Integralen




Differentialen

Differentiaal

Met behulp van de afgeleide f'(x) van de functie f(x), construeren we een nieuwe functie.
df(x) = f'(x).h
Hierin is h een willekeurig van nul verschillend getal.
Deze nieuwe functie heet de differentiaalfunctie van f(x), of ook kort de differentiaal van f(x).

Voorbeeld

De differentiaalfunctie van f(x)= (6x2 + 7) is d(6x2 + 7) = 12x.h
De differentiaalfunctie van f(x)= sin(x) is dsin(x) = cos(x).h
De differentiaalfunctie van f(x)= x is dx = h

Nieuwe notatie

Steunend op het laatste voorbeeld zien we dat er geen verschil is tussen dx en h.
We kunnen dus de definitie van df(x) schrijven als
 
        df(x) = f'(x).dx

Formule df(u)

Stel u = g(x), dan is du = g'(x).dx = u'. dx ; dus du = u' dx
Beschouw nu de functie f(u) als een functie van x. Dan hebben we
 
        df(u) = f'(u).u'.dx = f'(u).du
voorbeeld:

        d sin(sqrt(x)) = cos(sqrt(x)).d sqrt(x)
 
df(x) = f'(x).dx   en  df(u) = f'(u).u'.dx = f'(u).du

Onbepaalde integraal

Primitieve functies

Een functie F(x) heet primitieve functie van f(x) als en slechts als F'(x) = f(x).
Voorbeeld:
-cos(x) is een primitieve functie van sin(x). -cos(x) + 12 is ook een primitieve functie van sin(x).

Als F(x) een primitieve functie is van f(x), dan is F(x) + een willekeurige constante ook een primitieve functie van f(x).
Al deze primitieve functies van f(x) worden genoteerd als F(x) + C
F(x) is primitieve functie van f(x)

als en slechts als

F'(x) = f(x).


Definitie van onbepaalde integraal

Zij F(x) is een willekeurige primitieve functie van f(x), dan is dF(x) = f(x)dx.
Dus, alle primitieve functies van f(x) hebben de zelfde differentiaal.
Daarom zeggen we : ' De onbepaalde integraal van f(x)dx is F(x) +C '.
Het constant getal C herinnert ons aan al de primitieve functies van f(x).
We schrijven
 
        /
        | f(x)dx = F(x) + C
        /
( Het integraal teken is hier wat stuntelig. Dit is te wijten aan de html file maar dit is niet essentieel.)

Voorbeeld:

 
        /
        | sin(x)dx = -cos(x) + C omdat  d(-cos(x)) = sin(x)dx
        /
 
        /
        | f(x)dx = F(x) + C  <=> d F(x) = f(x)dx
        /

Formules

In de formules zijn u en v functies van x.
 

        /  r       ur+1
        | u du  = ------- + C     (voor alle reele r uitgenomen r = -1)
        /          r+1


 
Bewijs:
            r+1
           u        1
        d ------ = ----. (r+1).ur  .u'.dx = ur .du
           r+1     r+1
Op dezelfde manier bewijst men de volgende formules
 
        /   1             ___
        | -------du  = 2.V u  + C
        |    ___
        /   V u

        /
        | eu du = eu  + C
        /

        /  u       au
        | a  du = ----- + C
        /         ln(a)

        /
        | sin(u)du = -cos(u) + C
        /

        /
        | cos(u)du = sin(u) + C
        /

        /     1
        | ---------du = -cot(u) + C
        | sin2 u
        /


        /     1
        | ---------du =  tan(u) + C
        |  cos2 u
        /


        /     1
        | ---------du =  arctan(u) + C
        |    1+u2
        /


        /     1
        | --------------du =  arcsin(u) + C
        |    ________
        |   |      2
        /  \| 1 - u


        /  1
        | ---du = ln|u| + C
        /  u


        /            /
        | a.u.dx = a.| u.dx   (met a constant)
        /            /


        /           /       /
        | (u+v)dx = | udx + | vdx
        /           /       /


