Meetkundige plaatsen




Definitie

De meetkundige figuur die wordt gevormd door een verzameling punten die voldoet aan een bepaalde voorwaarde, heet de meetkundige plaats van die punten.

Alle voorbeelden op deze pagina handelen over punten in een vlak.

In de voorbeelden hieronder werken we met een orthonormaal assenstelsel. De keuze van dit assenstelsel is van groot belang omdat de moeilijkheid van de berekeningen daar sterk afhankelijk van is.

Vertrekkend van een meetkundige gelijkheid

Voorbeeld m1

Neem twee vaste punten A en B. Bereken de meetkundige plaats van de punten P zodat |PA| = 3.|PB|.


We kiezen het assenstelsel zo dat A(1,0) en B(-1,0).

 
      P(x,y) is een punt van de meetkundige plaats
<=>
       |PA| = 3.|PB|
<=>
      |PA|2 = 9.|PB|2
<=>
      (x-1)2 + y2 = 9 ((x + 1)2 +y2)
<=>
      ...
<=>
      2 x2 + 2 y2 + 5 x + 2 = 0
De laatste vergelijking is een vergelijking van een cirkel. Elk punt van die cirkel heeft de gevraagde eigenschap en omgekeerd. Het spreekt vanzelf dat men voor andere verhoudingen van |PA| en |PB| ook een andere cirkel vindt. Voor |PA| = |PB| vindt men de middelloodlijn van lijnstuk [AB].

(oefening: bereken middelpunt en straal van de cirkel; teken de cirkel en controleer of de eigenschap vervuld is.)

Voorbeeld m2

We weten dat de deellijnen van twee rechten de verzameling (meetkundige plaats) is van de punten even ver van die rechten. Toch nemen we dit als tweede voorbeeld met als doel:
1) het belang aantonen van de keuze van het assenstelsel.
2) het gebruik tonen van de formule voor afstand van een punt tot een rechte.

De afstand van P tot rechte c duiden we aan door |P,c|.

Bereken de meetkundige plaats van de punten welke evenveel liggen van twee snijdende rechten a en b.


We kiezen een assenstelsel met oorsprong in het snijpunt van de rechten a en b en zodat de x-as samenvalt met een deellijn van a en b. De gegeven rechten hebben dan vergelijkingen y = m x en y = - m x.

 
      P(x,y) is een punt van de meetkundige plaats
<=>
       |P,a| = |P,b|
<=>
      |P,a|2 = |P,b|2
<=>
     (y - m x)2      (y + m x)2
     ------------ = --------------
       1 + m2          1 + m2
<=>

      (y - m x)2   =   (y + m x)2

<=>
             x.y = 0
<=>
        x= 0 of y = 0
We vinden, zoals verwacht, x-as en y-as als meetkundige plaats.

Voorbeeld m3

Punt A is het vaste punt A(a,0). P is een variabel punt van het vlak en P' is het spiegelbeeld van P ten opzichte van de y-as. (maak een figuur)

Bepaal de meetkundige plaats van punt P zodat |PA|2 + |P'A|2 = 4a2.


 
      P(x,y)  is een punt van de meetkundige plaats
<=>
      |PA|2 + |P'A|2 = 4 a2
<=>
      (x - a)2 + y2 + (-x - a)2 + y2  = 4 a2
<=>
      ...
<=>
      x2 + y2 = a2
Als meetkundige plaats vinden we een cirkel door A met middelpunt in de oorsprong.

Voorbeeld m4

Beschouw de hyperbool y = 1/x . Door een variabel punt P(x,y) van het vlak trekt men een rechte evenwijdig met de y-as en een rechte evenwijdig met de x-as. Die rechten snijden de hyperbool respectievelijk in A en B. Bereken de meetkundige plaats van P zodat het zwaartepunt van driehoek PAB op de rechte x= 1 ligt.

Maak een figuur.

