Herleiding van de algemene vergelijking van een kegelsnede en indeling




Doel

In dit hoofdstuk werken we met een orthonormaal assenstel. We tonen aan hoe we de algemene vergelijking kunnen herleiden door middel van een translatie en een rotatie. Verder veronderstellen we dat de kegelsnede niet ontaard is.

Herleiding in het geval van delta niet 0

We starten met de algemene vergelijking van een kegelsnede.
 
        F(x,y,1) =

        a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x + 2 b y + a" = 0

De translatie

We starten met een translatie naar het punt (xo,yo). De transformatieformules zijn
 
        x = x' + xo
        y = y' + yo
In het nieuw assenstel wordt de vergelijking
 

        a (x' + xo)2  + 2 b" (x' + xo) (y' + yo) + a' (y' + yo)2

          + 2 b' (x' + xo) + 2 b (y' + yo) + a" = 0

<=>
        a x'2  + 2 b" x' y' + a' y'2 + 2(a xo + b" yo + b')x'

           + 2( b" xo + a' yo + b)y'

           + a xo2 + 2 b" xo yo + a' yo2  + 2 b' xo + 2 b yo + a" = 0
Om dit te vereenvoudigen kiezen we xo en yo zo dat
 
        /  a xo + b" yo + b' = 0
        \  b" xo + a' yo + b = 0

<=>
        xo en yo zijn de oplossingen van het stelsel

        / Fx' (x,y,z) = 0
        \ Fy' (x,y,z) = 0
Daar delta niet nul is, heeft dit stelsel altijd een unieke oplossing.

Met deze speciale waarden van xo en yo, wordt de vergelijking van de kegelsnede

 
        a x'2  + 2 b" x' y' + a' y'2 +
           + a xo  + 2 b" xo yo + a' yo  + 2 b' xo + 2 b yo + a" = 0

<=>
        a x'2  + 2 b" x' y' + a' y'2 + F(xo,yo,1) = 0

De rotatie

Onderstel nu dat de translatie afgewerkt is en dat de vergelijking van de kegelsnede nu van de vorm is:
 
        a x2  + 2 b" x y + a' y2 + a" = 0
Om de vergelijking verder te vereenvoudigen gebruiken we een eigenaardige methode.

Beschouw de lineaire transformatie van R x R met de matrix

 
        [a   b"]
        [b"  a']
We berekenen de eigenwaarden en de eigenvectoren. (zie Lineaire transformaties )
De eigenwaarden zijn de oplossingen van
 
        |a - r      b"|
        |b"     a' - r| = 0
<=>
        (a - r)(a' - r) - b"b" = 0
<=>
        r2 -(a+a')r + aa' -b"2 = 0
<=>
         2
        r -(a+a')r + delta = 0


De discriminant van deze kwadratische vergelijking is nooit < 0. Noem r1 en r2 deze reele wortels. Die wortels zijn niet 0 want hun product is niet 0. Nu kunnen we de eigenvectoren berekenen. We weten dat elk reeel veelvoud (niet nul) van een eigenvector opnieuw een eigenvector is. Het is dus mogelijk ervoor te zorgen dat de eigenvectoren eenheidsvectoren zijn.
Noem (cos(t),sin(t)) de coordinaten van de eigenvector welke met r1 overeenkomt. We hebben dan
 
        [ a     b"][cos(t)]      [cos(t)]
        [ b"    a'][sin(t)] = r1 [sin(t)]

<=>
        acos(t) + b"sin(t) = r1 cos(t)
        b"cos(t) + a'sin(t) = r1 sin(t)
Nu draaien we het assenstelsel over een hoek t. De transformatiematrix is
 
            [cos(t)   -sin(t)   0]
        M = [sin(t)    cos(t)   0]
            [  0         0      1]
De nieuwe kubische matrix C1 van de kegelsnede wordt gegeven door de formule.
 
              T
        C1 = M  C M
<=>
        [cos(t)    sin(t)   0][ a     b"      0 ][cos(t)   -sin(t)   0]
        [-sin(t)   cos(t)   0][ b"    a'      0 ][sin(t)    cos(t)   0]
        [  0         0      1][ 0     0       a"][  0         0      1]
<=>

        [cos(t)    sin(t)   0][acos(t) + b"sin(t)   -asin(t)+b"cos(t)    0 ]
        [-sin(t)   cos(t)   0][b"cos(t) + a'sin(t)  -b"sin(t)+a'cos(t)   0 ]
        [  0         0      1][         0                   0            a"]
<=>
        [cos(t)    sin(t)   0][r1 cos(t)   -asin(t)+b"cos(t)    0 ]
        [-sin(t)   cos(t)   0][r1 sin(t)   -b"sin(t)+a'cos(t)   0 ]
        [  0         0      1][   0                0            a"]
<=>
        [r1    0 (*)   0 ]
        [0     r2(*)   0 ]
        [0      0      a"]
De elementen aangeduid door (*) zijn nogal moeilijk te berekenen. Hierna zie je hoe dit gedaan werd.
 
