Brandpunten van een kegelsnede




In dit hoofdstuk beschouwen we enkel affiene kegelsneden in een orthonormaal coordinatenstelsel.

Isotrope raaklijnen

Stelling: De raaklijnen uit het brandpunt van een niet-ontaarde kegelsnede aan die kegelsnede zijn isotroop.

Bewijs:

  1. Voor een ellips
    De ellips heeft vergelijking
     
            b2  x2  + a2  y2  - a2 b2  z2 = 0
    
    De kwadratische vergelijking van de raaklijnen vanuit het brandpunt F(c,0,1) is
     
    (c b2  x - a2  b2  z)2  - 4 (b2  c2  - a2  b2 ) (b2  x2  + a2  y2  - a2  b2  z2 ) = 0
    
            m is richtingscoefficient van een raaklijn
    <=>
            (1,m,0) ligt op een raaklijn
    <=>
            c2  b4  + b4  (b2  - a2  m2) = 0
    <=>
            ...
    <=>
            m2 = -1
    
  2. Voor een hyperbool
    Analoog bewijs.
  3. Voor een parabool
    De parabool heeft vergelijking
     
            y2  - 2 p x z = 0
    
    De kwadratische vergelijking van de raaklijnen van uit het brandpunt F(p/2,0,1) is
     
             p                  2           p     2
            (- (-2 p z) - 2 p x)  - 4 (-2p (-)) (y  - 2 p x z) = 0
             2                              2
    
            m is richtingscoefficient van een  raaklijn
    <=>
            (1,m,0) ligt op een  raaklijn
    <=>
    
            4 p2  x2  + 4 p2  m2  = 0
    <=>
            m2  = -1
    

Isotrope rechten en de cirkel

Stelling 1

De kwadratische vergelijking van de isotrope rechten door een eigenlijk punt P is de vergelijking van een cirkel met middelpunt P.

Bewijs:
De isotrope rechten door P(xo,yo) hebben richtingscoefficient i en -i.
De vergelijkingen zijn

 
        y - yo = i (x - xo)  en y - yo = -i (x - xo)
<=>
        y - yo - i (x - xo) = 0 en  y - yo + i (x - xo) = 0
De kwadratische vergelijking van deze rechten is
 
        (y - yo - i (x - xo))(y - yo + i (x - xo)) = 0
<=>
        (y - yo)2  + (x - xo)2  = 0
Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt P.

Stelling 2

Als de kwadratische vergelijking van twee rechten een cirkel is, dan zijn die rechten de isotrope rechten door een eigenlijk punt.

Bewijs:
Als de kwadratische vergelijking van twee rechten een cirkel is, dan is de vergelijking van de vorm

 
        (y - yo)2  + (x - xo)2  - r2  = 0
Maar als dit de vergelijking van twee rechten is, is de cirkel ontaard. Dus geldt
 
        DELTA = 0  <=>  ... <=>  r = 0

Dan is de vergelijking
 
        (y - yo)2  + (x - xo)2  = 0
Als we dit ontbinden in factoren krijgen we:
 
        (y - yo - i (x - xo))(y - yo + i (x - xo)) = 0
Dit is de vergelijking van twee rechten door een eigenlijk punt.

Brandpunten en isotrope raaklijnen

Stelling:
Neem eerst een niet ontaarde reele ellips verschillend van een cirkel.
De reele eigenlijke punten van waaruit de raaklijnen isotroop zijn, zijn de brandpunten van de ellips.

Bewijs:
De ellips heeft vergelijking

 
        b2  x2  + a2  y2  - a2  b2  z2 = 0
P(xo,yo,1) is a reeel eigenlijk punt. De raaklijnen door P heeft als vergelijking
 
        (x.Fx'(xo,yo,1) + y.Fy'(xo,yo,1) + z.Fz'(xo,yo,1))2

                - 4 F(x,y,z).F(xo,yo,1) = 0
<=>
        (x b2  xo + y a2  yo + z(- a2  b2 ))

