Goniometrie




Formularium

Wil je snel basisformules raadplegen of opzoeken kijk dan hier.

Definities en basisbegrippen en basisformules

Goniometrische cirkel en hoeken

Neem een orthogonaal assenstel met gelijke eenheden op de 2 assen en oorsprong O. De cirkel met middelpunt O en straal 1 noemt men de goniometrische cirkel of eenheidscirkel.
In de goniometrie neemt men de tegenwijzerzin als positieve zin voor het meten van hoeken.
Over het algemeen worden hoeken gemeten vanaf de positieve x-as.
Als eenheid om hoeken te meten kan je kiezen tussen graden en radialen. Het verband tussen beide eenheden ligt vast door:
Een positieve rechte hoek meet 90 graden of ook pi/2 radialen.
In het vervolg gebruiken we hoofdzakelijk radiaal als eenheid.
Met elk reeel getal t correspondeert juist 1 hoek van t radialen en dus juist 1 punt op de goniometrische cirkel als we de meting beginnen vanaf de positieve x-as. Men spreekt kortweg van de hoek t. We noemen dit punt op de cirkel het beeldpunt van het getal t.

 
           

Voorbeelden:

Goniometrische getallen corresponderend met getal t

Met t radialen correspondeert juist 1 punt P op de goniometrische cirkel.
De rechte met vergelijking sin(t).x - cos(t).y = 0
bevat de oorsprong O en punt P(cos(t),sin(t)). Dus die rechte is OP.
Op die rechte nemen we het snijpunt S met de rechte x=1.
Het is gemakkelijk te berekenen dat: S(1, tan(t)) .
Dus tan(t) is de y-coordinaat van het punt S.

 
          
Analoog vindt men dat cot(t) de x-coordinaat is van het snijpunt S' van de rechte OP met de rechte y = 1.

Oefening:
Bekijk bovenstaande figuur en bepaal de kleinste positieve waarde van t zodat tan(t) = cot(t).

Basis formules

Met t radialen correspondeert juist 1 punt P(cos(t),sin(t)) op de eenheidscirkel. De afstand |OP| is 1 en het kwadraat ervan is ook 1. Berekenen we nu die afstand met de formule voor afstand tussen twee punten dan vinden we dat :
 
cos2(t) + sin2(t) = 1

Verder geldt ook:

                    sin2(t)
1 + tan2(t) = 1 + ----------
                    cos2(t)

             cos2(t)+sin2(t)
           = -----------------
                 cos2(t)


                  1
           = ----------- = sec2(t)
               cos2(t)

Analoog :

1 + cot2(t) = 1/ sin2(t) = csc2(t)

Deze formules gelden voor elke t waarde.
 
       cos2(t) + sin2(t) = 1

       1 + tan2(t) = sec2(t)

       1 + cot2(t) = csc2(t)

Gebruiksvoorbeelden:
 
     sin2(t) = 1 - cos2(t)

     cos2(4t) = 1 - sin2(4t)

     1 + tan2(t/2) = sec2(t/2)

     csc2(t2) - cot2(t2) = 1
Oefening:
Vul aan
 
    Als cos(t)=0.5 dan is sin2(t) = ...

    Als cos(t)=0.1 dan is tan2(t) = ...

    Als cot(t)=0.2 dan is sin2(t) = ...

Verwante waarden

Waarden die een geheel veelvoud van 2.pi verschillen

Als t en t' een geheel veelvoud van 2.pi verschillen, dan zijn de overeenkomstige beeldpunten op de goniometrische cirkel samenvallend. Dus
 
Als  t' = t + 2.k.pi     (met k geheel) dan is

       sin(t) = sin(t')
cos(t) = cos(t')
tan(t) = tan(t')
cot(t) = cot(t')

supplementaire waarden

t en t' zijn supplementaire waarden <=> t+t' = pi.

Met behulp van een eenheidscirkel zien we dat de overeenkomstige beeldpunten symmetrisch liggen ten opzichte van de y-as. (maak een figuur en teken twee supplementaire hoeken ; bekijk cosinus en sinus )
Vandaar dat :
 
       sin(t) = sin(pi - t)
cos(t) = -cos(pi - t)
tan(t) = -tan(pi - t)
cot(t) = -cot(pi - t)

Gebruiksvoorbeelden:

 
   sin(t + pi/2) = sin(pi/2 - t)

   tan(2t + 0.2) = - tan(pi -0.2 - 2t)

   - tan(pi -t) = tan(t)

     sin(pi-t) + cos(3pi-t) - sin(t+4pi) + cos(t)
   =   sin(t)  + cos(pi-t)  - sin(t)     + cos(t)
   =   sin(t)  -  cos(t)    - sin(t)     + cos(t)
   =  0

complementaire waarden

t en t' zijn complementaire waarden <=> t+t' = pi/2

De overeenkomstige beeldpunten op de eenheidscirkel liggen symmetrisch ten opzichte van de rechte y = x . (maak een figuur en teken twee complementaire hoeken ; bekijk cosinus en sinus )
Vandaar dat :
 
       sin(t) = cos(pi/2 - t)
cos(t) = sin(pi/2 - t)
tan(t) = cot(pi/2 - t)
cot(t) = tan(pi/2 - t)

Gebruiksvoorbeelden:

 
      tan(pi/4 +3t) = cot(pi/4 -3t)

      cos(3pi/2 -t) = sin( t - pi) = sin(-t + 2pi) = sin(-t)

      cot(3x - pi/2) = tan(-3x + pi ) = - tan(3x)

      - cos(pi/2 - 2x) + sin(-2x - pi) - cos(3pi - 2x)
    = -  sin(2x)       + sin(pi - 2x)  - cos(pi - 2x)
    = -  sin(2x)       +  sin(2x)   + cos(2x)
    =  cos(2x)

Tegengestelde waarden

t en t' zijn tegengestelde waarden <=> t+t' = 0.

De overeenkomstige beeldpunten op de eenheidscirkel liggen symmetrisch ten opzichte van de X-as. (maak een figuur en teken twee tegengestelde hoeken ; bekijk cosinus en sinus )
Vandaar dat :
 
       sin(t) = -sin(-t)
cos(t) = cos(-t)
tan(t) = -tan(-t)
cot(t) = -cot(-t)

Gebruiksvoorbeelden:

 
      cos(-pi/2 + x) = cos(pi/2 - x) = sin (x)

      sin(6x - pi) = -sin(pi - 6x) = -sin(6x)

      cot(-x + 4pi) = cot(-x) = - cot(x)

Antisupplementaire waarden

t zijn t' zijn antisupplementaire waarden <=> (t-t' = pi of t'-t = pi)

De overeenkomstige beeldpunten op de eenheidscirkel liggen symmetrisch ten opzichte van O.
Vandaar dat :
 
       sin(t) = -sin(t+pi)
cos(t) = -cos(t+pi)
tan(t) = tan(t+pi)
cot(t) = cot(t+pi)

Gebruiksvoorbeelden:

 
      tan(5a + 3pi) = tan(5a + pi) = tan(5a)

      cot(t/2 + pi/2) = cot(t/2 - pi/2) = - cot(pi/2 - t/2) = - tan(t/2)

      sin(x + 3 pi) + sin(x) = -sin(x) + sin(x) = 0

De rechthoekige driehoek

Noem A het hoekpunt behorend bij de rechte hoek van en rechthoekige driehoek ABC. De afstanden |AB|, |BC| en |CA| worden gewoonlijk genoteerd als c, a en b. Neem punt B als middelpunt van een goniometrische cirkel (zie figuur).
 
          
De rode driehoek is gelijkvormig met het blauwe driehoekje.

We zien dat sin(B), cos(B) en 1 recht evenredig zijn met b, c en a.

 
        sin(B)   cos(B)    1
        ------ = ------ = ---
          b        c       a

=>      sin(B) = b/a   cos(B) = c/a  tan(B) = b/c

en daar de hoeken B en C complementaire hoeken zijn geldt:

        cos(C) = b/a   sin(C) = c/a   tan(C) = c/b
In elke rechthoekige driehoek ABC, met A als rechte hoek, hebben we :
 
        sin(B) = b/a   cos(B) = c/a  tan(B) = b/c

        cos(C) = b/a   sin(C) = c/a   tan(C) = c/b

Andere eigenschappen in een rechthoekige driehoek

 
                
  • De som van de kwadraten van de rechthoekzijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. a2 = b2 + c2
  • De hoogte op de schuine zijde is middelevenredig tussen de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. h2 = x.y
  • Een rechthoekzijde is middelevenredig tussen de schuine zijde en haar loodrechte projectie op die schuine zijde. c2 = a.x en b2 = a.y

Toepassingen :
De raaklijnen in de punten A en B van een cirkel met middelpunt O en straal r, snijden in punt P. De koorde AB en de rechte OP snijden in punt S. Noem |OP|= a en |AB|=k.
Bereken k in functie van r en a.