Voorbeelden

 
        /
        | x6 x = x7 /7 + C
        /

        /  dx
        | ------ = x-2/(-2) + C
        /  x3

        /
        | (x+3)dx = x2 /2  + 3x + C
        /

        /
        | 3x dx = 3x /ln(3)  + C
        /

        /      7      /
        | (x+2) dx =  | (x+2)7 d(x+2) = (x+2)8 /8 + C   (daar d(x+2)=dx)
        /             /

        op dezelfde manier

        /  x+2     /
        | 3    dx= | 3x+2 d(x+2) = 3x+2/ln(3)  + C
        /          /

        /
        | 5.cos(x)dx = 5 sin(x) + C
        /

        Daar d(5x) = 5.dx

        /             1  /                1
        | sin(5x)dx = -. | sin(5x)d(5x) = -.(-cos(5x)) + C
        /             5  /                5

        daar d(5x+3) = 5.dx

        /       7      1  /        7           1        8
        | (5x+3) dx =  -. |  (5x+3) d(5x+3) = --. (5x+3)  +C
        /              5  /                   40

Integratie door middel van substitutie

Als de integraal een deeltje g(x) bevat zodat g'(x).dx ook in die integraal voorkomt dan is de substitutie g(x) = u aangewezen.

Voorbeelden :

Drie nieuwe formules


 
Bewijs :

                        2          1                       2u
    d ln(|u + sqrt(k + u ) |) = -----------------( 1 + ---------------)u'dx
                                              2                     2
                                u + sqrt(k + u )        2.sqrt(k + u )


             1                 u + sqrt(k + u2)
        = -----------------( -------------------) du
          u + sqrt(k + u2)     sqrt(k + u2)


               1
        =  ------------- du
              ________
             |      2
            \| k + u
Voorbeeld:
 
        /     dx          /     dx            /     d(x + 1 )
        | ------------- = | --------------- = | -------------
        /  x.x + 2x + 3   |         2         |         2
                          / (x + 1 )  + 2     / (x + 1 )  + 2

            1            x + 1
         = ---- * arctan(-----) + C
            ___           ___
           V 2           V 2


Partiele integratie

Formule :
 
        /              /
        | u dv = u.v - | v du
        /              /

 
Bewijs:

              /
    d ( u.v - | v du ) = ... = u dv
              /
Voorbeelden:

Integratie van veeltermbreuken

Partieelbreuken

Als T(x) en N(x) veeltermen zijn, dan heet T(x)/N(x) een rationale vorm of een veeltermbreuk.
Elke veeltermbreuk kan geschreven worden als som van een veelterm en enkele elementaire breuken. Die elementaire breuken heten partieelbreuken.

De theorie en de werkwijze omtrent het splitsen van een veeltermbreuk in partieelbreuken wordt behandeld als een afzonderlijk onderwerp.
Die uiteenzetting vind je via deze link

Dit splitsen van een veeltermbreuk in partieelbreuken is over het algemeen nodig als we een veeltermbreuk willen integreren.

Integratie van de partieelbreuken

Elke veeltermbreuk kan geschreven worden als som van een veelterm en een som van partieelbreuken.
Als we elke partieelbreuk kunnen integreren dan kunnen we alle veeltermbreuken integreren. We tonen nu aan hoe elke partieelbreuk kan geintegreerd worden.
Elke veeltermbreuk kan geschreven worden als de som van een veelterm en een som van partieelbreuken.
Elke veelterm en elke partieelbreuk kan geintegreerd worden.
Dus elke veeltermbreuk kan geintegreerd worden zoals hierboven aangeduid.

