Determinanten




Theoretisch deel

Voor praktische toepassingen kan je onmiddellijk gaan naar het praktijkgericht deel.

Je kan ook eventueel het theoretisch deel overlopen zonder de nogal moeilijke redeneringen te doorgronden en enkel op de besluiten te letten.

Met elke vierkante matrix zullen we juist 1 getal laten overeenkomen. Dit getal noemen we de determinant van de matrix. De determinant van de matrix A noteren we det(A) of |A|.

We zullen nu aantonen welk verband er is tussen de matrix en de determinant ervan.

Determinant van 1 x 1 matrix

De determinant van de matrix is het element zelf.
Vb: det([-7]) = -7

Permutatie van n geordende elementen

Zij S een geordende verzameling van n elementen. Een bijectie van de verzameling S op zichzelf is een permutatie van S.
Voorbeeld: S = (1, 2, 3, 4, 5) . Een permutatie t is gedefinieerd door t(1, 2, 3, 4, 5) = (2, 5, 4, 1, 3)
De permutatie welke (2, 5, 4, 1, 3) terug omvormt tot (1, 2, 3, 4, 5) noemen we de inverse permutatie van t.

De verzameling van alle permutaties van de verzameling S noteren we hier PS.

Transpositie

Een permutatie welke 2 elementen omwisselt en alle andere ongewijzigd laat, heet een transpositie.
Voorbeeld: S = (1, 2, 3, 4, 5) . De permutatie gedefinieerd door t(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 4, 3, 2, 5) is een transpositie.

Stelling

Elke permutatie van n geordende elementen kan uitgedrukt worden als een opeenvolging van transposities. Als die permutatie een opeenvolging is van een even aantal transposities, dan is het onmogelijk die permutatie te schrijven als een opeenvolging van een oneven aantal transposities.

Even en oneven permutaties

Als een permutatie van n geordende elementen kan uitgedrukt worden als een opeenvolging van een even aantal transposities, dan spreken we van een even permutatie. In het andere geval is het een oneven permutatie.
De inverse permutatie van een permutatie heeft juist hetzelfde aantal transposities. Dus als t een even permutatie is, dan is de inverse permutatie van t ook even.
Voorbeeld: S = (1, 2, 3, 4, 5)
t(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 3, 4, 2, 5) is een even permutatie.
t(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 3, 4, 5, 2) is een oneven permutatie.

Teken van een permutatie

Zij S = (1, 2, 3, ... , n)
t is een permutatie van S. We schrijven : t(1, 2, 3, ... , n) = (t(1), t(2), ... , t(n)).
Er zijn n! permutaties van S.
Het teken van een even permutatie t is +1. We schrijven : sgn(t) = +1.
Het teken van een oneven permutatie t is -1. We schrijven : sgn(t) = -1.

Determinant van n x n matrix

Gegeven :
S = (1, 2, 3, ... , n)
t is een permutatie van S, en t(1, 2, 3, ... , n) = (t(1), t(2), ... , t(n)).
Er zijn juist n! permutaties in the verzameling PS.
Zij A is een n x n matrix met elementen ai, j.

Welnu :
Met elke permutatie t van S vormen we het product
sgn(t) . a1, t(1) . a2, t(2) . a3, t(3) . ... . an, t(n).
Belangrijk is hierbij op te merken dat die term elke rij en elke kolom uit de matrix juist 1 maal gebruikt.
Er zijn n! dergelijke termen.
|A| wordt gedefinieerd als de som van al deze termen.
 
 |A| =   som     sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) . ... . an,t(n)
       t in PS

Voorbeeld 1 : Determinant van een 2x2 matrix A.
Nu is n = 2 en er zijn maar 2 permutaties of S = (1, 2).
t(1, 2) = (1, 2) met sgn(t) = +1
t'(1, 2) = (2, 1) met sign(t') = -1
We hebben maar 2 termen +1.a1, 1 . a2, 2 en -1.a1, 2 . a2, 1
De determinant van A is a1, 1 . a2, 2 - a1, 2 . a2, 1
We onthouden :

 
|a  b|
|c  d|

= ad - cb

Voorbeeld 2 : Determinant van 3x3 matrix A.
Nu is n = 3 en er zijn maar 6 permutaties van S = (1, 2, 3).
Deze 6 permutaties transformeren (1, 2, 3) in:

