Vlakke krommen




Richting van een raaklijn aan een kromme

Zij P(x,y) een veranderlijk punt van een kromme

Gelijke richtingen

 
   De richting bepaald door (a,b) = de richting bepaald door (c,d)

<=>   (c,d) is een veelvoud van (a,b)


<=>  De volgende determinant is nul
       | a  b |
       | c  d |


<=>  a d - b c = 0

Kromme geassocieerd met een schaar krommen

Denk aan een krommen Kp welke van een parameter p afhangt. Voor elke p-waarde zal de kromme Kp , over het algemeen, een andere stand en een andere vorm aannemen. Als p vloeiend verandert zal Kp vloeiend veranderen. Er ontstaat een verzameling krommen.

Met elke Kp associeren we nu een punt Qp. De plaats van het punt Qp hangt alleen af van de parameter p.

Als p vloeiend verandert beschrijft het punt Qp een kromme C. Het is de meetkundige plaats van het punt Qp. C is een kromme geassocieerd aan de schaar krommen Kp.

Voorbeelden :

Omhullende

Twee krommen zijn rakend als en slechts als beide krommen in een gemeen punt een gemene raaklijn hebben.

Een omhullende van een verzameling krommen Kp is een geassocieerde kromme C zodat twee voorwaarden vervuld zijn

  1. Het geassocieerde punt Qp op Kp ligt
  2. C raakt aan Kp in punt Qp.


Contact voorwaarden

Zij F(x,y,p) = 0 de vergelijking van een schaar krommen Kp. De parameter is p.

Onderstel dat x = f(p) en y = g(p) de nog onbekende parametervergelijkingen zijn van een omhullende C van die schaar. Het geassocieerde punt Qp heeft coordinaten (f(p),g(p)).

Eerste voorwaarde : het geassocieerde punt Qp ligt op Kp

 
     F(f(p),g(p),p) = 0   voor elke  p.         (1)
Tweede voorwaarde : C raakt aan Kp in punt Qp.

De raaklijn aan C in punt Qp heeft richtingsgetallen (f'(p),g'(p)).

De raaklijn aan de kromme Kp heeft de richting (Fy'(x,y,p) , - Fx'(x,y,p)).
In het punt Qp is die richting (Fy'(f(p),g(p),p), -Fx'(f(p),g(p),p)).

Deze richtingen moeten dezelfde zijn voor elke p. Dus moet

 
    - f'(p).Fx'(f(p),g(p),p) = g'(p).Fy'(f(p),g(p),p)  voor elke  p.

<=>

    Fx'(f(p),g(p),p) . f'(p) + Fy'(f(p),g(p),p) . g'(p) = 0 voor elke  p.   (2)

(1) en (2) zijn de contactvoorwaarden.

We vereenvoudigen de tweede voorwaarde:

Daar (1) geldt voor alle p, krijgen we een nieuwe identiteit als we de afgeleide berekenen van (1) naar p gebruik makend van de uitbreiding van de kettingregel.

 
Fx'(f(p),g(p),p). f'(p) + Fy'(f(p),g(p),p).g'(p) + Fp'(f(p),g(p),p)=0     (3)
Steunend op dit resultaat wordt (2)
 
    Fp'(f(p),g(p),p) = 0      (4)
(1) en (4) zijn de contactvoorwaarden.

Besluit:

Zij F(x,y,p) = 0 de vergelijking van een schaar krommen Kp. Zij x = f(p) en y = g(p) een stel parametervergelijkingen van een omhullende C. Dan zijn de contactvoorwaarden:

 
     F(f(p),g(p),p) = 0

    Fp'(f(p),g(p),p) = 0
Dit betekent dat de nog onbekende parametervergelijkingen x = f(p) en y = g(p) van die omhullende, oplossingen zijn van het stelsel :
 
     F(x,y,p) = 0

    Fp'(x,y,p) = 0
Als x = f(p) en y = g(p) de parametervergelijkingen zijn van een omhullende van de schaar F(x,y,p) = 0, dan zijn die parametervergelijkingen oplossingen van het stelsel (S)
 
   /   F(x,y,p) = 0
   |                           (S)
   \   Fp'(x,y,p) = 0
Let op : Het omgekeerde is niet noodzakelijk waar.
Het is mogelijk dat x = f(p) en y = g(p) een oplossing van (S) en dat met deze vergelijkingen geen omhullende van de schaar F(x,y,p) = 0 correspondeert.

Omhullende van een schaar rechten

Een eerste voorbeeld

We starten met een schaar rechten
 
    x cos(p) + 2 y sin(p) - 4 = 0
De parameter is p. De parameter vergelijkingen van de omhullende zijn oplossingen van het stelsel (S)
 
    x cos(p) + 2 y sin(p) - 4 = 0

   - x sin(p) + 2 y cos(p)  = 0
Als we het stelsel oplossen naar x en y vinden we
 
    x = 4 cos(p)
    y = 2 sin(p)
Het zijn de parametervergelijkingen van een ellips.
 
