Equivalentierelaties en Equivalentieklassen




Voorbeelden en definities

Eerste voorbeeld en definities

Neem de verzameling V van alle rechten van het vlak samen met de relatie 'is evenwijdig met'. Rechte a is evenwijdig met rechte b, noteren we als a//b. Dit geheel heeft drie speciale eigenschappen. Een relatie tussen de elementen van een verzameling V welke deze drie eigenschappen heeft, noemt men een equivalentierelatie.

De verzameling van alle rechten evenwijdig met een bepaalde rechte is een deel van V. Zo'n deel noemen we een equivalentieklasse. Startend met een rechte a creeren we de equivalentieklasse. Die klasse heet de equivalentieklasse van a of ook de equivalentieklasse met vertegenwoordiger a.
Buiten die klasse nemen we opnieuw een rechte r. Daarmee vormen we op dezelfde manier een tweede klasse.
Stel je je nu voor dat de gehele verzameling V ingedeeld is in dergelijke klassen. De rechten in eenzelfde klasse zijn evenwijdig. Twee rechten genomen uit verschillende klassen zijn niet evenwijdig. Dus twee klassen hebben nooit een element gemeen. Verder is geen enkele klasse ledig en alle klassen samen vormen de gehele verzameling V.

Om een klasse aan te duiden is het voldoende 1 rechte a uit die klasse te kennen. De rechte a is een vertegenwoordiger van die klasse. Maar elk ander element van die klasse kan ook gebruikt worden als vertegenwoordiger.

Soms geeft men een naam aan elke klasse. In ons voorbeeld kunnen we de klasse met vertegenwoordiger a noemen : richting a.

Tweede voorbeeld

Neem V = de verzameling van alle driehoeken van het vlak. Als relatie nemen we 'is congruent met'.
Elke driehoek is congruent met zichzelf. ( reflexief )
Als driehoek abc congruent is met driehoek def dan is driehoek def congruent met driehoek abc. (symmetrisch)
Als driehoek abc congruent is met driehoek def en driehoek def congruent is met driehoek ghi dan is driehoek abc congruent met driehoek ghi. (transitief)
De verzameling van alle driehoeken congruent met abc vormen een equivalentieklasse. Zo zijn er oneindig veel klassen congruente driehoeken. Een willekeurige driehoek uit een klasse is een vertegenwoordiger van die klasse.

Tegenvoorbeeld

Neem V = de verzameling van alle natuurlijke getallen verschillend van nul en neem als relatie 'is deler van'. Elk getal n is deler van zichzelf (reflexief). Als n een deler is van m en m een deler is van k dan is n een deler van k. (transitief). Maar als n een deler is van m dan is m niet altijd een deler van n. De relatie is niet symmetrisch en dus geen equivalentierelatie.

Zoek de equivalentierelaties

Onderzoek telkens of de relatie een equivalentierelatie is en probeer de equivalentieklassen voor te stellen.
Telkens krijg je een verzameling V en een relatie
 
  Belgen    'woont in dezelfde stad als'
  Regelmatige convexe veelhoeken  ' heeft dezelfde oppervlakte als'
  Ellipsen  ' heeft dezelfde lengte als'
  Gehele getallen   'is groter dan'
  Gehele getallen  'heeft dezelfde rest na deling door 10 als'
  Personen    'heeft zelfde geboorteland als'
  Rechten    'staat loodrecht op'

Abstracte benadering

Neem een verzameling V. Een relatie R in V is een verzameling koppels gevormd met de elementen uit V. Het is dus een deelverzameling van V x V.

Die relatie R is een equivalentierelatie als en slechts als
1) Voor alle a uit V geldt (a,a) zit in R |reflexief)
2) Als (a,b) in R dan zit (b,a) in R (symmetrisch)
3) Als (a,b) en (b,c) in R dan zit (a,c) in R (transitief)

Voorbeeld:

Neem V = {a,b,c,d}
R1 = { (a,a) (b,b) (c,c) (d,d) (a,b) (b,a) } is een equivalentierelatie
R2 = { (a,a) (b,b) (c,c) (d,d) (a,b) (b,a) (a,c) (c,a) (b,c) (c,b) } is een andere equivalentierelatie.
Zo kan je veel verschillende equivalentierelaties bouwen.

Formeel

V is een verzameling en ~ is een relatie die kan bestaan tussen 2 elementen a en b uit V. De relatie heet een equivalentierelatie als en slechts als
 
Voor alle a in V :  a ~ a  (reflexief)
Voor alle a, b in V :  a ~ b  => b ~ a  (symmetrisch)
Voor alle a, b, c in V :  (a ~ b) en (b ~ c) => (a ~ c)  (transitief)

Grafische voorstelling van een equivalentierelatie

Als a ~ b , dan tekenen we een lijn van a naar b. De lussen worden soms weggelaten.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.