Afgeleiden van functies,limieten (II), maximum, minimum, buigpunten.




Twee speciale limieten van goniometrische functies

Zonder bewijs aanvaarden we dat

 
            sin(x)
        lim ------- = 1
      x->0    x

 
            tan(x)         sin(x)         sin(x)    1
        lim ------- = lim --------- = lim ------ .------- = 1.1 = 1
         0    x        0   x.cos(x)         x      cos(x)
 
            tan(x)
        lim ------- = 1
      x->0    x

Verwante limieten van goniometrische functies

Steunend op vorige limieten kunnen veel verwante limieten berekend worden.
 
         sin(5x)
   lim ----------- = 1
    0       5x

         tan(53x)
   lim ----------- = 1
    0       53x


           5x
   lim ----------- = 1
    0    sin(5x)

           3x             (3/5) (5x)
   lim ----------- = lim --------------- = 3/5
    0    sin(5x)      0     sin(5x)

           5 x2          (1/5) (5x)  (5x)
   lim ----------- = lim  ------------------- = 1/5
    0    sin2(5x)    0      sin(5x) sin(5x)


         sin(5x)            sin(5x) / (5x)
   lim ----------- = lim ------------------ = 1
    0    tan(5x)      0     tan(5x) / (5x)

         sin(3x)           3 sin(3x) / (3x)
   lim ----------- = lim ---------------------    = 3/2
    0    tan(2x)      0    2 tan(2x) / (2x)


         tan2(4x)       16 (tan(4x)/(4x)) (tan(4x)/(4x))
   lim ----------- = lim -------------------------------- = 16
    0    x sin(x)                   sin(x)/x


   lim ( cot(x) - 1/x) = lim ( 1/tan(x) - 1/x)
    0                     0

           1 - tan(x)/x      1 - 1
   = lim (--------------) = ------- = 0
      0      tan(x)/x          1
Al deze limieten kunnen ook berekend worden met de regel van de l'Hospital (zie verder)

De afgeleide van

f(x) voor x = a

Zij G de grafiek van f(x) en punt P(a,f(a)) ligt op G. Neen nu punt Q(a+h,f(a+h)) op G dicht bij punt P.
 
                    (f(a+h)-f(a))
De rico van  PQ is ---------------
                         h

Deze richtingscoefficient kan beschouwd worden als de gemiddelde helling van G in het deel van de kromme tussen P en Q.
We laten nu h kleiner en kleiner worden. De rechte PQ zal meer en meer naderen naar de raaklijn aan de kromme in punt P.
Als de volgende limiet bestaat en reeel is, dan geldt:

 
                                      (f(a+h)-f(a))
De rico van de raaklijn in P  = lim --------------
                                h->0        h
Die limiet noemen we de afgeleide van f(x) in het punt P of ook de afgeleide van f(x) voor x = a. Deze waarde noteren we als f'(a).

f'(x)

We maken nu het punt P uit vorige paragraaf variabel. Dan wordt het vorige
 
        De helling van de raaklijn in punt P(x,f(x))

               (f(x+h)-f(x))
        = lim ---------------
         h->0        h

        = de afgeleide van  of f(x)


        = D(f(x))       (notatie)


        = f'(x)        (notatie)

           df
        = ---           (notatie)
           dx

           d
        = --- f(x)      (notatie)
           dx
Als die limiet voor een bepaalde x-waarde b geen reeel getal is, dan zeggen we dat de afgeleide niet bestaat voor x=b of ook dat f(x) niet afleidbaar is voor x = b.
Een functie is afleidbaar in [a,b] als en slechts als de functie afleidbaar is voor elke x in [a,b].

Afleidbaarheid en continuiteit

Stelling:
Als een functie f(x) afleidbaar is voor x=b, dan is f(x) continu voor x=b.

Bewijs:
Daar f(x) afleidbaar is voor x = b, geldt:

 

              (f(b+h)-f(b))
         lim --------------- = een reeel getal  = f'(b)
         h->0        h
Nu,


                          f(b+h) - f(b)
      lim f(b+h) = lim ( ---------------- .h + f(b)  )
      h->0        h->0          h

                           f(b+h) - f(b)
                    lim ( ---------------- .h )  + f(b)
                 = h->0          h


                 = f'(b) .0  + f(b)

                 = f(b)

Stel x = b+h ; als  h ->0  dan  x -> b

      lim f(x) = f(b)
     x->b

en f(x) is continu in b.

Formules om de afgeleide functie te berekenen

constante functie

Neem f(x) = c.
De helling van de raaklijn is in elk punt P gelijk aan 0. Dus,
 
        d
        -- c = 0   of   D(c) = 0
        dx

Voorbeelden: D(3) = 0 ; D(sin(4)) = 0

f(x) = x

De helling van de raaklijn is in elk punt P gelijk aan 1. Dus,
 
        d
        -- x = 1   of   D(x) = 1
        dx

De som f(x) + g(x)

Als de functies f(x) en g(x) afleidbaar zijn dan is
 
d                     f(x+h)+g(x+h) -(f(x)+g(x))
-- (f(x)+g(x)) = lim -----------------------------
dx              h->0             h

                      (f(x+h)-f(x)) + (g(x+h)-g(x))
                = lim -----------------------------
                 h->0              h

                        (f(x+h)-f(x))            (g(x+h)-g(x))
                =  lim ---------------  +   lim ---------------
                   h->0        h            h->0        h

                  d         d
                = -- f(x) + -- g(x)
                  dx        dx
 
d                d         d
-- (f(x)+g(x)) = -- f(x) + -- g(x) = f'(x) + g'(x)
dx               dx        dx

Voorbeeld: D(x + 1/pi) = 1 + 0 = 1

Deze eigenschap is uitbreidbaar voor een som van n afleidbare functies.

