Réponses aux exercices de RdM 2ème Candi  

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(dernière mise à jour : 8/05/02 )

A. Caractéristiques des surfaces planes I. Poutre en console  (à inertie constante)
B. Traction-compression J. Expression du théorème du travail
C. Flexion pure K. Poutre encastrée-appuyée et bi-encastrée
D. Cisaillement pur L. Poutre continue
E. Torsion (pièces cylindriques) M. Flanbement
F. Elasticité N. Exercices récapitulatifs
G. Critères de résistance O.
H. Poutre sur 2 appuis (à inertie constante) P.

Rem: Si vous observez une erreur ou une incohérence, merci de nous le faire savoir (local501)
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A. Caractéristiques des surfaces planes
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Ex.1: XG= 66,55 mm - YG= 86,55 mm
Ex.2: Ix= 6905 cm4 - Iy= 3497 cm4 - Jxy= -774 cm4 - Alpha= 12,11° - Imax= 7068 cm4 - Imin= 3299 cm4
Ex.3: Sx'= 0 - Sy'= 0 - Sx= 48000mm3 - Ix'= 1707mm4 - Iy'= 42667mm4 - Ix= 7201707mm4 - Jx'y'=0 - Jxy'=0
Ex.4: XG=22,5mm - YG=27,5mm - Ix= 124,3cm4 - Iy= 92,3cm4 - Jxy= -63cm4 - Alpha= 37,87° - Ix'= 173,3cm4 - Iy'= 43,3cm4 - Jx'y'= 0
Ex.5: A = 4600 mm2 - YG= 102,8 mm - Imax = Ix = 1231 cm4 - Imin = Iy = 351,3 cm4 (Remarque : X--> Axe horizontal et Y--> Axe vertical)
Ex.6: Ix = 2708 cm4 (Ix est invariable) - Iy = Ix --> d = 90 mm
Ex.7: Ix = 3594,6 cm4 - Iy = 334,6 cm4 (Remarque : X--> Axe horizontal et Y--> Axe vertical)
Ex.8: Ix= 74911cm4
Ex.9 (ATTENTION : Exercice supplémentaire) Ix= Imax= 1846cm4 - Iy= Imin= 141,9cm4 

B. Traction-compression
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Ex.1: Effort N = 46181 N
Ex.2: Tronçon inférieur : 3,125m2 - Tronçon supérieur : 1,25m2
Ex.3: Section : 13 mm2
Ex.4: Lacier = 4713m - Laluminium = 2593m - Lduralumin = 14815m
Ex.5: Sigma = 75,6 N/mm2
Ex.6: Lambda = 3,6 mm
Ex.7: Ecartement à -24 °C = 8,6 mm - Temp. de contact = 35,8°C - A 40°C --> Sigma = 10,5 N/mm2
Ex.8: Lmax= 127.3m
Ex.9 (ATENTION : Enoncé modifié!) Epaisseur théorique = 6,25 mm - Epaisseur pratique = 8 mm - Sigma transversal = 62,5 N/mm2 - Sigma longitudinal = 31,25 N/mm2
Ex.10: N= 4200N - Lambda1= 0,2mm - Lambda2=0,4mm - Sigma1= 14N/mm2 - Sigma2= 42N/mm2
Ex.11: N= Ncuivre + Nacier = 2800 + 2625 = 5425N - Sigmacuivre= 28N/mm2 - Sigmaacier= 52,5N/mm2
Ex.12: NAB= 4000N - NBC=1000N - Déplacement point B = 0,38mm
Ex.13: Tension dans les barres --> N= 7310 N - Allongement des barres --> Lambda= 0,3878 mm - Abaissement du point C= 1,13 mm
Ex.14: (ATTENTION : Erreurs corrigées le 04/12/00) Amin = 336,7 mm2 (D=20,7 mm) - Allongement des barres --> Lambda= 1,25 mm - Abaissement du point C= 1,76 mm
Ex.15

Exercice supplémentaire !!! Phase 1: Détermination de l'effort nécessaire au racourcissement du bronze de 0,3mm - Phase 2: Compression des 3 barres (acier et bronze)
Effort de compression du bronze = 235338N - Lambda bronze = -0,35mm - Lambda acier = -0,05mm - Sigma bronze = 147 N/mm2 - Sigma acier = 42 N/mm2


C. Flexion pure
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Ex.1: Diamètre = 1,4 m
Ex.2: Pminimum = 660N
Ex.3: Lmaximum = 118m
Ex.4: (ATENTION : Enoncé modifié!) Suivant l'axe fort : Sigma max = sigma'max = 102,9 N/mm2 - Suivant l'axe faible : Sigma max = 702, 5 N/mm2 (trop élevé !) --> Mmaximum = 6,08 kNm
Ex.5: (ATENTION : Enoncé modifié!) Mmax (HE180A) = 35,2 kNm - Mmax (HE180B) = 51,1 kNm - Mmax (HE180AA) = 28,3 kNm - Mmax (HE180M) = 89,8 kNm -
Ex.6: En traction : M<= 0,6 kNm - En compression : M<= 3,6 kNm - Donc Mmaximum = 0,6 kNm
Ex.7: wpe4.jpg (12998 bytes)
Ex.8: wpe2.jpg (13553 bytes)
Ex.9 Bois en compression : M<= 52,5 kNm * Bois en traction : M<= 116,7 kNm * Acier en traction : M<= 41,7 kNm * Conclusion : Mmax = 41,7 kNm
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Ex.10:

