De Ellips




Definitie en vergelijking

We vertrekken van een cirkel C met straal a.
x2+ y2 = a2
Vermenigvuldig de y-waarden van alle punten P' van de cirkel met een vaste factor b/a. Elk punt P' wordt dan getransformeerd in een nieuw punt P.

De verzameling van die punten P noemen we een ellips.

 
   P(x,y) ligt op de ellips
<=>
   P'(x, (a/b) y ) ligt op C
<=>
   x2  + (a/b)2 y2 = a2
<=>
   x2     y2
  ---- + ----  = 1
   a2     b2
De punten A(a,0) A'(-a,0) B(0,b) B'(0,-b) heten de toppen van de ellips.
[AA'] heet de grote as en heeft lengte 2a.
[BB'] heet de kleine as en heeft lengte 2b.

Als a=b Dan valt de cirkel samen met de ellips. De cirkel is een speciale ellips.

Parametrische vergelijkingen van de ellips

Op de vorige figuur zien we dat de coordinaten van P' gelijk zijn aan (a cos(t) , a sin(t)).
Steunend op voorgaande definitie van P krijgen we dan (a cos(t) , b sin(t)) als coordinaten van P.
Hieruit volgt dat
 
    x = a cos(t)
    y = b sin(t)
parametervergelijkingen zijn van de ellips.

Hieruit volgt dat men op eenvoudige wijze voor elke t een punt van de ellips kan construeren.

Door het snijpunt van OP' met de grote cirkel trekt men een evenwijdige met de y-as.
Door het snijpunt van OP' met de kleine cirkel trekt men een evenwijdige met de x-as.
Het snijpunt ligt op de ellips

Meetkundige basiseigenschap van de ellips

We definieren c door c2 = a2 - b2 met c > 0 of c = 0
We definieren de punten F(c,0) en F'(-c,0) als brandpunten van de ellips.
Merk op dat de afstand van een brandpunt naar B(0,b) gelijk is aan a.

Zij P(a cos(t) , b sin(t)) een variabel punt van de ellips. Nu is:

 
  |PF|2 = (a cos(t) - c)2 + b2 sin2(t)

         =  a2 cos2(t) - 2 a c cos(t) + c2 + (a2 - c2) sin2(t)

         =  a2 - 2 a c cos(t) + c2 cos2(t)

         =  (a - c cos(t))2

   |PF'|2 = ... = (a + c cos(t))2

Daar a > c geldt:

   |PF| + |PF'| = a - c cos(t) + a + c cos(t) = 2a = constant
Omgekeerd tonen we nu aan dat als |PF| + |PF'| = 2a , het punt P dan op de ellips ligt.

Verbind P met F en F'. Noem P' het snijpunt van F'P met de ellips. (zie figuur) Indien P niet op de ellips ligt dan zou

 
       |PF| + |PF'| = 2a
en ook |P'F| + |P'F'| = 2a

We maken, lid aan lid, het verschil. Er komt |PF| + |PF'| -|P'F| - |P'F'| = 0
Hieruit volgt |P'P| + |PF| = |P'F| en dit is onmogelijk.

Besluit:

Indien F en F' de brandpunten zijn van een ellips x2/a2 + y2/b2 = 1 dan geldt voor elk punt P van de ellips dat |PF| + |PF'| = 2a.

Een benadering van de ellips vanuit een meetkundige plaats van de snijpunten van gepaste geassocieerde krommen vind je via deze link .

Raaklijn in een punt D van een ellips

Neem de ellips
 
          x2    y2
          -- +  -- = 1
          a2    b2
Om de rico van de raaklijn te verkrijgen differentiëren we impliciet.
 
          2x   2y y'
          -- + ----- = 0
          a2    b2
We berekenen y'.
 
             b2  x
       y'= - ----
             a2  y
Zij D(xo,yo) een vast punt van de ellips.
De rico van de raaklijn in punt D is
 
             b2 xo
       y'= - ------
             a2 yo
De vergelijking van de raaklijn is
 
                 b2 xo
      y - yo = - ----- (x - xo)
                 a2 yo
<=>
       a2  yo y - a2  yo2  = b2  xo2  - b2  xo x
<=>
        a2  yo y + b2  xo x = a2 yo2  + b2  xo2
<=>
                daar D(xo,yo) op de ellips ligt
        a2  yo y + b2  xo x = a2 b2
<=>

         xo x   yo y
         ---- + ---- = 1
          a2     b2
De laatste vergelijking is de raaklijn in punt D(xo,yo) van de ellips.

raaklijn als bissectrice

Neem de deellijnen t en n van de rechten DF en DF'.
Zij F" het spiegelbeeld van F ten opzichte van t.
Neem een willekeurig punt T op t verschillend van D.