Het product f(x).g(x)

Als de functies f(x) en g(x) afleidbaar zijn dan is
 
d                     f(x+h).g(x+h) - f(x).g(x)
-- (f(x).g(x)) = lim ---------------------------
dx              h->0             h

                       f(x+h).g(x+h) -f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x).g(x)
                = lim --------------------------------------------------
                 h->0                     h

                                 (g(x+h)-g(x))          (f(x+h)-f(x))
                =  lim (f(x+h). --------------- + g(x). --------------)
                   h->0               h                       h

                = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)
 
d
-- (f(x).g(x)) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)
dx

Het product van n afleidbare functies

Vorige eigenschap is uitbreidbaar tot het product van n afleidbare functies.
Voorbeeld : u=f(x) v=g(x) w=h(x)

 
d
--(u.v.w) = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'
dx


Speciaal product

u=f(x) en c is constant

 
d
--(c.u) = c.u'
dx

Voorbeelden:

 
  D(3x) = 3

  D(2x + 13) = 2

  D(x2/434) = 1/434 D(x2)

Macht van f(x)

u=f(x) is afleidbaar
 
d    n    d                       n-1
--( u ) = --(u.u.u. ... .u) = n.(u   ).u'
dx        dx
 
d
--( un ) = n.(un-1).u'
dx

Voorbeelden:

 
  D(x3) = 3 x2

  D(x8) = 8 x7

  D(x3 + x4) = 3x2 + 4x3

  D(x3 + 34) = 3 x2

  D( (12x)3 ) = 3(12x)2.(12)

  D( (12x + 4)4 ) = 4(12x +4)3.12

  D( (12x+4)(x4+5)) = D(12x+4) .(x4+5) + (12x+4).D(x4+5) = 12.(x4+5) + (12x+4).4x3

  D( (x3.(x+1)5) = 3x2.(x+1)5 + x3.5(x+1)4

  D( (x3.(x2+1)5) = 3x2.(x2+1)5 + x3.5(x2+1)4.2x

Het quotient f(x)/g(x)

Als de functies f(x) en g(x) afleidbaar zijn dan is
 
d                     f(x+h)/g(x+h) -(f(x)/g(x))
-- (f(x)/g(x)) = lim -----------------------------
dx              h->0             h

                        f(x+h).g(x) - f(x).g(x+h)
                =  lim -----------------------------
                  h->0      h.g(x).g(x+h)

                        f(x+h).g(x) -f(x)g(x) +f(x)g(x) - f(x).g(x+h)
                =  lim ---------------------------------------------
                  h->0               h.g(x).g(x+h)


                       g(x) . (f(x+h)-f(x))/h - f(x) . (g(x+h)-g(x))/h
                =  lim ------------------------------------------------
                  h->0             g(x).g(x+h)

                    g(x).f'(x) - f(x).g'(x)
                =  -------------------------
                             g(x).g(x)
 
      (u / v)' = ( v u' - u v') / v2

Voorbeeld:

 
    d   2x+7      (3x+2)2 - (2x+7)3
   -- (------) = -----------------------
   dx   3x+2         (3x+2)2

Belangrijke speciale gevallen:

u=f(x) is afleidbaar
 
                        n         (n-1)
d    -n    d    1      u . 0 - n.u     .u'        (-n-1)
--( u  ) = -- (---) = --------------------- = -n.u      .u'
dx         dx    n               2n
                u              u

Hieruit volgt dat de formule
 
d    n         n-1
--( u ) =  n.(u   ).u'
dx
geldt voor alle gehele waarden van n.

Hieruit volgen nog enkele nuttige formules :

 
  D( 1/x) = D( x-1 ) = -1.x-2 = -1/x2

 d          d
--(1/u ) = --(u-1 ) = -1.u-2.u'
dx         dx

             -1
         = ----- u'
            u2
 
 d          -1
--(1/u ) = ----- u'
dx          u2

Voorbeelden

 
  D( 1/(2x+23) ) = -2/(x+23)2

        1         -1
  D( -------) = ---------- .4. 5x4
       4x5      (4x5)2

        1           -1
  D ---------- = ---------- . 4(2x+23)3. 2
     (2x+23)4    (2x+23)8


  D (x2+4x)3 = 3(x2+4x)2 (2x+4)


  D ((x-1)(x+1)(x2+1)) = D ((x2-1)(x2+1)) =D (x4-1) = 4x3


  D (1/(2x+4)3) = D (2x+4)-3 = -3 (2x+4)-4.2 = -6/(2x+4)4

sin(x)

 
d              sin(x+h) - sin(x)
--sin(x) = lim ------------------
dx        h->0         h

               2.cos(x + h/2).sin(h/2)
         = lim ------------------------
          h->0         h

               cos(x + h/2).sin(h/2)
         = lim ------------------------
          h->0        h/2

                            sin(h/2)
         = lim cos(x + h/2).--------
          h->0                h/2


         = cos(x)

cos(x)

