Imaginaire punten en rechten




Uitbreiding van het begrip punten en rechten

Punten

In de theorie over homogene coordinaten, hebben we gezien dat er met elke verzameling ||a,b,c||, juist 1 punt correspondeert.
De waarden a, b en c zijn reele getallen.

We zullen nu de definitie van ||a,b,c|| uitbreiden.
S is de verzameling van alle geordende drietallen (a,b,c) ; met a,b,c in the verzameling C van de complex getallen.
We verwijderen het element (0,0,0). So = S \ {(0,0,0)}.
In So zeggen we dat (a',b',c') een veelvoud is van (a,b,c) als en slechts als er een complex getal s bestaat zodat (a',b',c') = s (a,b,c).
In So noteren we de verzameling van all deze veelvouden van (a,b,c) als ||a,b,c||.

Nu zullen we juist 1 punt associeren met elk element ||a,b,c||.

  1. ||a,b,c|| bevat een geordend drietal reele getallen (r,r',r").

    (r,r',r") zijn dan de coordinaten van 1 reeel punt P.
    We associeren ||a,b,c|| met dat punt P.
    Elk element van die verzameling is a stel homogene coordinaten van punt P.
    Voorbeeld: P(i,i,5i) is a reeel punt. Het is hetzelfde punt als P(1,1,5).

  2. ||a,b,c|| bevat geen enkel geordend drietal reele getallen (r,r',r").
    We associeren ||a,b,c|| met een imaginair punt. We zeggen dat elk element van de verzameling ||a,b,c|| een stel homogene coordinaten is van dat punt. Ten minste 1 van de drie coordinaten is niet reeel.
    We kunnen bijvoorbeeld spreken over het punt P(1+i,5,-i).

We hebben nu vier soorten punten.

Toegevoegd imaginaire punten

 
        P(a+ia', b+ib', c+ic') en punt Q zijn toegevoegd imaginaire punten
<=>
        (a-ia', b-ib', c-ic')  coordinaten zijn van Q

Reele punten criterium

Als a, b en c reeel zijn, dan is P(a,b,c) reeel.

We beschouwen nu alle andere gevallen.

 
        P(a+ia',b+ib',c+ic') is een reeel punt
=>
        ||a+ia',b+ib',c+ic'|| bevat een  reeel drietal (d,e,f)
=>
        Er is een  complex getal k + il zodat
                a+ia' = (k+il)d
                b+ib' = (k+il)e
                c+ic' = (k+il)f
=>
        a = kd          a' = ld
        b = ke   en     b' = le
        c = kf          c' = lf
=>
        (a,b,c) is recht evenredig met  (d,e,f) en
        (a',b',c') is recht evenredig met  (d,e,f)
=>
        (a,b,c) is recht evenredig met (a',b',c')
=>
        Er  is a reeel getal t zodat
         a' = ta en b' = tb en c' = tc
=>
        punt P heeft coordinaten (a+ita,b+itb,c+itc)
=>
        punt P heeft coordinaten  (a(1+it),b(1+it),c(1+it))
Omgekeerd:
Als punt P coordinaten heeft van de vorm (a(1+it),b(1+it),c(1+it)), dan heeft P coordinaten (a,b,c) en dan is P reeel.

Rechten

Uit de theorie over homogene coordinaten, weten we :
Met elke rechte a met vergelijking u x + v y + w z = 0 correspondeert juist 1 verzameling ||u,v,w||.
Elk element van die verzameling heet een stel lijncoordinaten van rechte a.
We kunnen dus schrijven : rechte a(u, v, w)
(u,v,w) zijn homogene coordinaten van de rechte.

Juist op dezelfde manier als hierboven definieren we reele rechten, imaginaire rechten en toegevoegd imaginaire rechten.

We hebben nu drie soorten rechten.

Reele rechten criterium

Zelfde criterium als hierboven.