        - ( b2  x2  + a2  y2  - a2  b2  z2 )( b2  xo2  + a2  yo2  - a2  b2  z2 )=0


        Deze raaklijnen zijn de isotrope rechten
<=>
        Vorige  vergelijking is een cirkel
<=>
        /
        |  (b2  xo2 )  - b2 ( b2  xo2  + a2  yo2  - a2 b2  z2 )
        |
        |       = (a2  yo)2  - a2  ( b2  xo2  + a2  yo2  - a2  b2  z2 )
        |
        |  b2  xo a2 yo  = 0
        \
De tweede voorwaarde geeft xo = 0 of yo = 0.
Als xo = 0 dan heeft het stelsel geen reele oplossing voor xo en yo. (oefening)
Als yo = 0, dan is de oplossing van het stelsel xo = c or xo = -c. (oefening)
De stelling is ook geldig voor een niet ontaarde hyperbool
Het bewijs laten we als oefening.

De stelling is ook geldig voor een niet ontaarde parabool
Er is juist 1 punt waarvoor de raaklijnen aan die parabool isotroop zijn.
Anderzijds weten we dat het brandpunt zo'n punt is.
Dus het brandpunt is het enig punt met deze eigenschap.

Orthogonaliteit en isotrope rechten

Stelling 3

Twee orthogonale rechten zijn harmonisch toegevoegde rechten ten opzichte van de isotrope rechten door hun snijpunt.

Bewijs:
Kies de orthonormale assen op de twee orthogonale rechten. De twee isotrope rechten door hun snijpunt zijn dan y + ix = 0 en y - ix = 0.
De vergelijkingen van de vier rechten zijn :

 
        y = 0   ;  x = 0  ;  y + ix = 0  ;  y - ix = 0
We zien dat de voorwaarde voor harmonisch toegevoegde rechten vervuld is.

Stelling 4

Als twee rechten, b en c, harmonisch toegevoegde rechten zijn ten opzichte van de isotrope rechten door hun snijpunt, dan zijn ze orthogonaal.

Bewijs:
Kies het orthonormaal assenstelsel zo dat de oorsprong in het snijpunt van b en c ligt en dat de rechte b samenvalt met de x-as.

we noemen j en k de isotrope rechten door de oorsprong.
De vergelijkingen van j, k en b zijn

 
        y + ix = 0   ;  y - ix = 0  ;  (y + ix) + 1(y - ix) = 0
De vergelijking van de rechte c, harmonisch toegevoegd aan b, is dan
 
        (y + ix) - 1(y - ix) = 0    <=>  x = 0
Dus, b en c zijn orthogonaal.

De poollijn van het brandpunt van een parabool is de richtlijn

Het bewijs laten we als oefening.

Richtlijn van een ellips

De ellips heeft vergelijking
 
        b2  x2  + a2  y2  - a2  b2  z2 = 0
Als we de poollijn berekenen van punt F(c,0), dan vinden we
 
            a2
        x = --
            c
We noemen deze rechte de richtlijn van F.
Als we de poollijn berekenen van punt F'(-c,0), dan vinden we
 
              a2
        x = - --
              c
We noemen deze rechte de richtlijn van F'.

Richtlijn van de hyperbool

De hyperbool heeft vergelijking
 
        b2  x2  - a2  y2  - a2  b2  z2 = 0
Als we de poollijn berekenen van punt F(c,0), dan vinden we
 
            a2
        x = --
            c
We noemen deze rechte de richtlijn van F.
Als we de poollijn berekenen van punt F'(-c,0), dan vinden we
 
              a2
        x = - --
              c
We noemen deze rechte de richtlijn van F'.

Eccentriciteit van de ellips

Stelling:
De verhouding van de afstanden van een punt P op een niet-ontaarde ellips E, tot een brandpunt F en tot de overeenkomstige richtlijn d is constant.

