Dubbelverhoudingen en harmonisch toegevoegde elementen




Deelverhouding

P1 en P2 zijn twee verschillende reele punten op rechte a. Neem P op a verschillend van P2. Uit de theorie omtrent homogene coordinaten weten we
 
PP1
----- = (P1, P2, P) = de deelverhouding van P ten opzichte van (P1,P2).
PP2
Als (P1, P2, P) < 0 dan ligt punt P tussen P1 en P2.

In een cartesisch assenstelsel hebben we P(x,y); P1(x1,y1); P2(x2,y2).
We weten reeds dat :

 
             x1 - k x2
        x = ------------   en
              1 - k

             y1 - k y2
        y =  -------------
               1 - k

Als we die betrekkingen oplossen naar k, vinden we
 
             x - x1
        k = --------      en
             x - x2

             y - y1
        k = ---------
             y - y2

We weten ook reeds dat het oneigenlijk punt van P1P2 de deelverhouding 1 heeft.

Dubbelverhouding

Neem vier verschillende eigenlijke punten A,B,C,D op een rechte.
We definieren nu het nieuwe begrip 'dubbelverhouding'.
 
    de dubbelverhouding van de vier geordende punten A,B,C,D
           (A,B,C)
        = ---------
           (A,B,D)
We noteren deze dubbelverhouding als (A,B,C,D).

Dubbelverhouding en coordinaten

Neem A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) op een rechte.
 
              (A,B,C)    CA     DA      x3 - x1     x4 - x1
(A,B,C,D) =  -------- = ---- : ---- =  --------- : ----------
              (A,B,D)    CB     DB      x3 - x2     x4 - x2

                                        y3 - y1     y4 - y1
                                    =   -------- : ----------
                                        y3 - y2     y4 - y2

Harmonisch puntenviertal

Als (A,B,C,D) = -1 , dan zeggen we dat
A,B,C,D vormen een harmonisch puntenviertal of
A,B,C,D liggen harmonisch of
C en D zijn harmonisch toegevoegd aan A en B of
D is harmonisch toegevoegd aan C ten opzichte van A and B.

Coordinaten van harmonisch toegevoegde punten

 
        (A,B,C,D) = -1
<=>
        x3 - x1     x4 - x1
        -------- : -------- = -1
        x3 - x2     x4 - x2
<=>
        x3 - x1      x4 - x1
        -------- = - -------
        x3 - x2      x4 - x2
<=>
        (x3 - x1)(x4 - x2) = - (x4 - x1)(x3 - x2)
<=>
        ...
<=>
        2(x1 x2 + x3 x4) = (x1 + x2)(x3 + x4)
Analoog
 
        (A,B,C,D) = -1
<=>
        2(y1 y2 + y3 y4) = (y1 + y2)(y3 + y4)

Eigenschappen

Harmonisch toegevoegde punten in speciale assenstelsels

Dubbelverhouding in homogene coordinaten

In een willekeurig coordinatenstelsel hebben we A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2).
Daar C en D op rechte AB liggen, bestaat er een h en h' zo dat
 
        C(x1 + h x2, y1 + h y2, z1 + h z2)
        D(x1 + h' x2, y1 + h' y2, z1 + h' z2)
Dan is:
        (A,B,C) =

        x1 + h x2    x1
        --------- - ----
        z1 + h z2    z1                 h z2
        ---------------- = ... = ... = ------
        x1 + h x2    x2                 z1
        --------- - ---
        z1 + h z2    z2

Analoog
                  - h' z2
        (A,B,D) = --------
                    z1
Dus geldt :

                     h
        (A,B,C,D) = ---
                     h'

Uitbreiding van het begrip dubbelverhouding naar het projectief niveau.

A,B,C,D zijn vier collineaire punten in het projectief vlak.
 
 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),
 C(x1 + h x2, y1 + h y2, z1 + h z2), D(x1 + h' x2, y1 + h' y2, z1 + h' z2)
Nu definieren we
 
                     h
        (A,B,C,D) = ---
                     h'
en alle vorige eigenschappen blijven geldig.
Men kan aantonen : Dubbelverhouding is een projectieve invariant.
verder geldt :
 
        (A,B,C,D) = -1 <=>  h' = - h <=> h + h' = 0

Speciale harmonisch toegevoegde punten in het affien vlak

A(x1,y1,1) en B(x2,y2,1) zijn verschillende eigenlijke punten.
 