 
                
In de rechthoekige driehoek AOP geldt: De rechthoekzijde is middelevenredig tussen de schuine zijde en haar loodrechte projectie op die schuine zijde. Dus
 
     |OA|2  = |OP| |OS|.

=>   |OS| = r2/a
In de rechthoekige driehoek OAS is de som van de kwadraten van de rechthoekzijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Dus
 
     |OA|2  = |OS|2 + |AS|2

=>   r2 = |OS|2 + k2/4

=>   r2 =  r4/a2  + k2/4

=>  ....

         2r    ___________
=>  k = ---- \/ a2 - r2
         a
Verdeel een gegeven lijnstuk BC, door de constructie van een punt D, in twee delen met lengte x en y zodat het product x.y gelijk is aan een opgegeven waarde m2.

x+y=|BC| en m2 = x.y
m middelevenredig tussen x en y
We weten dat de hoogte op de schuine zijde BC van een rechthoekige driehoek ABC middelevenredig tussen de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.

We zoeken een rechthoekige driehoek ABC met basis de schuine zijde BC en hoogte m.
Het hoekpunt A van die rechthoekige driehoek ligt op de cirkel met middellijn BC.

 
                
Constructie van D:
  1. Teken een halve cirkel met diameter BC
  2. Teken een evenwijdige aan BC op afstand m van BC.
  3. Die evenwijdige geeft ons punt A.
  4. Teken de hoogte AD uit A op BC.

Oppervlakte van een driehoek

 
         
De oppervlakte van een driehoek is a.h/2 .
Maar in driehoek BAH is sin(B) = h/c .
Vandaar dat de oppervlakte van de driehoek ook (1/2).a.c.sin(B) is.
Analoog is de oppervlakte van de driehoek ook
= (1/2).b.c.sin(A) = (1/2).a.b.sin(C)

De oppervlakte van driehoek ABC =(1/2).a.c.sin(B)= (1/2).b.c.sin(A) = (1/2).a.b.sin(C)


De oppervlakte van een driehoek kan ook berekend worden met de formule van Heron

 
Noem s = de halve omtrek van de driehoek = (a +b + c)/2.

De oppervlakte van driehoek ABC =
     ______________________________
    V s (s - a) (s - b) (s - c)

Oefening:
Een driehoek heeft zijden met lengte 5 , 4 en 7. Teken nauwkeurig de driehoek. Bereken de oppervlakte met de formule van Heron en controleer het resultaat door op je figuur de hoogte op een basis te meten en hiermee nogmaals de oppervlakte te berekenen. Meet nu een hoek van de driehoek en bereken daarmee een derde maal de oppervlakte.
Omgekeerd kan je ook uit het exacte resultaat van de oppervlakte de exacte waarde van de hoeken van de driehoek berekenen met de formules (1/2).a.c.sin(B)= (1/2).b.c.sin(A) = (1/2).a.b.sin(C).

Sinus regel

We vertrekken van de drie hierboven vermelde uitdrukkingen van de oppervlakte van een driehoek ABC.
 
      (1/2).a.c.sin(B)= (1/2).b.c.sin(A) =  (1/2).a.b.sin(C)
=>
        a.c.sin(B) =  b.c.sin(A) = a.b.sin(C)

Na deling door  a.b.c, krijgen we

In elke driehoek ABC geldt

          a         b        c
        ------ =  ------ = ------
        sin(A)    sin(B)   sin(C)
Deze formule noemt men de sinus-regel in driehoek ABC.

Noem R de straal van de cirkel met middelpunt O en door de hoekpunten van een driehoek ABC.
Noem B' het tweede snijpunt van BO en de cirkel.
De hoek B' in driehoek BB'C is gelijk aan, of supplementair met, de hoek A.
In de rechthoekige driehoek BB'C zien we dat a = 2R sin(B') = 2R sin(A).
Dus de drie breuken uit de sinus regel zijn gelijk aan 2R.

In elke driehoek ABC geldt
 
          a         b        c
        ------ =  ------ = ------ = 2R
        sin(A)    sin(B)   sin(C)

Oefening:
Een driehoek heeft zijden met lengte a = 5 , b = 4 en c = 7.
Teken nauwkeurig de driehoek. Bereken de oppervlakte met de formule van Heron.
Bereken nu de hoek A met behulp van de oppervlakte formule (1/2).b.c.sin(A).
Gebruik nu die hoek A om de straal R van de omgeschreven cirkel te berekenen.
Controleer je resultaat op je figuur.

Homogene uitdrukkingen in a, b en c

Opmerking:
Een betrekking noemt men homogeen in a, b en c als en slechts als die betrekking geldig blijft wanneer men a, b en c vervangt door een veelvoud r.a, r.b en r.c (r niet 0).
Anders geformuleerd:
Een betrekking noemt men homogeen in a, b en c als en slechts als die betrekking geldig blijft wanneer men a, b en c vervangt door getallen die evenredig zijn met a, b en c.

Gevolg van de sinus regel:
Uit de sinusregel blijkt dat a, b en c evenredig zijn met sin(A), sin(B) en sin(C).
Als een betrekking tussen de zijden van een driehoek ABC homogeen is in a, b en c, dan heeft men onmiddellijk een gelijkwaardige betrekking als men a, b en c respectievelijk vervangt door sin(A), sin(B), sin(C).

Voorbeeld:
Stel dat in een driehoek geldt:

 
        b.sin(A-C) = 3.c.cos(A+C)

Deze betrekking is homogeen in a, b en c.
dus is dit gelijkwaardig met

        sin(B).sin(A-C) = 3.sin(C).cos(A+C)

Cosinus regel

In elke driehoek ABC geldt
 
        a2  = b2  + c2  - 2 b c cos(A)

        b2  = c2  + a2  - 2 c a cos(B)

        c2  = a2  + b2  - 2 a b cos(C)

Bewijs:
We bewijzen dat a2 = b2 + c2 - 2 b c cos(A)

Als de hoek A een rechte hoek is, dan de eigenschap vanzelfsprekend.

Neem nu aan dat de hoek A scherp is.

 
          

    a2 = h2 + p2            (*)

    b2 = h2 + q2

        = h2 + (c - p)2
 dus
    h2 = b2 - (c - p)2      (**)


Uit (*) en (**) volgt

   a2 = b2 - (c - p)2  + p2

       = b2 - (c2 - 2 p c + p2)  + p2

       = b2 - c2 + 2 p c

        We omvormen nu het rechterlid zoveel
        mogelijk in de richting van ons doel.

       = b2 + c2 + 2 p c - 2 c2

       = b2 + c2 + 2 c (p - c)

       = b2 + c2 - 2 c (c - p)

       =  b2 + c2 - 2 c q

       =  b2 + c2 - 2 c b cos(A)
Neem nu aan dat de hoek A stomp is. De redenering verloopt op dezelfde wijze als hierboven. Maak een nieuwe figuur en werk dit uit als oefening.

Deze cosinusregel kan ook afgeleid worden met behulp van het scalair product van vectoren.
Zie Bewijs cosinus regel

Speciale waarden

pi/3

Zij V het beeldpunt op de eenheidscirkel corresponderend met de hoek pi/3 en zij E het snijpunt van de cirkel met de positieve x-as De driehoek OVE is gelijkbenig. Dus cos(pi/3) = 1/2.
 
sin2 (pi/3) = sqrt( 1 - cos2 (pi/3)) = sqrt(3)/2

Dus,  sin(pi/3) = sqrt(3)/2 en cos(pi/3) =  1/2.

       tan(pi/3) =  sqrt(3)

pi/4

Zij V het beeldpunt op de eenheidscirkel corresponderend met de hoek pi/4. Op een figuur zien we direct dat cos(pi/4) = sin(pi/4) en tan(pi/4) = 1.
 
cos2(pi/4)+sin2(pi/4) = 1  => 2cos2(pi/4) = 1 =>  cos (pi/4) = sqrt(1/2)

Dus, cos (pi/4) =  sin(pi/4) = sqrt(1/2)

     tan(pi/4) = 1

pi/6

Uit de formules voor complementaire hoeken volgt:
cos (pi/6) = sqrt(3)/2 en sin(pi/6) = 1/2.
tan(pi/6) = 1/sqrt(3).

Oplossen van driehoeken

Geval ZZZ

De drie zijden zijn gegeven.
Breng de waarden in de cosinusregel en bereken de hoeken.

Voorbeeld: a=4 b=5 c=7

Uit de cosinusregel volgt:

 
58 = 70 cos(A)
40 = 56 cos(B)
-8 = 40 cos(C)

A = 34.05 B = 44.41 C = 101.53
Test : A + B + C = ...

Geval HZH of HHZ

Er zijn twee hoeken gegeven en een zijde.
Bereken de derde hoek en daarna de zijden met de sinusregel.