(ATENTION : Enoncé modifié! --> Cornière du catalogue 100x100x10)  Sigma A = -104,5 N/mm2 - Sigma B = -33,3 N/mm2 - Sigma C = +77,7 N/mm2 - Equation axe neutre : Y=-3,86*Z
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Ex.11: Mmax = 180 Nm - Alpha : 15° --> Sigma max = 14,8 N/mm2 - Alpha : 30° --> Sigma max = 18,7 N/mm2 - Alpha : 45° --> Sigma max = 21,2 N/mm2

D. Cisaillement pur
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Ex.1: Cisaillement classique : Tau max = 85,5 N/mm2 - Tau alpha = 73,1 N/mm2
Ex.2: Cisaillement classque : Tau max = 106,6 N/mm2 - Tau 2/3 = 106,6 N/mm2
Ex.3: Cisaillement classique : V max = 56, 954 kN
Ex.4: Cisaillement technologique:  L'effort de 12 kN sollicite en cisaillement 8 sections de rivets (boulons) - Diamètre théorique des rivets (boulons) = 4,74 mm - Diamètre pratique = 5 mm - Largeur théorique des tôles = 14,2 mm - Largeur pratique des tôles = 40 mm.
Ex.5: Cisaillement technologique:  L'effort N sollicite en cisaillement 6 sections de rivets (boulons) - Point de vue rivets (boulons) : N<= 103820 N - Point de vue tôles : N<= 146000 N - conclusion Nmax = 103,8 kN.
Ex.6: Cisaillement technologique : Vis supérieure : Sigma = 34,0 N/mm2 et Tau = 25,5 N/mm2 - Vis inférieure : Sigma = 0 et Tau = 25,5 N/mm2
Ex.7: Cisaillement classique: Tau max = 150 N/mm2 (même réponse par les deux méthodes) - Tau alpha = 112,5 N/mm2
Ex.8 Cisaillement technologique: Fmax = 84,8 kN
Ex.9

Cisaillement technologique: L min = 31,2 mm

Ex.10 Cisaillement technologique: Tau clavette = 50 N/mm2
Ex.11 Cisaillement technologique: Longueur théorique de la clavette = 55,6 mm - Longueur pratique de la clavette = 6 cm - Tau clavette = 8,3 N/mm2

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E. Torsion (Pièces cylindriques)
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Ex.1: Diamètre théorique = 137,9 mm - Diamètre pratique = 14 cm - Tau max = 37,1 N/mm2
Ex.2: TA = 40 Nm - TC = 20 Nm - Psi C = 1,8 ° - Tau max = 25,5 N/mm2 - Tau max situé entre A et C sur toute la périphérie du cylindre
Ex.3: T max acier = 1472621 Nmm - D ext manchon = 65,6 mm (Solution  = une des racines du polynome : D^4 - 187500*D - 6250000>=0)
Ex.4: T = 702, 828 Nm (attention unités !!!) - Diamètre min = 41,6 mm - Teta = 1,71 °/m
Ex.5: T appliqué = 1181089 Nmm - Tau max = 94,0 N/mm2
Ex.6: a) Section pleine --> Tau max = 57,7 N/mm2 - T max = 725 520 Nmm - Teta = 2,34 °/m

b) Section creuse --> Diamètre extérieur = 47,7 mm - Diamètre intérieur = 38,2 mm - Teta = 1,16 °/m

Ex.7 Arbre d'hélice de bateau : D = 210 mm - d = 126 mmm - Psi = 0,137 radian ou 7,86 °

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M. Flambement
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Ex.1: Charge admissible = 218,6 kN
Ex.2: Charge critique = 102,8 kN
Ex.3: Diamètre minimum = 170,4 mm - 5361 kN
Ex.4: Ennoncé comme dans les notes de cours : le profilé utilisé est un IPE180
* h= 4 m --> Charge admissible = 8,2 kN (risque de flambement)
* h= 2 m --> Charge admissible = 32,7 kN (risque de flambement)

Ex.4bis:

Ennoncé modifié : le profilé utilisé est un HE180A
* h= 4 m --> Charge admissible = 74,9 kN (risque de flambement)
* h= 2 m --> Charge admissible = 265,8 kN (Compression simple)

Ex.5: La situation est possible : Charge admissible = 100 kN - Charge critique = 184,5 kN - Coefficient de sécurité = 1,845
Ex.6: Hauteur maximale de la colonne = 2,076 m
Ex.7

Exercice supplémentaire:Parmi les 4 sections proposées ci-contre, toutes de même aire (A = 100 cm2), déterminer celle qui résiste le mieux au flambage.

Réponse : Le triangle équilatéral résiste le mieux au flambage - I rectangle = 424,1 cm4 (100%) - I disque = 795,8 cm4 (188%) - I carré = 833,3 cm4 (196%) - I triangle = 962,3 cm4 (227%)

 


N. Exercices récapitulatifs
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1er semestre

Ex.1: Soit une potence soumise à une force verticale P1 (Poids propre) et une force horizontale P2 (Poussée dû au vent).  Déterminer les sollicitations et contraintes dans la section précisée sur le schéma ci-dessous.

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Sollicitations:
* N= P1 = 5000 N
* M = P1*1m = 5000Nm
* V = P2 = 8000 N
* T = P2*1m = 8000Nm

Section circulaire creuse :
* Sigma max N = 4,2 N/mm2
* Sigma max M = 240,4 N/mm2
* Sigma max T = 13,5 mm2
* Sigma max T = 192,3 N/mm2

 

Ex.2: Même énoncé que ci-dessus mais avec une section carrée creuse :
* Sigma max N = 3,3 N/mm2
* Sigma max M = 141,6 N/mm2
* Sigma max T = 12,0 mm2
* Sigma max T = 142,2 N/mm2

2ème semestre

Ex.1:
Ex.2:
Ex.3:
Ex.4:

 



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