Analoog als voor sin(x) kan je aantonen dat
 
d
--cos(x) = - sin(x)
dx

tan(x)

 
d          d  sin(x)    cos2(x) - sin(x).(-sin(x))
--tan(x) = --(------) = -----------------------------
dx         dx cos(x)        cos2(x)

             1
        = ---------
          cos2(x)

cot(x)

Analoog als voor tan(x) kan je aantonen dat
 
d              -1
--cot(x) =  ---------
dx           sin2(x)

De ketting regel

Neem de functie f(g(x)) en stel u = g(x). Neem aan dat f en g afleidbaar zijn.
 
d                f(g(x+h)) - f(g(x))
--(f(g(x)) = lim ------------------
dx          h->0        h

             f(g(x+h)) - f(g(x))    g(x+h) - g(x)
      =  lim --------------------. ----------------
        h->0   g(x+h) - g(x)              h

                    let g(x+h) = g(x) + k = u + k

              f(u + k) - f(u)      g(x+h) - g(x)
      =  lim -------------------. ----------------
        h->0       k                     h

                    als h -> 0 dan zal  k -> 0

              f(u + k) - f(u)           g(x+h) - g(x)
      =  lim -------------------.  lim ----------------
        k->0       k              h->0        h

         d         d
      =  -- f(u) . -- g(x)
         du        dx
We kunnen ook schrijven

 
d         d
-- f(u) = -- f(u) . u'
dx        du
Deze formule noemen we de kettingregel (chain rule)

Gevolgen

 
d          d
--sin(u) = -- sin(u) . u' = cos(u) . u'
dx         du

d          d
--cos(u) = -- cos(u) . u' = - sin(u) . u'
dx         du

d          d                    1
--tan(u) = -- tan(u) . u' =  ---------- . u'
dx         du                 cos2(u)

d          d                    1
--cot(u) = -- cot(u) . u' = - -------- . u'
dx         du                 sin2(u)

d
--(un ) = n . (un-1).u'
dx

...
 
d
--sin(u) =  cos(u) . u'
dx

d
--cos(u) = - sin(u) . u'
dx

d              1
--tan(u) =  ---------- . u'
dx           cos2(u)

d              1
--cot(u) = - -------- . u'
dx          s in2(u)

d
--(un ) = n . (un-1).u'
dx


Voorbeelden:

 
 D( sin(x2) ) = cos(x2) . 2x


                         3
 D( tan(3x+2) ) = ---------------
                   cos2(3x+2)


 D ( x2 . sin(3x) ) = 2x . sin(3x) + x2. cos(3x).3


 D ( sin(x)/x) = D( (1/x).sin(x)) = (-1/x2).sin(x) +(1/x).cos(x)

                          1
 D tan(sqrt(x3)) = ---------------. (3/2) x1/2
                     cos2(x3/2)

                         1
 D tan(sin(1/x)) = ------------------ cos(1/x) . (-1/x2)
                    cos2(sin(1/x))


 D sin3(pi/2 - x) = D cos3(x) = 3cos2(x) (-sin(x))

      1
 D -------- = D cos-2(x) = -2 cos-3(x).(-sin(x))
   cos2(x)


 D sinm(xm) = m sinm-1(xm) cos(xm) m xm-1


        x2 - 1         x2 - 1      (x2 + 1)2x -(x2 - 1)2x
 D sin(--------) = cos(--------) . -------------------------- = ...
        x2 + 1         x2 + 1            (x2 + 1)2

De inverse goniometrische functies

Neem eerst arcsin(x) . We weten dat als x in [-1,1]
sin( arcsin(x) ) = x. (1)
Dus linker lid en rechter lid moeten dezelfde afgeleide hebben.
We nemen de afgeleide van beide leden van (1).
 
                       d
     cos( arcsin(x) ). --( arcsin(x) ) = 1      (2)
                       dx
Noem nu b = arcsin(x). Dan is b in [-pi/2,+pi/2] .
 
            _____________      _______
           |        2         |      2
 cos(b) = \| 1 - sin (b)  =  \| 1 - x
                            ________
                           |      2
Dus,  cos( arcsin(x) ) =  \| 1 - x
door (2) kunnen we nu schrijven :
 
          ________
         |      2     d
        \| 1 - x    . --( arcsin(x) ) = 1
                      dx

       d                     1
<=>    --( arcsin(x) ) = -------------
       dx                   _______
                           |      2
                          \| 1 - x

en met de kettingregel komt er
 
       d                     1
       --( arcsin(u) ) = -------------.u'
       dx                   _______
                           |      2
                          \| 1 - u

Analoog

 
       d                   - 1
       --( arccos(u) ) = -------------.u'
       dx                    _______
                            |      2
                           \| 1 - u

       d                     1
       --( arctan(u) ) = -------------.u'
       dx                  1 + u2



       d                    - 1
       --( arccot(u) ) = -------------.u'
       dx                   1 + u2



Voorbeelden:

 
       d                   - 1
       --( arccos(x7) ) = ------------ 7 x6
       dx                    ________
                            |      14
                           \| 1 - x

       d                     1
       --( arcsin(1/x)) = ------------- (-1/x2)
       dx                   ___________
                           |          2
                          \| 1 - (1/x)



       d                           1
       --( arctan(sin(2x)) ) = ---------------- (cos(2x)).2
       dx                       1 + sin2(2x)

Rationale machten van u = f(x)

De n-de wortel van x

Voor x > 0 hebben we
 
        (x(1/n))n=  x
Dus linker lid en rechter lid moeten dezelfde afgeleide hebben.
We nemen de afgeleide van beide leden.
 