Voorbeeld: a=4 A=34 B=45

De derde hoek is C =101
Uit de sinusregel volgt

 
      4 sin(45)
b = -------------- = 5.06
       sin(34)


      4 sin(101)
c = ------------- = 7.02
       sin(34)
Test : teken de driehoek

Geval ZHZ

Gegeven zijn twee zijden in een ingesloten hoek.
Gebruik de cosinusregel.

Voorbeeld: b=5 c=7 A=34.05

Uit de cosinusregel volgt:

 
a2 = 25 + 49 - 70 cos(34.05)  => a = 4

De twee andere formules van de cosinusregel geven nu

40 = 56 cos(B)
-8 = 40 cos(C)

B = 44.41 C = 101.53
Test : A + B + C = ...

Geval ZZH

Er zijn twee zijden gegeven en een niet ingesloten hoek. Maak een tekening. Er zijn drie gevallen mogelijk.
1) geen oplossingen
2) 1 oplossing
3) 2 oplossingen
  1. A=60 b=5 a=1

    Uit een figuur volgt dat er geen oplossingen zijn.

  2. A=60 b=5 a=7

    Uit de figuur volgt dat er 1 oplossing is. We nemen de sinusregel.

     
        7          5           c
    --------- = -------- = ---------
     sin(60)    sin(B)     sin(C)
    
    Hieruit halen we sin(B)= 0.6186 en dit geeft twee supplementaire mogelijkheden voor B.
    Maar uit onze figuur weten we onmiddellijk welke waarde we moeten kiezen. B = 38.21.
    Dan is C = 180 - 38.21 - 60 = 81.79
    Dan is c = 8

  3. A=60 b=5 a=4.5

    Uit een figuur volgt dat er twee oplossingen zijn. We nemen de sinusregel.

     
       4.5         5           c
    --------- = -------- = ---------
     sin(60)    sin(B)     sin(C)
    
    Hieruit halen we sin(B)= 0.96225 en dit geeft twee supplementaire mogelijkheden voor B.
    B = 74.2 of 105.8
    Kies eerst B = 74.2 en bereken eerst C en dan met de sinusregel c.
    Kies dan B = 105.8 en bereken eerst C en dan met de sinusregel c.
    Controleer de resultaten met behulp van je figuur.

Goniometrische functies

De sinus functie

De functie gedefinieerd door :
 
sin : R -> R : x -> sin(x)
heet de sinus functie.
Het beeld is begrensd tot [-1,1] en de periode is 2.pi .
We zien dat het bereik van de functie [-1,1] is.

De cosinus functie

De functie is gedefinieerd door :
 
cos : R -> R : x -> cos(x)
De periode is 2.pi en het bereik is [-1,1].

De tangens functie

De functie is gedefinieerd door :
 
tan : R -> R : x -> tan(x)
Nu is de periode pi en de beelden zijn niet gedefinieerd voor x = (pi/2) + k.pi
Het bereik is R.

De cotangens functie

De functie is gedefinieerd door :
 
cot : R -> R : x -> cot(x)
De periode is pi en de beelden zijn niet gedefinieerd voor x = k.pi
Het bereik is R.

Verwante functies en periode

We kunnen deze functies aan allerhande transformaties onderwerpen en dan verkrijgen we verwante functies. ( zie Invloed van een transformatie op de grafiek van een functie .

Voorbeeld 1

y = sin(4x)
De grafiek van die functie ontstaat door de grafiek van sin(x) samen te drukken naar de y-as toe met een factor 4. Hieruit volgt dat de periode nu pi/2 is. Of algemener: de functie y = sin(ax) heeft periode 2*pi/a voor a > 0.

Analoge besluiten gelden voor de periodes van de andere goniometrische functies. Zo is de periode van tan(x/3) gelijk aan 3.pi.

Voorbeeld 2

y = sin(x+5)
De grafiek van die functie ontstaat door de grafiek van sin(x) vijf eenheden naar links te schuiven. Het is duidelijk dat de periode daardoor niet verandert.

Voorbeeld 3

y = tan(x)+5
De grafiek van die functie ontstaat door de grafiek van tan(x) vijf eenheden naar boven te schuiven. Het is duidelijk dat de periode daardoor niet verandert.

Voorbeeld 4

We vertrekken van y = tan(x). We drukken de grafiek samen naar de y-as toe met factor 3. De nieuwe vergelijking is dan y = tan(3x) . We verschuiven nu de graf 2 eenheden naar rechts. Dan krijgen we vergelijking y = tan(3(x-2)) of ook y = tan(3x -6). Tenslotte schuiven we de laatste grafiek 2 eenheden naar beneden en de vergelijking is dan y = tan(3x -6)-2. De periode is pi/3.

Veralgemening:

De periode van A sin(a x + b ) is 2 pi/|a|
De periode van A cos(a x + b ) is 2 pi/|a|
De periode van A tan(a x + b ) is pi/|a|
De periode van A cot(a x + b ) is pi/|a|
De periode van A / sin(a x + b ) is 2 pi/|a|
De periode van A / cos(a x + b ) is 2 pi/|a|
De periode van A / tan(a x + b ) is pi/|a|
De periode van A / cot(a x + b ) is pi/|a|

Periode van de som van twee functies

 
Als
     f(x) is een functie met periode a
      g(x) is een functie met periode b
Dan
      f(x) + g(x) heeft periode c
   <=>
      Er bestaan strikt positieve onderling ondeelbare gehele getallen m en n
      zodat    c = m.a = n.b
Voorbeelden:

sin(2x) heeft periode pi en cos(3x) heeft periode 2pi/3.
Nu is c = 2.(pi) = 3.(2pi/3). Dus 2pi is een periode van sin(2x) + cos(3x)

sin(pi x) heeft periode 2 en tan(2 pi x/7) heeft periode 7/2.
Nu is c = 7.(2) = 4.(7/2). Dus 14 is een periode van sin(pi x) + tan(2 pi x/7)

sin(sqrt(2) x) heeft periode pi.sqrt(2) en cos(2x) heeft periode pi.
Er bestaan geen strikt positieve gehele getallen m en n zodat
m.(pi.sqrt(2)) = n.(pi). Dus sin(sqrt(2) x) +cos(2x) heeft geen periode!

sin(x) heeft periode 2 pi en cos(pi x) heeft periode 2.
Er bestaan geen strikt positieve gehele getallen m en n zodat
m.(2 pi) = n.(2). Dus sin(x) + cos(pi x) heeft geen periode!

Cyclometrische functies

De arcsin functie

Een functie is inverteerbaar als en slechts als er bij elk beeld y juist 1 origineel x past. We beperken het domein van de sinus functie tot [-pi/2 , pi/2].
Door deze beperking is de functie inverteerbaar want bij elk beeld in [-1,1] past juist 1 origineel in [-pi/2 , pi/2].
De inverse functie van deze beperkte sinus functie noemen we de arcsinus functie.
we schrijven arcsin(x) of asin(x).
De graf van y = arcsin(x) is het spiegelbeeld van de beperkte sinus grafiek ten opzichte van de rechte y = x.
Het domein is nu [-1,1] en het bereik [-pi/2 , pi/2].

De arccos functie

We beperken het domein van de cosinus functie tot [0 , pi].
Door deze beperking is de functie inverteerbaar want bij elk beeld in [-1,1] past juist 1 origineel in [0 , pi].
De inverse functie van deze beperkte cosinus functie noemen we de arccosinus functie.
we schrijven arccos(x) of acos(x) .
De graf van y = arccos(x) is het spiegelbeeld van de beperkte cosinus grafiek ten opzichte van de rechte y = x.
Het domein is nu [-1,1] en het bereik [0 , pi].

De arctan functie

We beperken het domein van de tangens functie tot [-pi/2 , pi/2].
De inverse functie van deze beperkte tangens functie noemen we de arctangens functie. We schrijven arctan(x) of atan(x) . De graf van y = arctan(x) is het spiegelbeeld van de beperkte tangens grafiek ten opzichte van de rechte y = x.
Het domein is R en het bereik [-pi/2 , pi/2].

De arccot functie

We beperken het domein van de cotangens functie tot [0 , pi].
De inverse functie van deze beperkte cotangens functie noemen we de arccotangens functie.
We schrijven arccot(x) of acot(x) .
De graf van y = arccot(x) is het spiegelbeeld van de beperkte cotangens ten opzichte van de rechte y = x.
Het domein is R en het bereik is [0 , pi].

Geen periode

Merk op dat al de inverse goniometrische functies niet periodiek zijn.

Getransformeerde functies

Net zoals bij de goniometrische functies kunnen we met eenvoudige transformaties verwante functies creeren.

Voorbeeld

y = 2.arcsin(x-1) ontstaat door de graf van de basisfunctie arcsin(x), 1 eenheid naar rechts te schuiven en alle beelden te verdubbelen. Het domein is dan [0,2] en het bereik [-pi,pi].