    
Dat kan je zien door p te elimineren. We hebben :
 
    cos(p) = x/4  en  sin(p) = y/2

Dus, (x/4)2 + (y/2)2 = 1

<=>  x2/16  + y2/4 = 1
Deze ellips is een omhullende C en raakt aan elke rechte uit de schaar.

Een tweede voorbeeld

Beschouw de cirkel met middelpunt M(1,0) en straal 4. Het punt A heeft coordinaten (-1,0) en P is een veranderlijk punt van de cirkel. Het punt S is het midden van het lijnstuk [AP]. De middelloodlijn van dit lijnstuk is een veranderlijke rechte l. We berekenen de omhullende van die rechte l.
 
  Maak een duidelijke figuur.

  De gegeven cirkel heeft vergelijking

  (x-1)2 + y2 = 16

  en dus ook parametervergelijkingen

   x - 1 = 4 cos(t)
      y  = 4 sin(t)

  Het variabel punt P van de cirkel kunnen we voorstellen door

   P ( 4 cos(t) + 1 ,  4 sin(t) )

  Dan is  S ( 2 cos(t) , 2 sin(t))

  Nu kunnen we de vergelijking van de veranderlijke rechte l berekenen.
  Men vindt na het vereenvoudigen :

  (2 cos(t) + 1) x  + 2 sin(t) y - 2 cos(t) - 4 = 0

  t is de parameter.
  Nu kunnen we het stelsel (S) vormen

  / (2 cos(t) + 1) x  + 2 sin(t) y - 2 cos(t) - 4 = 0
  |
  \    sin(t) x  - cos(t) y  - sin(t) = 0

  We moeten nu t elimineren.
  Daartoe lossen we het stelsel (S) op naar sin(t) en cos(t)
  Men vindt:
                 y (4-x)
     sin(t) = -------------------
               2  ((x-1)2 + y2)

               (x - 1)(4-x)
     cos(t) = -------------------
              2  ((x-1)2 + y2)

  Nu moet sin2(t) + cos2(t) = 1

   y2(4-x)2 + (x - 1)2(4-x)2 = 4 ((x-1)2 + y2)2
<=>
   (4-x)2 ( y2 + (x-1)2 )  -  4 ((x-1)2 + y2)2 = 0
<=>
   ( y2 + (x-1)2 ) . ((4-x)2 - 4 ((x-1)2 + y2)) = 0

  De eerste factor geeft niet echt een kromme
  De vergelijking van de omhullende is

    (4-x)2 - 4 ((x-1)2 + y2) = 0

  Na uitwerking en vereenvoudigen vinden we de ellips

    x2/4 + y2/3 = 1

Oefening

In een orthonormaal assenstelsel is A(0,1) een vast punt en het veranderlijk punt B(a,0) doorloopt de x-as.
De rechte r door punt B en loodrecht op AB is veranderlijk.
Alle rechten r vormen een schaar rechten. Bereken de omhullende van die schaar.

Singuliere punten en het stelsel (S).

Veronderstel dat elke kromme Kp : F(x,y,p) = 0 een singulier punt heeft. In dit punt geldt : Fx'(x,y,p) = Fy'(x,y,p) = 0. Voor elke p-waarde hebben we dan een singulier punt. Deze punten vormen een kromme S met parametervergelijkingen x = f(p) and y = g(p).

Daar het singulier punt op de kromme Kp ligt hebben we

 
     F(f(p),g(p),p) = 0   voor elke p.
We krijgen een nieuwe identiteit als we afleiden naar p, steunend op de uitbreiding van de kettingregel.
 
Fx'(f(p),g(p),p). f'(p) + Fy'(f(p),g(p),p).g'(p) + Fp'(f(p),g(p),p)=0    (3)
Daar Fx'(f(p),g(p),p) = Fy'(f(p),g(p),p) = 0, wordt de laatste betrekking
 
   Fp'(f(p),g(p),p)=0    voor elke  p.
Daarom zijn x=f(p) en y = g(p) oplossingen van het stelsel (S) en dit zonder over raaklijnen te spreken.

Besluit:
De meetkundige plaats van een singulier punt van de variabele kromme Kp is een oplossing van het stelsel (S). Over het algemeen is deze meetkundige plaats geen omhullende van de schaar krommen Kp.

Voorbeeld 1.

We nemen een een veranderlijke semi-cubische parabool als Kp met vergelijking
 
   (y-p)3 = (x-p)2  <=>  (y-p)3 - (x-p)2 = 0

Hier is  F(x,y,p) = (y-p)3 - (x-p)2

en  Fx'(x,y,p) = - 2(x-p)   Fy'(x,y,p) = 3(y-p)2

Het punt  Q(p,p) is een singulier punt voor alle p.
Het stelsel (S) voor deze verzameling is
 
    (y-p)3 - (x-p)2 = 0

    3(y-p)2 .(-1) - 2 (x-p).(-1) = 0
We zien dat x=p ; y=p een oplossing is van dat stelsel. Het is de eerste deellijn van het assenstelsel en de meetkundige plaats van alle singuliere punten.

 
    

Voorbeeld 2.