 
(1, 2, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2)    (even permutaties)
(3, 2, 1) (1, 3, 2) (2, 1, 3)    (oneven permutaties)
Nu zijn er zes termen
 
a1, 1 . a2, 2 . a3, 3 + a1, 2 . a2, 3 . a3, 1 + a1, 3 . a2, 1 . a3, 2
-a1, 3 . a2, 2 . a3, 1 - a1, 1 . a2, 3 . a3, 2 - a1, 2 . a2, 1 . a3, 3
We onthouden :
 
|a  b  c|
|d  e  f|
|g  h  i|

 = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Deze formule noemt men de Sarrus regel voor 3 x 3 determinanten.

Om grotere determinanten te berekenen gebruikt men andere methodes steunend op eigenschappen van determinanten.

Rijen en kolommen van een determinant

Als we zeggen : "de i-de rij van een determinant" dan bedoelen we "de i-de rij van de matrix welke met die determinant correspondeert". Een analoge spreekwijze geldt voor de kolommen.

Cofactor van een element ai, j

We kiezen eerst een vaste rij, bijvoorbeeld de rij i.
Daar elke rij exact 1 keer gebruikt wordt in elke term van |A|,
zal elke term van |A| juist 1 van de factoren ai, 1; ai, 2; ai, 3; ... ai, n bevatten.
Vandaar dat we |A| kunnen schrijven als een lineaire veelterm in ai, 1; ai, 2; ai, 3; ... ai, n.
We noemen de coefficienten respectievelijk Ai, 1; Ai, 2; Ai, 3; ... Ai, n.
Deze coefficienten heten de cofactoren. Ai, j is de cofactor van ai, j.
|A| = Ai, 1 . ai, 1 + Ai, 2 . ai, 2 + Ai, 3 . ai, 3 + ... Ai, n . ai, n.
In het deel Ai, j.ai, j wordt de i-de rij en de j-de kolom gebruikt door middel van de factor ai, j. Daar in elke term van |A| elke rij en elke kolom van de matrix juist 1 maal gebruikt wordt, is de cofactor Ai, j onafhankelijk van de elementen van de i-de rij en de j-de kolom.
Die cofactor is enkel afhankelijk van elementen van de matrix die ontstaat door in A de i-de rij en de j-de kolom te schrappen.

Opmerking: Als we schrijven |A| = Ai, 1 . ai, 1 + Ai, 2 . ai, 2 + Ai, 3 . ai, 3 + ... Ai, n . ai, n, dan zeggen we dat de determinant ontwikkeld werd naar de i-de rij. Voorbeeld :

 
|a  b  c|
|d  e  f|
|g  h  i|

 = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Kies bijvoorbeeld rij 2.
Elke term van|A| bevat juist 1 van de factoren d , e ,f .
We kunnen dus |A| schrijven als lineaire veelterm in d , e, f.
|A| = (ch-bi)d + (ai-cg)e + (bg-ah)f
ch-bi is de cofactor van d.
ai-cg is de cofactor van e.
bg-ah is de cofactor van f.
Geen enkele cofactor bevat een element van de gekozen rij 2.
De cofactor van d bevat noch een element van rij 2 noch een element van kolom 1.

Als we schrijven |A| = (ch-bi)d + (ai-cg)e + (bg-ah)f , dan zeggen we dat we de determinant ontwikkeld hebben naar de tweede rij.
Analoog kunnen we starten met een vaste kolom en dan A schrijven als lineaire veelterm in a1, j, a2, j, a3, j, ... an, j. Men vindt voor cofactor van ai, j weer zelfde als hierboven. Met andere woorden ai, j heeft een unieke cofactor die onafhankelijk is van het feit of men naar rijen of naar kolommen ontwikkelt.

Een matrix A en zijn getransponeerde hebben dezelfde determinant.

