Ruimtemeetkunde - Vergelijking van Rechten en Vlakken - afstanden en hoeken





Coordinaten en vectoren in een drie dimensionale ruimte

Coordinaten van een vector in een driedimensionale ruimte

Neem een orthogonaal assenstelsel in ruimte.
Noem de drie assen x,y,z. Noem de oorsprong O.
Neem i, j, k als eenheidsvectoren langs de positieve assen x,y,z.

Met elk punt P, correspondeert een vector OP.
P heet het beeldpunt van OP.
De vector OP noteren we kort als P
De vector P kan geschreven worden als x.i + y.j + z.k
(x,y,z) zijn de coordinaten van P. We schrijven co(P) = (x,y,z) of kort P(x,y,z).
De vector AB = AO + OB => AB = OB - OA = B - A
Het is niet moeilijk in te zien dat
co(A + B) = co(A) + co(B)
co(AB) = co(B - A) = co(B) - co(A)
co(r.A) = r.co(A) (met r een reeel getal)

Middelpunt of Midden van [AB]

A en B zijn twee punten in ruimte.
 
   Het middelpunt van [AB] is punt M
<=>
      AM = MB
<=>
     M - A = B - M
<=>
      2.M = A + B
<=>
     co(M) = (co(A) + co(B))/2
Voorbeeld:
Neem A(2,5,0) en B(4,3,2). Het midden van [AB] is M(3,4,1).

Zwaartepunt van driehoek ABC

Zij Z het zwaartepunt van de driehoek ABC.
 
  Zij M = het midden van [AB].

    CZ = 2.ZM
<=>
    Z - C = 2.(M - Z)
<=>
    3.Z = 2.M + C
<=>
    3.Z = A + B + C
<=>
    Z = (A + B + C)/3
<=>
    co(Z) = ( co(A) + co(B) + co(C) )/3
Voorbeeld:
Neem A(2,5,0) , B(4,3,2) en C(3,4,7).
Het zwaartepunt van driehoek ABC is (3,4,3).

Zwaartepunt van een viervlak ABCD

Zij A' is het zwaartepunt van driehoek ABC. Dan is , A' = (A + B + C)/3 .
Neem punt Z zo dat DZ = 3.ZA'
 
    Z - D = 3.(A' - Z)
<=>
    4.Z = 3.A' + D = A + B + C + D
<=>
    Z = (A + B + C + D)/4
<=>
     co(Z) = (co(A) + co(B) + co(C) + co(D) )/4
We hebben hetzelfde resultaat als we starten van het middelpunt van een andere driehoek.
Punt Z is het zwaartepunt van het viervlak ABCD.

Rechten

Vergelijkingen van een rechte in de ruimte

Neem een rechte BC in de ruimte.
De vector B heet een steunvector van de rechte. De vector BC = C - B heet een richtingsvector van de rechte.
 
         punt P is op BC
<=>
        er is een reeel getal r zo dat BP = r.BC
<=>
        er is een reeel getal r zo dat P - B = r.(C - B)
<=>
        er is een reeel getal r zo dat P = B + r.(C - B)
De laatste uitdrukking is de vectoriele vergelijking van de rechte. Het getal r is een parameter.
 
        
Neem nu een orthogonaal assenstelsel.
Alle punten en vectoren hebben unieke coordinaten.
P(x,y,z) ; B(b,b',b") ; C(c,c',c").
Vandaar dat,
 
         punt P is op BC
<=>
        er is een reeel getal r zo dat
        P = B + r (C - B)
<=>
        er is een reeel getal r zo dat
        co(P) = co(B) + r.(co(C) - co(B))
<=>
        er is een reeel getal r zo dat
        / x = b  + r.(c  - b )                  (1)
        | y = b' + r.(c' - b')                  (2)
        \ z = b" + r.(c" - b")                  (3)
Deze vergelijkingen heten parametervergelijkingen van de rechte BC.
De getallen (c - b ); (c' - b') en (c" - b") zijn de coordinaten van de richtingsvector BC en heten richtingsgetallen van de rechte BC.
Elk ( niet nul) veelvoud van de richtingsgetallen zijn opnieuw richtingsgetallen van de rechte BC.
Daar B en C verschillende punten zijn, is minstens 1 van de richtingsgetallen
(c - b );(c' - b'); (c" - b") niet nul. Neem bijvoorbeeld (c-b) niet 0.
Dan kunnen we r uit (1) berekenen en in (2) en (3) brengen .
Dus,
 
         punt P is op BC
<=>
                   x - b                         x - b
        y - b' =  ------- (c' - b') en z - b" =  ------(c" - b")
                   c - b                         c - b
Deze vergelijkingen heten cartesische vergelijkingen van de rechte BC.
We verkrijgen deze vergelijkingen door r te elimineren uit de parametervergelijkingen.
Indien alle richtingsgetallen niet nul zijn, worden vorige vergelijkingen gelijkwaardig met:
 
   x - b      y - b'     z - b"
  ------ =   -------- = --------
   c - b      c'- b'     c"- b"
Als een richtingsgetal nul is, dan is de overeenkomstige teller ook nul.

De rechte BC wordt gedefinieerd door de vectoren B(b,b',b") en C(c,c',c").
Parametervergelijkingen van de rechte BC met steunvector B(b,b',b") en richtingsvector BC zijn
 
        / x = b  + r.(c  - b )
        | y = b' + r.(c' - b')
        \ z = b" + r.(c" - b")
Indien alle richtingsgetallen (c - b );(c' - b'); (c" - b") niet nul zijn, dan zijn de vorige vergelijkingen gelijkwaardig met
 
   x - b      y - b'     z - b"
  ------ =   -------- = --------
   c - b      c'- b'     c"- b"
Deze vergelijkingen zijn Cartesische vergelijkingen van de rechte BC.

Voorbeelden

Snijpunt van twee rechten

Uitgaande van parametervergelijkingen kan men gemakkelijk uitrekenen of twee rechten al of niet snijden.

Voorbeeld 1:

Neem de rechten a en b

 
        / x = 1  + r.(-1)
        | y = 2  + r.3
        \ z = 3  + r.5
en

        / x = 2  + r
        | y = 1  - r
        \ z = 3  + r
r is de naam van een parameter op de eerste rechte en op de tweede rechte. Maar dit zijn twee onafhankelijke verschillende parameters Dus moeten we voor de berekeningen zorgen dat 1 van die parameters een andere naam krijgt. We schrijven voor de rechte b :
 

        / x = 2  + r'
        | y = 1  - r'
        \ z = 3  + r'
Er is een snijpunt van de twee rechten als en slechts als het volgend stelsel een oplossing heeft voor r en r'.
 
   1 - r = 2 + r'
   2 + 3r = 1- r'
   3+ 5r = 3+ r'
Na enig gereken zien we dat dit stelsel geen oplossingen heeft. Dus de rechten a en b snijden niet.

