Rechten in een vlak




Orthonormale assen

In alles wat volgt nemen we aan dat de x-as loodrecht staat op de y-as in punt O en dat de eenheden op die assen even groot zijn.
We noemen dit 'orthonormale assen'.

Vergelijking en richtingscoefficient van een rechte

We weten dat, in het vlak, elke rechte een vergelijking heeft van de vorm
 
        ax+by+c=0
Als b niet 0 is, is de richtingscoefficient van die rechte gelijk aan -a/b .
Opm: ax+by = 0 is de vergelijking van een rechte door O en parallel met l.

Richtingsvector van een rechte en evenwijdigheid

Neem rechte l : ax+by+c=0 en rechte l' : ax+by = 0
Elk punt P op l' is het beeldpunt van een vector P welke de richting van de rechte l definieert. P heet een richtingsvector van l.
Als r een reeel getal is ( niet 0) dan is r.P ook een richtingsvector van die rechte.
Een eenvoudige keuze voor P is P(b,-a).

Neem nu twee willekeurige rechten

 
  a x + b y + c = 0

  d x + e y + f = 0

      De twee rechten zijn evenwijdig
<=>
      Een richtingsvector van de ene is veelvoud van
      een richtingsvector van de andere.
<=>
      (b, -a) is veelvoud van (e, -d)
<=>
      (a , b) is veelvoud van (d , e)
<=>
      a e = b d
<=>
      | a   b |
      | d   e |  = 0
 
   De rechten a x + b y + c = 0  en d x + e y + f = 0  zijn evenwijdig
<=>
     a e = b d
<=>
      | a   b |
      | d   e |  = 0

Drie punten op een rechte (collineaire punten).

 
    Drie punten P(x1,y1) Q(x2,y2) en R(x3,y3) zijn collineair
<=>
    Er bestaat een rechte  a x + b y + c = 0 welke P, Q en R bevat.
<=>
    Er bestaat een rechte  a x + b y + c = 0 zodat
        a x1 + b y1 + c = 0
        a x2 + b y2 + c = 0
        a x3 + b y3 + c = 0
<=>
   Er bestaat een a , b en c niet alle 0 zodat
        a x1 + b y1 + c = 0
        a x2 + b y2 + c = 0
        a x3 + b y3 + c = 0
<=>
   Het volgend homogeen stelsel met onbekenden a,b en c heeft een oplossing
   verschillend van de nuloplossing.
        a x1 + b y1 + c = 0
        a x2 + b y2 + c = 0
        a x3 + b y3 + c = 0
<=>
        |x1    y1     1|
        |x2    y2     1| = 0
        |x3    y3     1|
Besluit :
Drie punten P(x1,y1) Q(x2,y2) en R(x3,y3) zijn collineair als en slechts als
 
        |x1    y1     1|
        |x2    y2     1| = 0
        |x3    y3     1|

Vergelijking van de rechte PQ met P(x1,y1) en Q(x2,y2)

Uit het vorige weten we dat een variabel punt D(x,y) op de rechte PQ ligt als en slechts als
 
        |x      y       1|
        |x1     y1      1| = 0
        |x2     y2      1|
Dit is de voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen opdat het variabel punt op de rechte zou liggen. Dus is dit de vergelijking van de rechte PQ.

De rechte PQ met P(x1,y1) en Q(x2,y2) is
 
        |x      y       1|
        |x1     y1      1| = 0
        |x2     y2      1|

Drie rechten door een punt (concurrente rechten)

Op dezelfde wijze als bij collineaire punten toont men aan (oefening) dat

Drie rechten
 
        a x  + b y  + c  = 0
        a' x + b' y + c' = 0
        a" x + b" y + c" = 0
zijn concurrent als en slechts als
 
      | a    b    c |
      | a'   b'   c'| = 0
      | a"   b"   c"|

Toepassing over evenwijdige en concurrente rechten

 
 a x + b y = 1         (1)
 a x +   y = b         (2)
   x + b y = a         (3)
zijn de vergelijkingen van drie rechten.
De reele parameters a en b zijn verschillend van elkaar.

Onderzoek de onderlinge ligging van de drie rechten voor alle waarden van a en b.