Som formules

cos(u - v)

We bewijzen deze formule gebruik makend van het begrip scalair product van twee vectoren. (Zie theorie vectoren) Met u correspondeert 1 punt P(cos(u),sin(u)) op de eenheidscirkel
Met v correspondeert 1 punt Q(cos(v),sin(v)) op de eenheidscirkel
De middelpuntshoek welke overeenkomt met de boog QP van de cirkel, heeft een waarde u - v .
Nu : p.q = 1.1.cos(u-v) .
Maar als we gebruik maken van de coordinaten van P en Q hebben we P.Q = cos(u).cos(v)+sin(u).sin(v).
Vandaar,

cos(u-v) = cos(u).cos(v)+sin(u).sin(v)

Voorbeeld:

 
cos(pi/3-2x) = cos(pi/3)cos(2x) + sin(pi/3)sin(2x) = 0.5 cos(2x) + 0.5 sqrt(3) sin(2x)

cos(u + v)

cos(u + v) = cos(u - (-v)) = cos(u).cos(-v)+sin(u).sin(-v)

cos(u + v) = cos(u).cos(v)-sin(u).sin(v)

Voorbeeld:

 
cos(x + x/2) + cos(x - x/2) = cos(x)cos(x/2) + sin(x)sin(x/2) + cos(x)cos(x/2) - sin(x)sin(x/2)

                            = 2 cos(x)cos(x/2)

sin(u - v)

sin(u - v) = cos(pi/2-(u-v)) = cos( (pi/2-u) +v )
= cos(pi/2 - u).cos(v)-sin(pi/2 - u).sin(v)

sin(u - v) = sin(u).cos(v)-cos(u).sin(v)

Voorbeeld:

 
sin(x - pi/4) = sin(x) cos(pi/4) - cos(x) sin(pi/4) = (sin(x)-cos(x))/sqrt(2)

sin(u + v)

sin(u + v) = cos(pi/2-(u+v)) = cos( (pi/2-u) -v )
= cos(pi/2 - u).cos(v)+sin(pi/2 - u).sin(v)

sin(u + v) = sin(u).cos(v)+cos(u).sin(v)

tan(u + v)

 
            sin(u + v)    sin(u).cos(v)+cos(u).sin(v)
tan(u+v) = ------------ = ---------------------------
            cos(u + v)    cos(u).cos(v)-sin(u).sin(v)
We delen nu teller en noemer door cos(u).cos(v)

 
           tan(u) + tan(v)
tan(u+v) = -----------------
           1 - tan(u).tan(v)

Voorbeeld:

 
              tan(u) + tan(pi/4)      tan(u) +  1      1 + tan(u)
tan(u+pi/4) = -------------------- = -------------- = -------------
              1 - tan(u).tan(pi/4)     1 - tan(u)      1 - tan(u)

tan(u - v)

analoog vindt men

 
           tan(u) - tan(v)
tan(u-v) = -----------------
           1 + tan(u).tan(v)

Verdubbelingsformules

sin(2u)

sin(2u) = sin(u + u) = sin(u).cos(u)+cos(u).sin(u) = 2sin(u).cos(u)

sin(2u) = 2sin(u).cos(u)

Voorbeelden:

 
  sin(x) = 2 sin(x/2).cos(x/2)

  sin(4x) = 2 sin(2x).cos(2x) = 4 sin(x) cos(x) cos(2x)

  12 sin(8x) cos(8x) = 6 sin(16x)

cos(2u)

cos(2u) = cos(u+u) = cos(u).cos(u)-sin(u).sin(u) = cos2 (u) - sin2 (u)

cos(2u) = cos2 (u) - sin2 (u)

tan(2u)

 
           tan(u) + tan(u)            2 tan(u)
tan(2u) =   ------------------  =  ---------------
           1 - tan(u).tan(u)        1- tan(u)tan(u)
 
            2 tan(u)
tan(2u)  =  -----------
            1- tan2(u)

Voorbeeld:
 
            1
cot(2x) = --------
           tan(2x)

            1 - tan2(x)
        = -------------
              2 tan(x)

Carnot formules

 
1 + cos(2u) =  1+cos2 (u)-sin2 (u) =  2 cos2 (u)

1 - cos(2u) =  1-cos2 (u)+sin2 (u) =  2 sin2 (u)

 
1 + cos(2u) = 2 cos2 (u)

1 - cos(2u) = 2 sin2 (u)

Toepassingen:

  • Periode van cos(2u) De periode van cos(2u) = de periode van cos2 (u) = de periode van sin2 (u)

  • Ontbind in factoren: 1 + 2 cos(x) + cos(2x)
     
          1 + 2 cos(x) + cos(2x)
    
          =  2 cos(x) + ( 1 + cos(2x))
    
          =  2 cos(x) + 2 cos2 (x)
    
          =  2 cos(x) (1 + cos(x))
    
          =  2 cos(x) 2 cos2 (x/2)
    
          =  4  cos(x) cos2 (x/2)
    
    Daar 2pi de periode is van (1 + 2 cos(x) + cos(2x)), is de periode van cos(x) cos2 (x/2) ook 2pi.

  • Bereken de periode van tan2(4x)

    De periode van tan2(4x) is gelijk aan de periode van 1+tan2(4x).
    De periode van 1+tan2(4x) is gelijk aan de periode van 1/ cos2(4x).
    De periode van 1/ cos2(4x) is gelijk aan de periode van cos2(4x).
    De periode van cos2(4x) is gelijk aan de periode van 0.5(1+cos(8x)).
    De periode van 0.5(1+cos(8x)) is gelijk aan de periode van cos(8x).
    En die periode is pi/4.

  • In een driehoek ABC zijn de zijden a, b en c zodanig dat 3a = 7c en 3b = 8c.
    Bereken tan2(A/2) zonder A of A/2 te berekenen.

    Oplossing:

    Voor de drie zijden geldt

     
      a     b     c
     --- = --- = ---
      7     8     3
    
    Daar gelijkvormige driehoeken toch dezelfde hoeken hebben, kunnen we hier
    als zijden a = 7 , b = 8 en c = 3 kiezen.
    
    Met de cosinus regel kunnen we schrijven
    
                b2 + c2 - a2
      cos(A) = ------------------ = 1/2
                    2 b c
    
    Nu gebruiken we de carnot formules
    
      1 - cos(A)     2 sin2(A/2)
      ---------- = -------------- = tan2(A/2) = 1/3
      1 + cos(A)     2 cos2(A/2)
    
    
  • Het berekenen van de exacte waarde van cos(pi/12)

    We weten: 1 + cos(2u) = 2 cos2 (u)
    Neem nu 2u = pi/6 radialen , dan is u = pi/12 radialen.

    Verder weten we dat de exacte waarde van cos(pi/6) gelijk is aan sqrt(3)/2. We kunnen nu de vermelde formule gebruiken om de exacte waarde van cos(pi/12) te berekenen.

     
        cos2(pi/12) = (1 + cos(pi/6))/2
    
                    = (1 + sqrt(3)/2)/2
    
                    = (2 + sqrt(3))/4
    
    Dus cos(pi/12)  = (1/2). sqrt(2 + sqrt(3))
    

    t-formules

    Uitgaande van de Carnot formules hebben we
     
    
    cos(2u)  =  2 cos2(u) -1
    
    
           2
    =  ------------ - 1
       1 + tan2 (u)
    
    
       1 -  tan2(u)
    =  -------------
       1 + tan2 (u)
    
    
    We weten
                2 tan(u)
    tan(2u)=  -------------
              1 - tan2 (u)
    
    Vandaar,
    
                 2 tan(u)
    sin(2u) =  -----------
               1 + tan2 (u)
    
    
     
    Noem  t = tan(u) , dan
    
    
               1 - t2
    cos(2u) = ---------
               1 + t2
    of
                 1 -  tan2(u)
    cos(2u) =   -------------
                 1 + tan2 (u)
    
                 2t
    sin(2u) =  --------
                1 + t2
    of
                 2 tan(u)
    sin(2u) =  -----------
               1 + tan2 (u)
    
                  2t
    tan(2u) =  -------
                1 - t2
    of
                2 tan(u)
    tan(2u)=  -------------
              1 - tan2 (u)
    
    

    Deze drie formules heten de t-formules.

    Toepassing:
    Een rechte d heeft y = 3 x + 4 als vergelijking.
    u is de hoek welke de rechte met de x-as insluit.
    We weten dat tan(u) = 3.

    De rechte d' ontstaat door de rechte y = 3 te spiegelen om d.
    De hoek welke d' insluit met de x-as is 2u.
    De rico van d' is dus tan(2u).