De coordinaten van P zijn (x,y)
De coordinaten van A zijn (x, 1/x)
De coordinaten van B zijn (1/y, y)

De abscis van het zwaartepunt is ( x + x + 1/y )/3 = (2x+ 1/y)/3
Het punt P(x,y) is punt van de meetkundige plaats als en slechts als (2x+ 1/y)/3 = 1

De vergelijking van de meetkundige plaats is y = 1/(-2x+3).
Het is de vergelijking van een homografische functie. Het is een hyperbool met asymptoten y=0 en x=3/2. Meer info over de homografische functie vind je via deze link .

Analytisch versus Meetkundig

Een driehoek ABC heeft een vaste basis [A,B] met lengte c.
Bereken de meetkundige plaats van het derde hoekpunt C zodat de zwaartelijnen uit A en C elkaar loodrecht snijden.
Bereken daarna de maximale oppervlakte van een dergelijke driehoek.

  1. Analytisch:

    We kiezen een orthonormaal assenstel zodat A(-c/2,0), B(c/2,0).
    C(x,y) is het verandelijke derde hoekpunt.
    Maak een duidelijke figuur.

    Het midden van [BC] is M( (2x+c)/4, y/2 ).
    De zwaartelijn uit C heeft richtingscoefficient y/x.
    De zwaartelijn AM heeft richtingscoefficient 2y/(2x+3c).

     
          C(x,y) behoort tot de meetkundige plaats
    <=>
          De zwaartelijnen uit A en C zijn orthogonaal
    <=>
           y        2y
          ---. ----------- = -1
           x     2x + 3c
    <=>
          2 y2 + 2x2 + 3c x = 0
    <=>
    
          x2 + y2 + (3c/2) x = 0
    <=>
          (x +  3c/4)2 + y2 = 9c2/16
    
          De meetkundige plaats van hoekpunt C is de cirkel
          met middelpunt (-3c/4,0) en straal 3c/4
    
    De oppervlakte is maximaal als de hoogte van de driehoek maximaal is. Deze maximale hoogte is 3c/4. De maximale oppervlakte is 3c2/8.
     
            
    
  2. Meetkundig:

    Noem Z het zwaartepunt van de veranderlijke driehoek ABC. A en B zijn vaste punten.
    De afstand |AB| = c. Punt O is midden van [AB].

     
        Punt C is een punt van de meetkundige plaats
    <=>
        De zwaartelijnen AZ en CZ zijn orthogonaal
    <=>
        Driehoek AOZ is rechthoekig in Z
    
    Het vaste lijnstuk [AO] is de schuine zijde van een veranderlijke rechthoekige driehoek AOZ.
    De meetkundige plaats van Z is dus de cirkel C1 met middelpunt (-c/4,0). De straal is c/2.

    Maar Z is zwaartepunt van de driehoek ABC. Dus is vector C = 3Z.
    Hieruit volgt dat de meetkundige plaats van punt C een cirkel C2 is, die het beeld is van cirkel C1 door een homothetie met centrum O en factor 3.
    Het middelpunt van de cirkel C2 is (-3c/4,0) en de straal is 3c/2.

Meetkundige plaatsen bepalen via geassocieerde krommen

De methode wordt getoond aan de hand van verschillende voorbeelden.

Er wordt verondersteld dat je op de hoogte bent van de methodes voor het elimineren van variabelen. Deze methodes kan je bereiken via deze link .

Voorbeeld a1

Neem in het vlak een parabool P en een rechte b met resp. vergelijking
 
        /  y = x2  + mx
        \  y = 2x + m                    (1)
Hierin is m is een veranderlijke parameter.
Voor elke waarde van m zijn de grafieken P en b gelijktijdig vast. Daarom zeggen dat P en b geassocieerde krommen zijn. Als m vloeiend verandert, zullen de de krommen P en b samen vloeiend veranderen. De snijpunten van P en b zullen ook vloeiend veranderen en een kromme c beschrijven. De kromme c is de meetkundige plaats van alle snijpunten van P en b. Ons doel is die meetkundige plaats te berekenen.
Let op de dubbele pijlen '<=>' je kan elke overgang van boven naar onder en van onder naar boven lezen.
 
        P(x,y) is een punt van de kromme c

<=>     P(x,y) is een  snijpunt van P en b.

