Limieten van functies ( deel I ) en continuiteit




Definities en eigenschappen

Definitie - limiet van een functie

f: R -> R : x -> f(x) is een reele functie.
Als b een reeel getal is veronderstellen we dat f(x) gedefinieerd is in
] b-e , b+e [ of ] b-e , b [ of ] b , b+e [ .

Als b = +oneindig, dan nemen we aan dat f(x) gedefinieerd is voor alle x > een vast getal N.

Als b = -oneindig, dan nemen we aan dat f(x) gedefinieerd is voor alle x < een vast getal N.

Neem de verzameling van alle naar b convergente rijen {xn} waarvan de termen

Met elke rij {xn} correspondeert een 'beeldrij' {f(xn)}.
Als nu voor al deze beeldrijen de lim f(xn) gelijk is aan een vaste waarde c, dan zeggen we dat limiet van f(x), in b, gelijk is aan c.
We noteren dit als volgt.

 
        lim f(x) = c   of    lim f(x) = c
       x->b                   b
Indien zulke vaste waarde c niet bestaat zeggen we dat de lim f(x) niet gedefinieerd is.

Voorbeelden

Deze voorbeelden illustreren de definitie, maar tonen niet aan hoe men aan de limietwaarde komt. Aan de hand van een grafiek kan men inzien dat
 
             x2 - 5x + 6          (x - 2)(x - 3)
        lim --------------- =  lim --------------- = 1
         3      x - 3           3      x - 3

        De limiet van f(x), in 3, is 1

-------------------

        lim sqrt(x) is niet gedefinieerd
        -2
-------------------

               2.x2 + x       2
        lim  ------------  = ---
      +infty   3.x2 + 4       3

        De limiet van f(x), in +oneindig, is gelijk aan 2/3

Eigenschappen

Als beide leden bestaan kan men aantonen dat :
 
        lim c.f(x) = c . lim f(x)      ( c = constant)
         b                b

    De limiet van een veelvoud is het veelvoud van de limiet
-----------

        lim |f(x)|= |lim f(x)|
         b            b

    De limiet van de absolute waarde is de absolute waarde van de limiet
------------
                p              p
        lim f(x)  = (lim f(x) )
         b            b

    De limiet van een macht is de macht van de limiet
------------

        lim p-de-machtswortel(f(x)) = p-de-machtswortel(lim f(x) )
         b                                             b

    De limiet van een p-de-machtswortel is de p-de-machtswortel van de limiet
------------

        lim (f(x) + g(x)) = lim f(x)  + lim g(x)
         b                   b           b

    De limiet van een som is de som van de limieten
------------

        lim (f(x) . g(x)) = lim f(x)  . lim g(x)
         b                   b           b

    De limiet van een product is het product van de limieten
------------
        lim (f(x) / g(x)) = lim f(x)  / lim g(x)
         b                   b           b
    De limiet ven een quotient is het quotient van de limieten

Speciale limieten

Als beide leden bestaan kan men aantonen dat :
 
        lim r = r  (voor elke constante  r)
         b

        lim x = b
         b
             n     n
        lim x  = b       (n is natuurlijk getal)
         b

        lim (1/x) = 0
       infty
                 n
        lim (1/x) = 0    (n is natuurlijk getal)
       infty


        lim n-de-machtswortel(x) = +infty
      +infty

        lim n-de-machtswortel(x) = -infty
      -infty


        lim 1/n-de-machtswortel(x) = 0
      +infty

      Als T(x) en  N(x) veeltermen zijn

        lim T(x) = T(b)
         b

            T(x)     T(b)
        lim ---- =   ----
         b  N(x)     N(b)


        lim sqrt(T(x)) = sqrt(T(b))
         b
Door deze elementaire eigenschappen als parate kennis te verwerven, kunnen we daarmee veel andere limieten berekenen.

Linker- en Rechter-limiet

Zij f: R -> R : x -> f(x) een reele functie en er bestaat een stikt positief reeel getal e zo dat ]b-e,b[ tot het domein van f behoort.
We beperken het domein van f tot ]b-e,b[.
In dit nieuwe domein nemen we nu
 
        lim f(x)
         b
Als die limiet bestaat noemen we ze "de linker limiet van f(x) in b".
We noteren :
 
        lim f(x)
        < b
Analoog voor rechter limiet: Zij f: R -> R : x -> f(x) een reele functie en er bestaat een stikt positief reeel getal e zo dat ]b,b+e[ tot het domein van f behoort.
We beperken het domein van f tot ]b,b+e[.
In dit nieuwe domein nemen we nu
 
        lim f(x)
         b
Als die limiet bestaat noemen we ze "de rechter limiet van f(x) in b".
We noteren :
 
        lim f(x)
        > b

Belangrijke voorbeelden

Aan de hand van een grafiek kan men inzien dat
 
              1
        lim ------ = - infty
        < b  x - b

              1
        lim ------ = + infty
        > b  x - b
Deze twee gevallen komen zoveel voor, dat we ze als te kennen formules beschouwen

Gevolgen

Opmerking :
 
Als lim  f(x) = c  dan geldt niet altijd    lim f(x)  = lim f(x) = c
     b                                      < b         > b

Speciale technieken om lim f(x) te berekenen

limiet in oneindig van een veeltermen.