Bewijs:

 
                         2
             2          a  2            2
        |P,d|  =  (xo - --)   en   |P,F|  =  (xo - c)2  + yo2
                        c

met
        b2  xo2  + a2  yo2  = a2  b2

Dus

        a2  |P,F|2  =  a2  (xo - c)2  +  a2  b2  - b2 xo2

                   = ... = (c xo - a2 )2
en hieruit volgt

                                  2
          2   2       2          a  2
        (a / c ) |P,F|  =  (xo - --)
                                 c
dus

        |P,F|    c
        ----- = ---  = constant en  < 1
        |P,d|    a

Analoog voor het ander brandpunt F'
        |P,F'|   c
        ----- = ---  = constant en  < 1
        |P,d|    a
De constante waarde e = c/a heet de excentriciteit van de ellips.

Eccentriciteit van een hyperbool

Op analoge wijze als hierboven vinden we voor een hyperbool
 
        |P,F|   |P,F'|   c
        ----- = ----- = ---  = constant en > 1
        |P,d|   |P,d|    a
De constante waarde e = c/a heet de excentriciteit van de hyperbool.
Men toont gemakkelijk aan dat voor een orthogonale hyperbool
 
                                       ___
                excentriciteit = e =  V 2

Rechten van Plucker en de hyperbolen van Plucker

Zij F(x,y,z) = 0 de vergelijking van een niet ontaarde reele kegelsnede verschillend van een cirkel.
 
        P(xo,yo,1) is brandpunt of de kegelsnede
<=>
        De raaklijnen uit P zijn isotroop
<=>
        (x.Fx'(xo,yo,1) + y.Fy'(xo,yo,1) + z.Fz'(xo,yo,1))

                - 4 F(x,y,z).F(xo,yo,1) = 0   zijn isotroop
<=>
        (xo,yo) is een oplossing van het stelsel
        /
        | (Fx'(x,y,1))2  - 4 a F(x,y,1) =  (Fy'(x,y,1))2  - 4 a'F(x,y,1)
        |
        |
        |  Fx'(x,y,1).Fy'(x,y,1) - 4 b" F(x,y,1) = 0
        \
<=>
        (xo,yo) is een oplossing van het stelsel
        /
        |  (Fx'(x,y,1))2  -  (Fy'(x,y,1))2  = 4(a - a') F(x,y,1)
        |
        |
        |  Fx'(x,y,1).Fy'(x,y,1) = 4 b" F(x,y,1)
        \
  1. De kegelsnede is een parabool.
    Met nogal wat algebraisch rekenwerk kan men aantonen dat het vorig stelsel een stelsel lineaire vergelijkingen is.
    De vergelijkingen zijn vergelijkingen of rechten. Deze twee rechten heten de rechten van Plucker van de parabool. Het brandpunt van de parabool is het snijpunt van de twee rechten van Plucker.
  2. De kegelsnede is een ellips of hyperbool.
    Met nogal wat algebraisch rekenwerk kan men aantonen dat het vorig stelsel een stelsel hyperbolen is.
    Deze hyperbolen heten de hyperbolen van Plucker. Om de brandpunten te berekenen bereken we de vergelijkingen van de assen. Daarna berekenen de snijpunten van de assen met 1 van de hyperbolen van Plucker.

Voorbeeld

 
  F(x,y,1) =  6 x2  - 4 x y + 9 y2  - 4 x - 32 y - 6 = 0

  Fx'(x,y,1) = 12 x - 4 y - 4

  Fy'(x,y,1) = - 4 x + 18 y - 32

  Fx'(x,y,1).Fy'(x,y,1) = 4 b" F(x,y,1)

<=>
  (6 x - 2 y - 2)(-2 x + 9 y - 16) = -2(6 x2  - 4 x y + 9 y2  - 4 x - 32 y - 6)

<=>
        ...
<=>
        5 x y - 10 x - 5 y + 2 = 0  ( Plucker hyperbool )
We berekenen de assen.
Het middelpunt is (1,2,1).
De richtingscoefficienten m van de assen zijn de oplossingen van
 
        b" + (a' - a) m - b" m2  = 0
<=>

        -2 m2 - 3 m + 2 = 0
<=>
        m = 1/2 of m = -2

Eerste as: y - 2 = (1/2)(x - 1)  <=>  y = (1/2) x + 3/2
Tweede as: y - 2 = -2 (x - 1) <=>  y = -2 x + 4
De snijpunten van de eerste as met de hyperbool van Plucker zijn de brandpunten
 
     4  ___      2  ___              4  ___      2  ___
(1 - - V 5 , 2 - - V 5 )  en    (1 + - V 5 , 2 + - V 5 )
     5           5                   5           5

De snijpunten van de tweede as met de hyperbool van Plucker zijn niet reeel. Men spreekt van imaginaire brandpunten.