Integratie van goniometrische functies

product van sin en cos

Integratie van de vormen :
 
/                       /                      /
| cos(rx).cos(sx) dx ;  | sin(rx).sin(sx) dx ; | sin(rx).cos(sx) dx
/                       /                      /

We steunen op de goniometrische formules, afgeleid uit de Simpson formules
 
        cos((r + s)x) + cos((r - s)x) = 2cos(rx)cos(sx)
        cos((r + s)x) - cos((r - s)x = - 2sin(rx)sin(sx)
        sin((r + s)x) + cos((r - s)x) = 2sin(rx)cos(sx)
Voorbeeld :
 
/                             /
| sin(x).sin(7x) dx = (-1/2). | (cos(8x) - cos(-6x))dx
/                             /


           /                     /
=  (-1/2). | (cos(8x) dx + (1/2).| (cos(6x) dx
           /                     /

=  (-1/16).sin(8x) +(1/12).sin(6x) + C

product van machten van sin en cos

Integratie van de vorm:
 
/
| sinm (u).cosn (u) dx
/

Hierin zijn n en m positieve gehele getallen.
Als n oneven is , dan stellen we sin(u) = t
Als m oneven is , dan stellen we cos(u) = t
Als m en n even zijn, dan gebruiken we Carnot formules en/of de formule sin(2x) = 2.sin(x)cos(x).
Voorbeelden :

Rationale functies van sin(u) en cos(u)

Om een rationale functie van sin(u) en cos(u) te integreren gebruiken we de t-formules.

 
Stel t = tan(u/2) , dan

                2
           1 - t                  2t                   2t
cos(u) = ---------  ; sin(u) =  -------- ; tan(u) =  -------
                2                     2                    2
           1 + t                 1 + t                1 - t

en                                    dt
        u/2 = arctan(t)  => du = 2 ---------
                                         2
                                    1 + t
Voorbeelden :

Integratie van irrationale functies

Met een gepaste substitutie

Voorbeelden :

Speciale irrational functies

 
We behandelen de vormen

      /      _____________
      |     |  2
      |    \| x  + b x + c  dx
      /
and

      /    _____________
      |   |            2
      |  \| c + b x - x  dx
      /

 
Neem vooraf de vorm

     /   ________
     |  |  2
I =  | \| t  + k  dt   met k reeel en constant.
     /

We gebruiken partiele integratie
             ________
            |  2
Stel u =   \| t  + k   en  dt = dv  dan


                    /
      ________      |
     |  2           |          t
I = \| t  + k  .t - |t. ---------------dt
                    |       ________
                    |      |  2
                    /     \| t  + k


                    /
      ________      |   2
     |  2           |  t  + k - k
I = \| t  + k  .t - |---------------dt
                    |       ________
                    |      |  2
                    /     \| t  + k

                    /                      /
      ________      |   2                  |
     |  2           |  t  + k              |      1
I = \| t  + k  .t - |-------------- dt + k |---------------- dt
                    |       ________       |       ________
                    |      |  2            |      |  2
                    /     \| t  + k        /     \| t  + k

                    /                      /
      ________      |   ________           |
     |  2           |  |  2                |      1
I = \| t  + k  .t - | \| t  + k  dt    + k |---------------- dt
                    |                      |       ________
                    |                      |      |  2
                    /                      /     \| t  + k


                          /
        ________          |
       |  2               |      1
2.I = \| t  + k  .t  +  k |---------------- dt
                          |       ________
                          |      |  2
                          /     \| t  + k

        ________                  ________
       |  2                      |  2
2.I = \| t  + k  .t + k ln |t + \| t  + k |  + C

        ________                  ________
       |  2                      |  2
      \| t  + k  .t + k ln |t + \| t  + k |  + C
 I = --------------------------------------------
                        2


Door gebruik te maken van dit resultaat kunnen we
nu volgende vorm berekenen.

