De hyperbool




Definitie en vergelijking

De hyperbool is een kromme welke in een gepast assenstelsel een vergelijking heeft van de vorm
 
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2
Hierin zijn a en b strikt positieve getallen. De vergelijking valt uiteen in vergelijkingen van twee functies.
 
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2

<=>
               b2  (x2  - a2 )
        y2  = -----------------
                    a2
<=>
                 _________                   _________
           b    |  2    2               b   |  2    2
       y = -   \| x  - a     of   y = - -  \| x  - a
           a                            a
De grafiek van de eerste ligt boven de x-as en de tweede grafiek is het spiegelbeeld van de eerste ten opzichte van de x-as.

Als we de asymptoten a en a' berekenen dan vinden we

 

    b                  b
y = -  x  en    y = -  -  x
    a                  a

De snijpunten van de hyperbool met de x-as zijn A'(-a,0) en A(a,0). Dit zijn de twee toppen op de x-as.
Het segment [A',A] noemen we de grote as van de hyperbool.

We definieren c2 = a2 + b2 en de punten F(c,0) en F'(-c,0) heten de brandpunten. De segmenten [P,F'] en [P,F] zijn de brandpuntsvoerstralen van een punt P van de hyperbool.

Orthogonale hyperbool als een speciale hyperbool

Als a = b wordt de vergelijking
 
                x2  - y2  = a2
Deze hyperbool heet orthogonale hyperbool. De asymptoten zijn orthogonaal.

Parameter vergelijkingen van de hyperbool

Neem in het vlak twee rechten l en m met resp. vergelijkingen
 
        x = a sec(t)            (1)
        y = b tan(t)            (2)
Het reeel getal t is een parameter.
We weten uit de theorie over het elimineren van parameters, dat de snijpunten van de twee geassocieerde rechten een kromme vormen. Om de vergelijking van die kromme te verkrijgen, elimineren we de parameter t uit de twee vergelijkingen. Dit betekent dat we de nodige en voldoende voorwaarde zoeken opdat (1) en (2) een oplossing voor t zouden hebben.

Het stelsel (1) en (2) is equivalent met

 
              a
        x = ------
            cos(t)

            b sin(t)
        y = -------
             cos(t)
of met
 
                 a
        cos(t) = -
                 x

                 a y
        sin(t) = ---
                 b x
Dit laatste stelsel heeft een oplossing voor t als en slechts als
 

        sin2 (t) + cos2 (t) = 1
<=>
         a 2    a y 2
        (-)  + (---)  = 1
         x      b x
<=>

        a2  b2  + a2  y2  = b2  x2
<=>
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2
Vandaar dat de twee geassocieerde rechten, in hun snijpunt, een kromme beschrijven en die kromme is de hyperbool.
We zeggen dat (1) en (2) parametervergelijkingen zijn van de hyperbool.
Het punt
 
        P(a sec(t) , b tan(t))
ligt op de hyperbool voor elke t-waarde en met elk punt van de hyperbool correspondeert een t-waarde

Meetkundige eigenschap van een punt van de hyperbool

We vertrekken van punt P(a sec(t) , b tan(t)).
 
  |PF|2 = (x-c)2 + y2

               a                 b2 sin2t
         = ( -----  - c )2  + -----------
             cos t               cos2t

              1
         = --------- ( a2 - 2 a c cos t + c2 cos2 t + (c2-a2) sin2t )
            cos2 t

             1
        = --------- ( a2 cos2t  - 2 a c cos t + c2)
           cos2 t

             1
        = --------- ( a cos t - c)2
           cos2 t


   |PF|2 = (x+c)2 + y2

          = ....

                1
          = --------- ( a cos t + c)2
            cos2 t

    Daar c > a hebben we

    |PF| = (1/cos(t)).(c - a cos(t))

    |PF'| = (1/cos(t)).(c + a cos(t))

    |PF'| - |PF| = 2a
Op dezelfde manier als bij de ellips toont men aan dat, als het verschil van de afstanden van P tot F en F' gelijk is aan 2a, het punt op de hyperbool ligt. (oefening)

De hyperbool is de meetkundige plaats van de punten P waarvoor het verschil van de afstanden tot twee vaste punten F en F' constant is.

Raaklijn in een punt P van de hyperbool

Op dezelfde wijze als bij de ellips kan je die raaklijn vinden in punt P(xo,yo). (oefening)
 
         xo x   yo y
         ---- - ---- = 1
          a2     b2
Het is de deellijn t van de rechten PF en PF'.

Eigenschappen

Met behulp van vorige figuur kan je als oefening aantonen dat Op dezelfde manier als bij de ellips kan je, als oefening, aantonen dat

Uitgewerkte oefeningen




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.