Vergelijking van een kegelsnede met gegeven brandpunt, richtlijn en excentriciteit

Gegeven :
Punt F(xo,yo) is een brandpunt.
Rechte d met vergelijking u x + v y + w = 0 is de overeenkomstige richtlijn.
e is de excentriciteit.
 
        Punt  P(x,y) ligt op de kegelsnede
<=>
        |P,F|2  = e2 .|P,d|2
<=>

                2           2     e2
        (xo - x)  + (yo - y)  = --------(u x + v y + w)2
                                u2 + v2

De laatste vergelijking is de vergelijking van de kegelsnede.

Poolvergelijking van een niet-ontaarde kegelsnede.

Cirkel

Zie poolvergelijking van een cirkel .

kegelsnede K

Kies de pool in een brandpunt van de kegelsnede en de poolas orthogonaal met de richtlijn corresponderend met dit brandpunt. Kies een y-as door de pool en orthogonaal met de poolas. De x-as en de y-as vormen een orthonormaal assenstel.

De cartesische vergelijking van de richtlijn is x + k = 0.
Uit het voorgaande weten we dat de cartesische vergelijking van de kegelsnede is

 
    x2 + y2 = e2 (x + k)2
De overeenkomstige poolvergelijking is
 
    r2 = e2 (r cos(t) + k)2

<=>
    r = e (r cos(t) + k)   of   r = - e (r cos(t) + k)
<=>
    r(1 - e cos(t)) = ke   of   r(1 + e cos(t)) = - ke
<=>
           ke                             - ke
    r = ---------------  (1)  of   r = -------------      (2)
        1 - e cos(t)                   1 + e cos(t)
Men kan verifieren dat :
Als punt d(r,t) een oplossing is van (1) dan is het een oplossing van (2).
Als een punt d(r,t) een oplossing is van (2) dan is het een oplossing van (1).

Hieruit volgt dat (1) en (2)poolvergelijkingen zijn van de zelfde kegelsnede K.

Een poolvergelijking van een niet ontaarde kegelsnede verschillend van een cirkel is

 
            k e                           - ke
    r = ------------        of     r = -------------
        1 - e cos(t)                   1 + e cos(t)
Als t = pi/2 dan is r= ke. Zij p = ke. Dan hebben we dat :

Een poolvergelijking van een niet ontaarde kegelsnede verschillend van een cirkel is
 
             p                            - p
    r = ------------        of     r = -------------
        1 - e cos(t)                   1 + e cos(t)

Om de snijpunten te berekenen van een kegelsnede met een andere kromme, dan is het nuttig te weten of de poolvergelijking de vereiste eigenschap (E) bezit. ( zie Gemene punten van twee krommen met behulp van poolcoordinaten. ).

Niet alle stellen poolcoordinaten van ELK punt van de kegelsnede zijn oplossingen van

 
             p
    r = ------------
        1 - e cos(t)
Maar ALLE stellen poolcoordinaten van elk punt van de kegelsnede zijn oplossingen van
 
             p                            - p
    r = ------------        of     r = -------------
        1 - e cos(t)                   1 + e cos(t)

en dit is equivalent met

    r(1 - e cos(t)) = p  of   r(1 + e cos(t)) = - p

<=>
    r(1 - e cos(t)) = ke  of   r(1 + e cos(t)) = - ke

<=>
    r = e (r cos(t) + k)   of   r = - e (r cos(t) + k)
<=>
    r2 = e2 (r cos(t) + k)2
De vergelijking r2 = e2 (r cos(t) + k)2 van de kegelsnede heeft de vereiste eigenschap (E).

De vergelijking r2 = e2 (r cos(t) + k)2 van de kegelsnede is equivalent met de cartesische vergelijking x2 + y2 = e2 (x + k)2.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.