Allerhande oefeningen




Lees eerst dit

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing. Er werd geen poging ondernomen om de meest elegante oplossing te geven. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van de oefening, voordat je de gegeven oplossing leest.

Allerhande opgeloste oefeningen

Over nulpunten van een kwadratische functie

Gegeven is een kwadratische functie in x
 
        (m2 - 5m + 6)x2 + (4 - m2)x + 20
We noemen de nulpunten x' en x", met x' < x" of x'=x".
Zoek voor welke waarden van de parameter m geldt : x' < 1 < x".

Eliminatie oefening

 
Voor welke waarden van m heeft de  vierkantsvergelijking

       2x2 + mx - 12 = 0             (1)

een wortel gemeen met de volgende vierkantsvergelijking

        x2 - (m+1)x + m = 0             (2)

Analytische formule voor de oppervlakte van een driehoek ABC

Gegeven zijn de coordinaten van A,B en C ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel in het vlak.
A(a,a') , B(b,b') , C(c,c')
Bewijs dat de oppervlakte van de driehoek gelijk is aan de absolute waarde van
 
          1   |a        a'      1|
         --- .|b        b'      1|
          2   |c        c'      1|

Vergelijking met integraal

 
Bereken alle  positieve x-waarden zodat

        /x dt
        |  ---  =  2
        /1  t

Asymptoten, raaklijn , integratie

 
Zij  G de grafiek van

                9x2 + mx + 4
        f(x) = ----------------  met  m als reele parameter
                2x - 7
  • Bereken m zo dat G en de x-as juist 1 punt gemeen hebben.
  • Bereken m zo dat de rechte 9x - 2y + 3 = 0 een asymptoot is van G.
  • Bereken de rico van de raaklijn in het snijpunt van G met de y-as.
  • Bereken
     
            /
            | f(x) dx
            /
    

Integraalvergelijking

 
Bereken alle positieve x-waarden zodat

        /e    dt        /x    dt
        |     ---  =    |     --
        /1/e   t        /e     t

Goniometrische formules

 
Gegeven: x en  y in open interval (0, pi/2)
Toon aan dat  :

   1 + 2cos(4y) - (sin(6x)/sin(2x)) = 16.sin(x-y)sin(x+y)cos(x-y)cos(x+y)

 
Los op
          _______________
         |      2  x
         | 2 cos  --- - 1  > 2 sin(x) - 3
        \|         2

 
a,b en c zijn de hoeken van een driehoek.
Taan aan dat we een rechthoekige driehoek hebben als

        sin(2 b) sin(2 c) = 2 - 2 sin2(b) cos2(c) - 2 cos2(b) sin2(c)

Rekenkundige en meetkundige rijen

 
a, b, c vormen een rekenkundige rij en  x, y, z vormen een meetkundige rij.
Toon aan dat
                xb.yc.za = xc.ya.zb

Vereenvoudig een goniometrische uitdrukking

 
Vereenvoudig
        (1 + tan(a).tan(a/2))-1

Goniometrische vergelijking

 
 m is een reele parameter.  Los op :

       m.cos2(x) + (2m2 - m + 1)sin(x) -3m + 1 = 0

Relatieve maxima en minima en goniometrie

 
Gegeven:
        f(x) = (m - 1)cos2(x) -3mcos(x) + 2m

        met m een reele parameter ( m is niet 1).

Bepaal alle m zodat er 4 verschillende x waarden zijn in
[0, 2.pi)  met als beeld een relatief  maximum of minimum.

Relatief maximum en minimum

Gegeven : f(x) = sqrt(2x.x + k) - x/3 - 2
Bereken k zo dat de x-waarde, welke overeenkomt met het relatief maximum of minimum van f(x) gelijk is aan dat relatief maximum of minimum.

Rijen en sommen

Gegeven :
Twee constante waarden a en b.
Een rij {t(n)}. De som van de eerste n termen is S(n)=a.n2 + b.n
Met die rij construeren we een nieuwe rij {t'(n)} zo dat t'(n) = t(2n).

Bereken de som S'(n) van de eerste n termen van {t'(n)}.


Eliminatie en goniometrie

De getallen a,b,c zijn constant.
Elimineer x uit het stelsel
 
sin(a + x) = 2b
sin(a - x) = 2c.

Ontbinden in factoren

 
ontbind in reele factoren

    z = (x + y)5 - x5 - y5

Bereik van een functie

 
Gegeven  : de functie
                mx2 - 7x + 5
        f(x) = ---------------
                5x2 - 7x + m

De verzameling van alle beelden heet het bereik van de functie.

Bepaal m zodat het bereik van f(x) gelijk is aan alle reele getallen.

Rechten in de ruimte en lineaire stelsels

 
Gegeven zijn de volgende twee rechten

        / 2x + my + z = 1       / 3x      + z = 2
        |                 en    |
        \ x - y + mz = 1        \ 2x + my + z = m - 1

  Bepaal de waarden van m zodat de twee rechten een snijpunt hebben.

Berekening omtrent het bereik van een functie

 
Bereken m zodat het bereik van de functie
                 m x2 + 3 x - 4
        f : x -> -----------------
                 m + 3 x  - 4 x2
 gelijk is aan R.

Een stelsel met exponentiele en goniometrische functies.

 
Los op

        /
        | e2x  + cos2(y) = 1
        |
        |
        | e3x cos(y) = cos(3 y)
        \

Meetkundige plaatsen




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.