            (1/n) n-1  d    (1/n)
        n.(x     )   . -- (x     ) = 1
                       dx

<=>    ...

        d    (1/n)     1      1/n - 1
<=>     -- (x     ) = ---.  (x        )
        dx             n

De n-de wortel van u = f(x)

We steunen op vorige formule
 
        d    (1/n)     1      1/n - 1
        -- (u     ) = ---.  (u        ).u'
        dx             n

Vierkantswortel van u

We steunen op vorige formule
 
        d    (1/2)     1       -1/2
        -- (u     ) = ---.  (u     ).u'
        dx             2
Dus,
                       1
     D( sqrt(u) ) = --------- u'
                    2.sqrt(u)

Rationale macht

 
        d    (m/n)    d    (1/n) m      (1/n) m-1  1      1/n - 1
        -- (x     ) = -- (x     ) = m.(x     )   . --.  (x        )
        dx            dx                           n

<=>     ...

           m
<=>     = --- . xm/n - 1
           n

Rationale macht van u = f(x)

We steunen op vorige formule
 
        d    (m/n)      m
        -- (u     ) =  --- . um/n - 1.u'
        dx              n
 
        d    (m/n)      m
        -- (u     ) =  --- . um/n - 1.u'
        dx              n


   d                    1
   -- ( sqrt(u) ) = --------- u'
   dx               2.sqrt(u)

Voorbeelden:

 
                          6x
 D( sqrt(3x2+5) ) = --------------
                     2. sqrt(3x2+5)


 D( (sin(3x))4/3 ) = (4/3)(sin(3x))1/3 . cos(3x) . 3

                               cos(x)cos(2x) -2sin(x)sin(2x)
 D( sqrt(sin(x).cos(2x)) ) = --------------------------------
                              2 sqrt(sin(x).cos(2x))



                                2x+1
                      (2x+1). ---------------  - sqrt(x2+x+1). 2
   sqrt(x2+x+1)                2.sqrt(x2+x+1)
 D ------------- = ----------------------------------------------- = ....
    2x + 1                     (2x+1)2



                                     2x                           2x
                    sqrt(x2+4). --------------- - sqrt(x2-2) ---------------
   sqrt(x2-2)                    2.sqrt(x2-2)                 2.sqrt(x2+4)
 D ------------ = ------------------------------------------------------------ = ...
   sqrt(x2+4)                  (x2+4)

Logaritmische functies

zie afgeleide van een logaritmische functie

Exponentiele functies

zie afgeleide van een exponentiele functie

Reele macht van x

zie afgeleide van een reele macht van x

uv

zie afgeleide van uv

Partiele afgeleiden

definitie van partiele afgeleiden

Onderstel dat we een functie f hebben zodat het beeld afhangt van verschillende onafhankelijke variabelen, zoals x, y, z.

We schrijven f(x,y,z).

Beschouw, voor een ogenblik, in zo'n functie f(x,y,z) de veranderlijken y en z als constanten. Dan zal f(x,y,z) enkel afhangen van de veranderlijke x. Dan kunnen we de afgeleide bereken met betrekking tot x.
We noteren deze afgeleide als

 
        fx'(x,y,z)
Op analoge wijze kan men ook berekenen :
 
        fy'(x,y,z)     en      fz'(x,y,z)

Voorbeeld van een partiele afgeleide berekening

 
f(x,y,z) = 3 x y - x z + 6 y -4


        fx'(x,y,z) = 3 y - z

        fy'(x,y,z) = 3 x + 6

        fz'(x,y,z) = - x

Uitbreiding van de kettingregel

Onderstel dat we een functie f(x,y,z) hebben waarvoor de x, y en z niet onafhankelijk zijn maar functies zijn van een veranderlijke t.
Dan is f een functie van t.

Onderstel verder dat die 3 functies van t afleidbaar zijn. We noteren de afgeleiden van x, y en z naar t respectievelijk x',y' en z'. We kunnen nu de afgeleide van f naar t berekenen met de formule

 
      d
      --- f(x,y,z) = fx'(x,y,z) . x' +  fy'(x,y,z) . y' + fz'(x,y,z) . z'
      dt

Het bewijs van deze formule valt buiten het raam van deze cursus

Voorbeeld:

 
f(x,y,z) = x2 + x.y + z2 + y.z

en  x = 3t ; y = 5 t2 ; z = t3

dan is
      d
      --- f(x,y,z) = (2x + y).3 + (x + z). 10t + (2z + y). 3t2
      dt

                   = (6t + 5t2).3 + (3t + t3) .10t + (2t3 + 5t2).3t2

                   = ...

                   = 6 t5 + 25 t4 + 45 t2 + 18 t

Impliciet afleiden

Impliciete functies

Voorbeeld :

We definieren de functie
 
    x + 6
y = -----
    x - 5
Als x niet 5 is, kunnen we de functie definieren in een impliciete vorm
 
y.(x - 5) = x + 6

of

x y = x + 5 y + 6

of

x y - x - 5 y - 6 = 0

Impliciet gedefinieerde functie

Uit vorig voorbeeld zien we dat uitdrukkingen als
 
        g(x,y) = 0
of      g(x,y) = h(x,y)
y kunnen definieren als een functie van x.