We nemen een een veranderlijke semi-cubische parabool als Kp met vergelijking
 
   (y-p)3 = x2  <=>  (y-p)3 - x2 = 0

Hier is  F(x,y,p) = (y-p)3 - x2

en Fx'(x,y,p) = - 2 x   Fy'(x,y,p) = 3(y-p)2

Het punt  Q(0,p) is een singulier punt voor alle p.
Het stelsel (S) voor deze verzameling is
 
    (y-p)3 - x2 = 0

    3(y-p)2 .(-1)  = 0
We zien dat x=0 ; y=p een oplossing is van dat stelsel. Het is de y-as , de meetkundige plaats van alle singuliere punten. In dit geval raakt de meetkundige plaats wel aan alle exemplaren.

 
               

Omgekeerde stelling

We weten nu dat het mogelijk is dat x = f(p) en y = g(p) een oplossing vormen van het stelsel (S), zonder dat de corresponderende kromme een omhullende van de schaar F(x,y,p) = 0 uitmaakt.

Echter, als de schaar Kp, met vergelijking F(x,y,p)=0, enkel reguliere punten bevat, dan kunnen we aantonen dat een oplossing x = f(p) en y = g(p) van het stelsel (S) de parametervergelijkingen zijn van een omhullende van de schaar.

Gegeven :
Kp heeft vergelijking F(x,y,p)=0
x = f(p) en y = g(p) zijn oplossingen van het stelsel (S)
Met elke Kp correspondeert er een geassocieerd punt Qp = Qp( f(p), g(p))
C is een kromme, geassocieerd aan Kp, met parametervergelijkingen x = f(p) en y = g(p)

Te bewijzen :
C is de omhullende van de schaar Kp
We moeten aantonen dat volgende twee voorwaarden vervuld zijn

  1. Het geassocieerde punt Qp ligt op Kp voor alle p
  2. C raakt aan Kp in punt Qp voor alle p
Bewijs :

We starten met het stelsel (S)

 
   /  F(x,y,p) = 0           (5)
   |
   \  Fp'(x,y,p) = 0       (6)

x = f(p) en  y = g(p) vormen een oplossing van (5). Dus

   F(f(p),g(p),p) = 0   voor alle p     (5')

(5') betekent dat het punt  Qp(f(p),g(p)) op de kromme Kp ligt voor alle  p.
De eerste voorwaarde is vervuld !

We bekijken nu de raaklijnen in punt Qp.

De raaklijn in Qp aan de kromme Kp heeft als richting

    (Fy'(f(p),g(p),p) ,  - Fx'(f(p),g(p),p))

De raaklijn in Qp  aan de kromme C heeft als  richting (f'(p),g'(p))


          De twee raaklijn-richtingen zijn dezelfde

<=>    Fy'(f(p),g(p),p) g'(p) + Fx'(f(p),g(p),p) f'(p) = 0


De uitdrukking (5') leiden we af naar p.
Fx'(f(p),g(p),p). f'(p) + Fy'(f(p),g(p),p).g'(p) + Fp'(f(p),g(p),p)=0
Steunend hierop kunnen we vorige equivalentie anders schrijven.

          De twee raaklijn-richtingen zijn dezelfde

<=>         Fp'(f(p),g(p),p)=0

en dit is vervuld want x = f(p) en  y = g(p) vormen ook een oplossing van (6).

Dus  C raakt aan Kp in punt Qp.

De tweede voorwaarde is vervuld !
De kromme C is dus zeker een omhullende van de schaar Kp.

Afspraak

Als alle krommen Kp een vast punt P bevatten, dan zeggen we dat dit punt P een omhullende is van Kp. In dit uitzonderlijk geval kunnen we niet van een gemene raaklijn spreken.

Voorbeeld:
Kp is de verzameling van alle rechten door een vast punt Q. Het punt Q is, bij afspraak, een omhullende van de schaar.

Omhullende van een verzameling cirkels

Neem een veranderlijke cirkel C met vergelijking (x - a)2 + (y - b)2 - r2 = 0.
Hierin zijn a, b en r functies van een parameter p. Dan correspondeert met elke p-waarde een cirkel Cp.

We noteren de afgeleiden, naar p, van de functies a, b en r kort als a', b' en r'.

De omhullende van de schaar cirkels is de oplossing van het stelsel (S).

 
    (x - a)2 + (y - b)2 - r2 = 0

    2(x-a).(-a') + 2(y-b).(-b') - 2 r r'= 0
De tweede vergelijking is de vergelijking van een rechte. Deze rechte (blauw) staat loodrecht op de richting (a',b').
 
    

De meetkundige plaats van het middelpunt M van de cirkel Cp heeft parametervergelijkingen x = a(p) and y = b(p).
De raaklijn (bruin) aan de meetkundige plaats heeft richting (a',b').

Dus de tweede vergelijking van het stelsel (S) is een rechte l welke loodrecht staat op de raaklijn aan de meetkundige plaats van het middelpunt van de variabele cirkel.

De snijpunten van de cirkel en de rechte l zijn de punten van de omhullende (groen).