Voorbeeld 2:

Als de twee rechten gegeven zijn door hun cartesische vergelijkingen dan krijgt men, om het snijpunt te berekenen, 4 vergelijkingen met drie onbekenden x,y en z. Dit kan een vrij moeilijk stelsel zijn. Dit werk kan omzeild worden door parametervergelijkingen van die twee rechten op te stellen.

Een rechte r wordt gegeven door de cartesische vergelijkingen
[ x+y+z=6 , 2x+2y+z=11 ]
Een rechte s wordt gegeven door de cartesische vergelijkingen
[ x+y-4z=1 , x-z=2 ]
We berekenen het eventuele snijpunt op 2 manieren.

  1. We werken met de cartesische vergelijkingen

    Het eventuele snijpunt is oplossing van het stelsel :

     
      /  x +  y +  z = 6
      | 2x + 2y +  z = 11
      | x  +  y - 4z = 1
      \ x       -  z = 2
    
    We passen de theorie van de stelsels toe. De coefficientenmatrix is
     
      [1  1  1]
      [2  2  1]
      [1  1 -4]
      [1  0 -1]
    
    De rang van de matrix is 3. We kunnen de eerste drie vergelijkingen kiezen als hoofdvergelijkingen. De laatste vergelijking is de nevenvergelijking. Er is een snijpunt van de rechten als en slechts als het stelsel een oplossing heeft. Daartoe is nodig en voldoende dat de karakteristieke determinant van de nevenvergelijking nul is. De voorwaarde voor een oplossing is dus
     
      |1  1  1  6|
      |2  2  1 11|
      |1  1 -4  1| = 0
      |1  0 -1  2|
    
    De voorwaarde is vervuld! We laten de vierde vergelijking weg. We lossen het stelsel op bestaande uit de eerste drie vergelijkingen. We vinden als snijpunt S(3,2,1).

  2. We werken met de parametervergelijkingen.

    Om de parametervergelijkingen van elke rechte te vinden berekenen we eerst twee eenvoudige punten van elke rechte.

    Voor de rechte r : A(0,5,1) en B(5,0,1). We gebruiken A als steunvector. (5,-5,0) is een richtingsvector, maar dan is ook (1,-1,0) een richtingsvector. De parametervergelijkingen zijn

     
      x =     r
      y = 5 - r
      z = 1
    
    Voor de rechte s : C(2,-1,0) en D (0 -7 -2). We gebruiken C als steunvector. (2,6,2) is een richtingsvector maar dan is ook (1,3,1) een richtingsvector. De parametervergelijkingen zijn
     
      x =  2  +  r'
      y = -1 + 3 r'
      z =       r'
    
    We berekenen r en r' van het eventuele snijpunt.
     
      r = 2 + r'
      5 - r = -1 + 3r'
      1 = r'
    
    We vinden r' =1 en r = 3. Het snijpunt is S(3,2,1).

Voorbeeld 3

Gegeven :
De rechte AB met vergelijkingen [2x + 2m y + z = 3 , x + y + z = 1]
De rechte CD met vergelijkingen [3x - 2 y + z = m , x - y + z = 2]

Bereken m zodat de twee rechten snijden.

 
        De twee rechten snijden
<=>
    Het volgend stelsel heeft een oplossing voor x, y en z

    x +    y +  z = 1
    x -    y +  z = 2
    3x - 2 y +  z = m
    2x + 2m y + z = 3
De rang van de coefficientenmatrix is 3. Het stelsel heeft een oplossing voor x, y en z als en slechts als de karakteristieke determinant nul is.
Die voorwaarde is
 
  | 1   1   1  1 |
  | 1  -1   1  2 |
  | 3  -2   1  m |  = 0
  | 2  2 m  1  3 |

<=>  2m + 11 = 0

<=>  m = -11/2

Vlakken

Gelijke richtingen

Twee richtingen zijn gegeven door hun richtingsgetallen (v,v',v") en (w,w',w").
 
        De richtingen zijn hetzelfde
<=>
        er is een getal r zo dat (w,w',w") = r.(v,v',v")
<=>
        de dimensie van span{(v,v',v"), (w,w',w")} is 1
<=>
        de dimensie van de rijruimte van
                [v      v'      v"]
                [w      w'      w"]
        is 1.
<=>
        rang van de vorige matrix is  1
Besluiten:
 
        Twee richtingen (v,v',v") en (w,w',w") zijn hetzelfde
<=>
        De rang van
                [v      v'      v"]
                [w      w'      w"]
        is 1.

Twee richtingen (v,v',v") en (w,w',w") zijn verschillend <=> De rang van [v v' v"] [w w' w"] is 2.

Vergelijking van een vlak

Neem een vlak gedefinieerd door 3 punten A,B,C niet op 1 rechte.
We gevruiken A als een steunvector. De richting van het vlak is gedefinieerd door de vectoren AB en AC.
De vectoren AB en AC heten richtingsvectoren.
 
        punt P ligt in vlak ABC
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        AP = r.AB + s.AC
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        P - A = r(B - A) + s.(C - A)
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        P = A + r(B - A) + s.(C - A)

      
De laatste uitdrukking heet de vectoriele vergelijking van het vlak. De getallen r en s zijn parameters.
Neem nu een orthogonaal assenstelsel.
Alle punten en vectoren hebben unieke coordinaten.
P(x,y,z) ; A(a,a',a") ; B(b,b',b") ; C(c,c',c").
Vandaar dat,
 
         punt P ligt in  vlak ABC
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        co(P) = co(A) + r(co(B) - co(A)) + s.(co(C) - co(A))
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        / x = a  + r.(b  - a )+ s.(c  - a )             (1)
        | y = a' + r.(b' - a')  + s.(c' - a')           (2)
        \ z = a" + r.(b" - a")  + s.(c" - a")           (3)
Deze vergelijkingen heten parametervergelijkingen van het vlak ABC.