Daar |D,F| = |D,F"| is |F',F"| = 2a .
In de driehoek F'TF" , zien we dat

 
        |F',T| + |T,F"| > 2a

=>      |T,F'| + |T,F| > 2a
En uit de definitie van ellips volgt dat T buiten de ellips ligt. Hieruit volgt dat alle de punten van t, verschillend van D, buiten de ellips liggen en daaruit volgt dat de deellijn t van de rechten DF en DF' , een raaklijn van de ellips.
De rechte n is een normaal van de ellips.

Eigenschappen

Daar |F',F"| = 2a = constante, zien we dat het spiegelbeeld van F ten opzichte van een variabele raaklijn op de cirkel ligt met middelpunt F' en met straal 2a.
Noem P de projectie van F op de raaklijn.
Punt O is de middelpunt van het segment [F,F'] en punt P is middelpunt van het segment [F,F"]. Dus |O,P| = a .
De orthogonale projectie van F op een variabele raaklijn is de cirkel met middelpunt O en straal a.

Uitgewerkte oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.

normaal in een punt

Bereken de vergelijking van de normaal in een punt P(xo,yo) van de ellips.
 
        b2 x2 + a2 y2 = a2 b2

Concurrente rechten

Neem op de standaard ellips E een variabel punt P en noem F het brandpunt (c,0).
Toon aan dat de volgende rechten concurrent zijn
  • De raaklijn in P aan E
  • De loodlijn in F op PF
  • De rechte x = a2/c (richtlijn behorend bij F)

Excentriciteit

Neem op de standaard ellips E een variabel punt P en noem F het brandpunt (c,0).
Neem de rechte d met vergelijking x = a2/c (richtlijn behorend bij F).
Toon aan dat de verhouding van de afstanden |PF|/|P,d| constant is.

Afstanden |PF| en |PF'|

Neem op de standaard ellips E een variabel punt P( a cos(t), b sin(t) ).
Bereken de afstanden |PF| en |PF'|

Raaklijn als bissectrice

Toon analytisch aan dat de raaklijn in P van de ellips, de zijde FF' van driehoek PFF' uitwendig verdeelt in stukken, die evenredig zijn met de zijden PF en PF'. Hieruit volgt dan, op een andere manier dat die raaklijn een bissectrice is van PF en PF'.

Brandpunten en raaklijn

Bereken het product van de afstanden van de brandpunten van een ellips tot een raaklijn aan de ellips. Toon aan dat dit product constant is.

Middens van evenwijdige koorden

Neem alle koorden, met rico m, van een ellips. Toon aan dat alle middens van de koorden op een rechte liggen.

Meetkundige plaats

Rechte r heeft vergelijking 3x - 4y = 0
Rechte r' heeft vergelijking 3x + 4y = 0
Bereken de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot r en r' gelijk is aan 10

Twee rechthoekige driehoeken

P is een variabel punt van de ellips b2 x2 + a2 y2 =a2 b2.
Zij A = A(a,0) en A' = A'(-a,0).
M1 ligt op de x-as zodat driehoek APM1 rechthoekig is in P.
M2 ligt op de x-as zodat driehoek A'PM2 rechthoekig is in P.
Toon aan dat de afstand |M1 M2| constant is.

Raaklijn en minimum

Een veranderlijke raaklijn aan een ellips vormt met de x-as en y-as een driehoek. Voor welke raaklijn is de oppervlakte van de driehoek minimaal.

Parametervergelijkingen

Een kromme heeft parametervergelijkingen
 
        4 cos(t) + 2
  x = ----------------
        cos(t)  + 2


        3 sin(t)
  y = ----------------
        cos(t)  + 2
Die kromme heeft een eenvoudige cartesische vergelijking. Bereken die cartesische vergelijking.

.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.