Homogene coordinaten en punten op oneindig




Doel

Het meer homogeen maken van de formules over rechten punten, snijpunten, collineair en concurrent.

Veelvoudsklassen

S is de verzameling van alle geordende drietallen (a,b,c) ; met a,b,c in R.
We nemen uit die verzameling (0,0,0) weg. So = S \ {(0,0,0)}.
We zeggen dat (a',b',c') een veelvoud is van (a,b,c) als en slechts als er een reeel getal bestaat zodat (a',b',c') = r (a,b,c).
In So noteren we de verzameling van alle veelvouden van (a,b,c) als ||a,b,c||.
We noemen zo'n verzameling een veelvoudsklasse.

Homogene coordinaten van een punt

Kies een x-as en een y-as in het vlak.
Met elk punt correspondeert juist 1 koppel cartesische coordinaten (x,y) en met dat koppel juist 1 veelvoudsklasse ||x,y,1||.
Omgekeerd zal met de veelvoudsklasse ||x,y,1|| juist 1 koppel coordinaten (x,y) overeenkomen.

Elk element uit die veelvoudsklasse heet een stel homogene coordinaten van P.

Voorbeeld:
Neem het punt P(2,3). Met P correspondeert de veelvoudsklasse ||2,3,1||. (2,3,1); (20,30,10); (4,6,2) zijn stellen homogene coordinaten van P. Omgekeerd kan je uit elk stel homogene coordinaten de cartesische coordinaten terugvinden.

Punten op oneindig ; oneigenlijke punten

Het punt Po(xo,yo) is een vast punt van de rechte a.
Stel dat de vector v(a,b) een richtingsvector is van a.
Voor een punt verschillend van Po hebben we :
 
        P(x,y) ligt op a
<=>
        Er bestaat een getal r zodat
        x = xo + r.a   en  y = yo + r.b
<=>
        P heeft homogene coordinaten (xo + r.a, yo + r.b, 1) met r niet 0.
<=>
        P heeft homogene coordinaten
          xo      yo      1
        (--- + a,--- + b,---)
          r       r       r
Als r onbeperkt toeneemt zal P zich langs de rechte naar oneindig verplaatsen en de homogene coordinaten van P naderen tot (a,b,0).
Maar (a,b,0) zijn geen homogene coordinaten van een punt!
We voegen nu aan de rechte juist 1 extra punt toe. We noemen dit punt het punt op oneindig van de rechte of ook het oneigenlijk punt van de rechte a.

Dit speciale punt verkrijgt de coordinaten (a,b,0) en elk veelvoud ervan is ook een stel homogene coordinaten van dat punt.

Met dat oneigenlijk punt correspondeert de veelvoudsklasse ||a,b,0||.

Omgekeerd zal met elke veelvoudsklasse ||a,b,0|| het oneigenlijk punt van een rechte met richtingsvector (a,b) overeenkomen.

Hieruit volgt dat evenwijdige rechten het zelfde oneigenlijk punt hebben en dat als 2 rechten hetzelfde oneigenlijk punt hebben zijn ze evenwijdig.

We zeggen dat twee evenwijdige rechten het oneigenlijk punt gemeen hebben of dat ze snijden op oneindig.

Een punt dat niet oneigenlijk is, heet eigenlijk.

Formules voor oneigenlijke punten

Een rechte met richtingsvector (a,b) heeft (a,b,0) als oneigenlijk punt.

De x-as heeft (1,0,0) als oneigenlijk punt.

De y-as heeft(0,1,0) als oneigenlijk punt.

Een rechte met rico m heeft (1,m,0) als oneigenlijk punt.

Een rechte door P(x1,y1) en Q(x2,y2) heeft (x2-x1,y2-y1,0) als oneigenlijk punt.

De rechte met vergelijking ux+vy+w =0 heeft (v,-u,0) als oneigenlijk punt.

Het affiene en het projectieve vlak -- projectieve punten

De verzameling van alle eigenlijke punten noemen we het affiene vlak
De verzameling van alle eigenlijke punten samen met alle oneigenlijke punten noemen we het gecompleteerd affien vlak.
Als we helemaal geen onderscheid maken tussen eigenlijke en oneigenlijke punten spreken we van het projectief vlak. Als we spreken van een projectief punt dan benadrukken we dat we geen onderscheid maken tussen eigenlijke en oneigenlijke punten.

