Vectoren in een vlak





Vectoren

Translaties en vrije vectoren

Neem in het vlak een vaste oorsprong O.

Een translatie of verschuiving t in het vlak is volledig bepaald door het beeld P van O door de translatie. Die translatie t is ook bepaald door een puntenkoppel (A,B) zodat t(A)=B .

Met deze translatie t kunnen we een zogenaamde vrije vector laten overeenkomen. Die vrije vector definieren we als verzameling van alle puntenkoppels (A,B) zodat t(A)=B.

Er is een 1-1 relatie tussen de verzameling van de vrije vectoren van het vlak en de verzameling van de translaties in dat vlak.

We kunnen de vrije vector voorstellen door een pijl met oorsprong in O en met eindpunt t(O)=P. Punt P heet het beeldpunt van de vrije vector. Het koppel (O,P) kan opgevat worden als een vertegenwoordiger van de vrije vector maar ook is (A, t(A)) is een vertegenwoordiger van dezelfde vrije vector.

Een vrije vector noemen we hieronder ook kortweg een vector.

We noteren de vector met beeldpunt P als OP of kortweg P

Vectoren AB en CD zijn gelijk als en slechts als er een translatie t bestaat zo dat t(A)=B en t(C)=D.

De vector OO correspondeert met de identieke translatie en noemen we de nulvector.

Optelling

Neem twee translaties t en t' in het vlak, met t(O)=A en t'(A)=B. Als we eerst de translatie t uitvoeren en daarna t' krijgen we een nieuwe translatie t". Dan zal t"(O)=B. Met translatie t correspondeert vector OA, met translatie t' correspondeert vector AB en met translatie t" correspondeert vector OB. Bij definitie zeggen we dat OA + AB = OB . De optelling van vectoren is geassocieerd met de samenstelling van translaties.

Het is gemakkelijk in te zien dat de verzameling van alle vectoren een commutatieve groep vormt voor de optelling. De tegengestelde vector van AB is vector BA en correspondeert met de inverse translatie. Het tegengestelde van vector A wordt genoteerd als -A.

Het verschil tussen twee vectoren is gedefinieerd als A - B = A + (-B).

Voor elke vector AB hebben we :
OA + AB = OB <=> AB = B - A (We onthouden: eindpunt - beginpunt)

Reeel veelvoud van een vector

Neem een willekeurig reeel getal r.
Beschouw de vector P. We nemen nu een as met oosprong O en door P zodanig dat punt P abscis 1 heeft. Neem nu op die as het punt Q met abscis r. We zeggen dat de vector Q gelijk is aan r.P . en schrijven Q = r.P .

Men kan aantonen dat voor elke r en s in R en elke vector P en Q

Als O,P,Q op een zelfde as liggen met oosprong O, dan definieren we abs(P)=abs(P). Men kan aantonen dat in dit geval abs(P+Q)=abs(P)+abs(Q) en abs(r.P)= r. abs(P)

Orthogonale projectie van een vector op een rechte door O

Neem een rechte x door O en een willekeurige vector P.
Noem punt P' de loodrechte projectie van punt P op x. De vector P' heet de vector-projectie van P op x. We schrijven proj(P)=P'.

 
             
Voor alle vectoren P en Q en voor elk reeel getal r geldt:
  • proj(P+Q)=proj(P)+proj(Q)
  • proj(r.P)=r. proj(P)

Scalair product van twee vectoren

Definitie

Neem een as x met oorsprong O en door punt P.
Het scalair product van twee vectoren P en Q wordt gedefinieerd door
 
        P.Q = abs(P).abs(proj(Q))

Het scalair product is onafhankelijk van de zin van de as x.

V.V noteren we als V2.

Uit die definitie volgt onmiddellijk dat het scalair product een reeel getal is !!

 
             
Opgave:
Herneem de bovenstaande figuur en teken een vector S verschillend van Q zodat P.Q = P.S
Uit die oefening volgt dat de bij het scalair product de schrappingsregel over het algemeen niet geldt. Dus als P.Q = P.S dan is over het algemeen Q verschillend van S.