      /      _____________
      |     |  2
      |    \| x  + b x + c  dx
      /

Voorbeeld :
        /  _____________       /   _____________
        | |  2                 |  |        2
  I =   |\| x  + 4 x + 6 dx  = | \| (x + 2)  + 2  dx
        |                      |
        /                      /

Stel  x+2 = t , dan

          /   ________
          |  |  2
    I =   | \| t  + 2  dt
          /
        ________                  ________
       |  2                      |  2
      \| t  + 2  .t + 2 ln |t + \| t  + 2 |  + C
 I = --------------------------------------------
                        2

Op dezelfde manier kan je berekenen

     /   ________
     |  |      2
I =  | \| k - t   dt met  k reeel en constant.
     /

en daarmee alle integralen van de vorm

      /    _____________
      |   |            2
      |  \| c + b x - x  dx
      /

Goniometrische substitutie

Als onder het integraalteken voorkomt :
sqrt(a2 - u2 ) of sqrt(a2 + u2 ) of sqrt(u2 - a2 )
dan is het aangewezen een goniometrische substitutie te gebruiken.
 
Voor sqrt(a2 - u2 )  gebruik de  substitutie   u = a.sin(t)
    met t in [-pi/2,pi/2]


Voor sqrt(a2 + u2 )    gebruik de substitutie   u = a.tan(t)
    met t in [-pi/2,pi/2]


Voor sqrt(u2 - a2 )   gebruik de substitutie    u = a.sec(t)
        met t in [0, pi/2[ als u > 0  en
        met t in [ pi, 3.pi/2] als u < 0

We geven van elk geval een voorbeeld.

Lijsten integratieformules omtrent standaardfuncties ; formularium

  1. Via deze link vind je een nogal uitgebreide lijst van integratieformules.
    De lijst omvat volgende delen
     
        * Lijst van integralen van rationale functies
        * Lijst van integralen van irrationale functies
        * Lijst van integralen van exponentiŽle functies
        * Lijst van integralen van logaritmische functies
        * Lijst van integralen van goniometrische functies
        * Lijst van integralen van inverse goniometrische functies
        * Lijst van integralen van hyperbolische functies
        * Lijst van integralen van inverse hyperbolische functies
    
  2. Via deze link vind je een tweede uitgebreide lijst van integratieformules.

Online Integrator

Via deze link vind je een krachtige online integrator.

Bepaalde integraal

Definitie

Zij f(x) continu in [a,b]. In dat interval kiezen we de waarden x1,x2,x3,...,xn-1. Neem a = x0 en b = xn.
We hebben n deelintervallen in [a,b]. De waarde (xi - xi-1) is de breedte h van het i-de interval.
In het i-de interval bereikt f(x) een maximum Mi en een minimum mi.
We creeren de 'benedensom'
 
        s = som mi.(xi - xi-1)
             i
en de 'bovensom'
 
        S = som Mi.(xi - xi-1)
             i
Nu kiezen we in elk interval [xi-1, xi] een nieuwe waarde. Op die manier ontstaan 2n intervallen in [a,b]. Met deze intervallen correspondeert een nieuwe ondersom en een nieuwe bovensom. Op die manier gaan we onophoudelijk verder door telkens het aantal intervallen te verdubbelen Zo ontstaat een rij ondersommen en een rij bovensommen. De ondersommen-rij is niet dalend en de bovensommen-rij is niet stijgend. Maar elke bovensom is groter dan elke ondersom. De rij ondersommen is niet dalend en naar boven begrensd en heeft dus een limiet. Zo ook heeft de rij bovensommen een limiet. Men kan aantonen dat deze twee limieten gelijk zijn. Deze gemene limiet I heet de bepaalde integraal van f(x)dx.
Het getal b heet de bovengrens en a heet de benedengrens van de bepaalde integraal. Men noteert dit alles als volgt
 
        /b
        |  f(x).dx = I
        /a

Numeriek voorbeeld

Neem de functie y = x2 in [0,1]. We verdelen het interval in n gelijke delen.
 
        n               ondersom                bovensom
        10              0.317                   0.385
        20              0.325                   0.358
        40              0.329                   0.346
        80              0.331                   0.340
        160             0.332                   0.336
        ...
        2560            0.33327                 0.3335
Beide sommen convergeren naar de zelfde limiet I = 1/3.
 