<=>     Er bestaat een waarde van m zo dat

        /  y = x2  + mx
        \  y = 2x + m

<=>    Het volgende stelsel heeft een oplossing voor m

        / mx = y - x2
        \ m  = y - 2x

       We schrijven nu de nodig en voldoende voorwaarde opdat dit stelsel
       een oplossing zou hebben voor m. ( zie eliminatie theorie)

<=>     | 1     y-2x |
        |            | = 0
        | x     y-x2 |


<=>     x2  - xy + y = 0                       (2)

Als we de tussenberekeningen even weglaten, dan zien we beter wat we gevonden hebben:
 
        P(x,y) is een punt van de kromme c

<=>     x2  - xy + y = 0                       (2)

Die laatste vergelijking is een voorwaarde. Als die voorwaarde vervuld is voor xo en yo dan ligt punt P( xo , yo) op de gezochte meetkundige plaats c en omgekeerd.
De laatste vergelijking is de vergelijking van de meetkundige plaats c.

De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door de parameter te elimineren uit het stelsel gevormd door de geassocieerde krommen.

Voorbeeld a2

Neem in het vlak de rechten a en b met resp. vergelijking
 
        / l x - m y = 0
        \ m x + l y = 5l                        (1)
De reele getallen l en m zijn parameters, niet beide 0. Als we l en m vervangen door r.l en r.m dan veranderen de rechten niet.
Omwille van deze eigenschap zeggen we dat l en m homogene parameters zijn. De rechten a en b zijn geassocieerde rechten.
Als l en m vloeiend veranderen zullen die twee rechten vloeiend veranderen en het snijpunt zal een kromme c beschrijven. Die kromme c is de meetkundige plaats van alle snijpunten van a en b.
We berekenen de vergelijking van die meetkundige plaats.

 

        P(x,y) is een punt van c

<=>     P(x,y) is snijpunt van de geassocieerde rechten a en b

<=>     Er bestaat een waarde van l en van m ( niet beide 0) zodat
                l x - m y = 0
                m x + l y = 5l

<=>     Het volgend stelsel heeft een oplossing voor l en m  ( niet beide 0)

                x l - y m = 0
          (y - 5) l + x m = 0
                                        ( zie eliminatie theorie)

<=>             |  x     -y |
                |           |  = 0
                |y - 5    x |

<=>             x2  + y2  - 5 y = 0   (2)

Als je in gedachten de tussenberekeningen even weglaten, dan zie je beter wat we gevonden hebben: De laatste vergelijking is de vergelijking van de meetkundige plaats c.
De meetkundige plaats is een cirkel. De twee geassocieerde rechten a en b snijden steeds op die cirkel en omgekeerd is elk punt van die cirkel een snijpunt van een speciale stand van de twee veranderlijke geassocieerde rechten.

De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door de parameters te elimineren uit het stelsel gevormd door de geassocieerde rechten.

Voorbeeld a3

Neem een cirkel met staal 2. Beschouw een veranderlijke koorde met lengte 2. Bereken de meetkundige plaats van het midden van die koorde. (maak een figuur)


Door meetkundig denken kan je gemakkelijk die meetkundige plaats bepalen. We zullen ze hier berekenen om zodoende het werken met goniometrische functies te oefenen en om een speciale eliminatie te illustreren

Neem middelpunt van de cirkel in O(0,0).
Daar de koorde [AB] even groot is als de straal is de hoek ingesloten tussen OA en OB gelijk aan pi/3 radialen.
A(2.cos(t), 2.sin(t)) is een veranderlijk punt van de cirkel.
Dan is B(2.cos(t+pi/3), 2.sin(t+pi/3) )
Het midden M van die koorde heeft coordinaten

 
x = ( cos(t) +  cos(t+pi/3))
y = ( sin(t) +  sin(t+pi/3))
We passen de formules van Simpson toe.
 
x = 2.cos(t+pi/6) . cos(pi/6)
y =  2.sin(t+pi/6) . cos(pi/6)
of na vereenvoudiging
 
x = sqrt(3).cos(t+pi/6)
y = sqrt(3).sin(t+pi/6)
Dit zijn eigenlijk de vergelijkingen van twee rechten. Het zijn de geassocieerde rechten. Ze snijden in het midden van de variabele koorde.
 