Zij S = (1,2,..., n).
Noem B de getransponeerde matrix van A. We noteren dit ook als volgt: bi, j = aj, i.
We weten dat
 
|B|  =  som      sgn(t). b1,t(1) . b2,t(2) . b3,t(3) ... bn,t(n)
      t in PS

                 maar  bi,j = aj,i


     =    som      sgn(t). at(1),1 . at(2),2 . at(3),3 ... at(n),n.
        t in PS
Beschouw nu de laatste som.
Daar t(1), t(2), ... , t(n) een permutatie is van 1, 2, 3 ... n , kunnen we de factoren van elke term herordenen naar de eerste index. Dit kan gedaan worden door gebruik te maken van de inverse permutatie van t want de permutatie t transformeert (1, 2, 3 ... n) naar (t(1), t(2), ... , t(n)) en dus transformeert de inverse van t namelijk t' (t(1), t(2), ... , t(n)) terug naar (1, 2, 3 ... n). Bovendien heeft die inverse permutatie juist hetzelfde aantal transposities als t. Vandaar dat sign(t) = sign(t').
 
 |B| =   som         sgn(t') . a1,t'(1) . a2,t'(2) . a3,t'(3) ... an,t'(n)
      t' inverse van t

 Daar de verzameling van alle permutaties dezelfde is als de verzameling van alle
 inverse permutaties kunnen we schrijven:

 |B| =    som     sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... an,t(n)
        t in PS

Dus |B| = |A|.

Belangrijk resultaat.

Steunend op voorgaande eigenschap volgt de regel:
Als een eigenschap van determinanten geldt voor de kolommen, dan geldt ze ook voor de rijen en omgekeerd.

Het onderling omwisselen van 2 kolommen van A

Zij S = (1,2,..., n).
In deze paragraaf bedoelen we met t' de permutatie welke enkel i en j onderling omwisselt.
Dus t'(1, ... ,i, ... , j, ... , n) = (1, ... , j, ... , i, ... , n).

sgn(t') = -1 en voor elke permutatie t hebben we dat sign(t't) = -sign(t).
De matrix die ontstaat door de kolommen i en j in A om te wisselen noemen we B.

Voor elke k hebben we bk,i = ak,j en bk,j = ak,i en zelfs voor elke k en elke l hebben we

 
              bk,l  =  ak,t'(l)
We onderzoeken |B|.
We weten dat
 
|B| = som     sgn(t). b1,t(1)   . b2,t(2)   . b3,t(3) ...   bn,t(n)
      t in PS

           maar bk,l  =  ak,t'(l)

|B| = som     sgn(t). a1,t't(1) . a2,t't(2) . a3,t't(3) ... an,t't(n)
     t in PS

|B| = som    -sgn(t't). a1,t't(1) . a2,t't(2) . a3,t't(3) ... an,t't(n)
     t in PS
Daar de verzameling van alle permutaties van (1 ... n) een groep is, is de verzameling van alle permutaties t en de verzameling van alle permutaties t" = t't dezelfde verzameling. Vandaar dat
 
|B| = som     -sgn(t"). a1,t"(1) . a2,t"(2) . a3,t"(3) ... an,t"(n)
     t" in PS

|B| = som     -sgn(t) . a1,t(1)  . a2,t(2)  . a3,t(3) ...  an,t(n)
     t in PS

|B| =  -|A|
Besluit:
Wanneer we 2 kolommen omwisselen in A verandert |A| van teken.
Wanneer we 2 rijen omwisselen in A verandert |A| van teken.

Een rij van A met een getal vermenigvuldigen

Zij S = (1,2,..., n).
Stel dat B wordt verkregen door de i-de rij van A met een getal r te vermenigvuldigen.
Dan is bi,k = r . ai,k voor elke k en vaste i, en als j niet i is dan is bj, k = aj, k
We weten dat |B|
 
 = som     sgn(t) . b1,t(1) . b2,t(2) . b3,t(3) ... bi,t(i) ... bn,t(n)
   t in PS

 = som     sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... r.ai,t(i) ... an,t(n)
   t in PS

 = som     r sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... ai,t(i) ... an,t(n)
   t in PS

 = r.(  som    sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... ai,t(i) ... an,t(n))
       t in PS

 = r.|A|
Besluit:
Een determinant wordt r maal groter als we een rij met r vermenigvuldigen.
Een determinant wordt r maal groter als we een kolom met r vermenigvuldigen.