        /1
        |  x2dx  =  1/3
        /0

Eigenschappen

Bepaalde integraal als Riemann som

Kies in elk interval [xi-1,xi] een x-waarde = si. Dan
 
    xi-1 =<    si    =< xi

=>     mi  =<   f(si)  =< Mi

=>    mi.(xi - xi-1) =< f(si).(xi - xi-1) =< Mi.(xi - xi-1)

We maken de som van deze uitdrukkingen voor i van 1 tot n.
 
som mi.(xi - xi-1) =< som f(si).(xi - xi-1) =< som Mi.(xi - xi-1)
De som f(si).(xi - xi-1) heet een Riemann som.

We nemen de limiet voor n --> infty

 
           I =< lim som f(si).(xi - xi-1) =< I
een hieruit volgt
 
        /b
    I = |  f(x).dx  =  lim som f(si).(xi - xi-1)
        /a
Elke bepaalde integraal is de limiet van een gepaste Riemann som en elke limiet van een gepaste Riemann som is een bepaalde integraal.

Middelwaarde stelling van de integraalrekening

Als f(x) continu is in [a,b] dan is er tenminste 1 waarde c in [a,b] zodat
 
        /b
        |  f(x).dx = (b-a).f(c)
        /a
Bewijs :
Zij m de kleinste en M de grootste waarde van f(x) in [a,b].
In [a,b] kiezen we waarden x1,x2,x3,...,xn-1. Zoals in de definitie maken we opnieuw ondersommen en bovensommen. In alle sommen gaat i van 1 tot n.
 
        som m.(xi - xi-1) =< som mi.(xi - xi-1)


<=>     m.som (xi - xi-1) =< som mi.(xi - xi-1)


en
        som Mi.(xi - xi-1) =< som M.(xi - xi-1)


        som Mi.(xi - xi-1) =<  M.som (xi - xi-1)

We nemen de limiet en we krijgen
 
        m.(b-a) =< I =< M.(b-a)
I/(b-a) is een getal tussen het kleinste en het grootste beeld in [a,b].
Maar, daar f(x) continu is in [a,b], is er een waarde c in [a,b], zo dat f(c) = I/(b-a) .
Vandaar dat er tenminste 1 c is in [a,b] zodat
 
        /b
        |  f(x).dx = (b-a).f(c)
        /a

Gemiddelde waarde van een functie in [a,b]

De waarde f(c) uit de vorige stelling heet de gemiddelde waarde van f(x) in [a,b].
 
                                            1     /b
De gemiddelde waarde van  f(x) in [a,b] = ------- |  f(x).dx
                                          (b - a) /a

Stomme variabele x in een bepaalde integraal.

 
        /b
        |  f(x).dx = (b-a).f(c) = getal onafhankelijk van  x
        /a
De naam x is dus niet van belang. Vandaar,
 
        /b           /b           /b
        |  f(x).dx = |  f(u).du = |  f(t).dt = ...
        /a           /a           /a

Bepaalde integraal met variabele bovengrens

f(x) is continu in [a,b] en x is een waarde in [a,b]. De integraal
 
        /x
        |  f(t).dt
        /a
is een waarde die afhangt van de bovengrens x. Het is dus een functie g(x) van x.
 
        /x
 g(x) = |  f(t).dt
        /a

Eerste hoofdstelling van de integraalrekening

De afgeleide van de functie
 
          /x
          |  f(t).dt
          /a
is f(x) .

 
Stel
        /x
 g(x) = |  f(t).dt
        /a
We bereken de afgeleide van g(x) steunend on the definitie van afgeleide.
 
        d               (g(x+h)-g(x))
        -- g(x) =  lim ---------------
        dx        h->0        h

                        /x+h            /x
                        |   f(t).dt  -  |  f(t).dt
                        /a              /a
                =  lim -----------------------------
                  h->0                h


                        /x+h            /a
                        |   f(t).dt  +  |  f(t).dt
                        /a              /x
                =  lim -----------------------------
                  h->0                h


                        /x+h
                        |   f(t).dt
                        /x
                =  lim -------------
                  h->0      h