Definitie

Voor alle punten en alle rechten, hebben we:
 
        Punt P(a,b,c) ligt op rechte l(u,v,w)
<=>
         u a + v b + w c = 0

Gevolgen

Men toont gemakkelijk aan dat :
Twee verschillende rechten hebben juist 1 punt gemeen.
Twee verschillende punten bepalen juist 1 rechte.
Alle formules over vergelijkingen van rechten, punten, ... blijven onveranderd.

Eigenschappen van imaginaire en reele elementen

Een reele rechte en twee toegevoegd imaginaire punten.

Twee toegevoegd imaginaire punten bepalen een reele rechte.
Neem P(a+ia',b+ib',c+ic') en Q(a-ia',b-ib',c-ic').
De rechte PQ heeft vergelijking
 
        | x             y               z       |
        | a+ia'         b+ib'           c+ic'   | = 0
        | a-ia'         b-ib'           c-ic'   |

<=>     (rij 2 + rij 3)

        | x             y               z       |
        | 2a            2b              2c      | = 0
        | a-ia'         b-ib'           c-ic'   |

<=>     (rij 3 - (1/2) rij 2) en delen door (-i)

        | x     y       z  |
        | a     b       c  | = 0
        | a'    b'      c' |
en dit is a reele rechte.

Twee toegevoegd imaginaire rechten bepalen een reeel punt.

Geef een bewijs als oefening

Een reele rechte bevat een oneindig aantal imaginaire punten

Neem de reele en verschillende punten P(a,b,c) en Q(a',b',c') op een reele rechte.
Het punt R(a+ita',b+itb',c+itc'), met t als een reele parameter, ligt op PQ en is een imaginair punt omdat (a,b,c) en (a',b',c') niet recht evenredig zijn.
Als t varieert, ontstaan een oneindig aantal imaginaire punten.

Een reeel punt ligt op een oneindig aantal imaginaire rechten.

Bewijs dit als oefening

Als een reele rechte een imaginair punt bevat, dan bevat die rechte ook het toegevoegd imaginaire punt.

Stel dat de reele rechte a het imaginaire punt P bevat.
Onderstel dat het toegevoegd imaginaire punt P' niet op die rechte a ligt. Dan zal de reele rechte PP' en de reele rechte a snijden in een reeel punt. Dit is onmogelijk daar P een imaginair punt is.

Als een imaginaire rechte een reeel punt P bevat, dan bevat de toegevoegd imaginaire rechte ook punt P.

Geef een bewijs als oefening

Reele punten op een imaginaire rechte.

Er is juist 1 reeel punt op een imaginaire rechte.
De imaginaire rechte en de toegevoegd imaginaire rechte snijden in een reeel punt. Dus is er een reeel punt op een imaginaire rechte.
Indien er twee reele punten op de imaginaire rechte zouden , dan zou de rechte reeel worden.

Reele rechten door een imaginair punt.

Er is juist 1 reele rechte door een imaginair punt.
Bewijs dit als oefening

Stelling 1

Als
R een reeel punt is
P en Q toegevoegd imaginaire punten zijn
P, Q en R niet collineair zijn
Dan zijn de rechten RP en RQ toegevoegd imaginaire rechten

Bewijs:
Neem P(a+ia',b+ib',c+ic') en Q(a-ia',b-ib',c-ic') en R(d,e,f)
De vergelijking van RP is

 
        | x             y               z     |
        | d             e               f     | = 0
        | a-ia'         b-ib'           c-ic' |
<=>
        | x     y       z  |     | x    y   z  |
        | d     e       f  | + i | d    e   f  | = 0
        | a     b       c  |     | a'   b'  c' |
<=>
        (ux+vy+wz)+i(u'x+v'y+w'z)=0
<=>
        (u+iu')x+(v+iv')y+(w+iw')z=0
Analoog: de vergelijking van RQ is (u-iu')x+(v-iv')y+(w-iw')z=0

Beide rechten zijn geen reele rechten want als RP reeel is, dan is Q op RP en P, Q en R zijn dan collineair. Dit geeft een tegenstrijdigheid.

