Exponentiele en Logaritmische functies




Exponentiele functies

Definitie

Neem a > 0 en verschillend van 1 . Dan heet de functie gedefinieerd door
 
f : R -> R : x -> ax
een exponentiele functie met grondtal a.

Grafiek en eigenschappen

f(x) = een exponentiele functie met a > 1.
g(x) = een exponentiele functie met 0 < a < 1.

Uit de grafieken zien we dat

Voorbeelden:
 
y = 3x  ; y = 0.5x ; y = 100.2x-1

Logaritmische functies

Definitie en basiseigenschappen

Neem a > 0 en verschillend van 1 . Daar de exponentiele functie
 
f : R -> R : x -> ax
ofwel stijgt ofwel daalt is de inverse functie gedefinieerd. Deze inverse functie heet de logaritmische functie met grondtal a. We noteren ze
 
        loga(x)

        log10(x) wordt kortweg geschreven als  log(x)
Dus,

loga(x) = y <=> ay = x


Het domein van de logaritmische functie is de verzameling van de strikt positieve getallen en het bereik is R.
Voorbeelden:

 
         log2(8) = 3 ;  log3(sqrt(3)) = 0.5 ; log(0.01) = -2
Uit de definitie volgt onmiddellijk dat

 
         voor x > 0  hebben we  aloga(x) = x

en
         voor alle x  hebben we  loga(ax) = x

Voorbeeld: log(102x+1) = 2x+1

Grafiek

f(x) = een logaritmische functie met a > 1.
g(x) = een logaritmische functie met 0 < a < 1.

Uit de grafieken leiden we af dat

Voorbeelden:
 
log2(x) ; log(2x+4) ; log0.5(x)

Eigenschappen

In de volgende 3 eigenschappen hebben alle logaritmische functies een grondtal a > 0. Voor de eenvoud van notatie laten we het grondtal voorlopig weg.

Veranderen van het grondtal van een logaritmische functie

Soms kan het nuttig zijn om het grondtal van een logaritmische functie te wijzigen.
Stelling : Voor elk strikt positief reeel getal a en b, verschillend van 1, hebben we

 
                       1
         loga(x) =( -------) .  logb(x)
                    logb(a)

Bewijs:
tonen aan dat

 
 logb(a) . loga(x) =  logb(x)

Zij  logb(a) = u  dan bu  = a         (1)

Zij  loga(x) = v  dan av  = x (2)

Zij  logb(x) = w  dan bw  = x (3)

Uit (2) en (3) hebben we

        av  = bw

Steunend op  (1)

         bu.v = bw
dus,
        u.v  = w


=>   logb(a) . loga(x) =  logb(x)

Het berekenen van beelden van een logaritmische functie met een rekentoestel

Voorbeelden:
 
   log(12.5) = 1.0969

   log2(12) = log(12)/log(2) = 3.58496

   log(1/154)= -log(154) = -2.1875

   log7(0.514) = 14 log(0.5)/log(7) = -4.9869

   log(-12.4) is niet gedefinieerd

Logaritmische schaal

Het getal e

Een speciale limiet omtrent de afgeleide van de exponentiele functie

We proberen de afgeleide functie van de exponentiele functie te berekenen
 
        f(x) = ax
Steunend op de definitie van de afgeleide kunnen we schrijven
 
                     (f(x+h)-f(x))
        f'(x) = lim ---------------
               h->0        h

                     ax+h - ax
              = lim ------------
                h->0     h

                     ax (ah  - 1)
              = lim -----------
                h->0     h

                        (daar ax  constant is ten opzichte van  h )

                          (ah  - 1)
              = ax  . lim -----------
                     h->0     h

Nu is ,
             (ah  - 1)
        lim ----------- is een constante welke alleen van het grondtal a afhangt.
        h->0     h
Men kan aantonen dat er een uniek grondtal a bestaat zo dat die limiet juist 1 is.
Deze heel speciale waarde van a noemen we het getal e.
Dus,
 
             (eh  - 1)
        lim ----------- = 1
        h->0     h

Het getal e als limiet

De uitdrukking
 
             (eh  - 1)
        lim ----------- = 1
         0       h
betekent dat voor heel heel kleine waarden van h geldt:
 
        eh  - 1  is bijna gelijk aan  h

<=>     eh   is bijna gelijk aan  h +1

<=>     e is  bijna gelijk aan (1 + h)1/h
Dus,

 
        e = lim (1 + h)1/h   = 2.718 28...
             0

Of, als we stellen t = 1/h

 
        e = lim (1 + 1/t)t  = 2.718 28...
           infty

De functie ex

Het getal e speelt in de wiskunde een enorm belangrijke rol. We beginnen reeds die rol toe te kennen door te vermelden dat de exponentiele functie met vergelijking y = ex veel eigenschappen toepassingen heeft.