Deelverhouding -- een andere parameter op een rechte

Neem P1 en P2 als twee verschillende punten op een rechte a. Zij P een punt verschillend van P2. Nu geldt : (vectoren in het vetjes) :
 
        P ligt op a
<=>
        Er bestaat een reeel getal k zo dat
        PP1 = k. PP2
Dit getal k heet de deelverhouding van punt P ten opzichte van (P1,P2).
We noteren die deelverhouding k als (P1,P2,P).
Noteer dat
 
         PP1
        ----- = (P1,P2,P)
         PP2
We zeggen dat het punt P2 van de rechte P1P2 een deelverhouding oneindig heeft.

Deelverhouding en cartesische coordinaten

Neem P1 en P2 , verschillende punten op de rechte a, en neem P verschillend van P2.
 
        P ligt op a met   (P1,P2,P) = k
<=>
 
        PP1 = k. PP2
<=>
        P1 - P = k (P2 - P)
<=>
             P1 - k P2
        P = -----------
              1 - k
        dan zijn de cartesische coordinaten

<=>
             x1 - k x2                y1 - k y2
        x = ------------   en    y =   ---------
              1 - k                     1 - k
Hieruit volgt dat een variabel punt P op een rechte als homogene coordinaten heeft
 
          x1 - k x2    y1 - k y2
        ( ---------- , --------- , 1 )
           1 - k        1 - k

        of

        ( x1 - k x2 , y1 - k y2 , 1 - k )
Wanneer k varieert zal P de rechte a doorlopen.

Deelverhouding van het oneigenlijk punt van een rechte.

Een veranderlijk punt op de rechte heeft homogene coordinaten
 
        ( x1 - k x2 , y1 - k y2 , 1 - k )

met  k =  (P1,P2,P).
Voor k = 1 krijgen we

        ( x1 - x2 , y1 - y2 , 0 )

Dit is het oneigenlijk punt van de rechte a.
Hieruit volgt dat het vanzelfsprekend is te zeggen dat 1 de deelverhouding is van het oneigenlijk punt van de rechte a.

Vergelijking van de rechte a

Neem een rechte a met vergelijking u x + v y + w = 0.
Uit deze twee gevallen kunnen we besluiten dat
 
        P(x,y,z) ligt op a
<=>
        u x + v y + w z = 0
en dit geldt voor eigenlijke en oneigenlijke punten.
We zeggen dat u x + v y + w z = 0 de homogene vergelijking is van a. Elk van 0 verschillend veelvoud van die vergelijking is ook een homogene vergelijking van a.

De oneigenlijke rechte en eigenlijke rechten

 
        P(x,y,z) is een oneigenlijk punt
<=>
                z = 0
<=>
        0 x + 0 y + 1 z = 0
We zien dat de coordinaten van alle oneigenlijke punten voldoen aan de vergelijking z=0. Omdat deze vergelijking van de vorm u x + v y + w z = 0 is, zeggen we dat z=0 de vergelijking is van de oneigenlijke rechte. Alle andere rechten zijn eigenlijke rechten.

Als we geen onderscheid maken tussen eigenlijke en oneigenlijke rechten, dan noemen we die verzameling rechten de projectieve rechten.
Als we spreken van een projectieve rechte dan benadrukken we dat we geen onderscheid maken tussen eigenlijke en oneigenlijke rechten.

Lijncoordinaten

Met elke rechte a met vergelijking u x + v y + w z = 0 correspondeert juist 1 veelvoudsklasse ||u,v,w||.
Elk element van die klasse heet een stel lijncoordinaten van de rechte a. We schrijven rechte a(u, v, w)
(u,v,w) zijn de homogene coordinaten van de rechte.

Voorbeeld:
Rechte l heeft vergelijking 5x + 3y -4 = 0.
De lijncoordinaten van l zijn ( 5, 3, -4) of ook (-50,-30,40) of ook ...

Dualiteit tussen punten en rechten.

De vergelijking van de rechte, x + v y + w z = 0, is de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de coordinaten van een punt moeten voldoen opdat het punt zou liggen op de rechte (u,v,w).

De vergelijking van een punt, u x + v y + w z = 0, is de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de coordinaten van de rechte moeten voldoen opdat de rechte door het punt (x,y,z) zou gaan.

Deze overeenkomst noemt men de dualiteit tussen punten en rechten.

Formules en eigenschappen in het projectieve vlak.

Dank zij de vorige eigenschappen kunnen we formules maken omtrent punten en rechten welke zeer homogeen zijn. Daar we werken in het projectief vlak maken we geen onderscheid tussen eigenlijke en oneigenlijke elementen.