Impliciete functies afleiden

Het begrip impliciet afleiden

Onderstel dat we weten dat y impliciet gedefinieerd is als een functie van x door de uitdrukking
 
        g(x,y) = h(x,y)
Als we nu hierin y denken als een functie van x, dan is vorige vorm een identiteit voor alle x-waarden.
Met andere woorden het linker lid en het rechter lid zijn dan eigenlijk identieke functies van x.
Daarom is de afgeleide naar x van het rechter lid en van het linker lid identiek.
 
d g(x, y)   d h(x, y)
--------- = ---------  voor alle x
   dx         dx
Dit definieert y' impliciet

Voorbeeld van impliciet afleiden

Uit vorig voorbeeld weten we dat volgende uitdrukking y impliciet definieert als een functie van x.
 
        x y = x + 5 y + 6 
Als we nu hierin y denken als een functie van x, dan is vorige vorm een identiteit voor alle x-waarden.
Met andere woorden het linker lid en het rechter lid zijn dan eigenlijk identieke functies van x.
Daarom is de afgeleide naar x van het rechter lid en van het linker lid identiek.
 
        1.y + x.y' = 1 + 5 y' + 0

<=>
        (x-5) y' = 1 - y

<=>
             1 - y
        y' = -----
             x - 5
Deze werkwijze noemen we impliciet afleiden

Algemeen

We veralgemenen nu vorige werkwijze om y' te berekenen zelfs in het geval dat de uitdrukking
 
        g(x,y) = h(x,y)
twee of meer verschillende functies van x definieert.
Voorbeeld:
 
 2
y = 4x definieert twee y waarden als functie van x.

We denken y als een functie van x en we leiden af.
 
        2 y y' = 4
<=>
        y' = 2/y
Dit resultaat is geldig voor de twee verschillende functies!!

Maxima en Minima

Relatief maximum

We zeggen dat een functie f(x) een relatief maximum heeft voor x=t als en slechts als er een strikt positief getal e bestaat zodat f(x) =< f(t) voor alle x in ]t-e,t+e[ .
Bijna altijd wordt het woord 'relatief' weggelaten.

Relatief minimum

We zeggen dat een functie f(x) een relatief minimum heeft voor x=t als en slechts als er een strikt positief getal e bestaat zodat f(x) >= f(t) voor alle x in ]t-e,t+e[ .
Bijna altijd wordt het woord 'relatief' weggelaten.

Nulpunten van f'(x)

Stel dat f'(x) bestaat in een open interval dat de waarde x=t bevat. Onderstel verder dat f(x) een maximum bereikt voor x=t.

Dan zal f'(t) = 0.


Bewijs:
 
      f'(x) bestaat voor x = t

             (f(t+h)-f(t))
=>       lim --------------- = is een getal  g
       h->0        h

   We beschouwen nu de linker en rechter limiet afzonderlijk

            (f(t+h)-f(t))                   (f(t+h)-f(t))
=>      lim --------------- = g  en    lim --------------- = g
        > 0       h                     < 0       h


     Daar  f(x) een maximum bereikt voor  x = t , hebben we

=>           ( g > of =  0 )           en       ( g < of = 0 )

=>           g = 0

=>           f'(t) = 0
Op analoge wijze kunnen we aantonen dat:

Stel dat f'(x) bestaat in een open interval dat de waarde x=t bevat. Onderstel verder dat f(x) een minimum bereikt voor x=t.

Dan is f'(t) = 0.


De stelling van Rolle

f(x) is een gegeven functie. Als
  • f(a) = f(b)
  • f is continu in [a,b]
  • f is afleidbaar in ]a,b[
dan bestaat er een c-waarde in ]a,b[ zo dat f'(c) = 0.

Bewijs:
Als f constant is [a,b], dan is het bewijs vanzelfsprekend.

We veronderstellen verder dat f niet constant is in [a,b].

Er is dan een getal d in ]a,b[ zo dat f(d) verschillend is van f(a) en f(b).

Veronderstel eerst dat f(d) > f(a). Daar f continu is in [a,b], zal f een grootste beeld bereiken. Dit weten we door te steunen op Weierstrass.

Bijgevolg is er een c-waarde in ]a,b[ zo dat f(c) maximum is en daar f afleidbaar is in ]a,b[ is f'(c) = 0.

Op dezelfde wijze kan je het bewijs geven voor het geval f(d) < f(a).

Van zodra minstens 1 van de drie voorwaarden niet vervuld is, is het bestaan van de c-waarde niet meer gegarandeerd.

Stelling van Lagrange

Als
  • f is continu in [a,b]
  • f is afleidbaar in ]a,b[
dan bestaat er een c-waarde in ]a,b[ zo dat
 
              f(b) - f(a)
     f'(c) = ---------------
                 b - a

C is de grafiek van y = f(x).
The rico van PQ is ( f(b) - f(a) ) / (b - a).
f'(c) is de rico van de raaklijn in punt R(c,f(c)).
De stelling zegt dat er een gepast punt R op de kromme bestaat zodat de raaklijn in R evenwijdig is met PQ.

Bewijs:

De vergelijking van PQ is

 
                 f(b) - f(a)
    y - f(a) =  -------------- (x - a)
                    b - a
<=>
                 f(b) - f(a)
    y = f(a) +  -------------- (x - a)
                    b - a
Nu beschouwen we drie functies
 
    f :  x --> y = f(x)

                            f(b) - f(a)
    g :  x --> y = f(a) +  -------------- (x - a)
                               b - a

    h :  x --> y = f(x) - g(x)
Het is niet moeilijk op in te zien ( met behulp van de figuur) dat h(x) voldoet aan de drie voorwaarden van de stelling van Rolle.