        P(x,y) is een punt van de meetkundige plaats

    <=>       Er bestaat een waarde van t zodat

             x = sqrt(3).cos(t+pi/6)
             y = sqrt(3).sin(t+pi/6)

   <=>   Het volgend stelsel heeft een oplossing voor t

             cos(t+pi/6) = x/ sqrt(3)
             sin(t+pi/6) = y/ sqrt(3)

    <=>                      ( zie eliminatie theorie)

           x2/3 + y2/3 = 1

    <=>
           x2 + y2 = 3
De meetkundige plaats is, zoals verwacht, een cirkel.

De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door de parameter te elimineren uit het stelsel gevormd door de geassocieerde rechten.

Voorbeeld a4

De punten A(a,0) en B(b,0) zijn vaste gegeven punten.
Een punt C doorloopt de y-as en punt D is het spiegelbeeld van C t.o.v. de x-as.
Bereken de meetkundige plaats van het snijpunt van de rechten AC en BD.

Maak een figuur.

Noem C(0,m) en dan is D(0,-m). m is een veranderlijke.
De vergelijking van AC is mx + ay - am = 0.
De vergelijking van BD is -mx + by + bm = 0.
Dit zijn de geassocieerde rechten met parameter m .

 
    P(x,y) is snijpunt van  AC en BD

<=> Er bestaat een waarde van m zo dat

     /  mx + ay - am = 0
     \ -mx + by + bm = 0

<=> Het volgend stelsel heeft een oplossing voor m

      / (x - a)m = -ay
      \ (b - x)m = by

                       (volgens eliminatietheorie)
<=>
      | x - a      -ay|
      | b - x       by|  = 0

<=>                  na uitwerking

     y = 0  of   x = 2 ab /(a + b)
Het deel y = 0 is de x-as en deze gemene punten van AC en BD ontstaan op het ogenblik dat D = C.

Het interessantste deel van de meetkundige plaats is de rechte x = 2 ab /(a + b) evenwijdig met de y-as.

De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door de parameter te elimineren uit het stelsel gevormd door de geassocieerde rechten.

Voorbeeld met een bindingsvergelijking

Beschouw de hyperbool met vergelijking y=1/x. Door een variabel punt P van het vlak neemt men een rechte evenwijdig met de x-as en een rechte evenwijdig met de y-as. Die rechten snijden de hyperbool respectievelijk in de punten A en B. Bepaal de meetkundige plaats van punt P zodat het zwaartepunt van de driehoek PAB op de rechte x=1 ligt.

Maak eerst een figuur met alle gegeven elementen. We geven aan het veranderlijk punt P coordinaten (r,s). Het punt P, welke de meetkundige plaats beschrijft, is dus snijpunt van de geassocieerde rechten x=r en y=s. Op het eerste zicht zijn er twee parameters r en s. Maar r en s zijn verbonden door een voorwaarde. We berekenen eerst die voorwaarde.

Het punt A is A(1/s,s) en het punt B is B(r,1/r). Het zwaartepunt Z van de driehoek PAB heeft coordinaten ((2r+1/s)/3 , (2s+1/r)/3). Z ligt op de rechte x= 1 als en slechts als (2r+1/s)/3 = 1. Dit is gelijkwaardig met 2rs-3s+1=0. Dit is de voorwaarde die het verband geeft tussen de twee parameters r en s. Men noemt dit een bindingsvergelijking.

De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door de parameters r en s te elimineren uit het stelsel gevormd door de geassocieerde rechten samen met de bindingsvergelijking.
We elimineren r en s uit

 
   x = r
   y = s
   2 r s - 3 s + 1 = 0.
Daartoe beschouwen we r en s als onbekenden en we stellen de voorwaarde op opdat het stelsel een oplossing zou hebben voor r en s
 
   r           =  x
   s           =  y
   2 r s - 3 s = -1
De voorwaarde is 2 x y - 3 y + 1 = 0. Dit is de vergelijking van de meetkundige plaats. Ze kan ook geschreven worden in de vorm y = 1/(3-2x).