De parametervergelijkingen van een vlak door de punten A(a,a',a") ; B(b,b',b") ; C(c,c',c") zijn
 
        / x = a  + r.(b  - a )+ s.(c  - a )
        | y = a' + r.(b' - a')  + s.(c' - a')
        \ z = a" + r.(b" - a")  + s.(c" - a")

We krijgen de cartesische vergelijking van het vlak door r en s te elimineren. Dit kan aan de hand van volgende redenering.

 
         punt P ligt in  vlak ABC
<=>
        Er zijn reele getallen r en s zo dat
        r.(b  - a )  + s.(c  - a ) = x - a
        r.(b' - a')  + s.(c' - a') = y - a'
        r.(b" - a")  + s.(c" - a") = z - a"
<=>
        Het volgend stelsel heeft een  oplossing voor r en s
        r.(b  - a )  + s.(c  - a ) = x - a
        r.(b' - a')  + s.(c' - a') = y - a'
        r.(b" - a")  + s.(c" - a") = z - a"
Daar de richtingsvectoren AB en AC een verschillende richting aangeven is de rang van de coefficientenmatrix 2.
Het stelsel heeft een oplossing voor r en s als en slechts als de karakteristieke determinant nul is.
 
         punt P ligt in  vlak ABC
<=>
        | (b  - a )      (c  - a )     (x - a )|
        | (b' - a')      (c' - a')     (y - a')|  =  0
        | (b" - a")      (c" - a")     (z - a")|

        en met eigenschappen van determinanten vinden we
<=>
        | (x  - a )      (y  - a')     (z - a")|
        | (b  - a )      (b' - a')     (b"- a")|  =  0
        | (c  - a )      (c' - a')     (c"- a")|
Dit is de cartesische vergelijking van het vlak ABC.
In de eerste rij van de determinant komen de coordinaten van de steunvector voor.
De tweede en derde rij bevatten de coordinaten van de twee richtingsvectoren.
Uitwerking van de determinant geeft ons een vergelijking van de vorm
 
        u.x + v.y + w.z + t = 0       met u,v en w niet alle nul.
Elk vlak heeft een vergelijking van deze vorm.

De cartesische vergelijking van een vlak door de punten A(a,a',a") ; B(b,b',b") ; C(c,c',c") is
 
        | (x  - a )      (y  - a')     (z - a")|
        | (b  - a )      (b' - a')     (b"- a")|  =  0
        | (c  - a )      (c' - a')     (c"- a")|

  We krijgen een vergelijking van de vorm

        u.x + v.y + w.z + t = 0       met u,v en w niet alle nul.

Voorbeeld:

Neem een vlak door A(1,0,1) ; B(2,2,0) en C(3,1,4) .
We hebben richtingsgetallen (1,2,-1) en (2,1,3) corresponderend met de richtingsvectoren AB en AC.
De parametervergelijkingen van het vlak ABC zijn
 
        / x = 1 + r.1   + s.2
        | y = 0 + r.2   + s.1
        \ z = 1 + r.(-1)+ s.3
De cartesische vergelijking van het vlak ABC is
 
        |x-1    y       z-1 |
        | 1     2        -1 |  =  0  <=> 7x - 5y - 3z - 4 = 0
        | 2     1        3  |

Snijlijn van twee vlakken

Stel dat er twee vlakken gegeven zijn
7x - 5y - 3z - 4 = 0 en x - 2y + 3z - 2 = 0
Een punt P(x,y,z) ligt op de snijlijn als en slechts als x, y en z oplossingen zijn van het stelsel
 
/ 7x - 5y - 3z - 4 = 0
\  x - 2y + 3z - 2 = 0
We weten reeds dat de cartesische voorstelling van een rechte bestaat uit 2 vergelijkingen. Welnu dit zijn juist die twee vergelijkingen. Dus het bovenstaande stelsel is de analytische uitdrukking van de snijlijn.

Opm: Als 2 vlakken evenwijdig zijn dan correspondeert geen rechte met het stelsel vergelijkingen van die vlakken. Met de volgende stelsels correspondeert geen rechte

 
/ 7x - 5y - 3z - 4 = 0
\ 7x - 5y - 3z - 5 = 0
De vlakken hebben geen enkel punt gemeen.


/ x + 3y + 2z + 3= 0
\ 2x + 6y + 4z + 6 =0
De vlakken vallen samen.



Overgang van parametervergelijkingen van een vlak naar cartesische vergelijkingen van een rechte.
Twee vlakken worden gegeven door hun parametervergelijkingen
 
 x = r + s
 y =    3s
 z = 2r

en

 x = 1 + r + s
 y = 2 + r
 z = -3    + s
Bereken de cartesische vergelijkingen van de snijlijn

Oplossing:

We berekenen de cartesiche vergelijkingen van de twee gegeven vlakken.

 
   | x  y  z |
   | 1  0  2 | = 0  <=> 6x - 2y - 3z = 0
   | 1  3  0 |

   |x-1   y-2  z+3 |
   | 1     1    0  | = 0 <=>  x - y - z - 2 = 0
   | 1     0    1  |

   De cartesische vergelijkingen van de snijlijn zijn

   / 6x - 2y - 3z = 0
   \ x - y - z - 2 = 0

Vlakkenwaaier

Stel dat er twee vlakken gegeven zijn
7x - 5y - 3z - 4 = 0 en x - 2y + 3z - 2 = 0
Neem nu het vlak met vergelijking k.(7x - 5y - 3z - 4) + l.(x - 2y + 3z - 2) = 0
Hierin zijn k en l willekeurige parameters. Er geldt:
 
  P(a,b,c) ligt op de snijlijn van 7x - 5y - 3z - 4 = 0 en x - 2y + 3z - 2 = 0

=>   7a - 5b - 3c - 4 = 0  en  a - 2b + 3c - 2 = 0

=>  k.(7a - 5b - 3c - 4) + l.(a - 2b + 3c - 2) = 0

=>  P(a,b,c) ligt in het vlak  k.(7x - 5y - 3z - 4) + l.(x - 2y + 3z - 2) = 0
Dus elk punt van de snijlijn van 7x - 5y - 3z - 4 = 0 en x - 2y + 3z - 2 = 0 ligt in het vlak k.(7x - 5y - 3z - 4) + l.(x - 2y + 3z - 2) = 0.

Het vlak

 
    k.(7x - 5y - 3z - 4) + l.(x - 2y + 3z - 2) = 0

     is een variabel vlak door de snijlijn van

    7x - 5y - 3z - 4 = 0 en x - 2y + 3z - 2 = 0
Als k en l varieren wentelt het vlak om die vaste snijlijn. Men speekt van een vlakkenwaaier. De parameters k en l zijn homogene parameters.

Stelt men l/k gelijk aan t, dan wordt de vergelijking van de waaier

 
   (7x - 5y - 3z - 4) + t.(x - 2y + 3z - 2) = 0.
t is een niet homogene parameter.

Men kan dit ook algemeen formuleren :

 
  Het vlak

  k.(ux + vy + wz + q ) + l.(u'x + v'y + w'z + q') = 0

 is het variabel vlak door de rechte met vergelijkingen

  / ux + vy + wz + q = 0
  \ u'x + v'y + w'z + q'= 0

 k en l zijn homogene parameters.

 Het variabel vlak kan ook geschreven worden met behulp
 van een niet homogene parameter t

  (ux + vy + wz + q ) + t(u'x + v'y + w'z + q') = 0

Voorbeeld 1:
De rechte d gaat door D(1,2,3) en heeft richting (3,2,1). Bereken het vlak door d en door punt F(0,4,0).

