Logaritmische vergelijkingen over R




Probleem bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

Op deze pagina stelt log de logaritme voor met basis 10. Heeft de logaritme een andere basis dan 10, dan is de methode om de vergelijking op te lossen juist dezelfde als deze hieronder.

Uitleg aan de hand van een voorbeeld.

 
log(x2 - 2) = log (-x)
De algemene methode om een vergelijking op te lossen bestaat erin die vergelijking achtereenvolgens te vervangen door gelijkwaardige vergelijkingen tot we de oplossingen vinden.

Om deze vergelijking op te lossen zijn we geneigd in beide leden de log-functie weg te laten, maar de volgende gelijkwaardigheid

 
log(x2 - 2) = log (-x)   <=> x2 - 2 = -x
is foutief, want 1 is een oplossing van x2 - 2 = -x maar niet van log(x2 - 2) = log (-x). Dit betekent dat die twee vergelijkingen niet gelijkwaardig zijn.

Het is duidelijk dat volgende uitdrukking wel correct is.

 
log(x2 - 2) = log (-x)   =>  x2 - 2 = -x
Want als twee getallen dezelfde logaritme hebben, dan zijn die getallen gelijk. Alle oplossingen van de linker vergelijking zijn ook oplossingen van de rechter vergelijking maar niet omgekeerd. De rechter vergelijking kan meer oplossingen hebben.

Toch zullen we logaritmische vergelijkingen oplossen door ze eerst in de vorm log A = log B te brengen en dan in beide leden de log-functie weg te laten. Maar telkens moeten we er ons van bewust zijn dat, door dat weglaten, de nieuwe vergelijking meer oplossingen kan hebben dan de oorspronkelijke. Deze oplossingen wensen we eigenlijk niet. We noemen ze valse oplossingen.

Er bestaan verschillende manieren om, op het einde, die valse oplossingen te schrappen. De meest eenvoudige wijze is het toetsen van de gevonden oplossingen aan de opgave. De gevonden oplossingen die niet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking zijn de valse oplossingen en ze worden geschrapt.

Laten we deze procedure toepassen op de vergelijking log(x2 - 2) = log (-x).

 
log(x2 - 2) = log (-x)   =>  x2 - 2 = -x
Dit geeft een vierkantsvergelijking met wortels 1 en -2. We toetsen die twee waarden aan de opgave en we zien dat enkel -2 voldoet. 1 is hier een valse oplossing en moet geschrapt worden. -2 is de enige oplossing van de gegeven vergelijking.

Uitgewerkte voorbeelden en richtlijnen




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.