De homografische functie





Vergelijking van de homografische functie

Elke van 0 verschillende functie met een vergelijking van de vorm
 
     a x + b
y = -----------  met  c niet 0
     c x + d
heet een homografische functie.

Daar c niet nul is, kunnen we het functievoorschrift in teller en noemer delen door c en dan wordt de vergelijking van de vorm

 
     a' x + b'
y = -----------
     x + d'
Met de methodes voor asymptotenberekening is het niet moeilijk de asymptoten te berekenen.

Men vindt y = a' als horizontale asymptoot en x = -d' als verticale asymptoot.

Transformaties

We zullen de grafiek van die laatste functie aan opeenvolgende transformaties onderwerpen met als doel een eenvoudige standaardvergelijking te vinden voor de functie.

Door translatie de vergelijking vereenvoudigen

Als we de grafiek van de functie d' eenheden naar rechts verschuiven zal de verticale asymptoot samenvallen met de y-as. De horizontale asymptoot verandert niet. De vergelijking van de verschoven grafiek is dan van de vorm
 
     a x + b"
y = -----------
       x
De horizontale asymptoot is dus nog steeds y = a.

Als we nu de laatste grafiek a eenheden naar beneden verschuiven zal de horizontale asymptoot samenvallen met de x-as. De vergelijking van die nieuwe grafiek is dan

 
      b"
y = -----
      x
Door die translaties is de vorm van de kromme niet gewijzigd. De grafiek van de laatste vergelijking is gemakkelijk te schetsen. Voor b" = 1 ziet de grafiek er zo uit.
 
               

Terug naar de algemene vergelijking

 
     a x + b
y = -----------  met  c niet 0
     c x + d
Elke grafiek van een homografische functie heet een orthogonale hyperbool met een horizontale en een vertikale asymptoot. Uit het voorgaande volgt dat elke bissectrice van de asymptoten een symmetrieas is van die hyperbool en het snijpunt van de asymptoten een symmetriepunt is.

De asymptoten van die algemene vergelijking zijn y = a/c en x= -d/c. Het snijpunt van de asymptoten is symmetriepunt S(-d/c,a/c).

Aanrader

Geef aan a,b,c,d achtereenvolgens verschillende waarden.
Plot telkens de grafiek.
Controleer telkens de besluiten van deze theorie op de gevonden grafiek.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.