Collineaire punten

P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) zijn projectieve punten
 
        P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) liggen op een rechte
<=>
        Er bestaan getallen u,v,w niet alle 0 zo dat
        P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) liggen op de rechte
         ux +vy + w z = 0
<=>
        Er bestaan getallen u,v,w niet alle 0 zo dat
        u x1 + v y1 + w z1 = 0
        u x2 + v y2 + w z2 = 0
        u x3 + v y3 + w z3 = 0
<=>
        Het homogene stelsel
        u x1 + v y1 + w z1 = 0
        u x2 + v y2 + w z2 = 0
        u x3 + v y3 + w z3 = 0
        heeft een oplossing verschillend van (0,0,0)
<=>
        | x1  y1  z1 |
        | x2  y2  z2 | = 0
        | x3  y3  z3 |

Concurrente rechten

a1(u1,v1,w1), a2(u2,v2,w2), a3(u3,v3,w3) zijn projectieve rechten.
 
        a1(u1,v1,w1), a2(u2,v2,w2), a3(u3,v3,w3) hebben een gemeen punt
<=>
        Er bestaat een punt P(x,y,z) zodat P op de drie rechten ligt
<=>
        Er bestaan getallen (x,y,z) ,niet alle nul, zodat
        u1 x + v1 y + w1 z = 0
        u2 x + v2 y + w2 z = 0
        u3 x + v3 y + w3 z = 0
<=>
        Het homogene stelsel
        u1 x + v1 y + w1 z = 0
        u2 x + v2 y + w2 z = 0
        u3 x + v3 y + w3 z = 0
        heeft een oplossing verschillend van (0,0,0)

<=>
        | u1  v1  w1 |
        | u2  v2  w2 | = 0
        | u3  v3  w3 |

Vergelijking van een rechte in het projectief vlak.

Neem een rechte P1P2 met P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2).
 
        Punt P(x,y,z) ligt op de rechte P1P2
<=>
        P, P1,P2 liggen op 1 rechte
<=>
        | x   y   z  |
        | x1  y1  z1 | = 0
        | x2  y2  z2 |
Dit is de formule voor de vergelijking van P1P2.

Variabel punt van een rechte in het projectief vlak.

Neem een rechte P1P2 met P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2).
 
        Punt P(x,y,z) ligt op de rechte P1P2
<=>
        | x   y   z  |
        | x1  y1  z1 | = 0
        | x2  y2  z2 |
<=>
        | x1  y1  z1 |
        | x2  y2  z2 | = 0
        | x   y   z  |
Daar P1 en P2 verschillend zijn, is (x2, y2, z2) geen veelvoud van (x1, y1, z1) en uit
 
        | x1  y1  z1 |
        | x2  y2  z2 | = 0
        | x   y   z  |
volgt dat de derde rij een lineaire combinatie is van de andere rijen.
Daardoor bestaan er reele getallen k en l (niet beide nul) zodat
 
        x = k x1 + l x2
        y = k y1 + l y2
        z = k z1 + l z2
Dus, een veranderlijk punt P van P1P2 heeft coordinaten
 
        (k x1 + l x2, k y1 + l y2, k z1 + l z2)
De getallen k en l zijn homogene parameters.

Voor k = 0 is P = P2.
Als P verschillend is van P2, is k niet 0 en als we delen door k vinden we voor de homogene coordinaten van P

 
        (x1 + (l/k) x2, y1 + (l/k) y2, z1 + (l/k) z2)
Stel (l/k)= h , dan hebben we voor de homogene coordinaten van P
 
        (x1 + h x2, y1 + h y2, z1 + h z2)
h is een niet-homogene parameter.

Variabele rechte bepaald door twee verschillende rechten in het projectief vlak.

a1(u1,v1,w1), a2(u2,v2,w2), a(u,v,w) zijn projectieve rechten.
De nodige en voldoende voorwaarde voor het concurrent zijn is
 
        | u1  v1  w1 |
        | u2  v2  w2 | = 0
        | u   v   w  |
Daar a1 en a2 verschillend zijn, is (u2,v2,w2) geen reeel veelvoud van (u1,v1,w1) en daardoor is de derde rij een lineaire combinatie is van de andere rijen.
Daardoor bestaan er reele getallen k en l (niet beide nul) zodat
 
        u = k u1 + l u2
        v = k v1 + l v2
        w = k w1 + l w2
Dus een variabele rechte door het snijpunt van a1 en a2 heeft homogene coordinaten
 
        (k u1 + l u2, k v1 + l v2, k w1 + l w2)
De getallen k en l zijn homogene parameters.