Definitie van ln(x)

De logaritmische functie met grondtal e wordt genoteerd ln(x). Dus,

loge(x) = ln(x)


Omvormen van een exponentiele functie met grondtal a naar een exponentiele functie met grondtal e

In de toegepaste wiskunde worden exponentiele functies met een grondtal verschillend van e weinig gebruikt.
Dit komt omdat een exponentiele functie met een grondtal a kan omgezet worden naar een exponentiele functie met grondtal e.
We tonen nu aan hoe een willekeurige exponentiele functie kan omvormd worden tot een exponentiele functie met grondtal e.

Zij verder a een vast strikt positief getal.

 
  ak  = er  <=> ln(ak) = r <=> r = k.ln(a)

Dan is

 (ak)x  = (er)x  <=>   r = k.ln(a)  voor alle x

of ook

  akx  = erx  <=>   r = k.ln(a)  voor alle x
De functies A.akx en A.erx zijn identieke functies als en slechts als r = k.ln(a)

Voorbeeld:

Afgezien van de afrondingsfout van de getallen geldt :

 
    14 . 32.7x  is dezelfde functie als 14 . e2.97x

    6 . (0.25)-x  is dezelfde functie als 6 . e1.39x
Het werken met de laatste uitdrukkingen hebben tal van voordelen bij algebraisch rekenwerk.

Zo is het product van de twee functies uit vorig voorbeeld veel eenvoudiger uit te werken als we schrijven
14 e2.97 x 6 e1.39 x in plaats van 14 32.7x 6 (0.25)-x.

Halveringswaarde van een exponentiele functie

Neem de functie e-rx met r > 0. Het is een dalende functie.
We geven aan x een vaste startwaarde a. We hebben dan het beeld y1 = e-ra.
Voor hogere x-waarden vinden we kleinere beelden.
We laten de x-waarde vanaf a met een waarde h stijgen. Dus x varieert van a tot a+h. y2 = e-r(a+h) < y1.

We onderzoeken nu voor welke h het beeld y2 de helft is van het beeld y1.

 
      y2 = (1/2) y1

<=>   e-r(a+h) = (1/2)  e-ra

<=>   e-ra  e-rh = (1/2)  e-ra

<=>          e-rh = (1/2)

<=>      - rh = ln(1/2)

<=>      - rh = ln(1) -ln(2)

<=>       - rh = -ln(2)

<=>        h = ln(2)/r
Als we de x-waarde met ln(2)/r vermeerderen, dan zal het beeld van e-rx gedaald zijn tot de helft van zijn startwaarde. Merkwaardig hierbij is dat ln(2)/r onafhankelijk is van die gekozen startwaarde a.

Dit betekent dat het beeld gehalveerd wordt als men een willekeurige startwaarde van x vermeerdert met ln(2)/r.

Daarom heet ln(2)/r de halveringswaarde van de functie e-rx.

Voorbeeld: Neem de functie y = e-0.5x

De halveringswaarde is ln(2)/0.5 = 1.386

Oefening: plot de grafiek en merk op dat, als men een startwaarde van x met 1.386 verhoogt, het beeld gehalveerd wordt.

Afleiden van logaritmische functies

Afgeleide van een logaritmische functie

In volgend deeltje hebben alle logaritmische functies grondtal a. Voor de eenvoud van notatie laten we het grondtal tijdelijk weg.
 
Zij f(x) = log(x) , dan

                     (f(x+h)-f(x))
        f'(x) = lim ---------------
               h->0        h

                     (log(x+h)-log(x))
<=>     f'(x) = lim -------------------
               h->0        h

                     log( (x+h)/x )
<=>     f'(x) = lim -------------------
               h->0        h

                     1
<=>     f'(x) = lim --- . log( (x+h)/x )
               h->0  h

<=>     f'(x) = lim  log( (x+h)/x )1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log( (x+h)/x )1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log(1 + h/x)1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log((1 + h/x)x/h )1/x
               h->0

<=>     f'(x) = lim  (1/x).log(1 + h/x)x/h
               h->0

<=>     f'(x) =(1/x). lim  log(1 + h/x)x/h
                      h->0

<=>     f'(x) =(1/x). lim  log(1 + h/x)x/h
                     h/x->0


<=>     f'(x) =(1/x).log  lim  (1 + h/x)x/h
                         h/x->0


<=>     f'(x) =(1/x).log(e)


<=>     f'(x) =(1/x).ln(e)/ln(a)

<=>     f'(x) =(1/x)/ln(a)

