Complexe getallen oefeningen




Lees eerst dit :

Deze oefeningen steunen op de theorie welke uiteengezet werd op de pagina Complexe getallen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Er werd geen poging ondernomen om de meest elegante oplossing te geven.
Het wordt sterk aangeraden tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem voordat je de gegeven oplossing leest.

Oefeningen omtrent complexe getallen

Niveau 1 oefeningen


  1.  
    
    (4i-7)+(1-i) = 3i-6
    
    -(5-i) = -5+i
    
    i.(i-1) = -1-i
    
     1
    --- = -i
     i
    
    Het interessante van de laatste gelijkheid is dat, als we een vorm door i moeten delen we evengoed die vorm met (-i) kunnen vermenigvuldigen.
     
    |-1| = 1
    
    |-i| = 1
    
    |-4| = 4
    

  2.  
    1+i
    --- = ?
    1-i
    


  3.  
    i2012 = ?
    


  4.  
    
    Los op  z2 = -4i
    


  5.  
    Toon dat voor elk complex getal z
    _
    z . z = een reeel getal
    


  6.  
    
    Bereken het toegevoegd complex getal van   z =
      a + bi  2     a - bi  2
    (--------)  + (--------)
      a - bi        a + bi
    


  7.  
    
    Los op :
    ix2 +(1-5i)x -1+8i=0
    


  8.  
    Zoek de goniometrische gedaante van  (i-sqrt(3))
    


  9. Eenvoudige berekeningen

     
    2.(cos(1) +isin(1)).5.(cos(2) +isin(2))= 10.(cos(3) +isin(3))
    
    6.(cos(5) +isin(5))
    --------------------= 2.(cos(3) +isin(3))
    3.(cos(2) +isin(2))
    
    
    (2.(cos(3) +isin(3)))5  =  32.(cos(15) +isin(15))
    
    

  10.  
    
    Zoek alle z zodat z4  = -8(i-sqrt(3))
    


  11.  
    
    Gegeven :  z=cos(3)+ isin(3)
                               _
    Toon aan dat  1 + z = (1 + z )z
    


  12. Gegeven : u = 1+i.sqrt(3) en v = sqrt(3) + i

    Bereken u3 / v4



  13. Toon aan dat volgende vergelijking een reele wortel heeft

    4z3 - 6i sqrt(3) z2 - 3(3 + i sqrt(3)) z - 4 = 0



  14. Bereken
     
     (1+i)17
     ---------
     (1-i)16
    

Niveau 2 oefeningen


  1.  
    
    Gegeven :  z niet reeel en  |z|= 1
    
                       z-1
    Toon aan dat  w =  ---  zuiver imaginair is.
                       z+1
    


  2.  
    Toon aan dat  C, geen nuldelers bevat
    
    Dit betekent dat we moeten aantonen dat voor alle z en z' uit C geldt:
    z.z'=0 => (z=0 of z'=0)


  3.  
    Bereken ( cos(2)+ i sin(2) + 1)n
    


  4.  
    Vertrek van een punt P(a,b).
    
    We draaien P om O over een hoek van pi/3 radialen
    
    We noemen P' de nieuwe positie van P.
    
    Bereken de coordinaten van P'
    
    


  5.  
     a, b, c zijn reele getallen in de veelterm
    p(z) = 2 z4  + a z3  + b z2  + c z + 3 .
    
    Bereken a zodat de getallen 2 en i nulpunten zijn van p(z).
    


  6.  
    Gegeven:
    n is een positief natuurlijk getal.
    
    z is een complex getal met modulus 1, zodat z2n niet -1 is.
    
    
                  zn
    Toon dat    --------  een reel getal is
               1 + z2n
    


  7. Bereken alle natuurlijke getallen n zo dat zn = (1 + i sqrt(3))n een reeel getal is .


  8. Bereken de reele waarden van x en y zodat (x + iy)3 reeel is en de modulus van x+iy groter is dan 8.


  9. Gegeven : z is een complex getal met z = cos(2t) + i sin(2t)

    Toon aan dat 2/(1+z) = 1 - i tan(t)



  10. Bepaal de reele waarde van m zodat de vergelijking
    2 z2 - ( 3+ 8i )z - ( m + 4i) = 0
    een reele wortel heeft. Bepaal daarna beide wortels.


  11. Een complex getal z heeft modulus m.
    Bereken z als je weet dat z + m = 8 + 4i


  12. Bereken de zes verschillende nulpunten van de veelterm p(z) = (z2-1)3 -1 .
    Ontbind daarna p(z) in reele factoren van eerste of tweede graad.


  13.  
    Gegeven:
    
             (1 - i)5
     z =  ------------------
          (1 - i sqrt(3))4
    
    Bereken z eerst door het uitwerken van de gegeven vorm en bereken daarna opnieuw de waarde van z door te werken met de goniometrische gedaante in teller en noemer.
    Door gelijkstelling van beide resultaten kan je de exacte gedaante van cos(pi/12) afleiden.

Niveau 3 oefeningen


  1. Zoek de reele waarden van het getal a zodat a.i een oplossing is van de veeltermvergelijking
    z4 - 2z3 + 7z2 - 4z + 10 = 0.
    Zoek daarna alle wortels van die vergelijking.


  2. u,v en w zijn drie wortels van de vergelijking z3 - 1 = 0 .

    Bereken u.v + v.w + w.u zonder de drie wortels te berekenen.



  3. Berekenen alle oplossingen van |z-1|.|z-1|=1


  4. De vergelijking
     
    z3  - (n + i) z + m + 2 i = 0
    
    heeft drie wortels. n en m zijn reele constanten.
    a) Bereken m zodat de modulus van het product van de wortels 5 is.
    b) Bereken de modulus van de som van de wortels.


  5. Let z' het toegevoegd complex getal van z. Zoek nu z zo dat
     
           z2  + z'2  = 0
    


  6. In de volgende vergelijking is m reeel.
     
    z2  - (3 + i) z + m + 2 i = 0
    
    Bereken m zodat de vergelijking een reele wortel heeft.
    Bereken de tweede wortel.


  7. Het getal t is reeel en geen geheel veelvoud van (pi/2).
    x1 en x2 zijn de wortels van de vergelijking
     
    
            tan2 (t).x2  + tan(t).x + 1 = 0
    
    Toon aan dat
    
            (x1)n  + (x2)n  = 2 cos(2 n pi/3) cotn(t)
    
    


  8. Bereken de waarden van m zo dat de wortels x1 en x2 van x2 - 2m x + m = 0
    voldoen aan de voorwaarde x13 + x23 = x12 + x22.

    Bereken de wortels voor deze m-waarden en controleer de voorwaarde.



  9. Bereken alle waarden van a zodat de volgende bewering waar is.
    In C is de verzameling van de wortels van de vergelijking z8 - 1 = 0 gelijk aan
    { ak | k in {1,2,3,4,5,6,7,8} }.


  10. De vergelijking z3 - i. 4 sqrt(3) = 4 heeft een oplossing z1 = 2(cos(pi/9) + i sin(pi/9))
    Bereken de twee andere oplossingen z2 en z3 van die vergelijking.



  11. Een getal u verschillend van 1 is oplossing van z3=1. Bereken de waarde van de determinant D =
     
       |1  u  u2|
       |u  u2  1|
       |u2  u  1|
    




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.