Vergelijk deze methode met de rechtstreekse methode uit voorbeeld m4 hierboven. In sommige oefeningen is de methode met bindingsvergelijking eenvoudiger dan de rechtstreekse.

Voorbeeld 1 met parasitaire delen

Neem de cirkel C met vergelijking x2 + y2 = 1 samen met de vaste raaklijnen p met vergelijking x=1 en q met vergelijking y=1.
Een veranderlijke raaklijn r aan de cirkel snijdt p in P en q in Q. Bereken de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechte a door P evenwijdig met de x-as en de rechte b door Q evenwijdig met de y-as.

 
        
We nemen een veranderlijk punt V(cos(t),sin(t)) van de cirkel. De raaklijn in V aan C is na berekening x.cos(t)+y.sin(t)=1.
Voor het punt P vinden we de coordinaten (1, (1-cos(t))/sin(t))
Voor het punt Q vinden we de coordinaten ( (1-sin(t))/cos(t) , 1)
De rechte a heeft vergelijking y = (1-cos(t))/sin(t)
De rechte b heeft vergelijking x = (1-sin(t))/cos(t)
Het punt S van de meetkundige plaats is snijpunt van de geassocieerde rechten a en b. De vergelijking van de meetkundige plaats ontstaat door t te elimineren tussen de twee vergelijkingen van de geassocieerde rechten.

We lossen het stelsel gevormd door die twee vergelijkingen op naar sin(t) en cos(t). Er komt:
sin(t) = (x - 1)/(x y - 1)
cos(t) = (y - 1)/(x y - 1)
Nu moet cos2(t) + sin2(t) = 1
Na uitwerking brengen we alles naar het linker lid en we ontbinden in factoren. Er komt:
(x - 1) (y -1) (x y + x + y - 1)=0

De meetkundige plaats valt uiteen in drie delen

Voorbeeld 2 met parasitaire delen

In een orthonormaal coordinatenstelsel heeft een cirkel vergelijking x2 + y2=1.
Verder is A(2,0) een vast punt.

Een veranderlijke rechte door punt A snijdt de cirkel in punten B en C.

Bereken de meetkundige plaats van het midden M van het segment [BC].


De variabele rechte is y = m (x - 2).
De punten B en C zijn de oplossingen van het stelsel
 
    x2 + y2 = 1

    y = m (x - 2)
De x-waarden zijn de wortels x1 en x2 van
 
(1 + m2) x2 - 4 m2 x + 4 m2 - 1 = 0
De y-waarden zijn de wortels y1 en y2 van
 
(1 + m2) y2 + 4 m y + 3 m2 = 0
De x-waarde van M is (x1 + x2)/2 = 2 m2/(1 + m2)

De y-waarde van M is (y1 + y2)/2 = - 2 m /(1 + m2)

Dus kunnen we zeggen dat M het snijpunt is van de twee geassocieerde rechten

 
    x = 2 m2/(1 + m2)         (1)

    y = - 2 m /(1 + m2)        (2)
De meetkundige plaats ontstaat door m te elimineren uit de twee vergelijkingen
 
      (x - 2) m2 + x = 0      (3)

       y m2 + 2 m + y = 0     (4)
We zorgen er eerst voor dat m2 maar in 1 van de vergelijkingen voorkomt. Daartoe berekenen we y.(3) - (x-2).(4) en na vereenvoudigen komt er
 
      (x - 2) m2 + x = 0      (3)

      (x-2) m - y = 0          (5)
We brengen nu m uit de tweede vergelijking in de eerste. Na vereenvoudigen vinden we de vergelijking van de meetkundige plaats
 
    x2 + y2 - 2x = 0

<=>
    (x - 1)2 + y2 = 1
De meetkundige plaats is een cirkel met middelpunt (1,0) en straal 1. Maar wanneer we verschillende exemplaren tekenen van de variabele rechte door punt A , dan zijn er verschillende standen van de rechte waarbij er geen snijpunten met de cirkel voorkomen. De eigenlijke meetkundige plaats is enkel het deel van de gevonden cirkel dat binnen de gegeven cirkel ligt. Alle andere punten heten parasitaire punten van de meetkundige plaats.