 
De rechte d heeft vergelijkingen
   x -1     y - 2      z - 3
  ------ = ------- = --------
    3        2          1
<=>
   x - 3 z + 8 = 0 en y - 2 z + 4 = 0
Het variabel vlak door die rechte is (x - 3 z + 8)+ t(y - 2 z + 4) = 0
Punt F ligt in het vlak als en slechts als 8 + t(4+4) = 0 <=> t = -1
Het gevraagde vlak is x - y - z + 4 = 0.

Voorbeeld 2:
Gegeven zijn de rechten p, q en l
 
  p   [ x + y - z + 1 = 0 ; 2x - y + z + 3 = 0]

  q   [ 2x + y - 1 = 0 ; x + y - z - 1 = 0 ]

  l   [ x + y + z = 0 ; 2x - y + 3z = 0 ]
Bereken de vergelijkingen van de veranderlijke rechte m welke steunt op p, q en l.

Werkwijze :

Neem een verandelijk punt L van rechte l. De gevraagde rechte m is de snijlijn van de vlakken (L,p) en (L,q).

 
     
Uitwerking:
  1. De rechte l gaat door O(0,0,0) en door (-4,1,3).
    Die rechte heeft dus richting (-4,1,3).
    Een variabel punt van die rechte l is L(-4r, r, 3r).

  2. We berekenen nu vlak (L,p)
     
       Een variabel vlak door rechte p is
    
       (x + y - z + 1) + t(2x - y + z + 3) = 0
    
       L ligt in dit vlak als en slechts als
    
       (-4r + r - 3r + 1) + t (-8r - r + 3r + 3) = 0
    <=>
        t = (6r-1)/(-6r+3)
    
       Het vlak (L,p) is
    
       (-6r+3)(x + y - z + 1) + (6r-1)(2x - y + z + 3) = 0
    
  3. We berekenen nu vlak (L,q)
     
       Een variabel vlak door rechte q is
    
       (x + y - z - 1) + t ( 2x + y - 1) = 0
    
       L ligt in dit vlak als en slechts als
    
       (-4r + r - 3r - 1) + t (-8r + r - 1) = 0
    <=>
        t = (6r+1)/(-7r-1)
    
       Het vlak (L,q) is
    
       (-7r-1)(x + y - z - 1) + (6r+1) ( 2x + y - 1) = 0
    
  4. De gevraagde veranderlijke rechte is
     
        / (-6r+3)(x + y - z + 1) + (6r-1)(2x - y + z + 3) = 0
        \ (-7r-1)(x + y - z - 1) + (6r+1) ( 2x + y - 1) = 0
    
Voor elke waarde van de parameter r krijgen we een rechte welke steunt op p, q en r.

Scalair product

Daar twee vectoren A en B altijd in een vlak liggen zijn de fundamentele eigenschappen van het scalair product van twee vectoren in een vlak ook geldig in de ruimte.
Voor degenen die niet bekend zijn met deze eigenschappen is er: Vectoren in een vlak

Scalair product en orthonormale basis.

Neem een orthogonaal assenstelsel in ruimte.
Noem de drie assen x,y,z. Noem de oorsprong O.
Neem i, j, k als eenheidsvectoren langs de positieve assen x,y,z.
Dan is i.i = j.j = k.k = 1 en i.k = k.j = j.i = 0 ,
We zeggen dat de drie vectoren een orthonormale basis vormen in de ruimte.
Ten opzichte van deze basis is elke vector A juist op 1 manier te schrijven als a.i + a'.j + a".k.
De getallen (a,a',a") zijn de unieke coordinaten van A.
Neem twee vectoren A = a.i + a'.j + a".k en B =b.i + b'.j + b".k .
 
Dan,    A.B =(a.i + a'.j + a".k).(b.i + b'.j + b".k)
                krachtens de  distributiviteit, krijgen we
        A.B = a.b + a'.b' + a".b"
                Alle andere termen verdwijnen want
                i.i = j.j = k.k = 1 en i.k = k.j = j.i = 0
 
    Ten opzichte van een orthonormale basis geldt:

    Het scalair product van de vectoren
    A(a,a',a") en B(b,b',b") is a.b + a'.b' + a".b"

    We schrijven
     A.B = a.b + a'.b' + a".b"

Voorbeeld

Neem 2 vectoren A(3,2,5) en B(1,0,4).
Het scalair product is dan 3 + 0 + 20 = 23.

Norm van een vector A

Zoals in een vlak definieren we ,
 

        (De norm van vector A)2  = A.A
We schrijven deze norm als ||A||. en als A de coordinaten (a,a',a") heeft, dan is A.A = a.a + a'.a' + a".a"
Dus,
 

                ||A||  = sqrt(a2 + a'2 + a"2 )
Voorbeeld

De norm van de vector A(2,-1,4) is sqrt(4+1+16) = sqrt(21).

Afstand tussen A en B

Met A(a,a',a") correspondeert een vector A(a,a',a").
Met B(b,b',b") correspondeert een vector B(b,b',b").
De afstand van punt A naar punt B = de norm van vector AB.
Nu heeft AB coordinaten (b - a,b' - a',b" - a")
 

Dus |AB| = sqrt((b - a)2  + (b' - a')2  + (b" - a")2 )

Hoek tussen twee rechten in de ruimte

Formule

De hoek t tussen twee rechten is de scherpe hoek tussen twee richtingsvectoren van de de rechten.
Neem rechte a met richtingsvector A(a,a',a") en rechte b met richting vector B(b,b',b").
 
        A.B = ||A||.||B||.cos(t)
<=>
                     A.B
        cos(t) = --------------
                  ||A||.||B||
Voorbeeld:
Neem A(1,2,3) ; B(4,5,6) ; C(3,2,0)
Bereken de hoek tussen de rechten AB en AC.

De rechte AB heeft richtingsgetallen (3,3,3) en rechte AC heeft richtingsgetallen (2,0,-3).

 
                    6 + 0 - 9
        cos(t) = -----------------
                 sqrt(27) .sqrt(13)

        Als scherpe hoek vinden we 80.78 graden.

Orthogonale vectoren

Twee vectoren heten orthogonaal als en slechts als hun scalair product nul is.

Voorbeeld:
v(1,4,-1) en w(5,-1,1) zijn orthogonale vectoren

Orthogonale rechten

Twee rechten zijn orthogonaal als en slechts als hun richtingsvectoren orthogonaal zijn

Voorbeeld:
Onderzoek woor voor welke waarde van m de volgende rechten orthogonaal zijn.
 
 / x = 2 + (2m-1)r
 | y = 3 + m r
 \ z = 2 + r

 / x = 2 - r
 | y = 3 + m r
 \ z = 6

De richtingsvectoren zijn resp. ( 2m-1 , m , 1 ) en ( -1 , m , 0)

De rechten zijn orthogonaal als en slechts als -2m + 1 + m2 = 0 <=> m = 1

Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten en scalair product

De rechten b en c zijn kruisend. De rechte d welke b en c snijdt en welke loodrecht staat op b en op c heet de gemeenschappelijke loodlijn van b en c.