Voorbeeld 1

We starten met een verzameling cirkels x2 + (y-p)2 = 2p
De omhullende van de schaar cirkels is de oplossing van het stelsel (S).

 
    x2 + (y - p)2 = 2p

    -2(y - p) = 2
Als we dit stelsel zouden oplossen naar x en y vinden we parametervergelijkingen x=f(p) ; y=g(p) van de omhullende. Het is hier veel eenvoudiger de parameter p uit het stelsel (S) te elimineren. We krijgen dat de voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen opdat een punt op de omhullende zou liggen. Met andere woorden, we krijgen dan de cartesische vergelijking van de omhullende. Men vindt hier dan de vergelijking y =(x2-1)/2. Deze parabool raakt aan alle cirkels van de schaar.
 
               
De raakkoorde staat steeds loodrecht op de baan welke het middelpunt van de bewegende cirkel beschrijft.

Voorbeeld 2

We starten met een verzameling cirkels x2 + y2 - 2 x cos(p) - 2 y sin(p) = 0
Het stelsel (S) is dan

 
 /  x2 + y2 - 2 x cos(p) - 2 y sin(p) = 0
 |
 \  2 x sin(p) - 2 y cos(p) = 0

<=>

 /   2 x cos(p) + 2 y sin(p) = x2 + y2
 |
 \    x sin(p) - y cos(p) = 0
We zullen p elimineren uit dit stelsel. We krijgen dan de cartesische vergelijking van de omhullende. Daartoe lossen we eerst het stelsel op naar sin(p) en cos(p). Men vindt:
 
   sin(p) = -y/2  en cos(p) = x/2
We elimineren nu p en we krijgen x2 + y2 = 4. Deze cirkel is een omhullende van de gegeven schaar cirkels.
Daar de gegeven cirkels het vast punt O(0,0) bevatten is dit punt ook een omhullende van de schaar. De raakkoorde is steeds de rechte door het vaste punt O en een variabel raakpunt. De raakkoorde staat steeds loodrecht op de baan welke het middelpunt van de bewegende cirkel beschrijft.

Maak zelf een figuur met enkele variabele cirkels en de omhullende

Omhullende van een glijdend segment

Neem een segment [AB] met vaste lengte d, glijdend over de x-as en de y-as. We berekenen de omhullende van dit glijdend segment.
 
           
De x-coordinaat van A ligt in interval [0,d], We nemen A(d.cos(t),0). Daar de afstand van A naar B gelijk is aan d, zijn de coordinaten van B gelijk aan (0,d.sin(t)). De parameter is t (zie figuur).

De vergelijking van de rechte AB is dan

 
    x/cos(t) + y/sin(t) = d
We verkrijgen de parametervergelijkingen van de omhullende als we x en y berekenen uit het stelsel
 
    x/cos(t) + y/sin(t) = d

     x sin(t)      y cos(t)
    ---------  -  ----------  = 0
     cos2(t)       sin2(t)
De oplossing is
 
    x = d cos3(t)
    y = d sin3(t)
Het zijn parametervergelijkingen van een astroide.

Hieruit volgt meteen een meetkundige betekenis van de parameter t welke voorkomt in die parametervergelijkingen.

Oefening: Toon aan dat het contactpunt P van het segment [AB] met de omhullende geconstrueerd kan worden zoals aangetoond in het rood op de vorige figuur.

Voor elke waarde van t is de rechte AB raaklijn aan de astroide in het raakpunt P. De rico van AB is -tan(t).
De rico van de normaal is dan cot(t).
De vergelijking van de normaal aan de astroide in punt P(d cos3(t), d sin3(t)) is dan

 
      y - d sin3(t)  = cot(t) ( x -  d cos3(t) )

 na enig gereken vinden we de standaardvorm

      x cos(t) - y sin(t) + d sin2(t) - d cos2(t) = 0
Deze vergelijking zullen we gebruiken in een toepassing verder op deze pagina.

Volgende figuur toont de astroide samen met enkele standen van het segment [AB].

 
           

Omhullende van co-axiale ellipsen

We berekenen de omhullende van co-axiale ellipsen waarvan de som van de twee assen een constante d is.

We starten met de vergelijking van een ellips

 
    x2/a2 + y2/b2 = 1
met parameters a en b zodat a + b = d = constant.

Op het eerste zicht zou je kunnen denken dat er twee parameters zijn. Maar die parameters zijn verbonden door a + b = d. Dus in essentie is er maar 1 parameter. Stel je dus voor dat a en b afhangen van een parameter t. Dan is

 
   a + b = d  =>  da/dt + db/dt = 0 => db/dt = - da/dt        (*)
Om de omhullende te verkrijgen starten we met het stelsel (S).
 
    x2/a2 + y2/b2 = 1        (1)
We bekomen de tweede vergelijking als we de eerste vergelijking afleiden naar t.
 
    -2 x2             -2 y2
    ------.(da/dt) + --------.(db/dt) = 0
     a3                 b3

    We vereenvoudigen die vergelijking steunend op (*)

<=>

     x2/a3  - y2/b3 = 0       (2)
De vergelijkingen (1) en (2) vormen het stelsel (S).