Voorbeeld

 
         lim (2x2  - 6x + 7) =
        infty

         lim  2x2 .(1 - 3/x + 7/(2x2) ) =
        infty

         lim  2x2 .  lim (1 - 3/x + 7/(2x2 ) =
        infty        infty

         lim  2x2 . (1-0+0)  =
        infty

         lim  2x2
        infty

Besluit:

         lim (2x2  - 6x + 7) = lim 2x2
        infty                  infty

Veralgemening

Men toont als hierboven aan dat
 
Als T(x) = a.xn + ... + r   een veelterm is dan geldt

         lim  T(x) = lim  (a.xn )
        infty        infty
We onthouden:
Als x tot oneindig nadert is de limiet van een veelterm gelijk aan de limiet van de hoogstegraadsterm van die veelterm

Voorbeeld:

 
   lim  (2x - 5)10 = lim 1024 x10 = + oneindig
  infty

Limiet in oneindig bij een rationale functie

Op dezelfde wijze als hierboven kan je aantonen dat
 
Als T(x) = a.xn + ... + l   een veelterm is,

en  N(x) = b.xm + ... + k   een veelterm is dan geldt


              T(x)          ( a.xn )
         lim  ----- = lim   -------
        infty N(x)    infty ( b.xm )
We onthouden:
Als x tot oneindig nadert is de limiet van een rationale functie gelijk aan de limiet van het quotient van de hoogstegraadsterm van de teller en de hoogstegraadsterm van de noemer.

Voorbeeld:
 
               2.x2 + x           2.x2    2
        lim  ------------  = lim ----- = ---
      +infty   3.x2 + 4           3.x2    3

               2.x2 + x           2.x2        2
        lim  ------------  = lim ----- = lim --- = 0
      +infty   3.x3 + 4           3.x3        3x

Geval k/0 voor een rationale functie

Als de limiet van de teller een getal k is en de limiet van de noemer 0 is, spreken we van het geval k/0.

Werkwijze: de factor welke in de noemer een limiet 0 oplevert wordt afgezonderd en achteraan geplaatst.

Voorbeeld:
We berekenen de rechter limiet in -3 van de volgende functie

 
             -5x - 81              -5x - 81       1
        lim  -------------- = lim  --------- .  -------
             (x + 3)(x - 1)         (x - 1)     (x + 3)



        = (16.5) . (+oneindig) = (+oneindig)

We berekenen de linker limiet in -3 van dezelfde functie
 
             -5x - 81              -5x - 81       1
        lim  -------------- = lim  --------- .  -------
             (x + 3)(x - 1)         (x - 1)     (x + 3)



        = (16.5) . (-oneindig) = (-oneindig)

Geval 0/0 voor een rationale functie

Als de limiet van de teller 0 is en de limiet van de noemer 0 is, spreken we van het geval 0/0.

Methode: teller en noemer ontbinden in factoren en vereenvoudigen.

Voorbeeld 1:

 

             2x.x - 4x              2x.(x - 2)
        lim -------------- =  lim ---------------
        > 2  x.x - 4x + 4     >  2  (x - 2)(x - 2)


                  2x
        = lim --------- = +infty
          > 2  (x - 2)

Voorbeeld 2:
 

             2x.x - 4x              2x.(x - 2)
        lim -------------- =  lim ---------------
         2   x.x - 5x + 6      2   (x - 2)(x - 3)


                  2x
        = lim --------- = -4
           2   (x - 3)

0/0 en irrationale functies

Als de limiet van de teller 0 is en de limiet van de noemer 0 is, spreken we van het geval 0/0.

Gewoonlijk moeten we teller en noemer vermenigvuldigen met een gepaste vorm zodat we daarna kunnen vereenvoudigen.