        -a cos(t) sin(t) + b" cos2 (t) - b" sin2 (t) + a' sin(t) cos(t)

        = - sin(t) (a cos(t) + b" sin(t) ) + cos(t) (b" cos(t) + a' sin(t) )

        = - sin(t) r1 cos(t) + cos(t) r1 sin(t)

        = 0
en
        a sin2 (t) - b" sin(t) cos(t) - b" sin(t) cos(t) + a' cos2 (t)

        = a(1 - cos2 (t)) - b"sin(t)cos(t) - b"sin(t) cos(t) + a'(1 - sin2 (t) )

        = a + a' - (a cos2 (t) + b" sin(t)cos(t) + b"sin(t)cos(t) + a' sin2 (t))

        = a + a' - (cos(t)(a cos(t) + b"sin(t))+ sin(t)(b"cos(t) + a'sin(t)))

        = a + a' - r1

        = r1+ r2 - r1

        = r2
De vergelijking van de kegelsnede in het nieuw assenstelsel is
 
        r1 x'2  + r2 y'2 + a" = 0
Deze vergelijking is de gereduceerde vergelijking van de kegelsnede.

Praktisch reduceren

Neem de kegelsnede met vergelijking
 
        3 x2  + 2xy + 3 y2  -32 y + 92 = 0
We starten met een translatie van de assen naar het punt (xo,yo).
 
        xo en yo is een oplossing van

        / Fx' (x,y,z) = 0
        \ Fy' (x,y,z) = 0
<=>
        / 6 x + 2 y = 0
        \ 2 x + 6 y = 32
<=>
        x = -2 en y = 6
Na de translatie wordt de vergelijking
 
        a x'2  + 2 b" x' y' + a' y'2 + F(xo,yo,1) = 0

<=>
        3 x'2  + 2x'y' + 3 y'2 - 4 = 0

Dit is de vergelijking van de kegelsnede na de translatie naar (-2,4). Nu starten we met de rotatie
 
        3 x2  + 2xy + 3 y2 - 4 = 0
De eigenwaarden zijn de oplossingen van
 
        |a - r      b"|
        |b"     a' - r| = 0
<=>
        |3-r        1|
        | 1       3-r| = 0
<=>
        r2 - 6 r + 8 = 0
<=>
        r1 = 4 and r2 = 2

De vergelijking van de kegelsnede na rotatie is
 

        r1 x'2  + r2 y'2 + a" = 0

<=>
        4 x'2  + 2 y'2  - 4 = 0

<=>
         x'2     y'2
        ----- + ----- = 1
          1       2
en dit is een ellips
Als je de rotatiehoek t wil uitrekenen :
 
        [ a     b"][cos(t)]      [cos(t)]
        [ b"    a'][sin(t)] = r1 [sin(t)]

<=>
        acos(t) + b"sin(t) = r1cos(t)
        b"cos(t) + a'sin(t) = r1sin(t)
<=>
        3 cos(t) + sin(t) = 4 cos(t)
        cos(t) + 3 sin(t) = 4 sin(t)
<=>
         cos(t) - sin(t) = 0
<=>
        tan(t) = 1

        kies t = pi/4

Reductie voor delta = 0.

We starten met de algemene vergelijking van de kegelsnede.
 
        F(x,y,1) =

        a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x + 2 b y + a" = 0

Rotatie

Beschouw opnieuw de lineaire transformatie van R x R met matrix
 
        [a   b"]
        [b"  a']
We berekenen de eigenwaarden en de eigenvectoren. The eigenwaarden zijn de oplossingen van
 
        |a - r      b"|
        |b"     a' - r| = 0
<=>
        (a - r)(a' - r) - b"b" = 0
<=>
        r2 -(a+a')r + aa' -b"2 = 0
<=>
        r2 -(a+a')r + delta = 0
<=>
        r2 -(a+a')r = 0
<=>
        r1 = 0 en r2 = a+a'
Noem (cos(t),sin(t)) de coordinaten van een eenheids-eigenvector welke overeenkomt met r1=0. Dan hebben we
 
        [ a     b"][cos(t)]      [cos(t)]
        [ b"    a'][sin(t)] = r1 [sin(t)]

<=>
        acos(t) + b"sin(t) = 0
        b"cos(t) + a'sin(t) = 0
Nu draaien we het coordinatenstelsel over een hoek t. De transformatiematrix is.
 