We kunnen dus de stelling van Rolle toepassen op h.
Er bestaat dus een c-waarde in ]a,b[ zo dat h'(c) = 0;

 
    h'(x) = f'(x) - g'(x)

                          f(b) - f(a)
          = f'(x) - 0 -  ------------- .1
                             b - a
Er is een c-waarde in ]a,b[ zo dat
 
               f(b) - f(a)
     f'(c) -  ------------- = 0
                 b - a

<=>
               f(b) - f(a)
     f'(c) =  ------------
                 b - a

Constante functies

Stelling:
Als f'(x) = 0 voor alle x in [a,b]
Dan is f(x) constant in [a,b].

Bewijs:
Neem 2 waarden c en d in [a,b]. We tonen aan dat f(c) = f(d).

Daar f'(x) bestaat voor elke x in [a,b], bestaat f'(x) in [c,d] en f(x) is continu in [c,d].
We passen de stelling van Lagrange toe in [c,d].
Er bestaat een waarde e in ]c,d[ zo dat

 
               f(c) - f(d)
     f'(e) =  -------------
                 c - d

maar f'(x) = 0 voor alle x in [c,d]. Dus,

       f(c) - f(d)
      ------------- = 0
         c - d

en  f(c) = f(d)

Stijgende functies

Stelling:
Als f'(x) > 0 voor alle x in [a,b]
Dan stijgt f(x) in [a,b].

Bewijs :
Neem twee waarden c < d in [a,b]. We tonen aan dat f(c) < f(d). Daar f'(x) bestaat voor elke x in [a,b], bestaat f'(x) in [c,d] en f(x) is continu in [c,d].
We passen de stelling van Lagrange toe in [c,d].
Er bestaat een waarde e in ]c,d[ zo dat

 
               f(c) - f(d)
     f'(e) =  -------------
                 c - d

maar f'(x) > 0 voor alle x in [c,d]. Dus,

       f(c) - f(d)
      ------------- > 0
         c - d

Daar c < d , hebben we  f(c) < f(d).

Dalende functies

Stelling:
Als f'(x) < 0 voor alle x in [a,b]
Dan is f(x) dalend in [a,b].

(Het bewijs is analoog als in vorige stelling)

Relatief maximum van een afleidbare functie.

Zij e een strikt positief reeel getal.
Onderstel dat een functie afleidbaar is in ]t-e,t+e[ .

Als f'(x) > 0 in een behoorlijk interval ]t-e,t[ , dan stijgt de functie f(x) links van t.
Als f'(x) < 0 in een behoorlijk interval ]t,t+e[ , dan daalt de functie f(x) rechts van t.
In dat geval heeft f(x) een relatief maximum voor x=t.

Relatief minimum van een afleidbare functie.

Zij e een strikt positief reeel getal.
Onderstel dat een functie afleidbaar is in ]t-e,t+e[ .

Als f'(x) < 0 in een behoorlijk interval ]t-e,t[ , dan daalt de functie f(x) links van t.
Als f'(x) > 0 in een behoorlijk interval ]t,t+e[ , dan stijgt de functie f(x) rechts van t.
In dat geval heeft f(x) een relatief minimum voor x=t.

Detectie van een relatief maximum of een relatief minimum

Over het algemeen kunnen we zoiets opsporen door f'(x) te onderzoeken.
f(x) heeft een maximum = f(t) als f'(x) overgaat van + naar - voor x=t.

f(x) heeft een minimum = f(t) als f'(x) overgaat van - naar + voor x=t.


Voorbeeld

 
f(x) = 3x5- 5x3 dan is  f'(x) = 15x4-15x2= 15 x2.(x-1)(x+1)

Tekenonderzoek

        x       |       -1      0       1
        ---------------------------------------
        f'(x)   |   +       -       -       +

Er is een  maximum voor x = -1 en een  minimum voor x = 1

Toepassingen van afgeleiden

Zwaailicht

Een zwaailicht staat op 3m van een lange muur en draait 1 omwenteling per seconde. Op het tijdstip t=0 is punt P verlicht. Hoe groot is de snelheid van het lichtpunt op de muur als de hoek u = pi/3 radialen is?
 
             
Daar 1 omwenteling juist 1 seconde duurt is u = 2.pi.t radialen De snelheid v van het lichtpunt op de muur is ds/dt. Het verband tussen s en de hoek u is s = 3 tan(u). Hieruit volgt s = 3 tan (2.pi.t).
Dan is
 
       ds         2 pi              6pi
  v = ---- = 3 -------------- = ---------------
       dt      cos2(2 pi t)      cos2(2 pi t)

  Voor u = 2 pi t =  pi/3  is   v = 24 pi  m/s

Ballon

Uit een bolvormige ballon ontsnapt gas met een debiet van 1 cm3/s.
Hoe snel vermindert de oppervlakte van de ballon op het moment dat de straal 20 cm is.
 
