Complexe getallen




De complexe getallen

Zijn de reele getallen niet voldoende?

Men heeft de breuken uitgevonden omdat men wilde dat men voor elk geheel getal een omgekeerde kon aanwijzen. Daardoor werden vele problemen eenvoudiger.

Als we willen dat elke veeltermvergelijking een oplossing heeft, dan moeten we de reele getallen uitbreiden tot het grotere veld van de complexe getallen en vele uitdrukkingen worden homogener.

Een complex getal

Om een complex getal te construeren vertrekken we van een koppel reele getallen (a,b).
We schrijven dat nieuwe getal in de vorm

a + b i

'+' en i zijn voorlopig enkel symbolen.

We noemen 'a' het reele deel en 'b i' het imaginaire deel van het complex getal.

Vb :

(2 , 4.6) of 2 + 4.6i ;
(0 , 5) of 0 + 5i ;
(-5 , 36/7) of -5 + (36/7)i ;

In plaats van 0 + bi, schrijven we 5i.
In plaats van a + 0i, schrijven we a.
In plaats van 0 + 1i, schrijven we i.

De verzameling van alle complex getallen is C.

Een voorstelling van een complex getal

Een complex getal heeft een voorstelling in het vlak.
Neem een orthonormaal assenstel en laat met elk complex getal a+bi het punt P(a,b) overeenkomen Punt P is een voorstelling van het complex getal. P noemt men ook het beeldpunt van het complex getal.

 
         
Als we nu het vlak beschouwen als de verzameling van alle voorstellingen, of van alle vertegenwoordigers, van de complexe getallen, dan spreken we van 'het vlak van Gauss'.
Met het complex getal a + bi correspondeert juist 1 vector OP of P.

De beeldpunten van de reele getallen 'a' liggen op de x-as. Daarom zeggen we dat de x-as de reele as is.

De beeldpunten van de 'zuiver imaginaire getallen' 'bi' liggen op de y-as. Daarom zegt men dat de y-as de zuiver imaginaire as is.

gelijke complexe getallen

Twee complexe getallen (a,b) en (c,d) zijn gelijk als en slechts als (a = c en b = d).
Dus

a + bi = c + di
<=>
a = c en b = d


Som van complexe getallen

We definieren de som van twee complexe getallen op een voor de hand liggende manier .
(a,b) + (a',b') = (a + a',b + b')

(a + bi) + (a'+ b'i) = (a + a') + (b + b')i


Vb. (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

Als (a + bi) correspondeert met vector P in het vlak van Gauss en (a' + b'i) correspondeert met vector P', dan hebben we :

co(P)=(a,b) en co(P')=(a',b')

=> co(P + P')=(a,b) + (a',b')

=> co(P + P')=(a + a',b + b')

Dus P + P' is de vector welke correspondeert met de som van de twee complexe getallen.

Het optellen van complexe getallen correspondeert met het optellen van vectoren in het vlak van Gauss

 
      

Product van complexe getallen

We defieren het product van 2 complexe getallen op een eigenaardige wijze.

(a,b).(c,d)=(ac - bd,ad + bc)

Vb. : (2 + 3i).(1 + 2i)=(-4 + 7i)

Verder zullen we een meetkundige betekenis geven aan deze vermenigvuldiging. Het belang van deze eigenaardige definitie staat in verband met :

Een speciaal product

(0,1).(0,1)=(-1,0) of anders geschreven

i.i = -1 of i2 = -1.


Hier zien we het belang van de eigenaardige definitie van product:

Het reele negatieve getal -1 heeft i als een vierkantswortel!

Notatie ; som ; product

We schrijven a + 0i als a. We schrijven 0 + 1i als i.

a . i = (a + 0i)(0 + 1i) = (0 + ai) = ai

We zien dat het product a . i hetzelfde is als de notatie a i.

We schrijven a + 0i als a. We schrijven 0 + bi als bi.

Dan is (a) + (bi) = (a + 0i) + (0 + bi) = a + bi

We zien dat de som van a en bi hetzelfde is als de notatie a + b i .

Tegengestelde complexe getallen

Omdat (a + bi)+((-a) + (-b)i) = 0 + 0i , noemen we (-a) + (-b)i het tegengestelde van a + bi.

We schrijven dit tegengestelde van (a + bi) als -(a + bi).

Dus, het tegengestelde van bi is (-b)i = -bi

Verschil van twee complexe getallen

We definieren
 
        (a + bi) - (c + di)  =  (a + bi) + (-c + (-d)i).

Dus,
        (a + bi) - (c + di)=((a - c) + (b - d)i

         en  a + (-b)i=a - bi

Toegevoegd complexe getallen

We definieren het toegevoegde van a + bi als a + (-b)i = a - bi
Notatie:
 
         ------
         a + bi  =  conj(a + bi) = a - bi    ( conj komt van conjugate = toegevoegd )

 
     ______
Vb : 2 + 3i = 2 - 3i

Modulus van een complex getal

We definieren modulus of absolute waarde van a + bi als sqrt(a2 + b2) .

We schrijven deze modulus van a + bi als |a + bi|.

Als P de vertegenwoordiger is van a + bi in het vlak van Gauss, dan is de afstand van O naar P juist de modulus van a + bi.

Vb: |3 + 4i| = 5


De structuur C, + , .

Men kan aantonen dat C, + , . een veldstructuur heeft. Daardoor kunnen we alle eigenschappen van het rekenen in een veld toepassen op berekeningen met complexe getallen.