     
                  2t         2 tan(u)         2 . 3
    tan(2u) =  -------   =  ------------ = ---------- = - 0.75
                1 - t2     1 - tan2(u)      1 - 9
    

    Formules van Simpson

    We weten dat
     
    cos(u + v)  = cos(u).cos(v)-sin(u).sin(v)
    cos(u - v)  = cos(u).cos(v)+sin(u).sin(v)
    sin(u + v) = sin(u).cos(v)+cos(u).sin(v)
    sin(u - v) = sin(u).cos(v)-cos(u).sin(v)
    
    hieruit volgt
     
    cos(u + v) + cos(u - v) = 2.cos(u).cos(v)
    cos(u + v) - cos(u - v) = -2.sin(u).sin(v)
    sin(u + v) + sin(u - v) = 2. sin(u).cos(v)
    sin(u + v) - sin(u - v) = 2. cos(u).sin(v)
    
    Stel x = u + v en y = u - v
    dan is u = (1/2)(x + y) en v = (1/2)(x - y)

    De laatste vier formules worden

     
    cos(x) + cos(y) = 2 cos((1/2)(x + y)) cos((1/2)(x - y))
    cos(x) - cos(y) = -2 sin((1/2)(x + y)) sin((1/2)(x - y))
    sin(x) + sin(y) = 2 sin((1/2)(x + y)) cos((1/2)(x - y))
    sin(x) - sin(y) = 2 cos((1/2)(x + y)) sin((1/2)(x - y))
    
    Formules van Simpson
     
                            x + y       x - y
    cos(x) + cos(y) = 2 cos ------ cos -------
                              2           2
    
                             x + y       x - y
    cos(x) - cos(y) = -2 sin ------ sin -------
                              2           2
    
                            x + y       x - y
    sin(x) + sin(y) = 2 sin ------ cos -------
                              2           2
    
                            x + y       x - y
    sin(x) - sin(y) = 2 cos ------ sin -------
                              2           2
    

    Voorbeeld: De formules kunnen gebruikt worden om uitdrukkingen te ontbinden in factoren.
     
       cos(2x) - cos(2y)
       -----------------
       cos(2x) + cos(2y)
    
       -2 sin(x+y) sin(x-y)
    =  --------------------
        2 cos(x+y) cos(x-y)
    
    
    =  - tan(x+y) tan(x-y)
    
    =    tan(y+x) tan(y-x)
    

    Goniometrische vormen ontbinden in factoren

    Heel veel vorige formules kunnen gebruikt worden om goniometrishe uitdrukkingen te ontbinden in factoren. Dit ontbinden kan veelal op verschillende manieren uitgevoerd worden. We willen hieronder, met enkele voorbeelden, zoveel mogelijk bewegingen tonen.

    Periode van het product van twee verwante functies

    We weten dat
     
    cos(u + v)  = cos(u).cos(v)-sin(u).sin(v)
    cos(u - v)  = cos(u).cos(v)+sin(u).sin(v)
    sin(u + v) = sin(u).cos(v)+cos(u).sin(v)
    sin(u - v) = sin(u).cos(v)-cos(u).sin(v)
    
    hieruit volgt
    
    cos(u + v) + cos(u - v) = 2.cos(u).cos(v)
    cos(u + v) - cos(u - v) = -2.sin(u).sin(v)
    sin(u + v) + sin(u - v) = 2. sin(u).cos(v)
    sin(u + v) - sin(u - v) = 2. cos(u).sin(v)
    
    of ook
    
    2.cos(u).cos(v)  = cos(u + v) + cos(u - v)
    -2.sin(u).sin(v) = cos(u + v) - cos(u - v)
    2. sin(u).cos(v) = sin(u + v) + sin(u - v)
    2. cos(u).sin(v) = sin(u + v) - sin(u - v)
    
    De periode van cos(u).cos(v) is gelijk aan de periode van cos(u + v) + cos(u - v)
    De periode van sin(u).sin(v) is gelijk aan de periode van cos(u + v) - cos(u - v)
    De periode van sin(u).cos(v) is gelijk aan de periode van sin(u + v) + sin(u - v)
    De periode van cos(u).sin(v) is gelijk aan de periode van sin(u + v) - sin(u - v)

    Voorbeelden

    De periode van cos(2x).sin(x+3) is gelijk aan de periode van sin(3x+3) - sin(x-3)
    en die periode is 2 pi.

    De periode van cos(4x).cos(x/2) is gelijk aan de periode van cos(9x/2) + cos(7x/2)
    en die periode is 4pi

    De algemene sinusfunctie

    De algemene sinusfunctie heeft vergelijking y = a sin(b(x-c)) + d
    Hierin is a, b en c niet negatief. Bovendien zijn a en b niet 0.

    Door gebruik te maken van bovenstaande formules kunnen veel goniometrische functies in de gedaante van een algemene sinusfunctie gebracht worden. We geven enkele voorbeelden van het omvormen van een goniometrische functie tot de vorm van een algemene sinusfunctie.

    Verder kunnen alle functies met vergelijking y = a sin(u) + b cos(u) omvormd worden tot een algemene sinusfunctie.
    Deze omvorming gaat wel wat moeilijker dan in vorige voorbeelden.

    a.sin(u)+b.cos(u) kan gebracht worden in de vorm A.sin(u-uo).
    Daarna is de omvorming tot de algemene sinusfunctie gemakkelijk.

     
       a.sin(u) + b.cos(u)
    
    =  a( sin(u) + (b/a) cos(u) )
    
          Neem uo zodat tan(uo) = - b/a
    
    =  a( sin(u) -  tan(uo)  cos(u) )
    
    =  (a/cos(uo)) . ( sin(u).cos(uo) - sin(uo).cos(u) )
    
          Stel  A =  (a/cos(uo))
    
    =  A . sin(u - uo)
    
    Voorbeeld
     
      3 sin(x) - 2 cos(x)
    
    = 3( sin(x) - (2/3) cos(x) )
    
              Neem  tan(uo) = 2/3  ; neem uo = 0.588
    
    = 3( sin(x) -  tan(uo) cos(x) )
    
    = (3/cos(uo)) (  sin(x) cos(uo) - cos(x) sin(uo) )
    
    = 3.6055 sin( x - 0.588)
    

    Goniometrische vergelijkingen

    Basis-vergelijkingen

    We starten met vier vergelijkingen waarvan de oplossingen onmiddellijk te zien zijn via een eenheidscirkel. Alle andere vergelijkingen worden omvormd tot 1 van deze vier vergelijkingen. Om deze omvorming snel en efficient tot stand te brengen, is inzicht in en een vlotte kennis van de goniometrische formules van essentieel belang.

    cos(u) = cos(v)

    Met behulp van een eenheidscirkel is het gemakkelijk te zien dat
     
      cos(u) = cos(v)
    <=>
      (u = v + k.2pi) of (u = -v + k.2pi)
    

    sin(u) = sin(v)

    Met behulp van een eenheidscirkel is het gemakkelijk te zien dat
     
      sin(u) = sin(v)
    <=>
      (u = v + 2.k.pi) of (u = pi - v + 2.k.pi)
    

    tan(u) = tan(v)

    Met behulp van een eenheidscirkel is het gemakkelijk te zien dat
     
       tan(u) = tan(v)
    <=>
      (u = v + k.pi)  op voorwaarde dat tan(u) en tan(v) bestaan.
    

    cot(u) = cot(v)

    Met behulp van een eenheidscirkel is het gemakkelijk te zien dat
     
      cot(u) = cot(v)
    <=>
      (u = v + k.pi) op voorwaarde dat cot(u) en cot(v) bestaan.
    

    Herleiden tot basis-vergelijkingen

    Voorbeeld 1
     
    
    cos(2x) = cos(pi-3x)
    <=>
    2x = (pi-3x) + 2.k.pi  of 2x = -(pi-3x) + 2.k'.pi
    <=>
    5x = pi + 2.k.pi  of    -x = -pi + 2.k'.pi
    <=>
    x = pi/5 + 2.k.pi/5  of   x = pi - 2.k'.pi
    
    
    Voorbeeld 2
     
    tan(x-pi/2) = tan(2x)
    <=>
    (x-pi/2) = 2x + k.pi
    <=>
    -x = pi/2 + k.pi
    <=>
    x = -pi/2 - k.pi  (voor die gevonden waarden bestaan tan(x-pi/2) en tan(2x))
    
    
    Voorbeeld 3
     
    cos(x) = -1/3
    <=>
    cos(x) = cos(1.91)
    <=>
    x = 1.91 +2.k.pi  of x = -1.91 - 2.k.pi
    
    
    Voorbeeld 4
     
    sin(2x) = cos(x-pi/3)
    <=>
    cos(pi/2 - 2x) = cos(x-pi/3)
    <=>
    pi/2 - 2x = x - pi/3 + 2.k.pi   of  pi/2 - 2x = - x + pi/3 + 2.k'.pi
    <=>
    -3x = - pi/2 - pi/3 + 2.k.pi   of  -x =  -pi/2 + pi/3 + 2.k'.pi
    <=>
    x = pi/6 + pi/9 + 2.k.pi/3   of  x = pi/2 -  pi/3 - 2.k'.pi
    <=>
    x = 5pi/18  + 2.k.pi/3   of  x = pi/6 - 2.k'.pi
    
    
    Voorbeeld 5
     
    3 sin(2x) = cos(2x)
    <=>
    3 tan(2x) = 1
    <=>
    tan(2x) = 1/3
    <=>
    tan(2x) = tan(0.32)
    <=>
    2x = 0.32 + k pi
    <=>
    x = 0.16 + k pi/2
    
    Voorbeeld 6
     
      tan(2x) . cot( x + pi/2) = 1
    <=>
      tan(2x) = tan( x + pi/2)
    <=>
       2x = x + pi/2 + k.pi
    <=>
       x = pi/2 + k.pi  op voorwaarde dat tan(2x) en  cot( x + pi/2) bestaan
    
    Maar cot( x + pi/2) bestaat niet voor x = pi/2 + k.pi !!!!!