Eigenschappen

  1. Voor elke vector P niet 0
    P2 = abs(P).abs(proj(P)) = abs(P).abs(P) > 0
    Dus,
    Voor P niet 0, hebben we
    P2 > 0

  2. Voor elke P en Q en elke r,s in R
     
    (r P).(s Q)     = abs(r P).abs(proj(s Q))
                    = abs(r P).abs(s.proj(Q))
                    = r.abs(P).s.abs(proj(Q))
                    = r.s.abs(P).abs(proj(Q))
                    = r.s.(P.Q)
    
    Dus,
    (r P).(s Q) = r.s.(P.Q)

  3. Men kan aantonen dat
    P.Q = Q.P

    Opgave:
    Teken twee willekeurige vectoren en controleer nauwkeurig deze eigenschap.

  4. Voor elke vector U,V en W
     
    U.(V+W)         = abs(U).abs(proj(V+W))
                    = abs(U).abs(proj(V)+proj(W))
                    = abs(U).(abs(proj(V))+abs(proj(W)))
                    = abs(U).abs(proj(V) + abs(U).abs(proj(W))
                    = U.V + U.W
    
    Het scalair product van 2 vectoren is distributief ten opzichte van de optelling van vectoren.

  5. Voor alle U,V en W en alle r,s in R
     
    U.(r.V+s.W)     = U.(r.V) + U.(s.W)
                    = r.(U.V) + s.(U.W)
    
  6. Men toont nu gemakkelijk aan dat
     
    
    (U+V)2 = U2 +2.U.V + V2
    
    
    (U-V)2 = U2 -2.U.V + V2
    
    
    (U+V)(U-V) = U2  - V2
    
    
  7. Associativiteit en scalair product

    Er dient opgemerkt te worden dat het scalair product over het algemeen niet associatief is. Dus over het algemeen is (A.B).C verschillend van A.(B.C).

    Voorbeeld:
    Neem twee vectoren A en B verschillend van 0 en zodat B geen veelvoud is van A en A.B verschillend is van 0. Nu is

     
       (A.A).B een vector evenwijdig met B
       A.(A.B) een vector evenwijdig met A
    
     Dus (A.A).B is verschillend van  A.(A.B)
    
    Opgave: Neem op willekeurige wijze drie vectoren en construeer (A.B).C en A.(B.C). Stel vast dat de resultaten over het algemeen verschillend zijn.

Orthogonaliteit

Definitie:
U is orthogonaal met V als en slechts als U.V = 0

Gevolg:
Elke vector is othogonaal met de nulvector.
De nulvector is othogonaal met zichzelf.
Als U orthogonaal is met V dan is V orthogonaal met U.
Als U orthogonaal is met V dan is rU orthogonaal met sV.

Norm van V

De norm van V wordt gedefinieerd als de afstand van O tot het beeldpunt V.
We noteren de norm van V als ||V||.
Hieruit volgt dat ||V|| = | abs(V) |.

Norm - Eigenschappen

  1. sqrt(V2) = sqrt(abs(V).abs(V)) = |abs(V)| = ||V||

    sqrt(V2) = ||V||

  2. ||r.V|| = |abs(r.V)| = |r|.|abs(V)| = |r|.||V||

    ||r.V|| = |r|.||V||

  3. ||AB|| = afstand van punt A tot punt B

Eenheidsvectoren of genormeerde vectoren

Een eenheidsvector of genormeerde vector is een vector met norm 1. De beeldpunten van alle eenheidsvectoren liggen op een cirkel met middelpunt O en straal 1. Gevolg :
Neem een willekeurige vector V verschillend van de nulvector. ||V|| is de afstand van O tot punt V. Het is als het ware de grootte van de vector V. Als we een vector V delen door zijn eigen norm krijgen we een vector met grootte 1. Dus een eenheidsvector.
 
  V
 ------ = E =  een eenheidsvector = een genormeerde vector
 ||V||

Gevolg: Er bestaat een eenheidsvector E zodat

  V = ||V|| . E

Cosinus en Scalair product

Neem twee eenheidsvectoren E en U. Neem OE als x-as , zodat abs(E)=1.
Zij t de hoek EOU.

Dan geldt: E.U = abs(E).abs(proj(U)) = 1.cos(t)
Neem nu twee willekeurige vectoren P en Q. Dan zijn er eenheidsvectoren E en U zodat P = ||P||.E en Q = ||Q||.U
We hebben :

 
P.Q = ||P||.E.||Q||.U
      = ||P||.||Q||.E.U
P.Q = ||P||.||Q||. cos(t)
P.Q = ||P||.||Q||. cos(t)

De laatste formule wordt in de fysica heel veel gebruikt.

Opgave: Teken twee vectoren. Bepaal het scalair product steunend op de definitie ervan en daarna steunend op voorgaande formule.