Vuistregels voor die gepaste vorm zijn

Voorbeeld 1:
 
            sqrt(x-3) -1
        lim ------------- =
         4     x - 4


            (sqrt(x-3) -1)(sqrt(x-3) +1)
        lim ---------------------------- =
         4    (x - 4)    (sqrt(x-3) +1)


                 (x - 3 - 1)
        lim ---------------------------- =
         4    (x - 4)    (sqrt(x-3) +1)

                 1
        lim ---------------- = 0.5
         4    (sqrt(x-3) +1)
Voorbeeld 2:
 
                  ______________
                 |  2
            1 - \| x  - 3 x + 3
        lim ---------------------
         1      _________
               |    2
              \| 4 x  - 3  - 1

We vermenigvuldigen teller en noemer met de factor F =
                _____________      _________
               |  2               |    2
        ( 1 + \| x  - 3 x + 3)(  \| 4 x  - 3  + 1 )


                                     _________
                  2                 |    2
            (1 - x  + 3 x - 3)  (  \| 4 x  - 3  + 1 )
      = lim --------------------------------------------------------
         1                          _____________
                  2                |  2
             ( 4 x  - 4 )   ( 1 + \| x  - 3 x + 3)



            (1 - x2  + 3 x - 3)
      = lim ---------------------- = ... = 1/8
         1    ( 4 x2  - 4 )
Voorbeeld 3
 
                 ______________     _________
               3|  3              3|    2
               \| x  - 2 x - 3  - \| 2 x  - 7
          lim ----------------------------------
           2      2 x3  + x - 18


We vermenigvuldigen teller en noemer met de factor F =

  _________________     ___________________________     _____________
3|   3           2    3|   3                2         3|     2     2
\| (x  - 2 x - 3)   + \| (x  - 2 x - 3) (2 x  - 7)  + \| (2 x  - 7)


Nu hebben we voor de limiet

              x3 - 2 x - 3 - 2 x2 + 7
        lim ----------------------------
          2    (2 x3 + x - 18) . F

             (x2 - 2) (x - 2)
       =lim ----------------------------
          2  (2 x2 + 4 x + 9) (x - 2) . F

             (x2 - 2)                    2
       =lim ----------------------- = --------
          2  (2 x2 + 4 x + 9)  . F      25 .3

k/0 met irrationale functies

Als de limiet van de teller een getal k is en de limiet van de noemer 0 is, dan spreken we van het geval k/0.

Werkwijze: de factor welke in de noemer een limiet 0 oplevert wordt afgezonderd en achteraan geplaatst.

Voorbeeld 1:

 
             1 + sqrt(-x)
        lim -------------- =
       > -2     x + 2

            (1 + sqrt(-x))     1
        lim ---------------.-------- = +infty
       >-2      1            (x + 2)
Voorbeeld 2:
 
             x2 - 5x + 4
        lim ------------------- =
        >3   sqrt(x2 - 5x + 6)

                                   1
        lim (x2 - 5x + 4).------------------- =
        >3                 sqrt( (x-2)(x-3) )


        (-2).(+oneindig) = -oneindig
Voorbeeld 3:
 
             x2  - 5 x + 4
        lim ----------------- =
        <3    _____________
             |  2
            \| x  - 5 x + 6

                                   1
        lim (x2 - 5x + 4).------------------- =
        <3                 sqrt( (x-2)(x-3) )

Uit het domein van sqrt( (x-2)(x-3) ) volgt dat de limiet niet gedefinieerd is

oneindig/oneindig met irrationale functies

De limiet van de teller en van de noemer is oneindig.

Methode: In teller en noemer een zelfde gepaste macht van x afzonderen.

Voorbeeld 1:

 
                  ________
                 |  2
                \| x  + 1  + 3 x
        lim     ------------------- =
        +infty      2x - 5


                   _________
                  |      -2
                (\| 1 + x    + 3) x
        lim     ----------------------- =
        +infty     x.( 2 - 5/x)


                     _________
                    |      -2
                  (\| 1 + x    + 3)           4
        lim     -------------------------- = --- = 2
        +infty     ( 2 - 5/x)                 2
Voorbeeld 2:
 
                   ________
                  |  2
                 \| x  + 1  + 3 x
        lim     ------------------- =
        -infty      2x - 5



                          _________
                         |      -2
                  x(3 - \| 1 + x   )
        lim     ------------------------ =
        -infty     x.( 2 - 5/x)


                           _________
                          |      -2
                    (3 - \| 1 + x   )         2
        lim     -------------------------- = --- = 1
        -infty     ( 2 - 5/x)                 2

oneindig - oneindig met irrationale functies

Methode: Teller en noemer vermenigvuldigen met een gepaste macht vorm

Vuistregels voor die gepaste vorm zijn

Voorbeeld 1:

