Sommen in de wiskunde





Definitie

Zij f(i) = (2.i-1) met i een natuurlijk getal. Voor elke i is f(i) een getal dat van i afhangt.

Veronderstel dat we de som f(1) + f(2) + ... + f(32) willen berekenen.

In de wiskunde noteren we deze som bij middel van een sigma teken. De index i varieert van 1 tot en met 32.

 
        32                  32
        ---                 ---
        \                   \
        /   (2.i-1)    of   /  f(i)
        ---                 ---
        i=1                 i=1
We veralgemenen het vorige: Als f(i) een uitdrukking is die van een geheel getal i afhangt dan noteren we de som
f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + ... + f(n)
als
 
         n
        ---
        \
        /   f(i)
        ---
        i=m

maar, in dit html document, dat niet beschikt over wiskundige tekens , zullen we de som noteren als volgt
 
voor i = m ... n

        somi f(i) = f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + ... + f(n)

voor i = 1 ... 5

        somi (i2 + 1) = 2 + 5 + 10 + 17 + 26

Als er geen misverstand mogelijk is gebruiken we de notatie
 
voor i = 1 ... 5

        som (i2 + 1) = 2 + 5 + 10 + 17 + 26
Als de grenzen voor i duidelijk zijn uit de context, of van geen belang zijn, zullen we schrijven
 
        som f(i)
Het spreekt vanzelf dat de eigenschappen van sommen niet afhankelijk zijn van de notatie ervan.

Eigenschappen van sommen

  1. Zij c een constant reeel getal. Dan geldt:
     
            som (c.f(i)) = c. som f(i)
    
  2. Als f(i) en g(i) twee uitdrukkingen zijn die van i afhangen dan
     
            som (f(i) + g(i)) = som f(i) + som g(i)
    
  3. Als f(i,j) een uitdrukking is die van i en van j afhangt, dan is de volgorde van sommatie van geen belang
     
            somi ( somj f(i,j) ) = somj( somi f(i,j) )
    
    Vandaar dat we dit kunnen noteren als
     
            somi,j f(i,j)
    
  4. Als f(i,j) een uitdrukking is die van i en van j afhangt, en als g(j) alleen van j afhangt, dan geldt:
     
             somi,j (f(i,j).g(j)) = somj ( g(j).somi f(i,j) )
    
    
  5. Als f(i) alleen van i afhangt en g(j) alleen van j dan
     
             somi,j (f(i).g(j)) = somi g(j) . somj g(j)
    



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.