Basisformules Boldriehoeksmeting




Een boldriehoek zijden en hoeken

Een eenheidsboloppervlak is een boloppervlak met straal 1. Snijdt men een bol met een vlak door het middelpunt, dan heet de snijlijn een 'grote cirkel'. Door twee willekeurige punten van een bol gaat minstens 1 grote cirkel. Een boldriehoek bestaat uit drie punten van een eenheidsbolboloppervlak, verbonden door bogen van grote cirkels.

De zijden van een boldriehoek ABC heten a, b en c. Zie figuur. Als maat van de zijde a neemt men de middelpuntshoek BOC. De waarde van die hoek wordt uitgedrukt in radialen. Die waarde is ook de lengte van de boog BC. Analoog worden de waarden van de zijden b en c vastgelegd. Het zijn de lengten van de zijden AC en AB.

De hoek A van een boldriehoek ABC is de hoek tussen de raaklijnen aan de (gebogen) zijden in punt A. Analoog is er een hoek B en C. De waarden van die hoeken drukken we gewoonlijk uit in radialen.

Cosinus regel voor boldriehoeken

Betrekking tussen de drie zijden en een hoek. Men kan aantonen dat

 
cos a = cos b  cos c + sin b  sin c cos A   (1)
cos b = cos c  cos a + sin c  sin a cos B   (2)
cos c = cos a  cos b + sin a  sin b cos C   (3)

Pooldriehoek van een boldriehoek

Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen namelijk de eindpunten van de middellijn door O welke loodrecht op het vlak van de cirkel staat. Beschouw nu een boldriehoek ABC; de grote cirkel, waarvan BC deel uitmaakt, bepaalt twee halve bollen en heeft twee polen; noem A1 die pool welke met A op eenzelfde halve bol ligt. Op dezelfde wijze heeft men B1 en C1 en de boldriehoek A1B1C1 heet de pooldriehoek van boldriehoek ABC.

Men kan aantonen dat elke zijde van één der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn.

 
a + A1 = b + B1 = c + C1 = a1 + A = b1 + B = c1 + C = pi.     (4)

Verband tussen de drie hoeken en een zijde.

Past men op de pooldriehoek de formule (1) toe dan is
 
cos a1 = cos b1  cos c1 + sin b1  sin c1 cos A1
Steunend op (4) wordt dit na vereenvoudiging
 
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
Analoog voor formules (2) en (3).

Men verkrijgt

 
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a
cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b
cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

Sinusregel voor boldriehoeken.

We vertrekken van de formule cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. Hieruit volgt.
 
          cos a  - cos b  cos c
cos A = ------------------------
             sin b  sin c

dus


sin2 A = 1- cos2 A

          sin2 b sin2 c - ( cos a  - cos b  cos c )2
        = ------------------------------------------------
                      sin2 b  sin2 c

          (1-cos2 b)(1-cos2 c) - ( cos a  - cos b  cos c )2
       = --------------------------------------------------------
                      sin2 b  sin2 c

          1 - cos2 a - cos2 b - cos2 c + 2 cos a cos b cos c
       = -------------------------------------------------------
                      sin2 b  sin2 c

sin2 A      1 - cos2 a - cos2 b - cos2 c + 2 cos a cos b cos c
--------- = --------------------------------------------------------
sin2 a             sin2 a  sin2 b  sin2 c
Het rechter lid is symmetrisch ten opzichte van a, b en c. Hieruit volgt
 
   sin2 A     sin2 B      sin2 C
  --------- = ---------  = ----------
   sin2 a     sin2 b      sin2 c
De waarden van de zijden en de hoeken van de boldriehoek zijn begrepen tussen 0 en pi. De sinussen zijn dus positief. Uit het vorige volgt dan

 
   sin A       sin B         sin C
  --------- = ---------  = ----------
   sin a       sin b         sin c




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.