Een alternatieve behandeling

Neem cirkel C met middelpunt A(1,0) en straal 1 en verder cirkel C' met middelpunt A'(-1,0) en straal 1.

Door de oorsprong O(0,0) nemen we een variabele rechte die C' snijdt in een tweede punt B'. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de rechte A'B' met de rechte door A loodrecht op rechte OB'.

Men kan deze meetkundige plaats berekenen door aan de rechte OB' de vergelijking y=mx toe te kennen en daarna m te elimineren tussen de vergelijkingen van de geassocieerde rechten AP en A'B'.

We zullen het probleem hier eens anders benaderen. We gaan uit van een nauwkeurige figuur.

 
      

Noem Q het snijpunt van B'P met de cirkel C'.
OQ staat loodrecht op OB' want B'Q is een middellijn van C'.

Construeer A'R loodrecht op OB'.
Nu geldt  A'R  //  QO  //  PA         (1)

Zij S het snijpunt van AP met OB'.
Nu is driehoek ORA' congruent met driehoek OSA.
Hieruit volgt  |O,R| = |O,S|          (2)

Uit (1) en (2) volgt
   1 = |A',Q| = |Q,P|
Dus |A',P| = 2 = vaste afstand
De meetkundige plaats is een cirkel met middelpunt A' en straal 2.

Soms is meetkunde sterker dan analyse. Maar de samenwerking van beide is super!

Meetkundige plaats en eliminatie van een kwadratische parameter

Neem twee vaste getallen a en c zo dat a > c > 0.
We vertrekken van twee punten F(c,0) en F'(-c,0) en we nemen een cirkel C met middelpunt F en een veranderlijke straal m. We nemen nu een tweede cirkel C' middelpunt F' en een veranderlijke straal (2a -m). We zien dat de som van de stralen van C en C' steeds gelijk is aan de constante 2a. We beschouwen de twee cirkels als geassocieerde krommen en we berekenen de meetkundige plaats van het snijpunt van die twee krommen.

(Kies c = 3 en a = 5 en construeer enkele punten van de meetkundige plaats.)

C heeft vergelijking (x - c)2 + y2 = m2
C' heeft vergelijking (x + c)2 + y2 = (2a - m)2

Het zijn de geassocieerde krommen en we vinden de meetkundige plaats door m te elimineren uit het stelsel

 
 / (x - c)2 + y2 = m2
 \ (x + c)2 + y2 = 4 a2 - 4 a m + m2
Maar die parameter m komt kwadratisch voor. Met behulp van de eerste vergelijking zorgen we ervoor m2 uit de tweede vergelijking verdwijnt. De tweede vergelijking wordt dan
 
  (x + c)2 + y2 = 4 a2 - 4 a m + (x - c)2 + y2
Na uitwerken en vereenvoudiging kunnen we hieruit m berekenen. Er komt:
 
   m = a - (c/a) x
Als we die waarde van m in de eerste vergelijking van het stelsel brengen, is m verdwenen en dus gelimineerd uit het stelsel.
 
  (x - c)2 + y2 =( a - (c/a) x )2
Dit is reeds de vergelijking van de meetkundige plaats maar we zullen die vergelijking nog vereenvoudigen. Na uitwerking en rangschikking komt er
 
     (1- (c/a)2) x2 + y2 = a2 -c2

             Noem a2 - c2 = b2

<=>  (b2/a2) x2 + y2 = b2

<=>   x2/a2 + y2/b2 = 1

Deze kromme heet een ellips. F en F' heten de brandpunten van de ellips. Bemerk dat een punt P op de ellips ligt als en slechts als |PF| + |PF'| = 2a.

Verborgen geassocieerde krommen

De rechte d is een veranderlijke rechte door het vaste punt A(a,0) en die rechte snijdt de y-as in punt S. De loodlijn door S op d snijdt de x-as in punt B.
Bereken de meetkundige plaats van het spiegelbeeld P van B ten opzichte van rechte d.