Een determinant met twee gelijke rijen is 0

Als we die twee gelijke rijen omwisselen verandert de determinant niet. Maar volgens vorige eigenschap verandert de determinant van teken. De enig mogelijke waarde waarvoor dit mogelijk is, is 0.

Optellen van twee determinanten welke enkel verschillen door hun i-de rij.

Zij S = (1,2,..., n).
Stel dat A en B matrices zijn die enkel verschillen door hun i-de rij.
Voor alle j verschillend van i en voor alle k hebben we aj,k = bj, k.
 
|A| = som    sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... ai,t(i) ... an,t(n)
     t in PS

|B| = som    sgn(t) . b1,t(1) . b2,t(2) . b3,t(3) ... bi,t(i) ... bn,t(n)
     t in PS

   = som     sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... bi,t(i) ... an,t(n)
t in PS Dus |A| + |B| = som sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... (ai,t(i) + bi,t(i)) ... an,t(n) t in PS = determinant van de matrix gevormd door de i-de rij van A en B op te tellen en de andere elementen uit A of uit B te nemen.
Dezelfde regel geldt voor kolommen
Vb.
 
|a  b  c| |a  b'  c|   |a  b+b'  c|
|d  e  f|+|d  e'  f| = |d  e+e'  f|
|g  h  i| |g  h'  i|   |g  h+h'  i|

Gelijke determinanten

Zij A een vierkante matrix
 
            | a1,1   a1,2  ....
            | a2,1   a2,2  ....
            |
  |A| =     |
            | ai,1   ai,2  ....
            |
            |
            | aj,1   aj,2  ....
            |
Zij B de matrix die ontstaat door in A de i-de rij te vervangen door de j-de rij. De j-de rij blijft ongewijzigd.
 
             | a1,1   a1,2  ....
             | a2,1   a2,2  ....
             |
 |B| =       |
             | aj,1   aj,2  ....
             |
             |
             | aj,1   aj,2  ....
             |
Daar B twee gelijke rijen bevat is |B| = 0.
Zij C de matrix die ontstaat door de i-de rij van B te vermenigvuldigen met r.
 
             | a1,1   a1,2  ....
             | a2,1   a2,2  ....
             |
  |C| =      |
             |r.aj,1  r.aj,2  ....
             |
             |
             | aj,1   aj,2  ....
             |
Dan is |C| = r.|B|= 0
A en C verschillen slechts door de i-de rij. We kunnen dus voorgaande eigenschap toepassen.
 
             | a1,1   a1,2  ....
             | a2,1   a2,2  ....
             |
|A|+|C| =    |
             |aj,1+r.aj,1  aj,2+r.aj,2  ....
             |
             |
             | aj,1   aj,2  ....
             |
Maar daar |C| = 0 hebben we |A|+|C| = |A| + 0 = |A|. Dus de laatste determinant is gelijk aan de eerste.

Besluit: Een determinant verandert niet van waarde als we een veelvoud van een rij bij een andere rij optellen. Dezelfde regel geldt voor kolommen. Vb.

 
|a  b  c|   |a+rd   b+re   c+rf|
|d  e  f| = | d      e      f  |
|g  h  i|   | g      h      i  |

De cofactor A1, 1

Zij A een vierkante matrix en S = (1, 2, 3, ..., n)
We weten dat
 
|A| =  som    sgn(t) . a1,t(1) . a2,t(2) . a3,t(3) ... an,t(n).
     t in PS
A1,1 is de coefficient van a1,1 in deze som.
De termen die a1,1 bevatten zijn juist de termen waarvoor t(1) = 1.

Nu, in plaats van de som te nemen voor alle t in PS, nemen we de som voor t in de verzameling
{t in PS | t(1) = 1} = permutaties van S' =(2 ... n).

Deze som geeft dan juist A1,1 . a1,1.