        C(x1 + h x2, y1 + h y2, 1 + h)
        D(x1 + h' x2, y1 + h' y2, 1 + h')

        Als h = -1 en  h' = 1 dan is  (A,B,C,D) = -1
maar dan hebben we
        C(x1 - x2, y1 - y2, 0)  en D(x1 + x2, y1 + y2, 2)
<=>
                                        x1 + x2  y1 + y2
        C(x1 - x2, y1 - y2, 0)  en  D( --------,---------, 1)
                                           2        2
<=>
        C is het oneigenlijk punt van AB en D is het midden van  [AB]
Besluit:
Het midden van het segment [AB] is harmonisch toegevoegd aan het oneigenlijk punt van AB ten opzichte van A en B.

Een geordende vierstraal

Neem vier geordende concurrente rechten (a,b,c,d) in het projectief vlak. We noemen dit een geordende vierstraal.
 
        a: u1 x + v1 y + w1 z = 0
        b: u2 x + v2 y + w2 z = 0
        c: (u1 + h u2)x + (v1 + h v2)y + (w1 + h w2)z = 0
        d: (u1 + h'u2)x + (v1 + h'v2)y + (w1 + h'w2)z = 0
Een rechte snijdt deze rechten respectievelijk in A,B,C en D.
 
        e: uo x + vo y + wo z = 0
dan
        A heeft coordinaten (x1,y1,z1) =
           | vo   wo |     | uo   wo |   | uo   vo |
        (  | v1   w1 | , - | u1   w1 | , | u1   v1 | )

        B heeft coordinaten (x2,y2,z2) =
           | vo   wo |     | uo   wo |   | uo   vo |
        (  | v2   w2 | , - | u2   w2 | , | u2   v2 | )

        C heeft coordinaten
    | vo         wo  |    | uo         wo  |   | uo          vo  |
 (  | v1+hv2   w1+hw2|, - | u1+hu2   w1+hw2| ,  | u1+hu2   v1+hv2 | )

    | vo   wo |    | vo   wo |     | uo   wo |   | uo   wo |
 =( | v1   w1 | + h| v2   w2 | , - | u1   w1 |- h| u2   w2 | ,

                                    | uo   vo |    | uo   vo |
                                    | u1   v1 |+ h | u2   v2 | )

 = (x1 + h x2, y1 + h y2, s1 + h z2)

en we zien dat dezelfde h hier optreedt als in de rechte c!

Analoog vinden we voor D (x1 + h'x2, y1 + h'y2, s1 + h'z2) en hier verschijnt dezelfde h' als in de rechte d.

We krijgen een belangrijk gevolg:
Neem een geordende vierstraal (a,b,c,d) in het projectief vlak. De rechte e snijdt de rechten resp. in A,B,C en D. Nu is de dubbelverhouding (A,B,C,D) = k onafhankelijk van de keuze van de rechte e! Die dubbelverhouding is dan alleen afhankelijk van die geordende vierstraal zelf. We kunnen dus definieren.

Dubbelverhouding van een geordende vierstraal

De dubbelverhouding van een geordende vierstraal wordt gedefinieerd als de dubbelverhouding van de snijpunten van de vierstraal met een willekeurige rechte.

Afspraak

In het vervolg zullen we een geordende vierstraal kortweg vierstraal noemen.

Harmonische vierstraal

Een vierstraal a,b,c,d heet harmonisch als en slechts als (a,b,c,d) = -1. We zeggen dat:
(a,b,c,d) is harmonisch of
c en d zijn harmonisch toegevoegde rechten ten opzichte van a en b. of
d is harmonisch toegevoegd aan c ten opzichte van a en b.

Orthogonaliteit en harmonische vierstraal

Als in een vierstraal a,b,c,d, de rechte c orthogonaal is met d, dan
 
        (a,b,c,d) = -1  <=>     b en c zijn de deellijnen van a en b
Bewijs dit als oefening.

Constructie van een harmonische vierstraal

We starten met de figuur

We zullen aantonen dat (a,b,c,d) = -1 en (A,B,C,D) = -1

 
(A,B,C,D) = (a,b,c,d)

                snijden met de rechte  A'D'

        = (A',B',C',D')

        = (S'A',S'B',S'C',S'D') =

                snijden met de rechte  AD

        = (B,A,C,D)

Dus,  k = (A,B,C,D) = (B,A,C,D)

                CA     DA                    CB     DB
Nu  (A,B,C,D) = --- : ----   en  (B,A,C,D) = --- : ----
                CB     DB                    CA     DA

Dus          1
        k = ---  <=>    k2  = 1 <=> k = -1 or k = 1
             k
Maar een dubbelverhouding = 1 is onmogelijk voor een puntenviertal.
Dus, (A,B,C,D) = -1 en (a,b,c,d) = -1

Gevolg




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.