4,-4) ligt in een positief gebied
Besluit:
De veranderlijke rechte m x + n y + 4 = 0 zal de gegeven hyperbool y = 1/x niet snijden als en slechts als het punt (m,n) in een positief gebied ligt.

Toepassing 2

Gegeven :
De veranderlijke rechte met vergelijking m x + (n-1) y + 2 = 0, welke afhangt van de twee parameters m en n.

Gevraagd:

Voor welke waarden van m en n is de afstand van de oorsprong O(0,0), tot de gegeven rechte, groter dan 1.


 
   De afstand van de oorsprong O(0,0) tot de rechte is groter dan 1


              2
<=>    ---------------------  > 1
          _________________
         V m2 + (n-1)2

              _______________
<=>     2 >  V m2 + (n-1)2

<=>     4 > m2 + (n-1)2

<=>     4 - m2 - (n-1)2 > 0

  Nu is f(m,n) =  4 - m2 - (n-1)2

  f(m,n) = 0  <=> m2 + (n-1)2 = 4

  Dit stelt, in het m-n-vlak, een cirkel voor met middelpunt (0,1) en straal 2.

  Maak zelf een figuur.

  f(0,1) > 0 dus het gebied binnen de cirkel is een positief gebied.
  f(4,0) < 0 dus het gebied buiten de cirkel is een negatief gebied .
Besluit:
De afstand van de oorsprong O(0,0) tot de veranderlijke rechte m x + (n-1) y + 2 = 0 is groter dan 1 als en slechts als het punt (m,n), in het m-n-vlak, binnen de cirkel m2 + (n-1)2 = 4 ligt.

Oefening 1

Gegeven:
  • Parabool P1 met vergelijking y = x2 + m x
  • Parabool P2 met vergelijking y = - x2 + 2x - n
Gevraagd:
Voor welke waarden van m en n snijden de parabolen elkaar niet

Oefening 2

Los op
 
(2x + y -5)(x - y + 1)(x + y -1) > 0      (1)

Stelsels ongelijkheden met twee variabelen

Om dergelijk stelsel op te lossen bepaalt men de oplossingenverzameling van elke ongelijkheid afzonderlijk en daarna neemt men de doorsnede van deze oplossingenverzamelingen.
We zullen de grafieken en de bijhorende gebieden in eenzelfde kleur aanduiden.

Voorbeeld

 
  / x2 - 7x + x y + 7 > 0
  \ x2 + y2 - 16 > 0



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.