 
A1,1 . a1,1

  =  som    sgn(t) . a1,1 . a2,t(2) . a3,t(3) ... an,t(n)
   t in PS'

  =  a1,1 (  som   sgn(t) a2,t(2) . a3,t(3) ... an,t(n) )
              t in PS'

Dus   A1,1 =

  som   sgn(t) a2,t(2) . a3,t(3) ... an,t(n)
 t in PS'
Dit is, volgens de definitie van determinant, de determinant van de deelmatrix van A verkregen door in A de eerste rij en de eerste kolom te schrappen.
Besluit:
A1, 1 = de determinant van de deelmatrix van A verkregen door in A de eerste rij en de eerste kolom te schrappen.

De cofactor Ai, j

Zij A een vierkante matrix.
Bekijk het element e = ai, j. Wissel achtereenvolgens rij i en i-1; daarna i-1 en i-2 ; enz. ... tot e op de eerste rij is gekomen. Dit vergt i-1 stappen. Daarna wisselen we achtereenvolgens kolom j en j-1; j-1 en j-2; ... tot e op de eerste kolom is gekomen. Dit vergt j-1 stappen. Het element e is nu op eerste kolom en op eerste rij. Gedurende dit proces is de determinant van de matrix i+j-2 maal van teken veranderd. De cofactor van e is de determinant van de submatrix die ontstaat door de eerste rij en de eerste kolom te schrappen. Keren we terug naar de originele matrix.
De waarde van Ai, j= (-1)i+j-2.( de determinant van de submatrix van A, die ontstaat door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen).
Of eenvoudiger: De waarde van Ai, j = (-1)i+j.( de determinant van de submatrix van A, die ontstaat door de i-de rij en de j-de kolom te schrappen).

|I| = 1

We bewijzen die eigenschap met de methode van volledige inductie. Men ziet gemakkelijk in dat de eigenschap geldt voor een 2 x 2 matrix. Veronderstel nu dat de eigenschap geldt voor een k x k matrix. We zullen aantonen dat ze dan ook geldt voor een (k+1) x (k+1) matrix.

Zij I de (k+1) x (k+1) eenheidsmatrix en we berekenen de determinant door ontwikkeling naar de eerste rij.
|A| = A1, 1 . a1, 1 + A1, 2 . a1, 2 + A1, 3 . a1, 3 + ... A1, n . a1, n.
|A| = A1, 1.1 + A1, 2.0 + A1, 3.0 + ... A1, n.0.
|A| = A1, 1
Welnu, de cofactor A1, 1 is de determinant van de k x k eenheidsmatrix, en deze determinant is 1.

Determinant van diagonaal matrix

Het is gemakkelijk aan te tonen zoals hierboven (door volledige inductie) dat de determinant van een diagonaal matrix het product is van de diagonaalelementen.

Determinant van het product van 2 vierkante gelijksoortige matrices

Men kan aantonen dat |A|.|B| = |A.B|

Praktijkgericht deel

Determinant van 1x1 matrix

De determinant van een 1x1 matrix is het element zelf.

Determinant van 2x2 matrix

 
|a  b|
|c  d|

 =  ad - cb

Determinant van 3x3 matrix

De Sarrus regel:
 
|a  b  c|
|d  e  f|
|g  h  i|

 = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

Cofactor van element ai, j

De cofactor Ai, j is onafhankelijk van de elementen van de i-de rij en van de elementen van de j-de kolom.
De waarde van Ai, j = (-1)i+j.(de determinant van de deel-matrix van A, die men verkrijgt door in A de i-de rij en de j-de kolom te schrappen).

Voorbeeld

Neem de 3 x 3 matrix A =

 
[4 5 7]
[1 2 3]
[2 5 6]
We berekenen de cofactor behorend bij het element a1,3 = 7.
We schrappen in gedachten de eerste rij en de derde kolom.
De cofactor A1,3 = (-1)4.(5 - 4) = 1

Determinant van nxn matrix

Kies een vaste rij-waarde i.
De determinant kan berekend worden uitgaande van de i-de rij.
|A| = Ai, 1 . ai, 1 + Ai, 2 . ai, 2 + Ai, 3 . ai, 3 + ... Ai, n . ai, n
Ai, j is de cofactor van ai, j.
We zeggen dat we de determinant ontwikkeld hebben naar de i-de rij.
Helemaal analoog kan je werken met een kolom.