Cosinus regel

Neem een vector A en B. De afstand |AB| is de norm van vector AB.
 

||AB||2  = AB.AB

=(B-A)(B-A)

= B.B + A.A - 2.A.B

=||B||2 +||A||2 -2.||A||.||B||.cos(t)
Hierin is t de hoek van A naar B.
Bekijk nu de driehoek OAB. Daaruit volgt dat
 
|AB|2 =|OB|2 +|OA|2 -2.|OB|.|OA|.cos(t)

Als we de driehoek OAB door een verschuiving brengen naar driehoek CAB dan krijgen we de formule van de cosinusregel in een willekeurige driehoek.
 
|AB|2 =|CB|2 +|CA|2 -2.|CB|.|CA|.cos(t)
met t de hoek in hoekpunt C van de driehoek

Opgave:
In de driehoek ABC geldt dan automatisch een analoge formule van de vorm

 
 |BC|2 = ...
 en
 |CA|2 = ...
Vervolledig de formules.

Teken een driehoek ABC en meet de drie zijden en de hoek t. Controleer de cosinusregel aan de hand van gemeten waarden.

Bereken nu met behulp van de cosinusregel de andere hoeken van je driehoek en controleer je resultaat aan de hand van je figuur.

Eenheidsvectoren en scalair product

E en U zijn eenheidsvectoren, dan is E.U = 1.1.cos(t); met t de hoek van E naar U.
Dus, E.U ligt steeds in het interval [-1,1].

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

X en Y zijn 2 vectoren, dan geldt
 
  X            Y
-----  en   ------ zijn eenheidsvectoren en dan is
||X||        ||Y||

 X      Y
-----.----- altijd  in [-1,1].
||X|| ||Y||


Dus X.Y ligt altijd in het interval [  -||X||.||Y|| , ||X||.||Y||  ]

Ongelijkheid van Minkowski

( Het teken ' =< ' betekent gelijk of kleiner dan )
 

||X+Y||2 = (X + Y)2

        = X2 + Y2  +2.X.Y

       =< ||X||2 + ||Y||2 + 2.||X||.||Y||

       =< (||X|| + ||Y||)2

Dus,
||X+Y|| =< (||X|| + ||Y||)

Orthonormale basis

Neem 2 orthogonale eenheidsvectoren E en V.
Neem x-as en y-as zodat E(1,0) en U(0,1).
We zeggen dat (E,U) een orthonormale basis is.
Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Dan is A = xE + yU .

Eigenschappen van coordinaten

Zij (E,U) een orthonormale basis.
Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Zij B = vector met beeldpunt B(x',y').
Zij r een willekeurig reeel getal Dan
 
        A = x E + y U
        B = x'E + y'U
        A + B = x.E + y.U + x'E + y'U
        A + B = (x+x')E + (y+y')U
        r.A    = r(x.E + y.U)
        r.A    = rx.E + ry.U
Zo hebben we
        co(A + B) = (x+x',y+y')
        co(r.A)    = (rx,ry)

Scalair product en coordinaten

Zij (E,U) een orthonormale basis.
Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Zij B = vector met beeldpunt B(x',y').
Dan
 
        A = x E + y U
        B = x'E + y'U
        A.B = (x.E + y.U)(x'E + y'U)
            = x.x'.E.E' + x.y'.E.U + y.x'.U.E + y.y'.U.U'
            = x.x' + y.y'
dan hebben we de formule
Ten opzichte van een orthonormale basis geldt:

Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Zij B = vector met beeldpunt B(x',y').

A.B = x.x' + y.y'


Voorbeelden:

A(2,-1) en B(-1,4) => A.B = -6

C(m,-1) en D(1,m) => C.D = 0 dus C en D zijn orthogonaal.

E(n,m) en F(0,0) => E.F = 0 dus E en F zijn orthogonaal.

Uit het vorige volgt ook

A2 = 5 ; C2 = m2+1 = D2 ; B2. A = 17.A

Gevolg :

 
        A.A = x.x + y.y
<=>
        A2 = ||A||2 = |OA|2 = x2 + y2

Dus, als A(x,y) dan is  |OA| = sqrt( x2 + y2 )

Voorbeelden :

Als A(2,-1) en B(-1,4) dan

B2 = 17; |OB| = sqrt(17)

(A.B)2 = 36 maar A2.B2 = 85

B2. A = 17.A

B.(B.A) = -6.B

||A|| = sqrt(5).

