Eliminatie van parameters




Eerst dit

Deze eliminatietheorie steunt in hoge mate op eigenschappen van stelsels. Dit onderwerp wordt behandeld op de pagina "Stelsels lineaire vergelijkingen".

Homogene en niet-homogene stelsels

Een stelsel heet homogeen als en slechts als elk veelvoud van een oplossing, ook een oplossing is.

Voorbeeld
/ 3x+ 5y - 8z = 0
\ x + y - 2z = 0

Dit stelsel heeft oplossing (1,1,1) en elk veelvoud, bijvoorbeeld (7,7,7), is ook een oplossing.

De stelsels die deze eigenschap niet hebben, heten niet homogene stelsels.

Co-existentie van vergelijkingen uit een niet homogeen stelsel.

Men zegt dat de vergelijkingen uit een niet homogeen stelsel co-existent zijn als en slechts als dit stelsel minstens 1 oplossing heeft voor de onbekenden.

Voorbeeld:

De vergelijkingen uit volgend stelsel zijn niet co-existent.
/ 2x + 4 = 0
\ 3x = 4

Over het algemeen ligt de zaak wat moeilijker. De vergelijkingen kunnen 1 of meerdere parameters bevatten. Dan vraagt men zich af wat de voorwaarde is opdat de vergelijkingen co-existent zouden zijn.

Voorbeeld: Gegeven is een stelsel met onbekende x.

/ m x + 4 x -3 = 0
\ 3 x = m + 2

We stellen de voorwaarde op opdat beide vergelijkingen co-existent zouden zijn. De eerste vergelijking heeft oplossing 3/(m+4) en de tweede heeft oplossing (m+2)/3.
De twee vergelijkingen zijn co-existent als en slechts als 3/(m+4) = (m+2)/3.
Die voorwaarde heet de co-existentie-voorwaarde voor de vergelijkingen van het stelsel. Als die voorwaarde vervuld is heeft het stelsel minstens 1 oplossing voor de onbekenden.

Neem een niet homogeen stelsel vergelijkingen met 1 of meerdere parameters. De nodige en voldoende voorwaarde, waaraan de parameters moeten voldoen, opdat het stelsel minstens 1 oplossing voor de onbekenden zou hebben, heet de co-existentie-voorwaarde.
Deze voorwaarde bevat de parameters maar geen enkele onbekende.

Het begrip elimineren voor een niet homogeen stelsel

Eenvoudig voorbeeld

Beschouw het stelsel met onbekende x

 
        3 x = a
        5b x = 2
Het stelsel heeft twee parameters a en b. De oplossing van de eerste vergelijking is a/3 en van de tweede vergelijking 2/5b.
De co-existentie-voorwaarde voor de vergelijkingen van het stelsel is a/3 = 2/5b of ook 5ab - 6 = 0.
Die voorwaarde bevat de onbekenden niet meer. Men zegt dat 5ab -6 = 0 ontstaat door x te elimineren uit het gegeven stelsel.

Tweede voorbeeld

Beschouw het stelsel met onbekenden x en y

 
/ 3 x + m2 y  = 1
| - x +   4 y  = 2
\ n x +    y   = 1
Dit stelsel heeft twee parameters m en n.
We zoeken eerst de co-existentie-voorwaarde. Dit is de voorwaarde opdat het stelsel minstens 1 oplossing zou hebben voor x en y. Daartoe passen we de theorie toe van de stelsels.

De coefficientenmatrix van het stelsel is

 
[3  m2]
[-1  4]
[ n  1]
De rang van die matrix is 2 want de determinant van de matrix gevormd door de eerste twee rijen is zeker niet 0. We kunnen dus de eerste twee vergelijkingen beschouwen als hoofdvergelijkingen en de derde als nevenvergelijking. De voorwaarde opdat het stelsel minstens 1 oplossing zou hebben, is dat de karakteristieke determinant nul is.
 
| 3    m2   1|
|-1    4    2| = 0
| n    1    1|
Na berekenen van de determinant vinden we de co-existentie-voorwaarde: 2 n m2 - 4 n + m2 + 5 = 0. De onbekenden x en y komen in die voorwaarde niet voor.
Men zegt dat 2 n m2 - 4 n + m2 + 5 = 0 ontstaat door elimineren van x en y uit het gegeven stelsel.