De rechte d heeft vergelijking y = m(x-a). Hierin is m de parameter. Nu geldt:

 
   S(0, -a m)

   Rechte BS heeft dan vergelijking y + a m = (-1/m) x

   Dus is B(-am2, 0) en P(a m2, -2 a m)
We kennen nu wel de plaats van een veranderlijk punt P van de meetkundige plaats, maar de vergelijking van die meetkundige plaats kennen we nog niet. We zien, op het eerste zicht, geen geassocieerde krommen.

MAAR uitgaande van de coordinaten van P kunnen we schrijven:
De rechten x = a m2 en y = -2 a m gaan steeds door P en zijn dus geassocieerde rechten. Het volstaat nu m te elimineren uit het stelsel

 
   x = a m2
   y = -2 a m
Men vindt zonder moeite y2 = 4 a x. Die kromme is een parabool met de x-as als symmetrieas.

Singuliere delen van een meetkundige plaats.

In sommige gevallen zijn de geassocieerde rechten samenvallend voor een bepaalde waarde van de parameter(s)

Dan zijn alle gemene punten van die geassocieerde rechten punten van de meetkundige plaats. Deze punten beantwoorden over het algemeen niet aan de opgave.

We zeggen dat deze punten een singulier deel vormen van de meetkundige plaats.

Meetkundige plaats - parametervergelijkingen

Herhaling

De cycloide

De cycloide is de baan van een vast punt P op een cirkel die rolt zonder glijden over een rechte l.

Een mooie illustratie van dit begrip zie je hier

Kies de X-as op de rechte l.
Kies de oorsprong van het orthonormaal coordinatenstelsel in punt P, op het moment dat P op de rechte l ligt.

Voor elke stand van de cirkel hebben we

 
    P = Q + QA + AP
<=>
    P.E1 = Q.E1 + QA.E1 + AP.E1
    P.E2 = Q.E2 + QA.E2 + AP.E2
<=>
    x = r.t + 0 + r.cos(-pi/2 - t)
    y =  0 +  r + r.cos(-pi - t)
<=>
    x = r(t - sin(t))
    y = r(1 - cos(t))
De laatste vergelijkingen zijn de parametervergelijkingen van de cycloide.

De astroide

De astroide is de baan van een vast punt P van een cirkel met straal R/4, welke inwendig rolt zonder glijden in een andere cirkel met straal R.

Een mooie illustratie van dit begrip zie je hier

De kleine cirkel begint te rollen in punt (R,0) en dan is t=s=0. Daar de cirkel rolt zonder glijden zijn de twee blauwe bogen gelijk in lengte.

 
   Dus R.t = -R.s/4 <=>  s = - 4 t

   P = A + AP
=>
   P.E1 = A.E1 + AP.E1
<=>
    x = (3R/4).1.cos(t) + (R/4).1.cos(t+s)
<=>
    x = (3R/4).cos(t) + (R/4).cos(3t)             (1)

en op dezelfde manier

   P.E2 = A.E2 + AP.E2
=>
   y =  (3R/4).1.cos(pi/2 -t) + (R/4).1.cos(t - pi/2 + s)
<=>
   y =  (3R/4).sin(t) + (R/4).sin(3t)             (2)

Daar  cos(3t) = 4 cos3(t) - 3cos(t)
      sin(3t) = 3 sin(t) - 4 sin3(t)

vinden we de parametervergelijkingen van de astroide uit (1) en (2)

    x = R cos3(t)
    y = R sin3(t)
De cartesische vergelijking volgt na eliminatie van t.
 
    cos(t) = (x/R)1/3
    sin(t) = (y/R)1/3

=>  cos2(t) + sin2(t)  = (x/R)2/3 +  (y/R)2/3

<=>  x2/3 + y2/3 = R2/3


             

Voorbeeld

De parametervergelijkingen van een astroide zijn x= cos3(t) y=sin3(t). We berekenen de meetkundige plaats van het punt P van waaruit de raaklijnen aan de astroide loodrecht op elkaar staan.