    Dus de opgegeven vergelijking heeft geen oplossingen !

    De uitdrukking "op voorwaarde dat ... " is dus niet overbodig!

    Gebruik van een hulponbekende

    Als bijvoorbeeld sin(u) op verschillende plaatsen in een vergelijking voorkomt, zonder dat u nog op een andere manier in die vergelijking optreedt, dan kan het nuttig zijn sin(u) gelijk te stellen aan een nieuwe onbekende t.
    Het zelfde geldt vanzelfsprekend voor cos(u) of tan(u) of ....

    Voorbeeld 1

     
    2sin2 (2x)+sin(2x)-1=0
    
    <=>             (Stel t = sin(2x) )
    
    2t2 + t - 1 = 0
    
    <=>
    
    t = 0.5  of t = -1
    
    <=>
    
    sin(2x) = 0.5  of sin(2x) = -1
    
    <=>
    
    sin(2x) = sin(pi/6)   of  sin(2x) = sin(-pi/2)
    
    <=>
    
    2x = pi/6 +2.k.pi of 2x = pi - pi/6 +2.k.pi of
            2x = -pi/2 +2.k.pi of 2x = pi + pi/2  +2.k.pi
    <=>
    
    x = pi/12 + k.pi  of x = 5pi/12 + k.pi of
            x = -pi/4 + k.pi  of x = 3pi/4 + k.pi
    
    
    Het kan soms nuttig zijn deze oplossingen voor te stellen op de goniometrische cirkel.

    Voorbeeld 2

     
         cos 10x + 7 = 8 cos 5x
    <=>
         cos 10x - 8 cos 5x + 7 =0
    <=>
         1 +  cos 10x - 8 cos 5x + 6 =0
    <=>
         2 cos2 5x - 8 cos 5x + 6 =0
    <=>
    
         cos2  5x - 4 cos 5x + 3 = 0
    
    stel  t = cos 5x
    
        t2 - 4t + 3 = 0
    <=>
         t = 3  of  t = 1
    <=>
         cos 5x  = 1
    <=>
         cos 5x = cos 0
    <=>
         5x = 2kpi
    <=>
         x =  2kpi / 5
    
    Oefeningen :

    Op dezelfde manier kunnen de volgende vergelijkingen opgelost worden met een hulponbekende

     
    tan2 (3x)+tan(3x)=0
    
    sin2 (x)(sin(x)+1)-0.25(sin(x)+1) = 0
    
    cos(2x)+sin2 (x) = 0.5
    
    
    tan(2x)-cot(2x) = 1
    
    
    Controleer je resultaten door grafieken te plotten.

    Gebruik maken van ontbinden in factoren

    Als een vergelijking in factoren kan ontbonden worden, valt ze uiteen in meer eenvoudige vergelijkingen.

    Voorbeeld 1

     
    3.sin(2x)-2.sin(x) = 0
    
    <=>
    
    6sin(x)cos(x)-2.sin(x) = 0
    
    <=>
    
    2.sin(x).(3cos()-1) = 0
    
    <=>
    
    sin(x) = 0  of cos(x) = 1/3
    
    <=>
    
    x = k.pi  of x = 1.23 + 2.k.pi of x = -1.23 + 2.k'.pi
    
    
    Oefeningen:

    Op dezelfde manier kunnen de volgende vergelijkingen opgelost worden met ontbinden in factoren

     
    tan(x)tan(4x)+tan2 (x) = 0
    
    sin(7x)-sin(x) = sin(3x)
    
    cos(4x) + cos(2x) + cos(x) = 0
    
    sin(5x)+sin(3x) = cos(2x)-cos(6x)
    
    Controleer je resultaten door grafieken te plotten.

    De vergelijking a.sin(u)+b.cos(u) = c

    Eerste methode

    We zullen eerst aantonen dat a.sin(u)+b.cos(u) kan gebracht worden in de vorm
    A.sin(u-uo) of in de vorm A.cos(u-uo) .

     
       a.sin(u) + b.cos(u)
    
    =  a( sin(u) + (b/a) cos(u) )
    
          Neem uo zodat tan(uo) = - b/a
    
    =  a( sin(u) -  tan(uo)  cos(u) )
    
    =  (a/cos(uo)) . ( sin(u).cos(uo) - sin(uo).cos(u) )
    
          Stel  A =  (a/cos(uo))
    
    =  A . sin(u - uo)
    
    =  A . cos(pi/2 - u + uo)
    
    =  A . cos(u - uo')
    
    Voorbeeld
     
      3 sin(x) - 2 cos(x)
    
    = 3( sin(x) - (2/3) cos(x) )
    
              Neem  tan(uo) = 2/3  ; neem uo = 0.588
    
    = 3( sin(x) -  tan(uo) cos(x) )
    
    = (3/cos(uo)) (  sin(x) cos(uo) - cos(x) sin(uo) )
    
    = 3.6055 sin( x - 0.588)
    
        of ook
    
    = 3.6055 cos( x - 2.1598)
    
    Plot de grafiek van 3 sin(x) - 2 cos(x) en deze van 3.6055 cos( x - 2.1598)

    Met behulp van die methode kunnen we nu de volgende vergelijking oplossen
    a.sin(u)+b.cos(u) = c

    Voorbeeld

     
    3.sin(2x)+4.cos(2x) = 2
    
    <=>
    
    sin(2x) + 4/3 .cos(2x) =  2/3
                    Zij  tan(t) =  4/3  ; kies t = 0.927
    <=>
    
    sin(2x) + tan(t) .cos(2x) =  2/3
    
    <=>
    
    sin(2x)cos(t)+cos(2x)sin(t) = 2/3.cos(t)
    
    <=>
    
    sin(2x+t) = 2/3.cos(t)
    
                    daar 2/3.cos(t) =  0.4
    <=>
    
    sin(2x+0.927) = sin(0.41)
    
    <=>
    
    2x + 0.927  = 0.41 +2.k.pi  of 2x + 0.927  =  pi - 0.41 +2.k'.pi
    
    <=>
    
    ....
    
    

    Tweede methode

    Gebruik de t-formules

    Voorbeeld :

     
      3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2
                       Stel tan(x) = t
    <=>
         2 t        1 - t2
      3 ------- + 4 -------- = 2
        1 + t2       1 + t2
    <=>
    
      6 t + 4 - 4 t2 = 2 + 2 t2
    <=>
       6 t2 - 6 t - 2 = 0
    <=>
       3 t2 - 3 t -1 = 0
    <=>
       t = 1.26  of t = -0.26
    <=>
       tan(x) = 1.26   of tan(x) = -0.26
    <=>
        x = 0.9 + k pi  of x = -0.26 + k pi
    

    Homogene vergelijkingen

    Een vergelijking is homogeen in a en b als en slechts als we een gelijkwaardige vergelijking bekomen wanneer we a en b vervangen door een veelvoud r.a en r.b (r niet 0). Bijvoorbeeld : a3 x2 +5 a.b2 x +3 a2.b = 0 is een vergelijking in x die homogeen is in a en b.

    We beschouwen vergelijkingen die homogeen zijn in sin(u) en cos(u).
    Procedure

    1. Breng alles naar linker lid, ontbind in factoren en stel elke factor gelijk aan nul. De vergelijking valt dus uiteen in 1 of meerdere homogene vergelijkingen. Ze worden afzonderlijk opgelost.
    2. Deel de vergelijking eventueel door een gepaste macht van cos(u), zodat tan(u) overal verschijnt
    3. Stel t = tan(u) en los de algebraische vergelijking op
    4. Keer terug naar tan(u)
    Voorbeeld
     
    2.cos3 (x)+2.sin2 (x)cos(x) = 5.sin(x)cos2 (x)
    
    <=>
    
    cos(x).(2.cos2 (x)+2.sin2 (x) - 5.sin(x)cos(x))  =  0
    
    <=>
    
    Het eerste deel geeft  cos(x) = 0  <=> x = pi/2 + k.pi
    
    
    In het tweede deel delen we door cos2 (x). We krijgen
    
     2.tan2 (x) - 5.tan(x) +2 = 0
    
                    Stel t = tan(x)
    <=>
    
     2.t2  - 5 t + 2 = 0
    
    <=>
    
    t = 0.5  of t = 2
    
    <=>
    
    tan(x) = 0.5 of tan(x) = 2
    
    <=>
    
    x = 0.464 +k.pi of x = 1.107 +k.pi
    
    

    Andere vergelijkingen

    Sommige vergelijkingen kunnen opgelost worden door verschillende besproken methodes op een gepaste manier te combineren. Bovendien moeten dikwijls omvormingen toegepast worden gebruik makend van gepaste goniometrische formules.

