Theoretisch deel over limieten en continuiteit




Omtrent deze pagina

In dit deel zijn alle getallen reeel.

Bij zeer veel stappen in redeneringen op deze pagina wordt het sterk aangeraden, zelf tal van figuren te tekenen welke bij de stappen van de redenering passen. Pas dan doorleeft men grondig de betekenis en de richting van de redenering.

Indien deze visualistie weggelaten wordt, zullen de redeneringen vaag en dikwijls te abstract overkomen.

Axioma van Dedekind voor reele getallen

Als je alle rationale getallen op een as ordent dan liggen, tussen twee willekeurig dicht bij elkaar liggende breuken, toch nog oneindig veel breuken.
En niettegenstaande dit, kan je de as waarop al die breuken liggen, met een oneindig scherp mes, in twee delen splitsen door een snede aan te brengen zonder een breuk te raken. De breuken links en rechts van de snede vormen samen alle breuken. Op de snede zelf was er geen breuk.

We proberen nu dezelfde procedure met de reele getallen. We ordenen ze op een as. Tussen twee willekeurig dicht bij elkaar liggende reele getallen liggen nog oneindig veel reele getallen.
De vraag is nu: kan je een snede aanbrengen, zonder een reeel getal te raken, zodat de getallen links en rechts van de snede samen de verzameling van alle reele getallen vormen?

Welnu, het axioma van Dedekind zegt dat dit niet kan. Met andere woorden, op de snede zelf ligt altijd een reeel getal. Wil men de reele getallen op die manier in twee disjuncte delen verdelen, dan moet men het getal op de snede zelf, bij 1 van de delen voegen. Dus 1 van de twee delen eindigt op een reeel getal. Het andere deel niet!

Verdeelt men, met behulp van een snede van Dedekind, de geordende reele getallen in twee disjuncte delen, dan eindigt het ene deel op een reeel getal en het andere niet.

Heeft men omgekeerd de geordende reele getallen gesplitst in twee disjuncte delen L en H zodat geen enkel deel ledig is en elk element van L kleiner is dan elk element van H, dan is er een snede bepaald. En het axioma zegt dat er op die snede noodzakelijk een reeel getal g aanwezig is. Dat getal g behoort ofwel bij L ofwel bij H.

Bovengrens en benedengrens van een verzameling S

Neem een verzameling S van reele getallen.
 
                Een getal y is een bovengrens van S
                            <=>
                geen element van S overtreft y


                Een getal x is een benedengrens van S
                            <=>
                geen element van S is kleiner dan x
Als y een bovengrens is van S, dan zijn alle getallen groter dan y ook bovengrenzen van S.
Als S een grootste element g bevat, dan is g de kleinste bovengrens van S.
De kleinste bovengrens van S behoort soms, maar niet altijd, tot S.

Voorbeeld
Als S de verzameling is van alle breuken kleiner dan sqrt(2), dan is sqrt(2) de kleinste bovengrens van S en ze behoort niet tot S.
Als S de verzameling is van alle gehele getallen kleiner dan sqrt(2), dan is sqrt(2) een bovengrens maar niet de kleinste. De kleinste bovengrens is dan 1 en behoort tot S

Men kan zich afvragen of elke S een kleinste bovengrens heeft.

Analoog voor benedengrenzen.

Begrensde verzameling

Als een verzameling S een bovengrens en een benedengrens heeft, zeggen we dat de verzameling begrensd is.

Kleinste bovengrens

Stelling
Als S een (niet ledige) verzameling van reele getallen is en bovendien een bovengrens y heeft,
dan is er noodzakelijk een kleinste bovengrens van de verzameling S.
Die kleinste bovengrens heet het 'supremum van S'.

Bewijs:
We plaatsen alle reele getallen op een as. Zij H de verzameling van alle bovengrenzen van S.
Van zodra een getal tot H behoort, behoren alle grotere getallen tot H. Tussen twee elementen van H, zitten alleen maar elementen van H. We moeten nu nagaan of H een kleinste element bezit. Eigenlijk liggen nu op de as twee soorten reele getallen : H en de andere. Die andere vormen een verzameling L = alle niet-bovengrenzen van S. Merk op dat niet alle elementen van L noodzakelijk tot S behoren.