        De middelwaardestelling zegt dat er minstens 1 getal c is in
        in [x,x+h] zodat
                        h.f(c)
                =  lim -------------
                  h->0      h


                =  lim f(c)
                  h->0

        Als h -> 0 , c -> x

                =  lim f(c)
                  c->x

                = f(x)

Gevolg

Daar
 
   d    /x                      /x
   ---  |  f(t).dt = f(x)  is   |  f(t).dt een primitieve functie van f(x)
   dx   /a                      /a

Tweede hoofdstelling van de integraalrekening

Als F(x) een primitieve functie is van f(x), dan
 
        /b
        |  f(t).dt  = F(b) - F(a)
        /a

Bewijs: F(x) is een primitieve functie van f(x) en ook
 
        /x
        |  f(t).dt is een primitieve functie van f(x).
        /a
Dan verschillen ze door een constante
        /x
        |  f(t).dt = F(x)  + C    VOOR ALLE x in [a,b]  (1)
        /a

Voor  x = a krijgen we

        /a
   0 =  |  f(t).dt = F(a)  + C    VOOR ALLE x in [a,b]
        /a

=>      C = - F(a)

        /x
(1) =>  |  f(t).dt = F(x)  - F(a)   VOOR ALLE x in [a,b]
        /a

Voor x =  a geeft dit:

        /b
        |  f(t).dt = F(b)  - F(a)
        /a

Daar de naam t niet van belang is

        /b
        |  f(x).dx = F(b)  - F(a)
        /a

De laatste uitdrukking noteren we als

        /b                    b
        |  f(x).dx =  [ F(x) ]
        /a                    a

Berekenen van een bepaalde integraal

Voorbeeld:
 
        /1
        |  x(x2  + 7)dx
        /0

We bereken een primitieve functie van x(x2  + 7).

        /
        |  x(x2  + 7)dx  = ... = (1/4)(x2  + 7)2  + C
        /
Nu,
        /1    2                    2     2  1
        |  x(x  + 7)dx  = [ (1/4)(x  + 7)  ]  = 64/4 - 49/4 = 15/4
        /0                                  0

Toepassingen van bepaalde integralen

Oppervlakte tussen twee krommen

De oppervlakte ingesloten tussen twee krommen y = f(x) en y = g(x) in het interval [a,b] met f(x) >= g(x) in [a,b] is
 
   /b
   |  (f(x) - g(x))dx
   /a

Bewijs:

In het interval [a,b], kiezen we de waarden x1,x2,x3,...,xn-1. Neem a = x0 en b = xn.
We kiezen in elk interval [xi-1,xi] een waarde = si.
Neem de oppervlakte van de rechthoek in [xi-1,xi]

 
    ( f(si) - g(si) ).(xi - xi-1)
Neem nu de som van de oppervlakten van zulke rechthoeken in elk deelinterval
 
    som ( f(si) - g(si) ).(xi - xi-1)
Dat is een Rieman som. De limiet van die som voor n --> infty, is de bepaalde integraal
 
   /b
   |  (f(x) - g(x))dx
   /a
Dit is de oppervlakte ingesloten tussen de continue krommen y = f(x) en y = g(x).

We zien dat die oppervlakte de som is van oneindig veel elementaire deeltjes. Deze methode wordt gebruikt in heel veel toepassingen in de fysica.

Als de voorwaarde f(x) >= g(x) niet vervuld is, splitsen we [ab] in gepaste deelintervallen waar de voorwaarde wel vervuld is.

Voorbeeld:
We bereken de oppervlakte tussen y = cos(x) en y = sin(x) in [0,pi].

In [0,pi/4], hebben we cos(x) >= sin(x) en in [pi/4,pi] hebben we sin(x) >= cos(x).