 
                  ________________
                 |    2
        lim (   \| 4 x  + 3 x - 1  + 2 x  ) =
       -infty

               ________________          ________________
              |    2                    |    2
            (\| 4 x  + 3 x - 1  + 2 x)(\| 4 x  + 3 x - 1  - 2 x)
        lim -----------------------------------------------------  =
       -infty           ________________
                       |    2
                     (\| 4 x  + 3 x - 1  - 2 x)



             (4x2 + 3x - 1) - 4x2
        lim -------------------------------------  =
       -infty        ________________
                    |    2
                  (\| 4 x  + 3 x - 1  - 2 x)


                   ( 3x - 1)
        lim --------------------------------  =
       -infty     ________________
                 |    2
               (\| 4 x  + 3 x - 1  - 2 x)


                  x ( 3 - 1/x)
        lim --------------------------------  =
       -infty       _____________
                   |     3    -2
               (-  | 4 + - - x    - 2) x
                  \|     x


                ( 3 - 1/x)                       3
        lim --------------------------------  = ----
       -infty       _____________                4
                   |     3    -2
               (-  | 4 + - - x    - 2)
                  \|     x

Voorbeeld 2:
 
                    _____________
                   |    2
        lim ( 5 + \| 4 x  - x + 3 + 2 x )
       -infty
                      _____________
                     |    2
     =  lim (2 x +  \| 4 x  - x + 3  )   + 5
       -infty

                      _____________             _____________
                     |    2                    |    2
            (2 x +  \| 4 x  - x + 3  )(2 x -  \| 4 x  - x + 3 )
     =  lim ---------------------------------------------------  + 5
       -infty                  _____________
                              |    2
                     (2 x -  \| 4 x  - x + 3  )

              x - 3
     =  lim ------------------------------ +  5
       -infty           _____________
                       |    2
              (2 x -  \| 4 x  - x + 3  )

             x( 1 - 3/x )
     =  lim ------------------------------ +  5
       -infty           _________________
                       |              2
             x (2  +  \| 4 - 1/x + 3/x    )

             ( 1 - 3/x )
     =  lim ------------------------------ +  5  = 1/4 + 5
       -infty           _________________
                       |              2
               (2  +  \| 4 - 1/x + 3/x    )

Veel andere speciale limieten

Veel andere speciale limieten kunnen berekend worden met behulp van afgeleiden. Zie voor theorie en voorbeelden op :
Twee speciale limieten en
Regel van de l'Hospital en
Voorbeelden .

Continuiteit

Definities

Zij f(x) een reele functie.

Gevolg

Als f(x) links en rechts continu is in b, dan is f(x) continu in b
Het omgekeerde is niet altijd waar.

Is f+g continu?

Als f en g continu zijn in b, dan is f+g continu in b.
Bewijs:
 
f is continu in b => lim f(x) = f(b)
                         b

g is continu in b => lim g(x) = g(b)
                         b
Dus,

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = f(b) + g(b)
 b                   b          b

Op dezelfde manier kan men aantonen dat :
Als f en g continu zijn in b, dan is f-g is continu in b.
Als f en g continu zijn in b, dan is f.g is continu in b.
Als f en g continu zijn in b, dan is f/g is continu in b. (met g(b) niet 0)

Stelling

Men kan aantonen dat alle algebraische en goniometrische functies continu zijn in alle elementen van hun domein.

Continuiteit van f(x) in een interval.

 
        f(x) is continu in een interval [a,b]
                <=>
        f(x) is continu in elk element van [a,b]

Stelling van Bolzano

Als f(x) continu is in [a,b] en f(a).f(b) < 0
Dan is er een reeel getal c in ]a,b[ zo dat f(c) = 0.
Voor een bewijs van die stelling zie Theoretisch deel

Middelwaardestelling

Als f(x) continu is in [a,b] en r een reeel getal is tussen f(a) en f(b), dan is er een getal c in ]a,b[ zo dat f(c) = r.
Bewijs:
Construeer de functie g(x) = f(x) - r.
Daar f(x) en r beide continu zijn in [a,b] is g(x) continu in [a,b].
Daar r een reeel getal is tussen f(a) en f(b) is 0 een reeel getal tussen g(a) en g(b).
We kunnen nu de stelling van Bolzano toepassen op g(x) in [a,b].
Er is dan een getal c in ]a,b[ zo dat g(c) = 0.
Dit betekent dat er een getal c bestaat in ]a,b[ zo dat f(c) = r.

Stelling van Weierstrass.

Als f continu is in [a,b] , dan bereikt f(x) een maximaal en een minimaal beeld in [a,b].

Voor een bewijs van die stelling zie Theoretisch deel






MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.