Als we x2 en y2 berekenen uit (1) en (2) dan vinden we

 
     x2 = a3/d  en  y2 = b3/d

<=>
     a = (d x2)1/3  en   b = (d y2)1/3
Als we de parameters hieruit elimineren vinden we de cartesische vergelijking van de een omhullende We elimineren a en b door die twee vergelijkingen op te tellen. De som moet d zijn.
 
    d = d1/3.x2/3 + d1/3.y2/3
<=>
    x2/3 + y2/3 = d2/3
en dit is de cartesische vergelijking van een astroide.
 
           

Omhullende van rollende middellijn

Een cirkel met straal r rolt zonder glijden over een vaste rechte. Een vast punt P van de cirkel beschrijft tijdens het rollen een cycloideboog met parametervergelijkingen
 
  x = r(t - sin(t))
  y = r(1 - cos(t))
De theorie hierover vind je hier

Een illustratie van de rollende cirkel zie je hier

Het middelpunt A van de cirkel heeft bij deze beweging coordinaten (rt, r).
Beschouw nu de veranderlijke rechte PA. We berekenen de omhullende van deze rollende middellijn.

 
   De vergelijking van PA is

   x cos(t) - y sin(t) + r (sin(t) - t cos(t)) = 0

   Om de omhullende te verkrijgen vormen we met het stelsel (S). We vinden

   / x cos(t) - y sin(t) + r (sin(t) - t cos(t)) = 0
   |
   \ x sin(t) + y cos(t) + r t sin(t) = 0

   Als we hieruit x en y berekenen vinden we parametervergelijkingen van de omhullende.
   Er komt

    x = r (t - sin(t) cos(t))
    y = r sin2(t)

   Om de aard van die kromme te kennen omvormen we ze als volgt.

    x = (r/2) (2t - 2 sin(t) cos(t))
    y = (r/2) (2 sin2(t))
<=>
    x = (r/2) (2t - sin(2t))
    y = (r/2) (1 + cos(2t))

  we stellen nu 2t = t' en vinden dan

    x = (r/2) (t' - sin(t'))
    y = (r/2) (1  + cos(t'))
Nu zien we dat dit de vergelijkingen zijn van een cycloideboog beschreven door een vast punt van een rollende cirkel met straal r/2 over de gegeven rechte.

De evolute beschouwd als een omhullende

De evolute van een kromme is de omhullende van de alle normalen van die kromme.

Een mooie illustratie van het begrip evolute zie je hier

Evolute van een parabool

Neem de parabool y = a x2, met a een positieve constante. Een variabel punt van de parabool is P(t, a t2). De raaklijn in P heeft rico 2at. De normaal heeft rico -1/(2at). De verzameling van alle normalen kan geschreven worden als
 
    y - at2 = ( -1/2at) (x-t)
<=>
    2at y - 2 a2 t3  + x +t = 0
<=>
    (2ay + 1) t  - 2 a2 t3  + x = 0
De laatste vergelijking is een schaar rechten (normalen) met parameter t. We berekenen nu de omhullende van deze schaar. Daartoe bouwen we eerst het stelsel (S).
 
  /   (2ay + 1) t  - 2 a2 t3  + x = 0
  |
  \   (2ay + 1) - 6 a2 t2 = 0
Als we nu dit stelsel (S) oplossen naar x en y vinden we parametervergelijkingen van een omhullende
 
    x = -4 a2 t3

    y = 3 a t2 + 1/2a
Om de cartesische vergelijking te vinden elimineren we t en we vinden een semi-cubische parabool.
 
    16a (y - 1/(2a))3 = 27 x2


           
We zien dat alle normalen van de parabool (rode rechten) raken aan de semi-cubische parabool (blauwe kromme).

Oefening -- evolute van een ellips

Neem een variabel punt P(a cos(t), b sin(t)) van de standaard-ellips x2/a2 + y2/b2 = 1 en bereken de parametervergelijkingen van de evolute van die ellips.

Evolute van een astroide

We vertrekken van de astroide met parametervergelijkingen
 
    x = cos3(t)
    y = sin3(t)
P(cos3(t), sin3(t)) is een veranderlijk punt van de astroide. De vergelijking van de normaal in P hebben we hierboven reeds berekend en is
 
    x cos(t) - y sin(t) + sin2(t) - cos2(t) = 0
We berekenen nu de omhullende van deze schaar rechten.
Daartoe bouwen we eerst het stelsel (S).
 
  /  x cos(t) - y sin(t) + sin2(t) - cos2(t) = 0
  |
  \  - x sin(t) - y cos(t) - 2 sin(t) cos(t)  + 2 cos(t) sin(t)  = 0
We lossen dit stelsel op naar x en y en we vinden na enig gereken en vereenvoudigen :
 
     x = 3 cos(t) - 2 cos3(t)
     y = 3 sin(t) - 2 sin3(t)
Dit zijn de parametervergelijkingen van de gezochte evolute. Als je die kromme plot dan kan je vermoeden dat dit ook een astroide voorstelt. Deze astroide is echter, ten opzichte van de standaardvorm, gewenteld over een hoek van 45 graden.