Voorbeeld

Neem de 3 x 3 matrix A =

 
[4 5 7]
[1 2 3]
[2 5 6]
We ontwikkelen de determinant naar de eerste rij.
De cofactoren van de elementen van die rij zijn respectievelijk -3 , 0 , 1.
|A| = 4.(-3) + 5.0 + 7.1 = -5.

We ontwikkelen de determinant naar de derde kolom.
De cofactoren van de elementen van die kolom zijn respectievelijk 1, -10, 3.
|A| = 7.1 - 3.10 + 6.3 = -5

Eigenschappen

Het toepassen van de eigenschappen

Eerst een paar afspraken omtrent de notatie welke in deze cursus worden gebruikt

 
R3  betekent  rij 3
K2  betekent  kolom 2

R2 - R3 betekent:  R2 vervangen door R2 - R3  (de determinant verandert niet in waarde)

K2 + 2K3 betekent:  K2 vervangen door K2 - 2.K3 (de determinant verandert niet in waarde)

voorbeelden

 
| x   2m   1 |
| 3   1    1 | =
| x   m    1 |

  R1 - R3       (nullen creeren)

| 0   m   0 |
| 3   1   1 | =
| x   m   1 |

ontwikkelen naar de eerste rij

m.( -(3-x)) = m(x-3)

--------------------------------

| 1   2   3 |
| 4   5   6 | =
| 7   8   9 |

   R1 - R2 ; R2 - R3

| -3  -3  -3|
| -3  -3  -3| = 0
| 7   8   9 |

---------------------------------

| 1   1+m  -1 |
| 3   3+m  -3 | =
| 5    m   -1 |

   K1 + K3

| 0   1+m  -1 |
| 0   3+m  -3 | =
| 4    m   -1 |

ontwikkelen naar eerste kolom

0 + 0 + 4.((1+m).(-3) + (3+m))

= -8m

-------------------------------

| m2 + m    m    m3|
|   a        b    c  | =
|   d        e    f  |

 m afzonderen in  de eerste rij



  | m + 1    1    m2|
m.|   a      b    c  | =
  |   d      e    f  |

Determinant ontbinden in factoren

We weten
Als we een rij van een determinant vermenigvuldigen met een getal r dan wordt de determinant ook r maal groter

 
|ra  rb  rc|    |a  b  c|
|d    e   f| =r.|d  e  f|
|g    h   i|    |g  h  i|
We kunnen die eigenschap ook anders formuleren :
Als de elementen van een rij van een determinant een zelfde factor bevatten dan kunnen we die factor afzonderen en voor de determinant plaatsen.

en zo ook

Als de elementen van een kolom van een determinant een zelfde factor bevatten dan kunnen we die factor afzonderen en voor de determinant plaatsen.

Voorbeeld van een ontbinding in factoren

 
| a   a2   a3 |
| b   b2   b3 | =
| c   c2   c3 |

 a  afzonderen uit rij 1
 b  afzonderen uit rij 2
 c  afzonderen uit rij 3


      | 1   a   a2 |
a.b.c.| 1   b   b2 | =
      | 1   c   c2 |

   R1 - R2 ; R2 - R3      (nullen creeren)

      | 0   a-b   a2-b2 |
a.b.c.| 0   b-c   b2-c2 | =
      | 1   c       c2   |

    afzonderen uit rij 1
    afzonderen uit rij 2


                  | 0   1   a+b |
a.b.c.(a-b).(b-c).| 0   1   b+c | =
                  | 1   c   c2 |

   ontwikkelen naar eerste kolom

a.b.c.(a-b).(b-c).(c-a)

 De determinant is maximaal ontbonden in factoren.

Volgende stappen

Stelsels lineaire vergelijkingen;
rang van een matrix;
Regel van Cramer; Indeling van de stelsels ;
Onderzoek van stelsels met parameters



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.