                   1
<=>     f'(x) = ----------
                 x. ln(a)

Belangrijke Formules

Zij u een afleidbare functie van x.

 
        d               1
        --  loga(x) = ----------
        dx            x. ln(a)

        d               1
        --  loga(u) = ---------- . u'
        dx            u. ln(a)

        d           1
        -- ln(x) = ---
        dx          x

        d           1
        -- ln(u) = ---.u'
        dx          u

Het berekenen van afgeleiden van logaritmische functies ; voorbeelden

 
  y = ln(2x2+6)

  y' = (1/(2x2+6)). 4x
---------------------------

  y = ln2(x)

  y' = 2 ln(x) . (1/x)
---------------------------

  y = ln(1/x)

  y'= x.(-1/x2) = -1/x
---------------------------

  y = ln(ln(x))

  y'= (1/ln(x)) . (1/x)
---------------------------

  y = x3 ln(x)

  y'= (3x2).ln(x) + (x3).(1/x) = (3x2).ln(x) + x2
---------------------------

  y = log3(x2)

  y'= (1/(x2.ln(3)).(2x) = 2/(x ln(3))
---------------------------

  y = ln(x)/x


       x.(1/x) - ln(x)       1 - ln(x)
  y'= ------------------ = ------------
           x2                x2
---------------------------

  y = ln(sqrt(2x2+x))

  we herschrijven y

  y = 0.5 ln(2x2+x)

            4x+1
  y'= 0.5 ----------
           2x2+x
---------------------------

  y = sqrt(ln(x2))

         1
  y'= --------------- .(2/x)
      2 sqrt(ln(x2))

Afgeleide van een exponentiele functie

 
Zij f(x) = ax, dan zijn  loga(ax ) en  x identieke  functies.
Ze hebben dus dezelfde afgeleide
Dus,

           1
        ---------- .(ax )' = 1
        ax .ln(a)


        d
<=>    ---(ax ) = ax .ln(a)
        dx

Belangrijke formules

Zij u een afleidbare functie van x.

 
        d
       ---(ax ) = ax .ln(a)
        dx

        d
        --(ex ) = ex
        dx

        d
        --(au ) = au .ln(a).u'
        dx

        d
        --(eu ) = eu .u'
        dx

Afgeleiden berekenen van exponentiele functies ; voorbeelden

 
  y = x.e-5x

  y'= e-5x + x.(-5)e-5x
---------------------------

  y = 32x

  y'=  32x ln(3) 2 =  32x ln(9)
---------------------------

  y = ex/x2

       x2 ex - ex 2x
  y'= ------------------
           x4
       ex (x-2)
    = ------------
          x3
---------------------------

  y = (3e)x

  y'=  (3e)x ln(3e) =  (3e)x (ln3 +lne) = (3e)x (ln3 + 1)

---------------------------
  y = arcsin(2x)

        2x ln(2)
  y'= -----------------
       sqrt(1-22x)

Afgeleide van een reele macht van x

 
Zij f(x) = xr met r een reeel getal.

   xr = er.ln(x)
=>
   d
   --(xr) = er.ln(x).(r.ln(x))'
   dx

           = xr.r.(1/x)

           = r.xr-1
Dus,
Voor elk reeel getal r, hebben we
 
   d
   --(ur) = r.ur-1.u'
   dx

Afgeleide van uv

Zij u = f(x) en v = g(x), dan
 
   uv = ev.ln(u)

   d
   --(uv) = ev.ln(u).(v.ln(u))'
   dx

           = uv . (v' ln(u) + v.(1/u).u'

           = v uv-1 u' + uv.ln(u).v'
 
   d
   --(uv) = v uv-1 u' + uv.ln(u).v'
   dx

Afgeleiden van uv ; voorbeelden

 
  y = xx

  y'= xx ln(x) + x xx-1 = xx (1 + ln(x))
---------------------------

  y = (ln(x))2x

  y'= (ln(x))2x ln(ln(x)).2 + 2x.(ln(x))2x-1 (1/x)
---------------------------

  y = (ex)x

  we herschrijven y:  y = ex2

  y'=  ex2 2x

Limieten en de l'Hospital

We geven enkele voorbeelden van het gebruik dan de regel van de l'Hospital

De limieten van functies van de vorm uv waarbij u en v functies van x zijn, kunnen ook via een omweg berekend worden. De omweg bestaat hierin dat we eerst de limiet berekenen van de natuurlijke logaritme van de gegeven functie. Eenmaal dit klaar is, passen we de omgekeerde bewerking toe op het resultaat

Uitgewerkte oefeningen

 
Opgeloste oefeningen over exponentiele en logaritmische functies vind je via deze link
 






MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.