Elk element van H is groter dan een element van L. De verzameling getallen L en H zijn gescheiden door een snede van Dedekind. Wegens vorig axioma ligt op de snede zelf een getal g.
De vraag is nu :Is g, al of niet, een bovengrens?

Onderstel een ogenblik dat g geen bovengrens is van S. Dan zit er in S nog een element s' groter dan g. Maar dan zou s' groter zijn dan een bovengrens van S gelegen tussen g en s'. Dit is onmogelijk!

Dus is g noodzakelijk een bovengrens van S en uiteraard de kleinste bovengrens want buiten H zijn er geen bovengrenzen.
Er dient opgemerkt te worden dat g tot S kan behoren maar dit is niet noodzakelijk.

Grootste benedengrens

Stelling
Als S een (niet ledige) verzameling is van reele getallen en S heeft een benedengrens y,
dan is er een grootste benedengrens van de verzameling S.
Die grootste benedengrens heet het infimum van S.

Bewijs analoog aan vorige ( oefening )

Over de convergentie van de beeldrijen in de definitie van'limiet van een functie'

We gaan nader in op de formulering van de definitie van
 
        lim f(x)
         b
Neem opnieuw de verzameling van alle naar b convergente rijen {xn} waarvan de termen Met elke rij {xn} correspondeert een 'beeldrij' {f(xn)}.
We tonen nu aan dat

Als alle beeldrijen convergeren dan hebben ze alle dezelfde limiet

Neem zo'n rij x1,x2, ... en de beeldrij convergeert naar A.
Kies een tweede rij x'_1,x'_2, ... en de beeldrij convergeert naar B.
Met deze rijen construeren we een derde rij x1,x'_1,x2,x2, ...
Daar alle beeldrijen convergeren kunnen we zeggen dat de laatste rij convergeert naar C.
De eerste rij is deelrij van de derde, dus hebben ze de zelfde limiet. A = C.
De tweede rij is deelrij van de derde, dus hebben ze de zelfde limiet. B = C.
Dus moet A=B en dus moeten alle beeldrijen de zelfde limiet hebben.

Nu weten we dat al de beeldrijen die aan de twee vermelde voorwaarden voldoen, naar een zelfde getal C convergeren.
We weten dat C gedefinieerd werd limiet van de functie als x nadert tot b.

 
        lim f(x) = C
         b
Merk op dat het niet uitgesloten is dat C verschillend is van f(b).

Het kan zelfs voorkomen dat f(b) niet bestaat want er bestaan immers functies met heel eigenaardige grafieken.

Belangrijk gevolg van het begrip 'limiet van een functie'.

Tot nu toe was een limiet van een functie gedefinieerd als een gemeenschappelijke limiet van beeldrijen. Volgende stelling omvormt die definitie tot iets wat meer handelbaar is in redeneringen over limieten.

Stelling:

 
Als     lim f(x) = c
       x->b

Dan zal f(x) willekeurig dicht bij c liggen van zodra x dicht genoeg bij b komt.
Nu met een meer wiskundige formulering
 
Het getal e is een willekeurig strikt positief getal.

Als     lim f(x) = c
       x->b
Dan
        met elke e, correspondeert een gepast strikt positief getal d,  zodat
            |f(x) - c| < e  van zodra |x - b| < d

Bewijs:
Stel dat het niet zo is.
Dan is er een e waarmee geen gepaste d overeenkomt zodat |f(x) - c| < e van zodra |x - b| < d .

Voor die e-waarde zal voor elke willekeurig kleine waarde d, is er minstens een x1 zo dat
| x1 - b | < d => | f(x1) - c | >= e
Nu nemen we een rij van dalende d-waarden met limiet 0.
d1, d2, d3 ....
Voor al die waarden hebben we :

 
Voor d1 is er tenminste een x1 zo dat |x1 - b| < d1 => |f(x1) - c| >= e
Voor d2 is er tenminste een x2 zo dat |x2 - b| < d2 => |f(x2) - c| >= e
Voor d3 is er tenminste een x3 zo dat |x3 - b| < d3 => |f(x3) - c| >= e
... ...                 ...             ....            ...     ...
Daar de rij {dn} naar 0 convergeert zal de rij {xn} naar b convergeren en krachtens vorige paragraaf zal de de beeldrij {f(xn)} convergeren naar c.
Dit is in strijd met
 
         |f(x1) - c| >= e
         |f(x2) - c| >= e
         |f(x3) - c| >= e
             ...
Q.E.D

De omgekeerde stelling is vanzelfsprekend.