            [cos(t)   -sin(t)   0]
        M = [sin(t)    cos(t)   0]
            [  0         0      1]
De nieuwe kubische matrix C1 van de kegelsnede wordt gegeven door de formule.
 
              T
        C1 = M  C M
Op dezelfde manier als bij het geval 'delta niet 0' kan men aantonen dat.
 
             [0      0       * ]
        C1 = [0      *       * ]
             [*      *       * ]
De * stellen reele getallen voor.
De vergelijking van de kegelsnede in het nieuw assenstelsel is van de vorm
 

        a'y2  + 2 b' x + 2 b y + a" = 0
Uitgaande van die vorm starten we met een translatie.

Translatie

De vergelijking van de kegelsnede is van de vorm
 
        a'y2  + 2 b' x + 2 b y + a" = 0
Als we nu DELTA uitrekenen vinden we
 

        DELTA = - a' b'2
Daar de kegelsnede niet ontaard is, zijn a' en b' niet 0.
We verschuiven de assen naar het punt (xo,yo). De transformatieformules zijn
 
        x = x' + xo
        y = y' + yo
In het nieuw assenstel wordt de vergelijking
 
        a'(y' + yo)2  + 2 b' (x' + xo) + 2 b (y' + yo) + a" = 0
<=>
        a' y'2 + 2 b'x' + 2(a' yo + b)y' + a' yo 2 + 2 b' xo + 2 b yo + a" = 0
Omdat a' en b' niet 0 zijn, kunnen we xo en yo kiezen zo dat
 
        a' yo + b = 0
en
        a' yo 2 + 2 b' xo + 2 b yo + a" = 0
dan is de gereduceerde vergelijking
 
        a' y'2 + 2 b'x'  = 0
Dit is de vergelijking van een parabool.

Praktische werkwijze

We starten met de vergelijking
 
        9 x2 -24 xy + 16 y2 -2x + 4y + 5 = 0
delta = 0.
Er is zeker een eigenwaarde r1 = 0.
Noem (cos(t),sin(t)) de coordinaten van een karakteristieke eenheidsvector welke overeenkomt met r1=0. Dan hebben we
 
        [ a     b"][cos(t)]      [cos(t)]
        [ b"    a'][sin(t)] = r1 [sin(t)]

<=>
        acos(t) + b"sin(t) = 0
        b"cos(t) + a'sin(t) = 0
<=>
        9 cos(t) - 12 sin(t) = 0
        -12 cos(t) + 16 sin(t) = 0
Dan
        tan(t) = 3/4 ; cos(t)= 4/5 ; sin(t) = 3/5

             [ 4/5      -3/5    0]
        M =  [ 3/5       4/5    0]
             [  0         0     1]
we vinden

              T         [ 0     0       2/5 ]
        C1 = M  C M =   [ 0     25      11/5]
                        [2/5    11/5     5  ]

De vergelijking na rotatie is

            2
        25 y  + 4/5 x + 22/5 y + 5 = 0

Nu de translatie
        x = x' + xo
        y = y' + yo

                        4            22
        25 (y'+ yo)2  + - (x'+ xo) + -- (y'+ yo) + 5 = 0
                        5            5
<=>
        25y'2 + (4/5)x' + (50yo + 22/5)y' + 25yo2 + (4/5)xo + (22/5)yo + 5=0

We kiezen xo en yo zo dat

        (50yo + 22/5) = 0  en  25yo2 + (4/5)xo + (22/5)yo + 5=0

We vinden
                  751             11
          xo = - ----     yo = - ----
                  125            125

De gereduceerde vergelijking is

        25 y2  + (4/5) x  = 0

Classificatie van alle reele kegelsneden

Neem de kegelsnede
 
        a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2 = 0
De oneigenlijke punten van de kegelsnede zijn de oplossingen van
 
        /
        |a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2 = 0
        |
        \ z = 0

<=>
        /
        | a x2  + 2 b" x y + a' y2  = 0
        |
        \  z = 0
We zien dat de oneigenlijke punten van de kegelsnede dezelfde zijn als deze van de rechten
 
        a x2 + 2 b" x y + a' y2  = 0
Uit de theorie van de ontaarde affiene kegelsneden, kennen we het verband tussen delta en de aard en het aantal oneigenlijke punten. Hierop steunend kunnen we besluiten formuleren:


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.