Asymptoten van een kegelsnede




Asymptotische richtingen

De richtingen van de asymptoten zijn de richtingen gedefinieerd door de punten op oneindig van de kegelsnede

Berekenen van de asymptotische richtingen

Voorbeeld:
 

        F(x,y,z) = 3 x2  - y2  + 2 xy + 4 x - 2 y + 7 = 0

        De asymptoot heeft rico m

<=>
        (1,m,0) ligt op de kegelsnede

<=>
        3 + 2 m - m2 = 0
<=>
        m = -1 or m = 3

Opmerking:

Asymptoot van een kegelsnede

Een asymptoot van een kegelsnede is de raaklijn in het punt op oneindig van de kegelsnede.

Opmerking :

Een parabool heeft 2 gelijke punten op oneindig. Als de parabool niet ontaard is, is dit oneigenlijk punt een enkelvoudig punt en de raaklijn in dit punt is de rechte op oneindig. Dus de rechte op oneindig is de asymptoot van elke niet ontaarde parabool.

Het berekenen van de asymptoten

Algemene methode

Voorbeeld:
 
        F(x,y,z) = 3 x2  - y2  + 2 xy + 4 x - 2 y + 7 = 0
De punten op oneindig (1,-1,0) en (1,3,0).

De raaklijn in (1,-1,0) is 3 x + y + 3 = 0

De raaklijn in (1, 3 ,0) is 3 x - 3 y - 1 = 0

Speciale gevallen:

Speciale methode om asymptoten te berekenen

Zij (1,m,0) een oneigenlijk punt van een kegelsnede. De waarde van m hangt niet af van a". De asymptoot heeft vergelijking
 
        Fx' (x,y,z) + m Fy' (x,y,z) = 0
<=>
        ( a x + b" y + b' z ) + m ( b" x + a' y + b z ) = 0
We zien dat de asymptoot niet afhangt van de waarde van a". Deze eigenschap kan nuttig zijn om snel asymptoten te berekenen.
Voorbeeld :
 
        x2  - xy - 2 x - 5 = 0

heeft dezelfde asymptoten als
        x2  - xy - 2 x = 0
<=>
        x (x - y - 2) = 0

De asymptoten zijn  x = 0 en  x - y - 2 = 0

Stelling

Men kan aantonen dat :
Als twee ellipsen of twee hyperbolen dezelfde asymptoten hebben, dan kunnen hun vergelijkingen zo geschreven worden dat ze enkel door a" verschillen.

Kwadratische vergelijking van de asymptoten van een ellips of hyperbool.

Voorbeeld: Neem de kegelsnede
 
        x2  - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y + 7 = 0

Hij heeft dezelfde asymptoten als

        x 2 - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y + k = 0

Kies nu k zodanig dat de kegelsnede ontaard.

De voorwaarde is

        DELTA = 0
<=>
        | 2,  -1,  3  |
        | -1, -4,  3  | =  0
        | 3,  3,  2 k |
<=>
        -18 k = 0
<=>
        k = 0

Daardoor is de kwadratische vergelijking van de asymptoten

        x2  - x y - 2 y2  + 3 x + 3 y = 0

Vergelijking van een kegelsnede met gegeven asymptoten

 
Zij     u1 x + v1 y + w1 = 0   en
        u2 x + v2 y + w2 = 0
de asymptoten van een kegelsnede.

De ontaarde kegelsnede met deze asymptoten is

 
        (u1 x + v1 y + w1)(u2 x + v2 y + w2) = 0
Alle kegelsneden met deze asymptoten hebben vergelijking
 
        (u1 x + v1 y + w1)(u2 x + v2 y + w2) + h = 0



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.