MATRICES




Definities

Matrix

Een matrix is een verzameling getallen, geordend in een rechthoekig schema.

Voorbeeld. Een matrix A is

 
        [2  5  7  8]
        [5  6  8  9]
        [3  9  0  1]
Deze matrix A heeft 3 rijen en 4 kolommen. We spreken van een 3 x 4 matrix.

De getallen zijn de elementen van de matrix. We noteren het element op de tweede rij en de vierde kolom door a2,4.

Vierkante matrix

Als het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen spreken we van een vierkante matrix.

In een vierkante matrix zijn de elementen ai,i , met i = 1,2,3,... , de diagonaalelementen.
Opm: Er is geen verschil tussen een 1 x 1 matrix en een gewoon getal.

Diagonaal matrix

Een diagonaal matrix is een vierkante matrix waarvan alle niet-diagonaalelementen nul zijn. Zulke matrix is volledig bepaald door de diagonaalelementen
Voorbeeld
 
        [7  0  0]
        [0  5  0]
        [0  0  6]

De matrix wordt ook genoteerd als  diag(7 , 5 , 6)

Rijmatrix

Een matrix met 1 enkele rij heet een rijmatrix.

[2 5 -1 5]

Kolommatrix

Een matrix met 1 enkele kolom heet een kolommatrix.
 
      [2]
      [4]
      [3]
      [0]

Gelijksoortige matrices

Matrices A en B heten gelijksoortig als en slechts als
(A en B hebben evenveel rijen) en (A en B hebben evenveel kolommen).

 
        [7  1  2]       [4  0  3]
        [0  5  6]  en   [1  1  4]
        [3  4  6]       [8  6  2]

De getransponeerde van een matrix

De n x m matrix B is de getransponeerde van de m x n matrix A als en slechts als
De i-de rij van A = de i-de kolom van B voor (i = 1,2,3,..m)
Dus ai,j = bj,i

 
De getransponeerde van A noteren we als  T(A) of AT

              T
        [7  1]       [7  0  3]
        [0  5]    =  [1  5  4]
        [3  4]

0-matrix

Het is een matrix waarvan alle elementen 0 zijn.
Elke 0-matrix kunnen we kortweg noteren als 0.

Een eenheidsmatrix E

Een eenheidsmatrix E is een diagonaalmatrix waarvan alle diagonaalelementen 1 zijn.

 
 [1]

 [1 0]
 [0 1]

 [1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]

 ...

Een scalaire matrix S

Een scalaire matrix S is een diagonaalmatrix waarvan alle diagonaalelementen gelijk zijn.
a1,1 = ai,i voor (i = 1,2,3,..n)

 
        [7  0  0]
        [0  7  0]
        [0  0  7]

Tegengestelde matrix

Als we alle elementen van een matrix A van teken veranderen krijgen we de tegengestelde matrix -A.
Als A' de tegengestelde matrix is van A dan hebben we ai,j' = -ai,j, voor alle i en j.

Symmetrische matrix

Een vierkante matrix heet symmetrisch als en slechts als die matrix gelijk is aan zijn getransponeerde.
Dan is ai,j = aj,i , voor alle i en j.

 
        [7  1  5]
        [1  3  0]
        [5  0  7]

Scheef symmetrische matrix

Een vierkante matrix heet scheef symmetrisch als en slechts als die matrix gelijk is aan het tegengestelde van zijn getransponeerde.
Dan is ai,j = -aj,i ,voor alle i en j.

 
        [ 0  1 -5]
        [-1  0  0]
        [ 5  0  0]

Som van gelijksoortige matrices

Som van matrices

Om twee gelijksoortige matrices op te tellen, telt men gewoon de overeenkomstige elementen op.

Som Eigenschappen

Noem S de verzameling van alle n x m matrices (n en m vast) en A en B zijn elementen uit S.
Uit de eigenschappen van reele getallen volgt onmiddellijk

Scalaire vermenigvuldiging

Definitie

Om een matrix met een getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men elk element met dit getal.

Eigenschappen

Noem S de verzameling van alle n x m matrices (n en m vast) en A en B zijn elementen uit S. r en s zijn reele getallen.
Het is niet moeilijk in te zien dat:

 
    r(A+B) = rA+rB
    (r+s)A = rA+sA
    (rs)A = r(sA)
    (rA)T = r. AT

Sommen

Omdat in hetgeen volgt er een intensief gebruik is van eigenschappen van sommen, wordt de lezer, die deze eigenschappen niet kent, aangeraden eerst het volgende te lezen.
Sommen in de wiskunde .
Opmerking. In dit html document zullen we voor het gemak het woordje som gebruiken in plaats van het sigma teken.

Vermenigvuldiging van een rijmatrix met een kolommatrix

Deze vermenigvuldiging is enkel mogelijk als de rijmatrix en de kolommatrix evenveel elementen hebben. Het resultaat is een gewoon getal ( 1 x 1 matrix).
Om dat getal te vinden vermenigvuldigt men de elementen van de rijmatrix met de overeenkomstige van de kolommatrix en men telt die producten op. Voorbeeld.