    Het is begrijpelijk dat ervaring en inzicht hierbij een grote rol spelen.

    We geven een niet vanzelfsprekend voorbeeld.

    Los op : 1/sin(x) + 1/cos(x) = sqrt(3)

     
         1/sin(x) + 1/cos(x) = sqrt(3)
    
            sin(x) + cos(x)
    <=>   ------------------- = sqrt(3)
              sin(x) cos(x)
    
    <=>    sin(x) + cos(x) =  sqrt(3)  sin(x) cos(x)       (1)
    
    --------------------------------------------------------
    
    Denkwijze :
    Als we beide leden van de vergelijking (1) kwadrateren dan treedt enkel het product sin(x)cos(x) op. We kunnen dan sin(x)cos(x) berekenen en we hopen daarmee de vergelijking (1) te kunnen vereenvoudigen.
     
         Uit (1) volgt
    
         ( sin(x) + cos(x))2 = 3 (sin(x) cos(x))2
    
    <=>  1 + 2 sin(x) cos(x) = 3 (sin(x) cos(x))2
    
         Stel y = sin(x) cos(x)
    
    <=>   3 y2 - 2 y -1 = 0
    
    <=>   y = 1 of -1/3
    
    <=>  sin(x) cos(x) = 1  of sin(x) cos(x) = -1/3
    
    Als sin(x) cos(x) = 1 dan is sin(2x) = 2 en dit is onmogelijk.
    
    Besluit:   Uit (1) volgt dat
    
                      sin(x) cos(x) = -1/3                (2)
    
    ----------------------------------------------------------
    
    We gebruiken nu dit resultaat. We brengen (2) in (1)
    
              sin(x) + cos(x) = - sqrt(3)/3               (3)
    
    Als (1) waar is, dan  is (2) waar en daarmee  ook (3).
    
    We tonen nu dat het omgekeerde ook geldt. We vertrekken van (3).
    
              sin(x) + cos(x) = - sqrt(3)/3
    
    =>        (sin(x) + cos(x)2  = 1/3
    
    =>         1 + 2 sin(x) cos(x) = 1/3
    
    =>        sin(x) cos(x) =  -1/3    en dat is (2)
    
    Dus als (3) waar is, dan is (2) waar en daarmee ook (1).
    
    Besluit:
    (1) en (3) zijn gelijkwaardige vergelijkingen. We zullen nu (3) oplossen. ------------------------------------------------------------- sin(x) + cos(x) = - sqrt(3)/3 <=> cos(pi/2 -x) + cos(x) = - sqrt(3)/3 <=> 2 cos(pi/4) cos (pi/4-x) = - sqrt(3)/3 <=> sqrt(2) cos (pi/4-x) = - sqrt(3)/3 <=> cos (pi/4-x) = -1/ sqrt(6) Stel a = arccos(-1/sqrt(6)) <=> cos (pi/4-x) = cos(a) <=> pi/4 - x = a + 2 k pi of pi/4 - x = -a + 2 k pi <=> x = pi/4 - a + 2 k pi of x = pi/4 + a + 2 k pi De oplossingen van (1) zijn de waarden pi/4 - a + 2 k pi en pi/4 + a + 2 k pi met a = arccos(-1/sqrt(6))
    Tweede methode

    Veel vergelijkingen kunnen op verschillende manieren opgelost worden. We zullen nu de vorige vergelijking op een andere manier oplossen. We starten opnieuw met de vergelijking

     
         1/sin(x) + 1/cos(x) = sqrt(3)
    
    De periode van de functie in het linker lid is 2 pi. Als we de oplossingen vinden in [0, 2 pi] dan kennen we, dank zij de periode, alle oplossingen.

    We berekenen dus eerst de oplossingen in [0,2pi]. Daar het rechterlid van de vergelijking positief is, kunnen maar oplossingen voorkomen als het linkerlid ook positief is.

    Door het plotten van de functie 1/sin(x) + 1/cos(x) zien we dat het beeld positief is in de intervallen (0,pi/2) ; (3pi/4, pi) en (3pi/2, 7pi/4).

    Enkel in deze intervallen kunnen oplossingen voorkomen. Als we dan x beperken tot deze intervallen zijn beide leden van de gegeven vergelijking positief en dan kunnen we schrijven.

     
         1/sin(x) + 1/cos(x) = sqrt(3)
    
    <=>  (1/sin(x) + 1/cos(x))2 = 3
    
            sin(x) + cos(x)
    <=>   (------------------)2 = 3
              sin(x) cos(x)
    
    <=>   1 + 2 sin(x) cos(x) = 3 sin2(x) cos2(x)
    
                 stel y =  sin(x) cos(x)
    
    <=>    3 y2 - 2 y - 1 = 0
    
    <=>     y = 1 of  y = -1/3
    
    Eerste geval y = 1
    
           sin(x) cos(x) = 1
    
    <=>     2 sin(x) cos(x) = 2
    
    <=>      sin(2x) = 2
    
       In dit geval zijn er geen oplossingen
    
    Tweede geval  y =  -1/3
    
            2 sin(x) cos(x) = -2/3
    
    <=>     sin(2x) = -2/3
    
                 stel  b = arcsin(-2/3)  ; b = -0.7297
    
    <=>     sin(2x) = sin(b)
    
    <=>     2x = b + 2 k pi  of  2x = (pi-b) + 2kpi
    
    <=>      x = b/2 + k pi  of  x = pi/2 - b/2 + k pi
    
    Nu nemen we hieruit enkel de x-waarden gelegen in de intervallen
    (0,pi/2) ; (3pi/4, pi) en (3pi/2, 7pi/4).
    
    We vinden 2 oplossingen namelijk
    
          x = b/2 + pi = 2.7767
    en
          x = pi/2 - b/2 + pi = 3pi/2 - b/2 = 5.077
    
    Alle oplossingen van de vergelijking zijn dan
    
      b/2 + pi + 2 k pi   en 3pi/2 - b/2 + 2 k pi
    

    Goniometrische ongelijkheden

    Afspraken

    k is geheel.

    '=<' betekent kleiner of gelijk

    '>=' betekent groter of gelijk

    Voorbeelden :

    Cyclometrische vergelijkingen

    Alle vergelijkingen worden opgelost volgens dezelfde methode. We vervangen de vergelijking achtereenvolgens door een nodige voorwaarde. Dit betekent dat de oplossingen zeker gevonden worden, omdat ze voldoen aan de nodige voorwaarde. Maar we kunnen waarden van x vinden die voldoen aan die nodige voorwaarde, maar geen oplossing zijn van de gegeven vergelijking. De gevonden waarden worden op het einde getoetst aan de opgave. De valse of parasitaire waarden moeten dan geschrapt worden.

    Voorbeeld 1

     
         arcsin(2x) = pi/4 + arcsin(x)
    <=>
         / arcsin(2x) = a
         | arcsin(x) = b           (1)
         \  a = pi/4 + b
    
    
        / sin(a) = 2x
    =>  | sin(b) = x
        \ a = pi/4 + b
    
    
    =>  / sin(pi/4 + b) = 2x
        \ sin(b) = x
                           steunend op somformules
    
    =>  / cos(b) + sin(b) = 2x.sqrt(2)
        \ sin(b) = x
    
    
    =>  / cos(b) = 2x.sqrt(2) - x
        \ sin(b) = x
    
    
    =>   (2x.sqrt(2) - x)2 + x2 = 1
    
    =>  ....
    
    =>   x = +0.4798   of x = -0.4798
    
    We toetsen de gevonden waarden aan de gegeven vergelijking en we vinden dat de enige oplossing 0.4798 is. De andere gevonden x-waarde is een parasitaire waarde.

    Voorbeeld 2

     
       arctan(x+1) = 3.arctan(x-1)
    
    <=>
       / arctan(x+1) = a
       | arctan(x-1) = b
       \ a = 3 b
    
    
    => / tan(a) = x + 1
       | tan(b) = x - 1
       \ a = 3 b
    
    => / tan(3b) = x+ 1
       \ tan(b) = x - 1
    
                         3 tan(b) - tan3(b)
       nu is  tan(3b) = --------------------
                         1 - 3.tan2(b)
    
    
               3(x-1) - (x-1)3
    =>  x+1 = --------------------
               1 - 3 (x-1)2
    
    
    => (x+1) (1 - 3 (x-1)2) = 3(x-1) - (x-1)3
    
    
    => ...
    
    =>  x = 0  of  x = sqrt(2) of  x = -sqrt(2)
    
    We toetsen de gevonden waarden aan de gegeven vergelijking en we vinden dat de enige oplossing sqrt(2) is. De andere gevonden x-waarden zijn parasitaire waarden.