Om de onbekenden te elimineren uit een niet homogeen stelsel stelt men de nodig en voldoende voorwaarde op, opdat het stelsel een oplossing zou hebben. Die voorwaarde is de co-existentie-voorwaarde voor de vergelijkingen uit het stelsel.

Co-existentie bij vergelijkingen uit een homogeen stelsel.

Men zegt dat de vergelijkingen uit een homogeen stelsel co-existent zijn als en slechts als dit stelsel een oplossing heeft verschillend van de nul-oplossing.

Voorbeeld:

 
        / l x + m y = 0
        \ m x + l y = 0                 (1)
Het stelsel heeft zeker de oplossing x=0 en y=0. Dit is de nuloplossing. We passen de theorie van de stelsels toe. Het stelsel heeft een oplossing verschillend van de nuloplossing als en slechts als volgende determinant nul is.
 
| l  m |
| m  l |
l2-m2= 0 is de co-existentie-voorwaarde voor de vergelijkingen uit het homogeen stelsel. De voorwaarde bevat geen onbekenden. Men zegt dat de onbekenden geelimineerd zijn.

Om de onbekenden te elimineren uit een homogeen stelsel stelt men de nodig en voldoende voorwaarde op, opdat het stelsel een oplossing zou hebben verschillend van de nul-oplossing.
Die voorwaarde is de co-existentie-voorwaarde voor de vergelijkingen uit het stelsel.

Elimineren van enkele variabelen uit een stelsel

Het kan voorkomen dat men variabelen moet elimineren uit een stelsel en dat die variabelen eigenlijk niet de onbekenden uit het stelsel zijn. Dan vergeet men een ogenblik wat de onbekenden waren, en men beschouwt die variabelen als 'de onbekenden'. Daarna past men het vorige toe.
Om enkele variabelen te elimineren uit een stelsel, beschouwt men die variabelen een ogenblik als onbekenden en men past bovenstaande methodes toe.

Voorbeeld:

Elimineer l en m uit

 
        2lx + (l+m)y = 0
        4mx + (l-m)y = 0
Beschouw l en m als onbekenden
 
        (2x+y) l + y m = 0
        y l + (4x-y) m = 0
We zien dat we een homogeen stelsel hebben met die onbekenden l en m.

De voorwaarde opdat het stelsel een oplossing heeft verschillend van de nul-oplossing is

 
        | 2x+y    y |
        |           | = 0
        | y     4x-y|

<=>     ...

<=>     4 x2  - y2  + xy = 0
De variabelen l en m zijn geelimineerd.

Voorbeeld 2:

Elimineer m uit het stelsel

 
                2
        /  y = x  + mx
        \  y = 2x + m
Beschouw m als onbekende.
 

        / x m = y - x2
        \   m  = y - 2x
Het stelsel met onbekende m is niet homogeen.
We stellen de voorwaarde op, opdat het stelsel een oplossing zou hebben voor m. De oplossing voor m uit de tweede vergelijking moet ook oplossing zijn van de eerste vergelijking.
 
  x ( y - 2x ) = y - x2


<=>     x2  - xy + y = 0                       (2)
De variabele m is geelimineerd.

Het elimineren van een variabele welke kwadratisch voorkomt.

Beschouw de volgende vergelijkingen met parameter m. m komt (na uitwerking) kwadratisch voor.
 
        (x - 3)2  + y2  = (5 - m)2

        (x + 3)2  + y2  = (5 + m)2
We willen m elimineren. Dit betekent: we willen de voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen opdat het stelsel een oplossing zou hebben voor m.

We beschouwen m als onbekende. Als we uitwerken en rangschikken naar m vinden we :

 
        - m2  + 10 m + (x2 - 6 x + y2 - 16) = 0

        - m2  - 10 m + (x2 + 6 x + y2 - 16) = 0
We zoeken de nodige en voldoende voorwaarde opdat het stelsel een oplossing zou hebben voor m.

