Ontaarde kegelsneden




Componenten

We weten dat een kegelsnede ontaard is als en slechts als F(x,y,z) = f(x,y,z) . g(x,y,z) met f(x,y,z) en g(x,y,z) homogene veeltermen in x,y en z.
Daar F(x,y,z) homogeen is met graad 2, zijn f(x,y,z) en g(x,y,z) homogeen met graad 1. De ontaarde kegelsnede is dus ontaard in twee rechten. Het zijn de componenten.

Rechten door (0,0,1)

Twee rechten door (0,0,1) hebben een vergelijking van de vorm ux + vy = 0 en u'x + v'y = 0. De kegelsnede die ontaard is in die rechten heeft de vergelijking (ux + vy)(u'x + v'y) = 0.
Deze vergelijking is van de vorm
 
        a x2  + 2 b" x y + a' y2  = 0
Omgekeerd, elke vergelijking van die vorm kan geschreven worden als (ux + vy)(u'x + v'y) = 0 en is een ontaarde kegelsnede waarvan de componenten elkaar snijden in de oorsprong. Deze rechten kunnen imaginair zijn.

Voorbeeld :

 
  9 x2 + 7 y2 - 24 x y = 0
<=>
  (3 x - y) (3 x - 7 y) = 0

Rechten door (0,1,0)

Op dezelfde manier hebben we
 
De kegelsnede is ontaard in twee rechten door  (0,1,0)

                als en slechts als

De kegelsnede heeft een vergelijking van de vorm  a x2  + 2 b' x z + a"z2 = 0

Rechten door (1,0,0)

Op dezelfde manier hebben we
 
De kegelsnede is ontaard in twee rechten door  (1,0,0)

                als en slechts als

De kegelsnede heeft een vergelijking van de vorm  a'y2  + 2 b y z + a"z2 = 0

Richting van de twee rechten door (0,0,1)

Ze hebben een vergelijking van de vorm
 
        a x2  + 2 b" x y + a' y2  = 0


         m is de rico van een componente

<=>
        (1,m,0) ligt op de kegelsnede
<=>
        a  + 2 b" m + a' m2  = 0
Met deze formule kunnen we rico's van de rechten uitrekenen.

Opm:
Als a' = 0, dan is de vergelijking van de kegelsnede

 
        a x2  + 2 b" x y = 0

De twee componenten zijn dan

        x = 0 en a x + 2 b" y = 0

Als a' = b" = 0,  dan is de vergelijking van de kegelsnede
        a x2   = 0

De twee componenten zijn dan   x = 0 en x = 0.

Aard van de componenten van twee rechten door O.

Dubbelpunten en enkelvoudige punten van een ontaarde kegelsnede.

Elk gemeen punt van de twee componenten van een kegelsnede heet een dubbelpunt. Alle andere punten heten enkelvoudige punten.

Eigenschappen:

Stelling

Als D(xo,yo,zo) een dubbelpunt is van een kegelsnede, dan is
 
        Fx'(xo,yo,zo) = 0 en  Fy'(xo,yo,zo) = 0 en Fz'(xo,yo,zo) = 0
Bewijs:
Als D(xo,yo,zo) een dubbelpunt is, dan ligt het op beide componenten van
 
        F(x,y,z) = (ux + vy + wz)(u'x + v'y + w'z) = 0
Dus, u xo + v yo + w zo = 0 en u'xo + v'yo + w'zo = 0 en dan is
 
        Fx'(xo,yo,zo) = u(u'xo + v'yo + w'zo ) + u'( u xo + v yo + w zo )
                   = u.0 + u'.0 = 0
Analoog voor Fy'(xo,yo,zo) = 0 en Fz'(xo,yo,zo) = 0

Omgekeerde stelling

 
Als Fx'(xo,yo,zo) = 0 en Fy'(xo,yo,zo) = 0 en Fz'(xo,yo,zo) = 0
dan is D(xo,yo,zo) een dubbelpunt van een kegelsnede.

Bewijs:
Steunend op de formule van Euler

 
          2 F(xo,yo,zo)

        = xo.Fx'(xo,yo,zo) + yo.Fy'(xo,yo,zo) + zo.Fz'(xo,yo,zo)

        = xo.0 + yo.0 + zo.0 = 0
Dus ligt D(xo,yo,zo) op de kegelsnede.

Kies nu een ander punt P(x1,y1,z1) van de kegelsnede.
Een veranderlijk punt van de rechte DP is ( kxo + lx1, kyo + ly1, kzo + lz1).
Dit veranderlijk punt ligt blijvend op de kegelsnede want

 
F( kxo + lx1, kyo + ly1, kzo + lz1)

        = k2 F(xo,yo,zo)

          + kl(xo.Fx'(x1,y1,z1) + yo.Fy'(x1,y1,z1) + zo.Fz'(x1,y1,z1))

          + l2 F(x1,y1,z1)

        = k2 F(xo,yo,zo)

          + kl(x1.Fx'(xo,yo,zo) + y1.Fy'(xo,yo,zo) + z1.Fz'(xo,yo,zo))

          + l2 F(x1,y1,z1)

        = k2 .0 + kl.0 + l2 .0 = 0
De rechte DP is een componente van de kegelsnede en de kegelsnede is ontaard.
Als de kegelsnede nog een ander punt P' bevat niet op DP, dan is DP' ook een componente van de kegelsnede en D is dubbelpunt.
Als P' niet bestaat, dan is de kegelsnede ontaard in twee samenvallende componenten en D is dubbelpunt.

Formule voor het berekenen van een dubbelpunt

Uit voorgaande stellingen volgt.
 
        D(xo,yo,zo) is dubbelpunt van een kegelsnede

                als en slechts als

        xo,yo,zo  is een oplossing verschillend van de nuloplossing van
                /  Fx'(x,y,z)  = 0
                |
                |  Fy'(x,y,z)  = 0
                |
                \  Fz'(x,y,z)  = 0

Criterium voor het ontaard zijn van een kegelsnede

Een kegelsnede is ontaard als en slechts als DELTA = 0

Bewijs:

 
        De kegelsnede F(x,y,z) = 0 is ontaard

<=>

        De kegelsnede heeft een dubbelpunt

<=>
        Het stelsel
                /  Fx'(x,y,z)  = 0
                |
                |  Fy'(x,y,z)  = 0
                |
                \  Fz'(x,y,z)  = 0
        heeft een oplossing verschillend van de nuloplossing

<=>
        Het stelsel
        /  2 ( a x + b" y + b' z ) = 0
        |
        |  2 ( b" x + a' y + b z ) = 0
        |
        \  2 ( b' x + b y + a" z ) = 0
        heeft een oplossing verschillend van de nuloplossing

<=>
        DELTA = 0

Indeling van de ontaarde affiene kegelsneden.

 
        de oneigenlijke punten zijn de oplossingen van


        /
        |a x2  + 2 b" x y + a' y2  + 2 b' x z + 2 b y z + a" z2 = 0
        |
        \ z = 0

<=>
        /
        | a x2  + 2 b" x y + a' y2  = 0
        |
        \  z = 0
Uit het vorige weten we dat


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.