Irrationale vergelijkingen en ongelijkheden




Irrationale vergelijkingen

Een probleem bij het oplossen van irrationale vergelijkingen

Voorbeeld :
 
    _________
  \/ x + 8     = x + 2
De algemene methode om een vergelijking op te lossen bestaat erin die vergelijking achtereenvolgens te vervangen door gelijkwaardige vergelijkingen tot we de oplossingen vinden.
Om deze vergelijking op te lossen zijn we geneigd beide leden te kwadrateren, maar de volgende gelijkwaardigheid is foutief
 
      _________
    \/ x + 8     = x + 2    <=>  x + 8 = (x + 2)2

 Immers is -4 een oplossing van

    x + 8 = (x + 2)2

 en niet van
      _________
    \/ x + 8     = x + 2

 Verder is het onmiddellijk duidelijk dat de volgende uitdrukking wel correct is.
      _________
    \/ x + 8     = x + 2    =>   x + 8 = (x + 2)2
Alle oplossingen van de linker vergelijking zijn ook oplossingen van de rechter vergelijking maar niet omgekeerd. De rechter vergelijking kan meer oplossingen hebben.

Toch zullen we irrationale vergelijkingen oplossen door het kwadrateren van beide leden. Maar telkens moeten we er ons van bewust zijn dat, door dat kwadrateren, de nieuwe vergelijking meer oplossingen kan hebben dan de oorspronkelijke. Deze oplossingen wensen we eigenlijk niet. We noemen ze valse oplossingen.

Er bestaan verschillende manieren om, op het einde, die valse oplossingen te schrappen. Een manier bestaat er in vooraf gepaste voorwaarden op te stellen. Deze weg volgen we hier niet.
De meest eenvoudige weg is het toetsen van de gevonden oplossingen aan de opgave. De gevonden oplossingen die niet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking zijn de valse oplossingen en ze worden geschrapt.

Laten we deze procedure toepassen op de vergelijking

 
      _________
    \/ x + 8     = x + 2

=>   x + 8 = (x + 2)2

<=>  ...

<=> x = 1 of x = -4
We toetsen nu die twee waarden aan de gegeven vergelijking en we zien dat enkel 1 voldoet. -4 is hier een valse oplossing en moet geschrapt worden. 1 is de enige oplossing van de gegeven vergelijking.

Voorbeelden en richtlijnen

Oefeningen

 
        _______
  3 + \/ 3x + 1  = x     ( Oplossing : 8)

    _______      _______
  \/ x + 27  - \/ x - 5  = 2  ( Oplossing : 54)

    _______      _______
  \/ 7x + 2  - \/ 3x + 1  = 1  ( Oplossing : 1)

     __________
    /    ______      _______
  \/ 2 \/ x + 1  = \/ 3x - 5   ( Oplossing : 3)

Extra voorbeelden op het net

Irrationale Ongelijkheden

De Vier-stappen-methode

Stap 1

Breng alle termen van de ongelijkheid naar het linker lid. Er onstaat dan in het linkerlid een irrationale functie f(x). Bereken het domein van die functie.

Stap 2

Bereken de nulpunten van de irrationale functie f(x) uit stap 1.

Stap 3

Doel : tekenonderzoek van de functie f(x) uit eerste stap.

Teken de as van de reele getallen.
Schrap het gebied dat niet tot het domein behoort ( steun op de resultaten van stap 1).
Duidt de nulpunten van f(x) aan op die as ( steun op de resultaten van stap 2).
Bepaal het teken van f(x) in alle tussenliggende intervallen met behulp van het beeld van een eenvoudige x-waarde in dat interval.
Nu hebben we een tekenonderzoek van f(x).

Stap 4

Lees op het tekenonderzoek de oplossingenverzameling van de gegeven ongelijkheid af.

Voorbeelden

Opmerking :

Bij ingewikkelde irrationale ongelijkheden kan het berekenen van het domein alleen al een groot werk zijn. De tweede stap kan soms ook heel wat rekenwerk vragen. De voorbeelden waren hier vrij eenvoudig, met de bedoeling de stappenmethode te illustreren.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.