We tonen nu aan dat die kromme werkelijk een astroide is. Dit vergt wat moeilijker wiskundig rekenwerk en inzicht.

We wentelen we de kromme om de oorsprong over een hoek van pi/4 padialen. De corresponderende transformatieformules zijn:

 
  x' = cos(pi/4) x  - sin(pi/4) y
  y' = sin(pi/4) x  + cos(pi/4) y

<=>

  x' = (x - y) / sqrt(2)
  y' = (x + y) / sqrt(2)

nu is

  x - y = 3 cos(t) - 2 cos3(t) - 3 sin(t) + 2 sin3(t)

      na vereenvoudigen van het rechterlid vindt men

  x - y = ( cos(t) - sin(t) )3

Op analoge wijze vindt men na enig gereken

  x + y = ( cos(t) + sin(t) )3

Dus zijn de parametervergelijkingen na de rotatie

   x' = ( cos(t) - sin(t) )3 / sqrt(2)

   y' = ( cos(t) + sin(t) )3 / sqrt(2)

Nu is cos(t) - sin(t) = cos(t) - cos(pi/2 -t) = ... = sqrt(2). cos(3pi/4 - t)
   en cos(t) + sin(t) = cos(t) + cos(pi/2 -t) = ... = sqrt(2). sin(3pi/4 - t)

De parametervergelijkingen na de rotatie worden :

    x' = 2 cos3 (3pi/4 - t)
    y' = 2 sin3 (3pi/4 - t)

We noemen nu (3pi/4 - t) = t' en de parametervergelijkingen worden

    x' = 2 cos3 (t')
    y' = 2 sin3 (t')

Dit zijn zeker parametervergelijkingen van een astroide.

De orde van het contact

Twee krommen raken elkaar als en slechts als beide krommen eenzelfde raaklijn hebben in het gemeenschappelijk punt. We zeggen dat er contact bestaat tussen de twee krommen in dat gemeenschappelijk punt P(xo,yo).

De grafieken van de functies met vergelijking y=f(x) en y=g(x) hebben een enkelvoudig contact in punt P(xo,yo) als en slechts als

 
    f(xo) = g(xo)  (dus P is een gemeenschappelijk punt van de 2 grafieken)
en
    f'(xo) = g'(xo)    (dus in punt P is de eerste afgeleide van de functies dezelfde)
en
    f"(xo) is verschillend van g"(xo)
Dit is een contact van orde 1.

De grafieken van de functies met vergelijking y=f(x) en y=g(x) hebben een contact van orde 2 in P(xo,yo) als en slechts als

 
    f(xo) = g(xo)  (dus P is een gemeenschappelijk punt van de 2 grafieken)
en
    f'(xo) = g'(xo)  (dus in punt P is de eerste afgeleide van de functies dezelfde)
en
    f"(xo) = g"(xo)  ( dus in punt P is de tweede afgeleide van de functies dezelfde)
en
    f"'(xo) is verschillend van  g"'(xo)

Osculerende cirkel

K is een kromme met vergelijking y = f(x) en P(xo, f(xo)) is een vast punt van K.

In willekeurige cirkel heeft een vergelijking van de vorm (x - a)2 + (y - b)2 - r2 = 0. Deze vergelijking bevat drie parameters a,b en r.

We proberen de cirkel te vinden met de grootst mogelijke orde van contact met K in punt P.

Daar we drie parameters hebben kunnen we normaal gezien drie voorwaarden opleggen. Zo kunnen we een contact van minstens orde 2 verzekeren. De drie voorwaarden voor een contact van minstens tweede orde zijn

 
     P is een gemeenschappelijk punt van de 2 grafieken

     In punt P is de eerste afgeleide dezelfde

     In punt P is de tweede afgeleide  dezelfde
We zoeken nu een wiskundige uitdrukking voor elk van die drie voorwaarden.
  1. P moet een gemeenschappelijk punt van de 2 grafieken zijn.

    P(xo, f(xo)) is reeds een vast punt van K. De voorwaarde opdat P ook op de cirkel zou liggen is
    (xo - a)2 + (f(xo) - b)2 - r2 = 0

  2. In punt P moet de eerste afgeleide dezelfde zijn.

    De eerste afgeleide in punt P op kromme K is f'(xo).

    De eerste afgeleide yo' in punt P van de cirkel vinden we door de vergelijking van de cirkel af te leiden en daarna x te vervangen door xo en y door yo.

     
          eerst afleiden :      2(x - a) + 2(y - b) y' = 0
          nu vereenvoudigen :    (x - a) +  (y - b) y' = 0
          nu vervangen :         (xo - a) +  (yo - b) yo' = 0
                    de laatste uitdrukking legt yo' vast.
    
    Die twee afgeleiden f'(xo) en yo' moeten nu dezelfde zijn. De voorwaarde daartoe is
     
               (xo - a) +  (yo - b) f'(xo) = 0
    
  3. In punt P moet de tweede afgeleide dezelfde zijn.

    De tweede afgeleide in punt P op kromme K is f"(xo).