Voorbeeld:

Een rechte b gaat door punt B(1,2,1) en heeft richtingsvector v(3,2,1).
Een rechte c gaat door punt C(-2,2,-1) en heeft richtingsvector w(1,-1,2).
De rechten b en c zijn kruisend. We berekenen de gemeenschappelijke loodlijn d van b en c.

We nemen op b een veranderlijk punt P(1 + 3r, 2 + 2r, 1+ r).
We nemen op c een veranderlijk punt Q(-2 + s, 2 - s, -1 + 2s).
Dan is de vector PQ = PQ(-3 + s -3r, -s -2r, -2 + 2s -r)

 
     
De vector PQ moet nu loodrecht op v en w staan. De voorwaarden hiertoe zijn:
 
  PQ . v = 0  <=> ... <=> -14 r + 3 s = 11
  PQ . w = 0  <=> ... <=> - 3 r + 6 s = 7
We berekenen hieruit r en s en we vinden r = -3/5 en s = 13/15.
Zo vinden we nu P(-4/5, 4/5, 2/5) en Q(-17/15, 17/15, 11/15).
De rechte PQ is de gevraagde gemeenschappelijke loodlijn. Ze heeft richting (-1, 1 1).
De parametervergelijkingen van PQ zijn:
 
  x = -4/5 - r
  y = 4/5 + r
  z = 2/5 + r

Rechten, Vlakken orthogonaliteit en evenwijdigheid

Vlakken en evenwijdigheid

Een vlak ABC heeft vergelijking ux + vy + wz = 0. Dit vlak gaat door de oorsprong O(0,0,0).
Een tweede vlak DEF heeft vergelijking ux + vy + wz + t = 0 met t niet nul. De gemene punten van deze vlakken zijn de oplossingen van de stelsel
 
        |  ux + vy + wz = 0
        |  ux + vy + wz + t = 0
Men ziet aan de vorm van dit stelsel dat er geen oplossingen zijn voor t verschillend van nul. De vlakken zijn parallel.
Besluit :
De vlakken met vergelijkingen ux + vy + wz + t = 0 en ux + vy + wz + t' = 0 zijn parallel omdat ze beide evenwijdig zijn met het vlak ux + vy + wz = 0.

Vectorieel product

Definitie

Het vectorieel product a × b van twee vectoren a en b wordt gedefinieerd als een vector welke voldoet aan de volgende 3 regels:
  1. De vector a × b is orthogonaal met a en met b
  2. a, b en a × b vormen een rechtshandig assenstelsel
  3. ||a × b|| = ||a||.||b|| sin(theta), waarin theta de hoek tussen a en b is.

Praktische berekening van het vectorieel product.

Stel dat de vectoren a(x,y,z) en b(x',y',z') gegeven zijn door hun coordinaten ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel. Men kan aantonen dat de coordinaten van a × b gegeven zijn door de cofactoren van c1, c2 en c3 in de determinant
 
| c1     c2    c3 |
|  x     y     z |
|  x'    y'    z'|
Deze cofactoren zijn
 
  (y z' - y' z)
 -(x z' - x' z)
  (x y' - x' y)
Voorbeeld

Het vectorieel product van a(1,3,2) en b(-1,2,4) is de vector met als coordinaten de cofactoren van * in de determinant

 
|   *    *     * |
|   1    3     2 |
|  -1    2     4 |
We vinden (8,-6,5). De vector c(8,-6,5) is orthogonaal met a en b.

Verschillende benamingen voor vectorieel product.

Er zijn verschillende benamingen gangbaar voor vectorieel product:

kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct

Theoretische achtergrond

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Kruisproduct

De gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten en vectorieel product

Een rechte b gaat door punt B(1,2,1) en heeft richtingsvector v(3,2,1).
Een rechte c gaat door punt C(-2,2,-1) en heeft richtingsvector w(1,-1,2).
De rechten b en c zijn kruisend. We berekenen de gemeenschappelijke loodlijn d van b en c.

Het vectorieel product van v en w geeft ons een richting die loodrecht staat op de richtingen van beide rechten.
v × w = u(5,-5,-5). Dus de richting (-1,1,1) is de richting van de gemeenschappelijke loodlijn.

 
    
Het vlak beta door b en met richting (-1,1,1) is
 
   | x - 1  y - 2  z - 1 |
   |   3      2      1   | = 0
   |  -1      1      1   |

<=> x - 4 y + 5 z + 2 = 0
Het vlak gamma door c en met richting (-1,1,1) is
 
   | x + 2  y - 2  z - 1 |
   |   1     -1      2   | = 0
   |  -1      1      1   |

<=>  x + y = 0
De gevraagde gemeenschappelijke loodlijn d is de snijlijn van deze vlakken en heeft als vergelijkingen :
 
   / x - 4 y + 5 z + 2 = 0
   \ x + y = 0

Normaalvector van een vlak

Een vlak ABC heeft vergelijking ux + vy + wz + t = 0.
Het vlak met vergelijking ux + vy + wz = 0 is parallel met het vlak ABC en gaat door de oorsprong.
Voor elk punt P(a,a',a") hebben we
 
        P(a,a',a") ligt in  het vlak ux + vy + wz = 0
<=>
                u.a + v.a'+ w.a"= 0
<=>
        De vectoren P(a,a',a") en N(u,v,w) zijn orthogonaal
Dus, de vector N(u,v,w) is orthogonaal met alle vectoren P in vlak ux + vy + wz = 0. De richting van N is orthogonaal met het vlak en ook met alle evenwijdige vlakken. N heet een normaalvector van al die vlakken. Besluit:
 
        De richting van de vector N(u,v,w) is orthogonaal
                met het vlak ux + vy + wz + t = 0
        Deze vector heet een normaalvector van dat vlak.

Bemerk:

Voorbeeld 1:

Het vlak 3x + 2y + z -12 = 0 heeft een normaalvector (3, 2, 1) en ook (-6, -4, -2).

Voorbeeld 2:

Gegeven is punt P(1,2,3) en een vector v(4,5,6).
Het vlak door P en met normaalvector v is

 
   4 (x-1) + 5 (y-2) + 6 (z-3) = 0
<=>
   4 x + 5 y + 6 z - 32 = 0

Evenwijdige vlakken

Twee vlakken zijn evenwijdig als en slechts als hun normaalvectoren dezelfde richting hebben.