    Voorbeeld 3

     
       arctan(x) + arctan(2x) = pi/4
    
    
    <=>
       / arctan(x) = a
       | arctan(2x) = b
       \ a + b = pi/4
    
    
    => / x = tan(a)
       | 2x = tan(b)
       \ a + b = pi/4
    
    => / x = tan(a)
       \ 2x = tan(pi/4-a)
    
                                   1 - tan(a)
            nu is  tan(pi/4-a) = ----------------  want tan(pi/4) = 1
                                   1 + tan(a)
    
               1 - x
    =>   2x = ----------
               1 + x
    
    
    =>  ...
    
    
    =>  x = (-3+sqrt(17))/4  of x = (-3-sqrt(17))/4
    
    We toetsen de gevonden waarden aan de gegeven vergelijking en we vinden dat de enige oplossing
    (-3+sqrt(17))/4 is. De andere gevonden x-waarde is een parasitaire waarde.

    Voorbeeld 4

     
     arctan( (x+1)/(x+2) ) - arctan ( (x-1)/(x-2) ) = arccos( 3/sqrt(13) )
    
    
        / arctan( (x+1)/(x+2) ) = a
    <=> | arctan( (x-1)/(x-2) ) = b
        | arccos( 3/sqrt(13) ) = c
        \ a - b = c
    
    
        / tan(a) =  (x+1)/(x+2)
     => | tan(b) =  (x-1)/(x-2)
        | cos(c) =  3/sqrt(13)
        \ a - b = c
    
                             tan(a) - tan(b)
           nu is tan(a-b) = ------------------    en na berekening vindt men
                             1 +  tan(a) tan(b)
    
    
                        -2 x
         /  tan(c) = ----------------
    =>   |             2 x2 - 5
         |
         \  cos(c) =  3/sqrt(13)
    
            Uit de laatste vergelijking  volgt
            nu is 1 + tan2(c) = 1/cos2(c) = 13/9   =>  tan2(c) = 4/9
             Er zijn nu 2 gevallen
    
    Eerste geval :
                         -2 x
         /  tan(c) = ----------------
    =>   |             2 x2 - 5
         |
         \  tan(c) = 2/3
    
    
    =>  ....
    
    =>  x = 1 of x = -5/2
    
    
    Tweede geval:
    
                         -2 x
         /  tan(c) = ----------------
    =>   |             2 x2 - 5
         |
         \  tan(c) = - 2/3
    
    
    =>  ....
    
    =>  x = -1 of x = 5/2
    
    
    We toetsen de gevonden waarden aan de gegeven vergelijking en we vinden de oplossingen 1 en -5/2. De andere gevonden x-waarden zijn parasitaire waarden.

    Berekeningen met cyclometrische functies

    Berekeningen met deze functies zijn dikwijls moeilijk en gevaarlijk voor binnensluipende fouten. In hetgeen volgt wordt 'gelijk of kleiner' genoteerd als '=<'.

    Voorbeeld 1

     
                                      ________
                                     |      2
                                    \| 1 - p
    Toon aan dat: cot(arcsin(p))  = -----------
                                        p
    

     
            Stel b = arcsin(p) , dan sin(b) = p met b in [-pi/2 , pi/2].
    
    
            Dus, cos(b) = sqrt( 1 - p2)             en
                                          ________
                                         |      2
                                        \| 1 - p
            cot(arcsin(p)) = cot(b) =   ---------
                                             p
    

    Voorbeeld 2

    Toon aan dat de volgende vergelijking geen oplossingen heeft voor x > 0.
     
       cos(arctan(x)) + x sin(arctan(x)) = x
    

     
      Stel arctan(x) = u  ; daar x > 0 is u in (0, pi/2) en tan(u) = x
    
         1 + tan2(u) = 1 + x2
    <=>
         1/ cos2(u) = 1 + x2
    <=>
          cos(u) = 1/ sqrt(1+x2)
    
     - - - - - - - - - - - - - - - -
    
          sin(u) = tan(u) . cos(u)
    
    <=>   sin(u) = x / sqrt(1+x2)
    
     - - - - - - - - - - - - - - - -
    
         cos(arctan(x)) + x sin(arctan(x)) = x
    <=>
         cos(u) + x sin(u) = x
    <=>
         1/ sqrt(1+x2)  +  x2 / sqrt(1+x2) = x
    <=>
          1 + x2 = x . sqrt(1+x2)
    <=>
          (1 + x2)2 = x2 . (1+x2)
    <=>
          1 + x2 = x2
    
        en deze vgl heeft zeker geen oplossingen.
    

    Voorbeeld 3

    Bereken het domein van arccos(arcsin(x))

     
         x behoort tot domein van arccos(arcsin(x))
    <=>
         - 1 =< arcsin(x)  =< 1
    
                  en daar de sinusfunctie stijgend is in [-1,1]
    
    <=>
          sin(-1) =< x  =< sin(1)
    
    Besluit : het domein van arccos(arcsin(x)) is [ -sin(1), sin(1) ]

    Voorbeeld 4

    Bereken het domein van arcsin(arccos(x))

     
           x behoort tot domein van arcsin(arccos(x))
    <=>
           - 1 =< arccos(x)  =< 1
    <=>
            0  =< arccos(x)  =< 1
    
                en daar de cosinusfunctie daalt in [0,1]
    <=>
             cos(0) >= x >= cos(1)
    
    Besluit : het domein van arcsin(arccos(x)) is [cos(1),1]

    Voorbeeld 5

    Beschouw de functie f(x) = arccos(a. arcsin(x)) met a > 0

    Voor welke waaden van a is het domein D van f(x) zo groot mogelijk?
    Bereken daarna de waarde van a zodat het domein D = [-0.5 ; 0.5]


     
          x behoort tot domein van arccos(a. arcsin(x))
    <=>
           - 1 =< a . arcsin(x)  =< 1
    <=>
           -1/a =< arcsin(x)  =< 1/a        (*)
    
    Eerste geval:   1/a =< pi/2
    
           Nu is (*) gelijkwaardig met
    
          sin(-1/a) =< x =< sin(1/a)        (**)
    
       In dit geval is het domein D maximaal als en slechts als sin(1/a) maximaal is.
       Dan is a = 2/pi.
    
    Tweede geval: 1/a > pi/2
    
           Nu is (*) gelijkwaardig met
    
            -pi/2 =<  arcsin(x)  =< pi/2
    
       In dit geval is het domein D steeds [-1,1] onafhankelijk van a.
    
    Besluit: Voor a =< 2/pi is het domein D zo groot mogelijk.
    
    Uit (**) volgt dat
    
            domein van f(x) is [-1/2,1/2]
    <=>
             sin(1/a) = 1/2
    <=>
              a = 6/pi
    
    Opmerking: Veel van de voorgaande stappen kan je met een functie-plotter zelf grafisch illustreren en onderzoeken.

    Voorbeeld 6

    Toon aan dat voor alle van nul verschillende natuurlijke getallen n geldt dat
     
                    1
        arctan -------------- = arctan(1/n) - arctan(1/(n+1))
                n2 + n + 1
    

    We merken eerst op dat

     
                    1            1        1
          0 < ------------- < -------- < --- =< 1
                n2 + n + 1      n+1       n
    
    Vandaar dat
    
                          1                    1               1
          0 < arctan ------------- < arctan -------- < arctan --- =< pi/4
                      n2 + n + 1              n+1              n
    
    In de opgave zijn dus linkerlid en rechterlid positief en kleiner dan pi/4.
    Rekening houdend met dit resultaat kunnen we de gelijkheid uit de opgave vervangen door een gelijkwaardige uitdrukking:
     
                    1
        arctan -------------- = arctan(1/n) - arctan(1/(n+1))
                n2 + n + 1
    
    <=>
    
             1
       ------------- = tan ( arctan(1/n) - arctan(1/(n+1)) )
         n2 + n + 1
    
    We vereenvoudigen nu het rechterlid
    
         tan ( arctan(1/n) - arctan(1/(n+1)) )
    
         tan (arctan(1/n)) - tan (arctan(1/(n+1)))
    =  ----------------------------------------------
        1 + tan (arctan(1/n)) . tan (arctan(1/(n+1)))
    
    
            1/n  - 1/(n+1)
    =    -------------------------
           1  + (1/n)(1/(n+1))
    
               1
    =     -------------
           n2 + n + 1
    
    Opmerking: Veel van de voorgaande stappen kan je met een functie-plotter zelf grafisch illustreren en onderzoeken.

    Een Formularium

    Wil je snel basisformulesraadplegen of opzoeken kijk dan hier.

    Oefeningen goniometrie met oplossing

     
    
    Opgeloste oefeningen over goniometrie kan je via deze link vinden
     
    

    Andere tutorials op het net over goniometrie





    MATH-abundance - tutorial

    Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

    Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
    Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.