  1. Minstens twee rechten zijn evenwijdig.

    (1) en (2) zijn evenwijdig als en slechts als ( a = 0 of b = 1 )
    (1) en (3) zijn evenwijdig als en slechts als ( b = 0 of a = 1 )
    (2) en (3) zijn evenwijdig als en slechts als ( a b = 1 )

    We behandelen nu deze gevallen afzonderlijk

    1. a = 0 (dan is b niet 0)
       
      De vergelijkingen van de rechten zijn nu
      
             b y = 1         (1)
               y = b         (2)
         x + b y = 0         (3)
      
      De rechten (1) en (2) zijn evenwijdig en de derde snijdt (1) en (2).
      (1) en (2) vallen samen als en slechts als ( b = 1 of b = -1)

    2. b = 0 (dan is a niet 0)
       
      De vergelijkingen van de rechten zijn nu
      
         a x       = 1         (1)
         a x +   y = 0         (2)
           x       = a         (3)
      
      De rechten (1) en (3) zijn evenwijdig en de tweede snijdt (1) en (3).
      (1) en (3) vallen samen als en slechts als ( a = 1 of a = -1)

    3. a = 1 (dan is b niet 1)
       
      De vergelijkingen van de rechten zijn nu
      
          x + b y = 1         (1)
          x +   y = b         (2)
          x + b y = 1         (3)
      
      De rechten (1) en (3) vallen samen en de tweede snijdt (1) en (3).

    4. b = 1 (dan is a niet 1)
       
      De vergelijkingen van de rechten zijn nu
      
         a x +   y = 1         (1)
         a x +   y = 1         (2)
           x +   y = a         (3)
      
      De rechten (1) en (2) vallen samen en de derde snijdt (1) en (2).

    5. a.b = 1 ( dan is b niet 1 en a niet 1)

       
      De vergelijkingen van de rechten zijn nu
      
         a x + (1/a) y = 1             (1)
         a x +       y = (1/a)         (2)
           x + (1/a) y = a             (3)
      
      De rechten (2) en (3) zijn evenwijdig maar vallen niet samen.
      De eerste snijdt die twee evenwijdige rechten (2) en (3).

  2. Geen enkele rechte is evenwijdig met een andere.

    a en b zijn verschillend van 1 en van 0 en a.b is niet 1.

    1. De drie rechten zijn concurrent als en slechts als

       
        | a  b  1 |
        | a  1  b | = 0
        | 1  b  a |
      
      <=>
      
        (a-1)(b-1)(a+b+1) = 0
      
      Daar a en b niet 1 zijn krijgen we :
      De drie rechten zijn concurrent als en slechts als a+b+1 = 0.

    2. a+b+1 is niet 0

      De rechten vormen de zijlijnen van een driehoek.

Orthogonaliteit; Afstanden

Deze onderwerpen worden behandeld in Rechten - orthogonaliteit en afstanden

Oppervlakte van de driehoek P(x1,y1) Q(x2,y2) R(x3,y3)

De afstand |Q,R| =
 
              ___________________________
             |
            \| (x2 - x3)2  + (y2 - y3)2
De vergelijking van QR is
 
        |x      y       1|
        |x2     y2      1| = 0
        |x3     y3      1|
We ontwikkelen de determinant naar de eerste rij en vinden
 
        x(y2 - y3) - y(x2-x3) + x2 y3 - x3 y2 = 0
Om de afstand van P tot QR te berekenen, schrijven we eerst de normaalvergelijking van QR.
 
            x(y2 - y3) - y(x2 - x3) + x2 y3 - x3 y2
            --------------------------------------- = 0
                    _________________________
                   |
                  \| (x2 - x3)2  + (y2 - y3)2

<=>
                    |x      y       1|
                    |x2     y2      1|
                    |x3     y3      1|
            --------------------------------------- = 0
                    ___________________________
                   |
                  \| (x2 - x3)2  + (y2 - y3)2
Om de afstand te vinden, nemen we de absolute waarde van het linker lid en we vervangen x en y door de coordinaten van P. De afstand van P tot QR is
 
                    |x1     y1      1|
                    |x2     y2      1|
                    |x3     y3      1|
            | -------------------------------- |
                    _________________________
                   |
                  \| (x2 - x3)2 + (y2 - y3)2
De oppervlakte van de driehoek P(x1,y1) Q(x2,y2) en R(x3,y3) is
 



                                         |x1     y1      1|
      _________________________          |x2     y2      1|
1    |                                   |x3     y3      1|
- . \| (x2 - x3)2  + (y2 - y3)2     | -------------------------------- |
2                                        _________________________
                                        |
                                       \| (x2 - x3)2  + (y2 - y3)2

<=>

                1    |x1     y1      1|
                -.|  |x2     y2      1| |
                2    |x3     y3      1|
De oppervlakte van de driehoek P(x1,y1) Q(x2,y2) en R(x3,y3) is
 

                1    |x1     y1      1|
                -.|  |x2     y2      1| |
                2    |x3     y3      1|




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.