Voorbeeld 1:
m en m zijn verschillende reele parameters verschillend van nul.
Bereken de voorwaarde waaraan n en m moeten voldoen opdat de volgende vlakken evenwijdig zouden zijn.
 
  m x + m y + n z = 1     (1)

  n x + n y + m z = 1     (2)

a(m, m, n) is een normaalvector van vlak (1)
b(n, n, m) is een normaalvector van vlak (2)

 
  De vlakken zijn evenwijdig
<=>
  a en b hebben dezelfde richting
<=>
  De volgende matrix heeft rang 1

   [ m  m  n ]
   [ n  n  m ]
<=>
   / m n - n m = 0
   \ m2 - n2 = 0
<=>
    m2 - n2 = 0

         en daar m en n verschillend zijn
<=>
    m + n = 0
Besluit : De gegeven vlakken zijn evenwijdig als en slechts als m+ n = 0.

Voorbeeld 2
Voor welke waarden van m stelt het volgend stelsel geen rechte voor
 
    / x - my = 2-m
    \ 3x - mz = 6 - 3m

 
     Het gegeven stelsel stelt geen rechte voor
<=>
     De vlakken x - my = 2-m en 3x - mz = 6 - 3m zijn evenwijdig
<=>
     De normaalvectoren van de twee vlakken hebben dezelfde richting
<=>
     De volgende matrix heeft rang 1

   [ 1  -m   0 ]
   [ 3   0  -m ]
<=>
    3m = 0  en m2 = 0
<=>
    m = 0

Loodlijn op een vlak

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een richtingsvector van de rechte een normaalvector van dat vlak is.
Voorbeeld:
Neem A(2,2,3) ; B(4,0,1) en het vlak x - y - z + 4 = 0. De richtingsgetallen (2,-2,-2) van de rechte AB zijn ook de coordinaten van een normaalvector van het vlak.
De rechte AB is een loodlijn op dat vlak.

Orthogonale vlakken

Twee vlakken zijn orthogonaal als en slechts als een normaalvector van het ene vlak orthogonaal is met een normaalvector van het ander vlak.
Voorbeeld:
De vlakken x - y - z + 4 = 0 en 2x - y + 3z - 2 = 0 zijn orthogonaal.

Eigenschap:
Als twee vlakken orthogonaal zijn dan is een normaalvector van het ene vlak een richtingsvector van het andere vlak

Hoek tussen twee vlakken

De scherpe hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de scherpe hoek tussen de normaalvectoren van de vlakken.

Voorbeeld:
Bereken de hoek tussen het vlak x + y + z = 4 en het vlak x + 2y +3z = 5

n(1,1,1) is een normaalvector van het eerste vlak.
m(1,2,3) is een normaalvector van het tweede vlak.
cos(m,n) = (m.n)/(||m||.||n||) = 0.925
De scherpe hoek tussen m en n is 22.2 graden.
De hoek tussen de twee vlakken is 22.2 graden.

Hoek tussen een rechte en een vlak

De scherpe hoek tussen een rechte en een vlak is bepaald door de hoek tussen de richtingsvector van de rechte en de normaalvector van het vlak.

Voorbeeld:
Bereken de hoek tussen
het vlak x + y +z = 4 en
de rechte [x = 1 + r ; y = 1+ 2r ; z = 1 + 3r].

n(1,1,1) is een normaalvector van het vlak.
m(1,2,3) is een richtingsvector van de rechte.
cos(m,n) = (m.n)/(||m||.||n||) = 0.925
De scherpe hoek tussen m en n is 22.2 graden.
De scherpe hoek tussen de rechte en het vlak is 67.8 graden.

Richtingsvector van een rechte

We weten dat de richtingsvector van een rechte kan bepaald worden met behulp van twee punten van die rechte. Er is echter een tweede eenvoudige methode.
Voorbeeld 1:

De rechte r heeft vergelijkingen

 
      3x -2 y + 7z - 4 = 0
      2x - 5y + 3z - 5 = 0
De rechte is eigenlijk de snijlijn van 2 vlakken [3x -2 y + 7z - 4 = 0, 2x - 5y + 3z - 5 = 0]
De richting van die snijlijn is de richting loodrecht op beide normaalvectoren van die vlakken. Het is de richting van het vectorieel product van die normaalvectoren. In dit voorbeeld is de richting van de rechte r de richting van het vectorieel product van de vectoren (3,-2,7) en (2,-5,3). Die richting (29,5,-11) is de richting van de gegeven rechte.

Algemene formulering
 
De richtingsvector van de rechte

   / u x + v y + w z + t = 0
   \ u'x + v'y + w'z + t'= 0

is de richting van het vectorieel product van de vectoren

     (u , v, w) en ((u', v', w')

Voorbeeld 1
De rechte m heeft vergelijkingen [2x + ry + 1 = 0 ; x + 3z + 1 = 0]
De rechte n heeft vergelijkingen [x + y + rz + 3 = 0 ; x - 2y + r = 0]
Bereken voor welke waarden van r de rechten orthogonaal zijn.

Een richtingsvector van m vinden we door het vectorieel product te vormen van de vectoren (2,r,0) en (1,0,3). We vinden (3r, 6, -r).

Een richtingsvector van n vinden we door het vectorieel product te vormen van de vectoren (1,1,r) en (1,-2,0). We vinden (2r, r, -3).

De twee rechten m en n zijn orthogonaal als en slechts als het scalair product van hun richtingsvectoren nul is. Die voorwaarde is

 
     6r2 + 6r + 3r = 0
<=>
     6r2 + 9r = 0
<=>
     3r(2r+3) = 0
<=>
     r = 0 of r = -3/2
Voorbeeld 2
De rechte m heeft vergelijkingen [x - r y = 2 - r ; 3x - r z = 6 - 3r]
De rechte n heeft vergelijkingen [x + 2z = 1 ; y - (r-1)z = 0 ]
Hierin is r een parameter verschillend van 0.
Bereken voor welke waarden van r de rechten evenwijdig zijn.

Een richtingsvector van m vinden we door het vectorieel product te vormen van de vectoren (1, -r, 0) en (3, 0, -r). We vinden (r2, r, 3r) of ook (r, 1, 3)

Een richtingsvector van n vinden we door het vectorieel product te vormen van de vectoren (1, 0, 2) en (0, 1, 1-r). We vinden (-2, r-1, 1).

 
     m en n zijn evenwijdig
<=>
     m en n hebben dezelfde richting
<=>
     De volgende matrix heeft rang 1

     [ r     1    3]
     [ -2   r-1   1]
<=>
      / r+6 = 0
      \ 1-3(r-1) = 0
Het laatste stelsel heeft geen oplossing.
De rechten m en n zijn nooit evenwijdig.

Afstand van een punt tot een vlak

Normaalvergelijking van een vlak

Zij lx + my + nz + t = 0 de vergelijking van een vlak.
De getallen (l,m,n) zijn richtingsgetallen van een normaalvector van dat vlak.
Als l.l + m.m + n.n = 1, dan is die normaalvector een eenheidsvector.
In dat geval zeggen we dat lx + my + nz + t = 0 een normaalvergelijking van het vlak is.

Voorbeeld: 0.5x -0.5y +(1/sqrt(2))z + 5 = 0 is een normaalvergelijking van een vlak.