 
         [1]
[2 1 3]. [2] = [19]
         [5]

Product A.B

Dit is enkel mogelijk als het aantal kolommen van A gelijk is aan het rijen van B. We noemen C = A.B.
Het element ci,j vinden we door de i-de rij van A te vermenigvuldigen met de j-de kolom van B.

Zij A een (l x m) matrix en B een (m x n) matrix dan is het product A.B = C een (l x n) matrix.
Formule vorm voor het element ci,j van C :

 
        ci,j = sumk (ai,k.bk,j)
Voorbeelden.
 
[1 2][1 3] = [5 7]
[2 1][2 2]   [4 8]

[1 3][1 2] = [7 5]
[2 2][2 1]   [6 6]

[1 1][2    2] = [0 0]
[1 1][-2  -2]   [0 0]

[ 1, 3, 2 ] [ 3,  -1, 4  ]    [ 1, 16, 5  ]
[ 4, 5, 3 ] [ -2, 3,  1  ] =  [ 8, 23, 18 ]
[ 2, 2, 1 ] [ 2,  4,  -1 ]    [ 4, 8,  9  ]

Uit deze voorbeelden blijkt dat het product niet commutatief is en dat er nuldelers voorkomen. Nuldelers zijn van nul verschillende matrices die toch product 0 geven.

Toepassing

Een matrix A heet idempotent als en slechts als A2 = A.

Gegeven: matrix A =

 
[1  b  c]
[0  0  2]
[0  0  1]
Bereken alle matrices van de vorm A zodat A idempotent is.

Oplossing:

We berekenen A2.

 

[1  b  2c+2b]
[0  0    2  ]
[0  0    1  ]

     A2 = A
<=>
    2c + 2b = c
<=>
    c = -2b
Alle matrices zodat A idempotent is, zijn
 
[1  b  -2b]
[0  0   2 ]  met b in R
[0  0   1 ]

Vermenigvuldiging eigenschappen

Associativiteit

Als de vermenigvuldiging gedefinieerd is zal A(B.C) = (A.B)C voor alle matrices A,B en C.

Bewijs:
We tonen aan dat elk element van A(B.C) gelijk is aan het overeenkomstig element van (A.B)C
Eerst berekenen we het element van de i-de rij en j-de kolom van A(B.C).

 
Zij D gelijk aan B.C, dan
        dk,j = somp  bk,p.cp,j        (1)

Zij E gelijk aan A.D dan
        ei,j = somk ai,k.dk,j         (2)

(1) in (2) geeft
        ei,j = somk ai,k.(somp bk,p.cp,j)

<=>     ei,j = somk,p ai,k.bk,p.cp,j

Dus  het element van de i-de rij en j-de kolom van  A(B.C) is

        somk,p ai,k.bk,p.cp,j               (3)
Nu berekenen we het element van de i-de rij en j-de kolom van (A.B)C
 
Zij D' gelijk aan A.B, dan
        di,p' = somk ai,k.bk,p        (4)

Zij E' gelijk aan D'C dan
        ei,j' = somp di,p'.cp,j       (5)

(4) in (5) geeft
        ei,j' = somp (somk ai,k.bk,p).cp,j

<=>     ei,j' = somk,p ai,k.bk,p.cp,j

Dus  het element van de i-de rij en j-de kolom van  (A.B)C is
        somk,p ai,k.bk,p.cp,j               (6)

Uit (3) en (6)  => A(B.C) = (A.B)C

Distributiviteit

Als de vermenigvuldiging gedefinieerd is zal A(B+C) = A.B+A.C en (A+B).C = A.C+B.C voor alle matrices A,B en C. Deze stelling kan op dezelfde manier bewezen worden als de vorige. (oefening)

Stelling 1

Voor elke matrix A is er altijd een eenheidsmatrix E en een eenheidsmatrix E' zo dat A.E = A en E'.A = A
Als A een vierkante matrix is dan is E = E'.

Stelling 2

 
        (A.B)T = BT .AT
Voorbeeld:
Neem
 
  [ 2 4 ] [x]
  [ 3 8 ] [y]
Als we dit product transponeren, krijgen we
 
  [x y ] [ 2 3 ]
         [ 4 8 ]
Deze stelling kan op dezelfde manier bewezen worden als hierboven.

Stelling 3

Als de vermenigvuldiging gedefinieerd is dan geldt voor alle A
 
        A.0 = 0 en   0.A = 0

Stelling 4

r en s zijn reele getallen en A en B matrices.
Als de vermenigvuldiging gedefinieerd is dan is (rA)(sB) = (rs)(AB)
Deze stelling kan op dezelfde manier bewezen worden als hierboven.

Stelling 5

 
Als  D = diag(a,b,c) dan D.D = diag( a2 , b2 , c2)
                        D.D.D = diag( a3 , b3 , c3)
                        .....
Deze eigenschap kan veralgemeend worden voor D = diag(a,b,c,d,e,...,l).

Volgende stappen

  1. Determinanten vormen een noodzakelijke tussenstap naar dieper inzicht omtrent stelsels vergelijkingen.

  2. Stelsels lineaire vergelijkingen;
    rang van een matrix;
    Regel van Cramer;
    Indeling van de stelsels ; Onderzoek van stelsels met parameters




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.