De variabele rechte heeft een homogene vergelijking

 
        (k u1 + l u2)x + (k v1 + l v2)y + (k w1 + l w2)z = 0
<=>
        k(u1 x + v1 y + w1 z) + l(u2 x + v2 y + w2 z) = 0
De getallen k en l zijn homogene parameters.
We noteren kort de vergelijking van a1 als A = 0.
We noteren kort de vergelijking van a2 als B = 0.
Dan is de vergelijking van a gelijk aan kA +lB = 0.
Voor k=0 is de rechte a = a2. Als de rechte verschillend is van a2 dan is k niet 0.
Delen we dan alles door k dan vinden we voor de vergelijking van a
A+(l/k)B=0.
Stel (l/k)= h , dan vinden we voor a
A + h B = 0 .
h is een niet-homogene parameter.

Voorbeeld :
rechte a: x - y + 2 z = 0 .
rechte b : 2x - y + 3 z = 0 .
Een veranderlijke rechte verschillend van b door het snijpunt van a en b heeft vergelijking

 
        (x - y + 2 z) + h (2x - y + 3 z) = 0

Snijpunt van twee verschillende rechten

 
        a: u1 x + v1 y + w1 z = 0
        b: u2 x + v2 y + w2 z = 0
De coordinaten van het snijpunt van die rechten is de oplossing van het lineair homogeen stelsel
 
        / u1 x + v1 y + w1 z = 0
        \ u2 x + v2 y + w2 z = 0
Daar de rechten a en b verschillend zijn, zijn (u1,v1,w1) en (u2,v2,w2) niet evenredig.
We kunnen zeker een nevenonbekende vinden. Zij z de nevenonbekende. We kunnen het stelsel schrijven als
 
        / u1 x + v1 y = - w1 z
        \ u2 x + v2 y = - w2 z
Met Cramer vinden we
 
            | -w1 z    v1|
            | -w2 z    v2|
        x = ----------------
            |  u1      v1|
            |  u2      v2|

             | u1    -w1z|
             | u2   -w2 z|
        y = -----------------
             |  u1      v1|
             |  u2      v2|

<=>
            | -w1   v1|
            | -w2   v2|
        x = --------------.z
            |  u1    v1|
            |  u2    v2|

            | u1   -w1 |
            | u2   -w2 |
        y = ----------------.z
            |  u1    v1|
            |  u2    v2|



Voor elke keuze van z hebben we een oplossing. We kiezen z
 

            |  u1    v1|
        z = |  u2    v2|

dan
            | -w1   v1|
        x = | -w2   v2|    en

            | u1   -w1 |
        y = | u2   -w2 |


<=>
            | v1   w1|
        x = | v2   w2|      en

               | u1   w1 |
        y  = - | u2   w2 |  en

            |  u1    v1|
        z = |  u2    v2|




De coordinaten van het snijpunt, gedefinieerd door de twee rechten, zijn
 
          | v1   w1|      | u1   w1 |  |  u1    v1|
        ( | v2   w2| ,  - | u2   w2 | ,|  u2    v2| )
Deze formules geven een efficient middel om het snijpunt van twee rechten te bepalen.

Opmerking: Als x of y als nevenonbekende wordt gekozen dan zijn de resultaten hetzelfde.

Voorbeeld:
Snijpunt van de rechten

 
        x - y + 2 z = 0
        2x - y + 3 z = 0
is
 
          | -1   2 |      | 1    2 |  |  1     -1|
        ( | -1   3 | ,  - | 2    3 | ,|  2     -1| )
<=>
        (-1,1,1)

Homogene vergelijking van een kromme

Een vergelijking van een kromme is de nodige en voldoende voorwaarde waaraan de cartesische coordinaten van een punt moeten voldoen opdat dit punt op de kromme zou liggen.

Een homogene vergelijking is ook zo'n voorwaarde maar dan voor de homogene coordinaten van het punt.

Zij F(x,y)=0 een cartesische veeltermvergelijking van een kromme c.

Besluit:
G(x,y,z) = 0 is een homogene vergelijking van c.
Voorbeeld:
 
             y2  - 2p x = 0
is de cartesische vergelijking van een parabool.
We transformeren die vergelijking naar een homogene vergelijking.
 
        P(x,y,z) ligt op de parabool
<=>
        P(x/z , y/z)  ligt op de parabool
<=>
        (y/z)2 - 2 p (x/z) = 0

<=>
         y2  - 2 p x z = 0
De laatste vergelijking is de homogene vergelijking van de parabool.
Het punt (1,0,0) is een oneigenlijk punt van die parabool.

Uitgewerkte oefeningen




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.