Transformeren van een vergelijking naar een normaalvergelijking

Zij ux + vy + wz = 0 een vergelijking van een vlak ABC. Dan is r(ux + vy + wz) = 0 ook een vergelijking van dat vlak. We berekenen de gepaste r-waarde zodat r(ux + vy + wz) = 0 is een normaalvergelijking van dat vlak wordt. De voorwaarde is :
 

        r2 (u2  + v2  + w2 ) = 1


<=>     r =+1/sqrt(u2  + v2  + w2 )  of  r =-1/sqrt(u2  + v2  + w2 )
Gewoonlijk kiezen we hier het plus teken.
Voorbeeld :
 
Neem het vlak x + 2y + 2z - 1 = 0 .
         1
        ---(x + 2y + 2z - 1) = 0  is een normaalvergelijking van dat vlak.
         3

Afstand van punt naar vlak

Neem een willekeurig punt P(a,a',a") en een vlak met normaalvergelijking lx + my + nz + t = 0 . Men kan aantonen dat de afstand van P naar het vlak gelijk is aan
 
        | l.a + m.a' + n.a" + t |
Voorbeeld 1:
De afstand van het punt p(1,2,3) naar het vlak x + 2y + 2z - 1 = 0 is
 
          1
        |---(1.1 + 2.2 + 2.3 - 1) | = 10/3
          3
Voorbeeld 2:
The hoekpunten van het grondvlak van een piramide zijn A(0,0,0) ; B(1,2,3) ; C(3,4,4).
De top T heeft coordinaten (2,5,8).
Bereken de inhoud van de piramide.

 
  We berekenen eerst de oppervlakte van driehoek ABC met de formule van Heron.
        c = |AB| = sqrt(14)
        b = |AC| = sqrt(41)
        a = |BC| = 3
  De halve omtrek van de driehoek is s = = 6.57

  De oppervlakte is dan sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))= 3.354

  De hoogte van de piramide is de afstand van T tot vlak ABC
  De vergelijking van vlak ABC is  4x - 5y + 2z = 0
  De afstand van T tot dit vlak is

       | 4 . 2 - 5 . 5 + 2 . 8|
      -------------------------- = 1/sqrt(45)
           sqrt(45)

  Het volume van de piramide is dan 0.1666

Bissectorvlakken

De meetkundige plaats van alle punten evenver van twee snijdende vlakken vormen twee nieuwe vlakken. Het zijn de bissectorvlakken van de gegeven snijdende vlakken.

Voorbeeld:

We vertrekken van twee vlakken 2 x - y + 2 z + 5 = 0 en x - 2 y - 2 z - 3 = 0.

 
   P(x,y,z) ligt evenver van de gegeven vlakken

<=>
    2 x - y + 2 z + 5         x - 2 y - 2 z - 3
  | ----------------- | =  | ------------------- |
    sqrt(4 + 1 + 4)            sqrt(1 + 4 + 4)

<=>

  | 2 x - y + 2 z + 5 | = |  x - 2 y - 2 z - 3 |

<=>

   2 x - y + 2 z + 5 = ± (x - 2 y - 2 z - 3)

<=>
   x + y + 4 z + 8 = 0  of 3 x - 3 y + 2 = 0

Vlakkenwaaier en de afstand van een punt tot een vlak

De rechte d heeft vergelijkingen
 
  x + y + z -3 = 0
 2x - y + z -1 = 0
Bereken de vlakken door de rechte d zodat de afstand van P(2,1,1) tot die vlakken gelijk is aan 1.

Alle vlakken door de rechte d vormen een vlakkenwaaier. Een veranderlijk vlak uit die waaier heeft vergelijking

 
    (x + y + z -3) + t(2x - y + z -1) = 0
<=>
   (1 + 2t)x + (1 - t)y + (1 + t)z -3 -t = 0

t is parameter. We zoeken de waarden van t zodat de afstand van P(2,1,1) tot dit vlak 1 is. De voorwaarde is :
 
   (1 + 2t).2 + (1 - t) + (1 + t) -3 - t
  --------------------------------------------- = 1
  sqrt( (1 + 2t)2 + (1 - t)2 + (1 + t)2 )

We vinden twee waarden : t1 = 0.55 en t2 = -1.22

De gevraagde vlakken zijn :

 
  (x + y + z -3) + 0.55 (2x - y + z -1) = 0
en
  (x + y + z -3) - 1.22 (2x - y + z -1) = 0

Afstand van punt tot rechte

Bereken de afstand van het punt P(1,1,1) naar de rechte met parametervergelijkingen
 
   x = 2 + r
   y = 3 + 2r
   z = 1 + r

Maak een schets van de gegevens.

Eerste methode

Tweede methode

Derde methode

Aftand tussen twee rechten

Een methode:
We berekenen de afstand van een punt van de eerste rechte tot het vlak door de tweede rechte evenwijdig aan de eerste.
 
       
Voorbeeld:

De rechte a heeft vergelijkingen [ x - y - 1 = 0 ; x + y - z = 0 ]
De rechte b heeft parametervergelijkingen [ x = t ; y = t - 2 ; z = t ]

Om de richting van a te vinden nemen we twee eenvoudige punten van a.
A1(1,0,1) en A2(0, -1,-1). De richting van a is (1,1,2).

Het vlak door b evenwijdig met a heeft vergelijking

 
  | x  y+2  z |
  | 1   1   1 | = 0
  | 1   1   2 |

<=>  x - y - 2 = 0
Nu berekenen we de afstand van A1 tot dit vlak.
 
      1 - 0 - 2           1
  | -------------- | = ------
    sqrt(1 + 1 + 0)    sqrt(2)
1/sqrt(2) is de afstand tussen de rechten a en b.

Projectie van een vector op een vlak en matrix van die projectie

De loodrechte projectie P van een vector V op een vlak door O is verschil tussen die vector V en zijn loodrechte projectie P' op een normaalvector N van dat vlak.
 

Met andere woorden: V = P + P'
We weten, uit de theorie van de vectoren, dat de orthogonale projectie P' van V op N gelijk is aan (V.N)N/N2.
Van zodra P' berekend is, kunnen we P vinden door P = V - P'.

Voorbeeld:

Ten opzichte van een orthonormale basis is gegeven V(3,5,2) en het vlak met vergelijking x + y -2 z = 0.
We berekenen de loodrechte projectie van V op het gegeven vlak.

 
   N(1,1,-2) is een normaalvector op het vlak.

   De projectie P' van  V op N is 4 N /6 = 2 N /3

   P'(2/3, 2/3, -4/3)

   De projectie P van V op het vlak is

   V(3,5,2) - P'((2/3, 2/3, -4/3) = P(7/3, 13/3, 10/3)

De loodrechte projectie van vectoren op een vast vlak door O is een lineaire transformatie van de gewone ruimte. Met die projectie correspondeert een matrix Ao en met die matrix kunnen we snel en eenvoudig de projectie van een willekeurige vector berekenen.