We nemen eerst een veranderlijk punt A(cos3(t), sin3(t)) van de astroide.
 
   De rico van de raaklijn in A is

    dy     3 sin2(t) cos(t)
   ---- = ------------------  = - tan(t)
    dx     -3 cos2(t) sin(t)
We nemen nu een veranderlijk punt B(cos3(t'), sin3(t')) van de astroide.
 
   De rico van de raaklijn in B  is dan - tan(t')
De twee raaklijnen staan loodrecht op elkaar als en slechts als
 
         tan(t'). tan(t) = -1

   <=>   tan(t') = - 1/tan(t)

   <=>   tan(t') = tan(t+ pi/2)

   <=>     t' = t + pi/2  + k pi

  Het is voldoende de twee gevallen
       t' = t + pi/2   en  t' = t + 3pi/2
  nader te bekijken, daar de raaklijnen voor de andere waarden niets nieuws leveren.
De vergelijking van de raaklijn in A is
 
       y - sin3(t) = -tan(t) ( x - cos3(t))

<=>     y =  -tan(t).x + sin(t) cos2(t) + sin3(t)

<=>     y =  -tan(t).x + sin(t)         (1)

De vergelijking van de raaklijn in punt met t'= t + pi/2 is dan
 
        y =  -tan(t').x + sin(t')

<=>     y =  cot(t).x + cos(t)         (2)
De vergelijking van de raaklijn in punt met t'= t + 3 pi/2 is dan
 
        y =  -tan(t').x + sin(t')

<=>     y =  cot(t).x - cos(t)         (3)
De raaklijnen (2) en (3) staan beide loodrecht op raaklijn (1).

Eerste Geval :

We bekijken eerst raaklijnen (1) en (2).

 
         y =  -tan(t).x + sin(t)         (1)
         y =  cot(t).x + cos(t)        (2)
We berekenen het snijpunt van die twee raaklijnen. We lossen dit stelsel op naar x en y en we vinden na vereenvoudiging
 
         x = (1/2) sin(2t) ( sin(t) - cos(t) )       (4)
         y = (1/2) sin(2t) ( sin(t) + cos(t) )       (5)
Dit geeft ons voor elke t het punt van waaruit de raaklijnen aan de astroide loodrecht op elke staan.
(4) en (5) de parametervergelijkingen van de meetkundige plaats. Op de figuur zie je in het blauw de meetkundige plaats aangegeven.
 
    
Tweede geval : We bekijken nu raaklijnen (1) en (3). Men vindt dan voor x en y
 
         x = (1/2) sin(2t) ( sin(t) + cos(t) )
         y = (1/2) sin(2t) ( cos(t) - sin(t) )
We tonen aan dat dit dezelfde meetkundige plaats is als in het eerste geval.

Daar t een reele parameter is, verandert er niets aan de vorm van de meetkundige plaats als we t vervangen door t + pi/2.

 
         x = (1/2) sin(2t+pi) ( sin(t + pi/2) + cos(t + pi/2) )
         y = (1/2) sin(2t+pi) ( cos(t + pi/2) - sin(t + pi/2) )

Dit is gelijkwaardig met

         x = -(1/2) sin(2t) ( cos(t) - sin(t) )
         y = -(1/2) sin(2t) ( -sin(t) - cos(t) )

Dit is gelijkwaardig met

         x = (1/2) sin(2t) ( sin(t) - cos(t) )
         y = (1/2) sin(2t) ( sin(t) + cos(t) )
Nu is het duidelijk dat we hier dezelfde kromme vinden als in het eerste geval.

Opmerking: De gevonden meetkundige plaats raakt in acht punten aan de astroide. Noem C zo'n punt. De twee raaklijnen uit C aan de astroide staan loodrecht op elkaar. Daar C op de astroide ligt is de ene raaklijn juist de raaklijn in C aan de astroide. De andere raaklijn staat daar loodrecht op. Die andere raaklijn is dus de normaal in C aan de astroide.

Besluit:

Die acht speciale punten zijn de enige punten van de astroide waar de normaal raakt aan de astroide.

Oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.