    De tweede afgeleide yo" in punt P van de cirkel vinden we door (x - a) + (y - b) y' = 0 af te leiden en daarna x te vervangen door xo en y door yo.

     
          eerst afleiden :    1 + y'2 + (y-b) y" = 0
          nu vervangen :      1 + yo'2 + (yo-b) yo" = 0
                de laatste uitdrukking legt yo" vast
    
    Die twee afgeleiden f"(xo) en yo" moeten nu dezelfde zijn. De voorwaarde daartoe is
     
           1 + f'(xo)2 + (f(xo)  - b) f"(xo) = 0
    
Deze drie voorwaarden voor een contact van minstens tweede orde zijn
 
   (xo - a)2 + (f(xo) - b)2 - r2 = 0           (1)

   (xo - a) + (f(xo) - b) f'(xo)  = 0            (2)

   1 + f'(xo)2 + (f(xo)  - b) f"(xo) = 0         (3)
Dit is een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden a,b en r.

we vinden na wat rekenwerk

 

                       1 + f'(xo)2
    a = xo - f'(xo) -----------------             (4)
                        f"(xo)

                   1 + f'(xo)2
    b = f(xo) +  -----------------                 (5)
                    f"(xo)


           (1 + f'(xo)2)3/2
    r = | ---------------------- |                  (6)
                f"(xo)
Deze waarden van a, b en r bepalen een cirkel door punt P met een contact van minstens de tweede orde.

We zeggen dat dit de osculerende cirkel van de kromme K is in punt P.

M(a,b) is het middelpunt van de osculerende cirkel en r is de straal.

Osculerende cirkels en omhullende

K is een kromme met vergelijking y = f(x) en P(xo, f(xo)) is een vast punt van K.

Een andere benadering van osculerende cirkel.

We tonen aan dat
De osculerende cirkel in een punt P van een kromme K is de de grensstand van een cirkel door punt P en twee naburige punten P1 en P2 als P1 en P2 onbeperkt tot P naderen.

Bewijs:

K heeft vergelijking y = f(x).

Neem de punten P(xo,yo), P1(x1,y1), P(x2,y2) op de kromme K.

Een cirkel C heeft een vergelijking van de vorm (x-a)2 + (y-b)2 - r2 = 0.

 
        C bevat  P, P1, P2
<=>
        (xo - a)2 + (f(xo) - b)2  -  r2 = 0.
        (x1 - a)2 + (f(x1) - b)2  -  r2 = 0.
        (x2 - a)2 + (f(x2) - b)2  -  r2 = 0.
De onbekenden zijn a, b en r. P1 en P2 naderen tot P, maar als we gewoonweg x1, x2 vervangen door xo, dan kunnen we a,b en r niet berekenen.

Daarom zullen we een hulpfunctie gebruiken.

 
   g(t) = (t - a)2 + (f(t) - b)2  - r2
Deze functie heeft nulpunten: xo, x1, x2.

Steunend op de stelling van Rolle, heeft g'(t) nulpunten x3 en x4 zo dat xo < x3 < x1 < x4 < x2.
En g"(t) heeft een nulpunt x5 zo dat x3 < x5 < x4.

We hebben dan

 
      g(xo) = 0 ; g'(x3) = 0 ; g"(x5) = 0
<=>
      (xo - a)2 + (f(xo) - b)2  -  r2 = 0

      (x3 - a) + (f(x3) - b).f'(x3) = 0

      1 + f'2(x5) + (f(x5) - b).f"(x5) = 0
Nu nemen we de limiet voor P1 en P2 naderend tot P.
Dan x3 en x5 --> xo. We krijgen
 
      (xo - a)2 + (f(xo) - b)2  -  r2 = 0

      (xo - a) + (f(xo) - b).f'(xo) = 0

      1 + f'2(xo) + (f(xo) - b).f"(xo) = 0
Dit is juist hetzelfde stelsel als (1) (2) (3), en daarom is C de osculerende cirkel.

Kromming en kromtestraal

Beschouw de raaklijnen t en t1 in twee naburige punten P en P1 van de kromme C. Zij (delta s) de lengte van de kromme van punt P tot P1 en (delta t) is de hoek (in radialen ) ingesloten tussen t en t1.

De gemiddelde kromming van de kromme C van punt P tot P1 is de absolute waarde van (delta t)/(delta s).

Als P1 nadert tot P, dan zal de gemiddelde kromming naderen tot de kromming in het punt P zelf. Dus

 
De kromming van een kromme in een punt P

                      (delta t)
        =    lim    | ---------- |
          P1 -> P      (delta s)

             dt
        =  |----|
             ds

Het omgekeerde van de kromming noemen we de kromtestraal.