             

  Oppervlakte bol = A =  4 pi r2
Inhoud bol = V = (4/3) pi r3
dA/dt = 8 pi r dr/dt (*) DV/dt = 4 pi r2 dr/dt Nu is gegeven DV/dt = -1 Dus 4 pi r2 dr/dt = -1 => dr/dt = -1/(4 pi r2) (**) Uit (*) en (**) volgt dA/dt = 8 pi r . ( -1/(4 pi r2) ) = -2/r Op het ogenblik dat r = 20 is dA/dt = -0.1 De oppervlakte vermindert 0.1 cm2/s op het moment dat r = 20 cm

Water

Een kegelvormig vat staat vol water. Op dat ogenblik heeft de waterspiegel een diameter van 4 dm. De hoogte van de kegel is 1 dm. Er vloeit 0.1 liter water per seconde weg uit het vat. Wat is de snelheid waarmee de waterspiegel daalt op het ogenblik dat de hoogte van het water nog 0.5 dm is.
 
            

  We noemen h de hoogte van het water op een bepaald tijdstip t.
  We noemen r de staal van de waterspiegel op een bepaald tijdstip t.

  V = Volume water op tijdstip t.  V = pi r2 h / 3
  Zowel r als h zijn functies van de tijd.

  d V/dt = (pi/3) ( 2 r (dr/dt) h + (dh/dt) r2 )    (*)

  Maar uit gegeven volgt dV/dt = -0.1

  Uit de figuur volgt dat : r/h = 2/1 ; dus r = 2h en dr/dt =2 dh/dt

  (*) wordt:     -0.1 = (pi/3) (12 h2 )(dh/dt)

  Op het ogenblik dat h = 0.5 krijgen we  dh/dt = -0.03

  Op het ogenblik dat de hoogte van het water  0.5 dm is,
  daalt de waterspiegel 3 mm per seconde

Wet van Snellius

In een gebied A is de snelheid van een deeltje d gelijk aan v1 en in gebied B is die snelheid v2. Het deeltje d vertrekt in punt P1 en moet in een zo kort mogelijke tijd naar punt P2. We stellen een merkwaardige eigenschap op omtrent de baan van dit deeltje d.
 
            
We kiezen aan assenstel zoals op de figuur aangegeven.

Noem P1(0,a) P2(c,-b) S(x,0)

De totale tijd om van P1 naar P2 te gaan is een functie van x

 
  T = |P1 S|/v1 + |S P2|/v2

       sqrt(a2+x2)      sqrt( (c-x)2 + b2 )
    = --------------- + ----------------------
           v1                  v2

We berekenen x zo dat de totale tijd T minimum is

  dT         2 x                2 (c-x)(-1)
 --- = ----------------- + --------------------------
  dx    v1 2 sqrt(a2+x2)     v2 2 sqrt((c-x)2 + b2 )

T is minimaal als en slechts als die afgeleide 0 is. Dus als

               x                   (c-x)
        ----------------- = --------------------------      (*)
         v1  sqrt(a2+x2)     v2  sqrt((c-x)2 + b2 )

Op de figuur zijn de hoeken i en j aangeduid.
Er geldt in de rechthoekige driehoeken op de figuur:

                 x
            -------------- = sin(i)
            sqrt(a2+x2)

en
                (c-x)
           --------------------- = sin(j)
           sqrt((c-x)2 + b2 )

zo wordt de voorwaarde (*) gelijk aan

          sin(i)       sin(j)
        --------- =  ---------
            v1          v2

          sin(i)         v1
        --------- =  ---------
          sin(j)         v2

En we vinden de wet van Snellius terug.

Concaviteit

Concaaf naar boven = holle zijde naar boven

Als in een interval f"(x) > 0 , dan is f'(x) stijgend.
Dat stijgt de helling van de kromme samen met x.
Dan keert de kromme zijn holle zijde naar boven in dat interval.

Als f"(x) > 0 in een interval, dan is f(x) concaaf naar boven in dat interval.

Concaaf naar beneden = holle zijde naar beneden

Als in een interval f"(x) < 0 , dan is f'(x) dalend.
Dat daalt de helling van de kromme samen met x.
Dan keert de kromme zijn holle zijde naar beneden in dat interval.

Als f"(x) < 0 in een interval, dan is f(x) concaaf naar beneden in dat interval.

Buigpunten

Voorbeeld:
 
f(x) = 3x5- 5x3  dan is  f"(x) = 15(x4 - x2) = 30x(2x2- 1)

Tekenonderzoek

        x       |       -sqrt(1/2)      0       sqrt(1/2)
        ----------------------------------------------------
        f"(x)   |   -              +        -              +


voor x < -sqrt(1/2)   holle zijde naar beneden
voor -sqrt(1/2) < x < 0 holle zijde naar boven
voor 0 < x < sqrt(1/2) holle zijde naar beneden
voor x > sqrt(1/2) holle zijde naar boven

De punten waar de holle kant van kant verandert zijn de punten met
x = -sqrt(1/2) ; x = 0 ; x = sqrt(1/2).
Deze punten noemen we buigpunten.
De punten waar de holle kant van kant verandert heten buigpunten

Stelling van Cauchy

Als f(x) en g(x) continu zijn in [a,b] en als f'(x) en g'(x) bestaan in ]a,b[ en geen gemene nulpunten hebben in ]a,b[, dan bestaat er een getal c in ]a,b[ zo dat
 
         f(b) - f(a)     f'(c)
        ------------- = -------
         g(b) - g(a)     g'(c)

Bewijs:
 
We definieren K zo dat
         f(b) - f(a)
        ------------- = K              (1)
         g(b) - g(a)

Dan is  f(b) - f(a) - K (g(b) - g(a)) = 0
We creeren de functie f(x) - K g(x).
Deze functie is continu in [a,b] en ze is afleidbaar in ]a,b[. Op deze functie passen we de stelling van Lagrange toe.