Maar het opstellen van die matrix is echter niet eenvoudig. We gaan stapsgewijs te werk en steunen op de kennis van vectorruimten, verandering van basis en de invloed daarvan op de matrix van een lineaire transformatie.

We starten met het kiezen van 3 nieuwe basisvectoren. Als basisvectoren kiezen we twee onafhankelijke vectoren in het gegeven vlak en als derde vector kiezen we een normaalvector van het vlak. Als nieuwe basis kiezen we bijvoorbeeld:
( A(1,-1,0) ; B(2,0,1) ; N(1,1,-2) )

Ten opzichte van die nieuwe basis hebben alle vectoren nieuwe coordinaten. Uit de theorie van de vectorruimten weten we dat deze nieuwe coordinaten verbonden zijn met de oude door een transformatiematrix C. De kolommen van C zijn de coordinaten van de nieuwe basisvectoren, ten opzichte van de oorspronkelijke (oude) basis. In ons voorbeeld is

 
      [ 1  2  1]
  C = [-1  0  1]
      [ 0  1 -2]
Ten opzichte van die nieuwe basis heeft de lineaire transformatie, de projectie, een eenvoudige matrix. De kolommen van die matrix zijn de nieuwe coordinaten van de geprojecteerde nieuwe basisvectoren.
 
   nieuwe basisvector    nieuwe coordinaten van de projecteerde basisvector
   -------------------    ----------------------------------------------
          A                       (1,0,0)
          B                       (0,1,0)
          N                       (0,0,0)

De matrix van de projectie ten opzichte van de nieuwe basis is dus

        [1 0 0]
 An =   [0 1 0]
        [0 0 0]

Tussen de oude en nieuwe matrix van de projectie bestaat het verband

     An = C-1 Ao C
<=>
     Ao = C An C-1

Hiermee berekenen we nu de matrix Ao van de projectie ten opzichte
van de natuurlijke basis. Men vindt :

               [ 5 -1  2]
  Ao = (1/6)   [-1  5  2]
               [ 2  2  2]
Eenmaal dit resultaat gevonden is, is het nu zeer gemakkelijk de projectie van een willekeurige vector te vinden.
Als voorbeeld hernemen we de vector V(3,5,2) van hierboven. Het projectie is :
 
        [ 5 -1  2] [3]   [ 7/3]
  (1/6) [-1  5  2] [5] = [13/3]
        [ 2  2  2] [2]   [10/3]
En we vinden zonder moeite hetzelfde resultaat als hierboven. Je kan nu verder die matrix gebruiken om de projectie van een willekeurige vector te bepalen.

Spiegeling van een vector ten opzichte van een vlak en matrix van die spiegeling

De orthogonale spiegeling V ' van een vector V ten opzichte van een vlak door O is verbonden met de loodrechte projectie P van V op het vlak door de volgende uitdrukking .
V + V ' = 2P
Om het spiegelbeeld V ' te berekenen is het voldoende P te kennen (zie vorige paragraaf).

Voorbeeld:

Ten opzichte van een orthonormale basis is gegeven V(3,5,2) en het vlak met vergelijking x + y -2 z = 0.
We berekenen het spiegelbeeld V ' van V ten opzichte van het gegeven vlak.

In vorige paragraaf hebben we gevonden dat de projectie van V op het vlak gelijk is aan P(7/3, 13/3, 10/3).

 
  V' = 2 P - V

  2 (7/3, 13/3, 10/3) - (3, 5, 2) = (5/3, 11/3, 14/3)

  V' = V'(5/3, 11/3, 14/3)
De loodrechte spiegeling van vectoren ten opzichte van een vast vlak door O is een lineaire transformatie van de gewone ruimte. Met die spiegeling correspondeert een matrix Ao en met die matrix kunnen we snel en eenvoudig de spiegeling van een willekeurige vector berekenen.

Maar het opstellen van die matrix is echter niet eenvoudig. We gaan stapsgewijs te werk en steunen op de kennis van vectorruimten, verandering van basis en de invloed daarvan op de matrix van een lineaire transformatie.

We starten met het kiezen van 3 nieuwe basisvectoren. Als basisvectoren kiezen we twee onafhankelijke vectoren in het gegeven vlak en als derde vector kiezen we een normaalvector van het vlak. Als nieuwe basis kiezen we bijvoorbeeld:
( A(1,-1,0) ; B(2,0,1) ; N(1,1,2) )

Ten opzichte van die nieuwe basis hebben alle vectoren nieuwe coordinaten. Uit de theorie van de vectorruimten weten we dat deze nieuwe coordinaten verbonden zijn met de oude door een transformatiematrix C. De kolommen van C zijn de coordinaten van de nieuwe basisvectoren, ten opzichte van de oorspronkelijke (oude) basis. In ons voorbeeld is

 
      [ 1  2  1]
  C = [-1  0  1]
      [ 0  1 -2]
Ten opzichte van die nieuwe basis heeft de lineaire transformatie, de spiegeling, een eenvoudige matrix. De kolommen van die matrix zijn de nieuwe coordinaten van de spiegelde nieuwe basisvectoren.
 
   nieuwe basisvector   nieuwe coordinaten van de gespiegelde basisvector
   -------------------    --------------------------------------------------
          A                       (1,0, 0)
          B                       (0,1, 0)
          N                       (0,0,-1)

De matrix van de spiegeling ten opzichte van de nieuwe basis is dus

        [1 0  0]
 An =   [0 1  0]
        [0 0 -1]

Tussen de oude en nieuwe matrix van de spiegeling bestaat het verband

     An = C-1 Ao C
<=>
     Ao = C An C-1

Hiermee berekenen we nu de matrix Ao van de spiegeling ten opzichte
van de natuurlijke basis. Men vindt :

                [ 2   -1  2  ]
     Ao = (1/3) [ -1  2   2  ]
                [ 2   2   -1 ]
Eenmaal dit resultaat gevonden is, is het nu zeer gemakkelijk de spiegeling van een willekeurige vector te vinden.
Als voorbeeld hernemen we de vector V(3,5,2) van hierboven. De spiegeling is :
 
            [ 2   -1  2  ] [3]   [ 5/3]
      (1/3) [ -1  2   2  ] [5] = [11/3]
            [ 2   2   -1 ] [2]   [14/3]
En we vinden zonder moeite hetzelfde resultaat als hierboven. Je kan nu verder die matrix gebruiken om de spiegeling van een willekeurige vector te bepalen.

Oefeningen omtrent Rechten - Vlakken - Vergelijkingen - Afstanden - Hoeken

Via deze link vind je opgeloste oefeningen over Rechten - Vlakken - Vergelijkingen - Afstanden - Hoeken

 




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.