We grijpen terug naar de theorie over lengte van een kromme. De lengte ds van een elementair deeltje van de kromme met vergelijking y = f(x) kan geschreven worden als

 
        _________
       |
 ds = \| 1 + y'2  dx   (*)


          

Uit de figuur kunnen we afleiden dat (delta t) = (delta h). Dus dt = dh.
 
 tan(h) = y' => h = arctan(y')

         y" dx
=> dh = ----------
         1 + y'2


  De kromming van een kromme in het punt P is

       dt        dh       dh    dx          y"       dx
   = |----| =  |----| = |----. ----| | ----------. ----- |
       ds        ds       dx    ds      1 + y'2      ds

        en steunend op (*) vinden we

             y"
   = | ----------------- |
        ( 1 + y'2 )3/2


De kromtestraal is dan
 

         ( 1 + y'2 )3/2
       | ----------------- |
                y"

Dit is ook de formule voor de straal van de osculerende cirkel

Kettinglijn

De kettinglijn is de vorm van een volledig flexibele kabel die opgehangen wordt aan zijn uiteinden en waarop de zwaartekracht werkt.
In de statica toont men aan dat de vergelijking van die kromme, in een gepast coordinatenstelsel, gelijk is aan
 
   y = a cosh(x/a)
Als we de functie y = cosh(x) nemen en als we de kromme onderwerpen aan de homothetische transformatie y = y'/a en x = x'/a , dan krijgen we een kettinglijn. Dus alle kettinglijnen zijn eigenlijk homothetische transformaties van y = cosh(x)

Zij P(xo,yo) een veranderlijk punt van de kettinglijn y = a cosh(x/a).
De rico van de raaklijn in P is sinh(xo/a).
De vergelijking van de raaklijn is y - yo = sinh(xo/a) .(x - xo).
Deze raaklijn staat in verband met de Tractrix. (Zie verder)

Gelijkvormige kettinglijnen en omhullende

We vertrekken van een vast assenstel, een kettinglijn K' met vergelijking y = a cosh(x/a)
en een kettinglijn K met vergelijking y = cosh(x).

We weten ook dat een homothetie een figuur transformeert in een gelijkvormige figuur. We kiezen het centrum van de homothetie h in de oorsprong (0,0) en als factor kiezen we a. De coordinaten-transformatieformules zijn

 
          h
   (x,y) ----> (ax, ay)


          punt D ligt op kettinglijn K

<=>    D heeft coordinaten van de vorm (x, cosh(x) )

   De homothetie h zet dit punt D  om in punt D'

         D' ( a x , a cosh(x) )

<=> punt D' ligt op de kettinglijn K' met vergelijking y = a cosh(x/a)
       want a cosh(x) = a cosh( a x/a)
Besluiten :
  1. Voor elke a is er een homothetie die K transformeert in K'.
  2. K en K' zijn gelijkvormig
  3. De raaklijnen uit de oorsprong O aan K raken ook aan K' en dit geldt voor alle a.
  4. Laten we nu a varieren, dan ontstaat een schaar gelijkvormige kettinglijnen en de omhullende van die krommen zijn de twee raaklijnen uit O.

Tractrix als een meetkundige plaats

Punt P(t,a cosh(t/a)) is een veranderlijk punt van een kettinglijn. De projectie van P op de x-as is S(t,0).

We berekenen nu de parametervergelijkingen van de meetkundige plaats van het snijpunt van de raaklijn in P en de rechte door S en loodrecht op die raaklijn

Op de figuur is a = 1

 
De raaklijn in P is  y - a cosh(t/a) = sinh(t/a) .(x - t)

De loodlijn door S op die raaklijn is  y = - (x - t) / sinh(t/a)
Als we het stelsel gevormd door die twee vergelijkingen oplossen naar x en y dan krijgen we parametervergelijkingen van de meetkundige plaats.

Na wat rekenwerk vinden we

 
   x = t - a tanh(t/a)

         a
   y = ----------
       cosh(t/a)
Deze meetkundige plaats heet de tractrix geassocieerd met de kettinglijn. Het punt T(t - a tanh(t/a), a/ cosh(t/a) ) is een veranderlijk punt van de tractrix.

De raaklijn in T aan de tractrix heeft rico

 
    dy    dy/dt
    -- =  -----
    dx    dx/dt

met

             -a
    dy/dt = ----------- .sinh(t/a) . (1/a)
            cosh2(t/a)

                     1
    dx/dt = 1 - a ---------- . (1/a)
                  cosh2(t/a)

                   1
          = 1 - ----------
                cosh2(t/a)

              sinh2 (t/a)
          = --------------
              cosh2 (t/a)

vandaar dat

    dy        1
    -- = - ----------
    dx     sinh(t/a)

Daar dit dezelfde rico is als deze van ST, zien we dat de raaklijn in T aan de tractrix ST is. Daaruit volgt dat de raaklijn in T aan de tractrix loodrecht staat op de raaklijn in P aan de kettinglijn. De normaal in T van de tractrix is de raaklijn aan de kettinglijn.

Met andere woorden: De kettinglijn is de evolute van de tractrix.

Zie hier voor een mooie illustratie van dit feit

Meer zelfs, als je de lengte berekent van het segment [TS], dan zal je vinden dat :

 
    |TS| = a = constant
Zie hier voor een mooie illutratie van dit feit




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.