Met deze eigenschap kunnen tal van andere eigenschappen over limieten bewezen worden. Eerst even herinneren aan de definitie van continuiteit

Continuiteit definitie

 
        f(x) is continu in b
                <=>
        lim f(x) = f(b)
         b

Stelling 1

Als f(x) continu is in b en als f(b) positief is, dan is er een kleine omgeving van b zo dat f(x) positief blijft.

Bewijs:

 
        lim f(x) = f(b)
         b

<=>     met elk willekeurig klein strikt positief getal e, correspondeert een gepast
        strikt positief getal d,  zo dat
        |x - b| < d   => |f(x) - f(b)| < e

Kies  0 < e < f(b) , dan  bestaat een d zodat

        b - d < x < b + d  => 0 < f(b) - e < f(x) < f(b) + e
We hebben dus een kleine omgeving ] b - d, b + d [ van b waar f(x) positief blijft.

Analoog hebben we

Stelling 2

Als f(x) continu is in b en als f(b) negatief is, dan is er een kleine omgeving van b, zo dat f(x) negatief blijft.

Bolzano's stelling

Als f(x) continu is in [a,b] en f(a).f(b) < 0
Dan is er een reeel getal c in ]a,b[ zo dat f(c) = 0.
Bewijs:
We bewijzen de stelling voor f(a) < 0 en f(b) > 0.

Neem de verzameling D = {x in [a,b] ; f(x) < 0}
D is niet ledig en heeft een bovengrens b, dus is er een supremum m.
We tonen aan dat f(m) = 0.

Als f(m) < 0 dan is er een kleine omgeving van m zo dat f(x) negatief blijft.
Dan zijn er elementen in D groter dan m en dit is onmogelijk.

Als f(m) > 0 dan is er een kleine omgeving van m zo dat f(x) positief blijft.
Dan is er een getal kleiner dan m dat niet overtroffen wordt door een element van D. Dit is onmogelijk.

Stelling 3

Als f(x) continu is in b dan is f(x) begrensd in een voldoende kleine omgeving van b.

Bewijs:
Kies een willekeurig klein strikt positief getal e.
Daar f(x) continu is in b, is er een strikt positief getal d zo dat

 
        b - d < x < b + d  =>      f(b) - e < f(x) < f(b) + e
We zien dat f(x) begrensd is in een gepaste kleine omgeving van b.

Stelling 4

Als f(x) continu is in [a,b], dan is f(x) begrensd in [a,b].

Bewijs:
Neem de verzameling D = { x in [a,b] | f(x) is begrensd in [a,x] }
De verzameling D is niet ledig en er is een bovengrens b. Dus heeft de verzameling D een supremum m.

Als m < b dan zal, volgens vorige stelling, f(x) begrensd zijn in een gepaste kleine omgeving ]m-d, m+d[ . Maar dan is f(x) begrensd in [a,m+d[ en m is niet het supremum van D.

Daarom is m = b, en daar f(b) een reeel getal is , zal f(x) begrensd zijn in [a,b].

Stelling van Weierstrass.

Als f continu is in [a,b] , dan bereikt f(x) een maximaal en minimaal beeld in [a,b].

We bewijzen de stelling voor het maximaal beeld.

Uit de vorige stelling weten we dat f(x) een kleinste bovengrens M heeft in [a,b].
Onderstel dat er geen x is in [a,b], zo dat f(x)=M.
Dan is M - f(x) > 0 voor alle x in [a,b] .
Nu construeren we de functie g(x) = 1/(M - f(x)).
Deze functie is continu en strikt positief in [a,b]. Uit de vorige stelling weten we dat het begrensd is in [a,b].
Noem s > 0 de kleinste bovengrens.
Dan zal 1/(M - f(x)) s niet overtreffen in [a,b].
Vandaar dat M - 1/s >= f(x)
Dit is onmogelijk daar M de kleinste bovengrens is in [a,b].



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.