Stelling 2

Als
r een reele rechte is
p en q toegevoegd imaginaire rechten zijn.. P, q en r niet concurrent zijn
Dan zijn de snijpunten van r en p, en van r en q, toegevoegd imaginaire punten.

Geef een bewijs als oefening

Reele en imaginaire krommen - definities

We zeggen dat een kromme reeel is als en slechts als de kromme een oneindig aantal reele punten bevat.

We zeggen dat een kromme imaginair is als en slechts als die kromme slechts een eindig aantal reele punten bevat.
Voorbeeld:

 
        x2  + y2  = 0  en  x2  + y2  + 9 = 0
zijn vergelijkingen van imaginaire krommen.

Isotrope of cyclische punten en rechten

Definities

Ten opzichte van orthonormaal assenstel definieren we de punten I(1,i,0) en J(1,-i,0) als de cyclische of de isotrope punten.
Deze punten zijn oneigenlijk en toegevoegd imaginair.
Elke rechte welke zo'n punt bevat noemen we een isotrope rechte.

Translaties en isotrope punten

Kies een translatie van een oud assenstel naar een nieuw assenstel.
Uit de theorie van de coordinatentransformaties weten we dat de transformatieformules geschreven worden als
 
        [ x ]     [ x' ]                [1   0   xo]
        [ y ] = M.[ y' ]  met       M = [0   1   yo]
        [ z ]     [ z' ]                [0   0    1]
(x,y,z) zijn de coordinaten van een punt ten opzichte van de oude assen.
(x',y',z') zijn de coordinaten van een punt ten opzichte van de nieuwe assen.

ten opzichte van de nieuwe assen, nemen we het punt I(1,i,0). De coordinaten van dit punt I ten opzichte van de oude assen zijn dan

 
        [1   0   xo] [ 1 ]   [ 1 ]
        [0   1   yo].[ i ] = [ i ]
        [0   0    1] [ 0 ]   [ 0 ]
Ten opzichte van de nieuwe assen, nemen we het punt J(1,-i,0). De coordinaten van dit punt J ten opzichte van de oude assen zijn dan
 
        [1   0   xo] [ 1 ]   [ 1 ]
        [0   1   yo].[ -i] = [ -i]
        [0   0    1] [ 0 ]   [ 0 ]
Besluit: De coordinaten van de cyclische punten zijn invariant met betrekking tot een translatie.

Rotatie en isotrope punten

Neem een rotatie van een oud orthonormaal assenstel naar een nieuw orthonormaal assenstel.
Uit de theorie van de coordinatentransformaties weten we dat de transformatieformules geschreven worden als
 
        [ x ]     [ x' ]                [cos(t)   -sin(t)   0]
        [ y ] = M.[ y' ]  met       M = [sin(t)    cos(t)   0]
        [ z ]     [ z' ]                [  0         0      1]
Ten opzichte van de nieuwe assen nemen we het punt I(1,-i,0).De coordinaten van dit punt I ten opzichte van de oude assen zijn dan
 
        [cos(t)   -sin(t)   0] [ 1 ]  [cos(t) - i sin(t) ]
        [sin(t)    cos(t)   0].[ i ] =[sin(t) + i cos(t) ]
        [  0         0      1] [ 0 ]  [       0          ]
We vermenigvuldigen de coordinaten met (cos(t) + i sin(t))
 
 ((cos(t)-isin(t))(cos(t)+isin(t)),(sin(t)+icos(t))(cos(t)+isin(t)), 0)
<=>
        ...
<=>
        ( 1 , i , 0 )
Men vindt een analoog resultaat voor J(1,-i,0).
Besluit: De coordinaten van de cyclische punten zijn invariant met betrekking tot een rotatie.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.