Onderzoeken van irrationale functies




Afspraken

Om de voordelen van de html te behouden, volgende afspraken:

x groter of gelijk aan a noteren we hier als: x >= a

x kleiner of gelijk aan a noteren we hier als: x =< a

x is een element van V noteren we hier als: x in V

oneindig wordt soms afgekort tot infty en voor de unie van gebruiken we u

Functies onderzoeken

In de resultaten van een functieonderzoek hieronder worden enkel de stappen vermeld met de tussenresultaten. Alle tussenberekeningen kan de lezer als oefening beschouwen. Er wordt een inspanning gedaan om berekeningen te vermijden waar relaties en inzicht ze kunnen vervangen.

Functieonderzoek 1

Onderzoek van de grafiek van y2 = 18 x2 - x4.

Dit is geen functie. Daarom splitsen we die opgave in twee delen.

Eerst onderzoeken we y = sqrt(18x2-x4) en daarna y = - sqrt(18x2-x4).

Dus eerst y = sqrt(18x2-x4).

De functie is even. Het is voldoende de functie te onderzoeken voor niet negatieve x. Vooral bij de berekening en vereenvoudiging van y' en y" geeft dit veel voordelen.

  1. Domein

     
      x in domein
    
    <=>   18x2-x4 >= 0
    
    <=>   x2 ( 18 - x2) >= 0
    
                             na tekenonderzoek
    
    <=>  x in [ -sqrt(18), sqrt(18)]
    
    De aard van sqrt(18x2-x4) toont onmiddellijk aan dat de beelden nooit kleiner dan nul kunnen zijn.

  2. snijpunten met de assen

     
     (0,0) (sqrt(18),0) (-sqrt(18),0)
    

  3. Asymptoten

    Er zijn geen verticale asymptoten. Dit volgt zonder enige berekening ook uit onderzoek van y'. (zie hieronder)

    Omwille van het beperkte domein kunnen geen horizontale en geen schuine asymptoten voorkomen.

  4. Onderzoek van y' voor x > 0 Na afleiden vindt men na vereenvoudiging (en rekening houdend met x>0)
     
      2 (3+x)(3-x)
     ---------------
     sqrt(18-x2)
    
    Hieruit volgt dat de functie stijgt tussen 0 en 3 en daalt tussen 3 en sqrt(18). In 3 is er een maximum met horizontale raaklijn.

  5. Onderzoek van y" voor x > 0

    Na afleiden van y' vindt men na vereenvoudiging

     
          2x.(x2-27)
    -----------------------
    ((18-x2). sqrt(18-x2)
    
    Hieruit volgt dat y" negatief is tussen 0 en sqrt(18). De kromme keert zijn bolle kant naar boven.

  6. Onderzoek in de oorsprong

    De limiet van y', als x langs de positieve kant tot 0 nadert, is sqrt(18).

    Daar de functie even is, is er een hoekpunt in de oorsprong.

  7. Bereken van de hoek tussen de twee raaklijnen in het hoekpunt.

    De raaklijn met rico sqrt(18) sluit een hoek van ongeveer 77 graden in met de x-as. De hoek tussen de twee raaklijnen is dan ongeveer 26.5 graden

  8. y' voor x = sqrt(18)

    De limiet van y', als x langs de negatieve kant tot sqrt(18) nadert, is -infty. De raaklijn staat dus verticaal.

  9. Grafiek

    Maak een plot met behulp van een of andere plotter en controleer alle resultaten op de grafiek.

  10. Transformatie

    Stel dat we aan de gegeven functie een parameter toevoegen. Beschouw de functie y = a.sqrt(18x2-x4). Hierin is a een strikt positieve parameter. We berekenen voor welke a waarde, de raaklijnen on de oorsprong orthogonaal zijn.

    Zonder verder rekenwerk zien we in dat die raaklijnen gelijk zijn aan y = a sqrt(18) x en y = -a sqrt(18). Hieruit volgt dat voor a= 1/sqrt(18), die raaklijnen orthogonaal zijn.

  11. Vloeiende kromme

    De graf van y = - sqrt(18x2-x4) is het spiegelbeeld van de gegeven grafiek, ten opzichte van de x-as. Als je beide grafieken samen plot, krijg je een vloeiende kromme. Bekijk de plot!

    De vergelijking van deze vloeiende kromme kunnen we ook schrijven door middel van 1 eenvoudige vergelijking. y2 = 18 x2 - x4.

  12. Grafiek

    Maak een plot met behulp van een of andere plotter en controleer alle resultaten op de grafiek.

Functie-onderzoek 2

y = 0.25 sqrt(x4+ 3 x3)

  1. Domein

    x is in het domein als en slechts als x4+ 3 x3 niet negatief is.

    Het tekenonderzoek toont aan dat domein f = (-infty, -3] u [ 0 , +infty)

  2. Snijpunten met assen

    (-3,0) (0,0)

  3. Asymptoten

    Er is noch een verticale noch een horizontale asymptoot.

    De limiet van f(x)/x als x --> +infty is +infty

    De limiet van f(x)/x als x --> -infty is -infty

    Er is dus geen schuine asymptoot

  4. Afgeleide y'

    Men vindt:

     
              (4x+ 9) x2
        y' = ----------------------
             8.sqrt(x4+ 3 x3)
    
    Het tekenonderzoek vertelt: dalend in (-infty, -3] en stijgend in [ 0 , +infty)

    De limiet van y' voor x -> 0 is 0. De kromme vertrekt vanuit (0,0) rakend aan de x-as. De limiet van y' voor x -> -3 is -infty. De raaklijn in punt (-3,0) is verticaal.

  5. Onderzoek y"

    De uitdrukking van y' laat al vermoeden dat y" niet gemakkelijk te berekenen valt. Door een paar bedenkingen echter kan dit een stuk vereenvoudigd worden. We delen teller en noemer door x2. Er komt

     
             4x + 9
       y' = --------------
            8.sqrt(1+3/x)
    
    Dit is een stuk eenvoudiger. Na afleiding vinden we na vereenvoudiging voor x > 0
     
             (8x2 + 36x + 27 )
      y" = ---------------------------
            16 (x + 3) sqrt(x2 + 3 x)
    
    De nulpunten zijn -0.95 en -3.55. Dus voor x > 0 zijn er geen buigpunten en keert de kromme zijn holle zijde naar boven.

    Neem nu x < 0 . Nu is

     
            - (8x2 + 36x + 27 )
      y" = ---------------------------
            16 (x + 3) sqrt(x2 + 3 x)
    
    De nulpunten zijn opnieuw -0.95 en -3.55. Er is dus 1 buigpunt want -0.95 valt niet in het domein.

  6. Grafiek

    Maak een plot met behulp van een of andere plotter en controleer alle resultaten op de grafiek.

Functie-onderzoek 3

We berekenen voor welke x-waarde de functie y = 0.25 sqrt( - x4 - 3 x3) een maximum bereikt.

  1. Domein

    x is in het domein als en slechts als (- x4 - 3 x3) = - x3(x+3) niet negatief is.

    Het tekenonderzoek toont aan dat domein f = [-3,0]

  2. Maximum

    Daar y > 0 in het domein geldt:

     
         y is maximum  in [-3,0]
    <=>
         16 y2 is maximum in [-3,0]
    <=>
         u = - x4 - 3 x3  is maximum in [-3,0]
    <=>
         u' = -4 x3 -9 x2 = 0  in [-3,0]
    <=>
         -x2 (4x + 9) =  0  in [-3,0]
    <=>
         x = -9/4
    



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.