Oppervlakte =

 
    /pi/4                        /pi
    |     (cos(x) - sin(x)) dx + |    (sin(x) - cos(x)) dx
    /0                           /pi/4

                       |pi/4                      |pi
    = (sin(x) + cos(x))|      + (-cos(x) - sin(x))|
                       |0                         |pi/4



    = ... = 2.8284

Oppervlakte berekeningen

Uitgewerkte oppervlakte berekeningen kan je vinden via deze link

Volume van omwentelingslichamen

Een continue functie f(x) > 0 in interval [a,b] wentelt om de x-as en bepaalt zo een omwentelingslichaam met een zeker volume of inhoud.

We stellen een formule op om dit volume te berekenen.

In interval [a,b], kiezen we de waarden x1,x2,x3,...,xn-1. Neem a = x0 en b = xn.
We kiezen in elk deelinterval [xi-1,xi] een waarde = si.
Beschouw de rechthoeken met basis (xi - xi-1) en hoogte si.
Als dergelijke rechthoek wentelt om de x-as, bepaalt het een cilinder met volume

 
   pi. si2 . (xi - xi-1)
De som van al deze cilinderinhouden is een Riemann som
 
    som (pi. si2 . (xi - xi-1))
De limiet van deze som, voor n --> infty, is de bepaalde integraal
 
      /b
  pi. |  (f(x))2 dx
      /a
Een continue functie f(x) met positieve beelden in interval [a,b], en wentelend om de x-as definieert een lichaam met volume
 
              /b
    V =   pi. |  (f(x))2 dx
              /a

Voorbeeld:
Als de kromme y = sqrt(r2-x2) wentelt om de x-as ontstaat een bol met straal r. Het volume =

 
            /r
   V = pi . |   (r2-x2) dx = ... = (4/3). pi . r3
            /-r

Volume berekeningen

Uitgewerkte oppervlakte en volume berekeningen kan je vinden via deze link

Lengte

We stellen een formule op om de lengte te berekenen van een kromme y = f(x) in het interval [a,b].

In interval [a,b], we kiezen we de waarden x1,x2,x3,...,xn-1. Neem a = x0 en b = xn.

In interval [xi-1,xi], nemen we de punten P(xi-1,f(xi-1)) en Q(xi,f(xi)). We identificeren het boogje in dat interval, met het segment PQ.

 
   (lengte PQ)2  = (xi - xi-1)2 + (f(xi) - f(xi-1))2

                           (f(xi) - f(xi-1))2
                  = ( 1 + ------------------------) . (xi - xi-1)2
                             (xi - xi-1)2
Steunend op de stelling van Lagrange is er een waarde si in [xi-1,xi], zo dat
 
     f(xi) - f(xi-1)
    --------------------- = f'(si)
      (xi - xi-1)
Nu hebben we
 
   (lengte PQ)2  = (1 + (f'(si))2 ) . (xi - xi-1)2

<=>
                    ________________
                   |
   (lengte PQ) =  \| 1 + (f'(si))2   . (xi - xi-1)
De som van al die afstandjes in elk deelinterval is een Riemann som en de limiet van die som is een bepaalde integraal. De integraal is de som van een oneindig aantal elementaire deeltjes van de kromme
Elk deeltje heeft een lengte
 
     _____________
    |
   \| 1 + (f'(x))2 dx

        _________
       |
   =  \| 1 + y'2  dx
Nu kunnen we schrijven

De lengte van de kromme y = f(x) in een interval [a,b] is
 
         /b    _________
         |    |
    L  = |   \| 1 + y'2  dx
         |
         /a

Voorbeeld:

Bereken de lengte van de kromme y = (ex + e-x)/2 in interval [-1,1].

 
    y' = (1/2).(ex - e-x)


  1 + y'2 = ... = (1/4).(ex + e-x)2


       /1
       |
   L = |  (1/2).(ex + e-x) dx  = ... = 2.35
       |
       /-1

Lengte berekeningen

Uitgewerkte oppervlakte en volume en lengte berekeningen kan je vinden via deze link

Opgeloste oefeningen

 
Opgeloste oefeningen over integralen kan je vinden via deze link
 




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.