We zorgen er eerst voor dat m in 1 van de vergelijkingen niet meer kwadratisch voorkomt. Dit kan door 1 vergelijking te vervangen door een lineaire combinatie van de twee vergelijkingen. In ons geval is dit niet zo moeilijk. We vervangen de tweede vergelijking door het verschil van eerste en tweede.

 
        - m2  + 10 m + (x2 - 6 x + y2 - 16) = 0

             20m - 12x =0
Daar de tweede vergelijking geen m2 meer bevat, kunnen we gemakkelijk m berekenen uit die vergelijking.
 

        -m2  + 10 m + (x2 - 6 x + y2 - 16) = 0
             m = 3x/5
Het stelsel moet een oplossing hebben voor m. De waarde van m uit de tweede vergelijking moet dus ook gelden voor de eerste vergelijking.

Als we de gevonden waarde van m, in de eerste vergelijking brengen vinden we de gezochte voorwaarde. Na uitwerking en vereenvoudiging vindt men

 
        16 x2  + 25 y2  - 400 = 0
Deze voorwaarde bevat m niet meer. De variabele m is geelimineerd uit het gegeven stelsel. Die voorwaarde is de co-existentie-voorwaarde opdat het gegeven stelsel een oplossing zou hebben voor m.

Eliminatie en goniometrie

Beschouw het stelsel
 
        / a = cos(t)
        \ b = sin(t)
We willen de variabele t elimineren. We beschouwen t als onbekende.

Om t te elimineren zoeken we de nodige en voldoende voorwaarde opdat het stelsel een oplossing zou hebben voor t.

Besluit : Om t te elimineren uit
 
        / a = cos(t)
        \ b = sin(t)

schrijven we

        a2  + b2  = 1
Voorbeeld 1

Elimineer t uit

 
        /  x cos(t) + 2 sin(t) = y
        \  x cos(t) + sin(t) = 1
Eerst berekenen we cos(t) en sin(t).
 
                 2 - y
        cos(t) = -----   en   sin(t) = y - 1
                   x
Nu schrijven we de voorwaarde
 

                   (2 - y)2
        (y - 1)2+ -------- = 1
                      x2
De parameter t is geelimineerd.

Voorbeeld 2

Elimineer t uit

 
     /  x = a sec(t)
     \  y = b tan(t)


We berekenen eerst cos(t) en sin(t).

    /         a
   |    x = ------
   |        cos(t)
   |
   |        b sin(t)
   |    y = -------
    \        cos(t)


    /           a
   |   cos(t) = -
   |            x
   |
   |            a y
   |   sin(t) = ---
    \           b x


Dit laatste stelsel heeft een oplossing voor t als en slechts als


        sin2 (t) + cos2 (t) = 1
<=>
         a 2    a y 2
        (-)  + (---)  = 1
         x      b x
<=>

        a2  b2  + a2  y2  = b2  x2
<=>
        x2   y2
        -- - --- = 1
        a2   b2
De parameter t is geelimineerd.

Voorbeeld 3

Elimineer t uit

 
  / (x/a) cos(t) + (y/b) sin(t) = 1
  |
  \ (y/b) sin(t) - (x/a) sin(t) = 1

We berekenen cos(t) en sin(t) uit dit stelsel.
Men vindt:

            (x/a) + (y/b)
  cos(t) = ----------------
           (x/a)2 + (y/b)2

           (y/b) - (x/a)
  sin(t) = -----------------
           (x/a)2 + (y/b)2

Dit laatste stelsel heeft een oplossing voor t als en slechts als


        sin2 (t) + cos2 (t) = 1

<=>
        (x/a + y/b)2  + (y/b - x/a)2
      ----------------------------------- = 1
             ((x/a)2 + (y/b)2)2

<=>
            (x/a)2 + (y/b)2
      2  --------------------------- = 1
            ((x/a)2 + (y/b)2)2

<=>
       (x/a)2 + (y/b)2 = 2
De parameter t is geelimineerd.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.