A/sqrt(5) is een genormeerde vector of eenheidsvector

Afstand |A B|

Zij (E,U) een orthonormale basis.
Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Zij B = vector met beeldpunt B(x',y').
Dan |A B| = ||AB||
De vector AB = B - A en heeft coordinaten (x'-x,y'-y).
 
|A B| = sqrt( (x' - x)2  + (y' - y)2  )

Voorbeeld:

Als A(2,-1) en B(-1,3) dan is |A B| = 5

Loodrechte projectie van een vector P op een vector Q

De loodrechte projectie van een vector P op een vector Q is de loodrechte projectie van de vector P op de rechte OQ.

Stelling:
 
    De loodrechte projectie van P op Q is gelijk aan

           (P.Q) Q
         -----------
             Q2

Bewijs:

Kies een eenheidsvector E zodat E = Q/||Q||.
Punt P' is de loodrechte projectie van punt P op de rechte OQ.
De vector P' heet de loodrechte projectie van P op Q.

 
      
Kies D zodat D + P' = P.
 
        P = P' + D

=>    E.P = E.P' + E.D

=>    E.P = E.P'

=>   (E.P) E = (E.P') E

=>   (E.P) E = ||P'|| E

        Q          Q
=>   (----- .P)  ----- = P'
      ||Q||      ||Q||

        Q.P        Q
=>   (--------)  ----- = P'
       ||Q||     ||Q||

           (Q.P) Q
=>     --------------- = P'
           ||Q||2

           (Q.P) Q
=>     --------------- = P'
             Q2

           (P.Q) Q
=>     --------------- = P'
             Q2
We hebben een formule voor de projectie van P op Q in functie van P en Q.

Voorbeeld 1:
Ten opzichte van een orthonormale basis nemen we twee vectoren: A(2,7) en B(5,-1). We berekenen de loodrechte projectie A' van A op B.

 
          (A.B) B
    A' = ----------
            B2

          3 B
       = -------
           26

   A' heeft coordinaten (3/26) (5, -1) = (15/26 , -3/26)

Controleer dit resultaat aan de hand van een nauwkeurige figuur.

Voorbeeld 2:
Ten opzichte van een orthonormale basis nemen we twee vectoren: P(2m2,1) en Q(3,4).
Bereken voor welke waarden van m de projectie van P op Q een minimale norm heeft.

 
De projectie van P op Q is

            (P.Q) Q
         ------------
             Q2
De norm van die vector is gelijk aan

            (P.Q)
          |-------| .  || Q ||
             Q2

Steunend op de gegevens is
        (P.Q) = 6m2 + 4

        Q2 = 25

        ||Q|| = 5
De gezochte norm is dan  (6m2 + 4)/5

Deze norm is minimaal voor m = 0
Voorbeeld 3:
Punt P ligt op de rechte y = x + 1 en Q is de vector met coordinaten (5,2) ten opzichte van een orthonormale basis.

Bereken de plaats van punt P zodat de projectie van P op Q gelijk is aan Q/2.


De coordinaten van punt P zijn van de vorm (m,m+1). Van zodra we m kennen, kennen we de plaats van P.
 
De projectie van P op Q is

            (P.Q) Q
         ------------
             Q2

en dit moet (1/2) Q zijn.

De eis is dus

             (P.Q)
         ------------ = 1/2
             Q2
<=>
          5m + 2m + 2        1
        ----------------  = ---
              25 + 4         2
<=>
          m = 25/14
Het gevraagde punt P is (25/14 , 39/14)

Controleer dit resultaat aan de hand van een nauwkeurige figuur.

Voorbeeld 4:
Geven zijn de punten P(2,5) en Q(-1,3). Bereken de loodrechte projectie van vector P op de rechte OQ.

De loodrechte projectie van vector P op de rechte OQ is hetzelfde als de loodrechte projectie van vector P op de vector Q. Werk dit zelf verder uit als oefening en controleer uw resultaat op een nauwkeurige figuur.

Formules

Zij A = vector met beeldpunt A(x,y).
Zij B = vector met beeldpunt B(x',y').
Dan
 

        A.B = x.x' + y.y'

        A2 = x2 + y2 = ||A||2

        ||A|| = |OA| = sqrt( x2 + y2 )

        |A B| = sqrt( (x'-x)2  + (y'-y)2  )

        A / ||A|| is een eenheidsvector

    De loodrechte projectie van vector P op vector Q is gelijk aan

           (P.Q) Q
         -----------
             Q2






MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.