Er bestaat een getal c in ]a,b[ zo dat

 
    f(b) - K g(b) - ( f(a) - K g(a) ) = (b-a).(f'(c) - K g'(c))

=>                      0  = (f'(c) - K g'(c))
Als g'(c) = 0 dan is f'(c) = 0 en dit is onmogelijk want f'(x) en g'(x) hebben geen gemeen nulpunt in ]a,b[. Dus, g'(c) is niet 0 en dan is
 
     f'(c)
    ------ = K                      (2)
     g'(c)
Uit (1) en (2) volgt : Er bestaat een c-waarde in ]a,b[ zo dat
 
         f(b) - f(a)     f'(c)
        ------------- = -------
         g(b) - g(a)     g'(c)

Regel van de l'Hospital en speciale limieten

Stelling 1

 
Als ( lim f(x) = lim g(x) = 0 )
      a          a

          f'(x)
en   lim ------- bestaat
      a   g'(x)


dan
             f(x)         f'(x)
        lim ------ = lim -------
         a   g(x)     a   g'(x)


Bewijs :
 
                          f'(x)
Onderstel eerst dat lim ------- = eindig  = A
                     a    g'(x)
Daar f'(x) bestaat in de omgeving van a, is f(x) continu in de omgeving van a en
 
    lim f(x) = f(a)
     a
Maar we weten ook dat

    lim f(x) = 0
     a
Daarom is  f(a) = 0.
Analoog g(a) = 0.
Steunend op de stelling van Cauchy's kunnen we schrijven voor dezelfde omgeving van a
 
    f(x)     f(x) - f(a)     f'(c)
    ----- = ------------- = -------  met c tussen x en a
    g(x)     g(x) - g(a)     g'(c)
Als x --> a , c --> a.
We nemen de limiet van beide leden voor x --> a
 
        f(x)         f'(c)
   lim ------ = lim ------- = A
    a   g(x)     a   g'(c)


Zo is de stelling bewezen in dit eerste geval.

                        f'(x)
Veronderstel nu dat lim ------- = + oneindig
                     a  g'(x)

Dan
           g'(x)
      lim ------- = +0
        a  f'(x)


en steunend op het eerste geval

         g(x)         g'(c)
    lim ------ = lim ------- = +0
     a   f(x)     a   f'(c)
Dus,
        f(x)         f'(c)
   lim ------ = lim ------- = + oneindig
    a   g(x)     a   g'(c)

(analoog voor  - oneindig)

Stelling 2

 
Als ( lim f(x) = lim g(x) = oneindig )
       a          a

          f'(x)
en   lim ------- = bestaat
      a   g'(x)


dan
             f(x)         f'(x)
        lim ------ = lim -------
         a   g(x)     a   g'(x)


Bewijs:

 
                          f'(x)
Veronderstel eerst   lim ------- = eindig = A
                      a    g'(x)

Volgende uitdrukking is een identiteit voor alle x

    f(x)     f(x) - f(b)    1 - g(b)/g(x)
    ----- = -------------. ---------------
    g(x)     g(x) - g(b)    1 - f(b)/f(x)
Daar f'(x) bestaat in de omgeving van z, is f(x) continu in de omgeving van a en analoog voor g(x).

Steunend op de stelling van Cauchy, en met b en x in de zelfde omgeving van a, kunnen we vorige identiteit omvormen tot

 
    f(x)      f'(c)    1 - g(b)/g(x)
    ----- = ------- . ---------------  met c tussen x en a.
    g(x)      g'(c)    1 - f(b)/f(x)
Als x --> a , c --> a.
Nu nemen we de limiet van beide leden voor x --> a
 
        f(x)         f'(c)    1 - 0
   lim ------ = lim -------. ------ = A
    a   g(x)     a   g'(c)    1 - 0

En in dit eerste geval is de stelling bewezen.

                         f'(x)
Veronderstel nu dat  lim ------- = + oneindig
                      a  g'(x)

Dan
           g'(x)
      lim ------- = +0
        a  f'(x)


en steunend op het eerste geval

         g(x)         g'(c)
    lim ------ = lim ------- = +0
     a   f(x)     a   f'(c)
Dus,
        f(x)         f'(c)
   lim ------ = lim ------- = + oneindig
    a   g(x)     a   g'(c)

(analoog voor  - oneindig)

Limieten van irrationale functies en de l'Hospital

De regel van de l'Hospital kan soms nuttig zijn bij het berekenen van limieten van irrationale functies. Er zijn echter gevallen waar men met die regel helemaal geen stap vooruit komt. De ervaring moet leren waar de l'Hospital nuttig is en waar men beter de vroeger geziene methodes toepast. We geven enkele voorbeelden.

Speciale limieten - voorbeelden

De regel van de l'Hospital wordt veel gebruikt in de volgende limieten.
In deze voorbeelden worden de eigenschappen en de afgeleiden van exponentiele en logaritmische functies gebruikt.

Opgeloste oefeningen

 

Opgeloste oefeningen over afgeleiden en limieten vind je via deze link

Opgeloste oefeningen over maximum, minimum en buigpunten vind je via deze link

Opgeloste oefeningen over irrationale functies vind je via deze link

 




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.