Het praktisch vermenigvuldigen

Steunend op de distributiviteit en gelet op i.i=-1, krijgen we :

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

Voorbeelden

(2+3i). (5 - 2 i) = 16 + 11i
i.(3-i).i = -3 + i

Het praktisch delen

Om (a + bi) te delen door (c + di), vermenigvuldigen we teller en noemer met het toegevoegd complex getal van de noemer.
 
  (a + bi)      (a + bi)(c - di)
  --------  = -------------------
  (c + di)     ((c + di)(c - di))

   (ac + bd) + i(bc - ad)
= -----------------------
      (c2 + d2)

  (ac + bd)        (bc - ad)
= ---------   +  i-----------
  (c2 + d2)        (c2 + d2)



Voorbeelden

 
16+11i
------ = 2 + 3i
5 - 2i

15-7i
----- = -7 - 15 i
 i

Vierkantswortels

Uit een positief reeel getal

De enige vierkantswortel uit 0 is 0.
Neem een strikt positief reeel getal a. We weten dat a juist twee reele vierkantswortels heeft.

Men kan aantonen dat er in C geen andere vierkantswortels uit a bestaan.

Uit een strikt negatief reeel getal

Als b een strikt negatief reeel getal is, dan is -b is strikt positief reeel getal en -b heeft dan 2 vierkantswortels. We noemen ze c en -c.

Dus -b = c2 = (-c)2 ; maar dan is b = (ic)2 = (-ic)2

i. sqrt(-b) en -i. sqrt(-b) zijn de 2 vierkantswortels uit het negatieve getal b.

Vb :
3i en -3i zijn de 2 vierkantswortels uit -9.
i en -i zijn de 2 vierkantswortels uit -1.
a.i en -a.i zijn de 2 vierkantswortels uit -a2.
a.b.i en -a.b.i zijn de 2 vierkantswortels uit - a2b2.

Men kan aantonen dat er in C geen andere vierkantswortels uit b bestaan.

Uit een complex getal a + ib dat niet reeel is.

We zoeken reele waarden voor x en y zo dat

 
        (x  +  iy)(x  +  iy) = a + ib                   (1)

<=>     x2 - y2  +  2xyi = a  +  bi                   (2)

<=>     x2  -  y2 = a en  2xy = b                     (3)

                Omdat b niet 0 is , y niet 0 is

<=>     x2 - y2 = a en  x = b/(2y)

         b2                     b
<=>     ----  - y2 = a en x = ----                     (4)
        4y2                     2y
De eerste vergelijking uit (4) geeft ons y en de tweede geeft de overeenkomstige x-waarde. stel t = y2 in de eerste vergelijking van (4) dan komt er na enig gereken
 
        4t2 + 4at - b2 = 0                            (5)

                Noem r  =  modulus van  a + bi

                De discriminant = 16(a 2+ b2) = 16r2

        We noemen de wortels   t1 en t2. Er komt

<=>     t1 = (- a + r)/2  en  t2 = (- a - r)/2                (6)
Daar y reeel is en r > a is, zal t1 groter zijn dan 0 en dit geeft ons de waarden van y.
Daar het product van de wortels van (5) gelijk is aan (-b2/4) en dus kleiner dan 0 is , is t2 is strikt negatief. Hiermee corresponderen dan geen reele waarden van y
Er zijn dus juist 2 waarden voor y. We noteren deze waarden als y1 en y2.
 
        y1 = sqrt((r - a)/2) en y2 = -sqrt((r - a)/2) (7)
De overeenkomstige x waarden zijn
 
        x1 = b/(2.y1) and  x2 = b/(2.y2)            (8)

Merk op dat de gevonden oplossingen tegengestelde complexe getallen zijn.

Dus Elk niet reeel complex getal heeft twee tegengestelde complexe vierkantswortels.

Ze kunnen berekend worden met behulp van (7) en (8).

De twee vierkantswortels uit a+bi zijn (x +yi) en -(x +yi) met
y = sqrt((r - a)/2) en x = b/(2.y)
Hierin is r de modulus van a + bi

Er is een tweede methode om de twee vierkantswortels te vinden. Deze methode wordt iets verder op deze pagina voorgesteld.


Vb1. We berekenen de vierkantswortels uit 3 + 4i.

 
  |3 + 4i| = 5 ; y = sqrt((5 -3)/2) = 1 en x = 4/2 = 2

  de vierkantswortels uit 3 + 4i zijn 2 + i en -2 - i
Vb2. We berekenen de vierkantswortels uit 6 + 8i
 
  |6 + 8i| = 10 ; y = sqrt((10 - 6)/2) = sqrt(2)
      en x = 8/(2 sqrt(2))  = 2 sqrt(2)

  de vierkantswortels uit  6 + 8i zijn
   (2 sqrt(2) + sqrt(2)i)  en  -(2 sqrt(2) + sqrt(2)i)

Goniometrische voorstelling van complexe getallen

modulus en argument van een complex getal

We weten reeds dat r = sqrt(a2 + b2) de modulus is van a + bi. We noteren die modulus als |a+bi|.
We weten ook dat het punt P(a,b) in het vlak van Gauss een voorstelling is van a + bi.

Het snijpunt S van [OP met de goniometrische cirkel is S( cos(t) , sin(t) ).

Dat getal t, een aantal radialen, noemen we een argument van a + bi.

We zeggen een argument omdat ook t + 2.k.pi argumenten zijn. Hier en in alle volgende uitdrukkingen van die vorm stelt k een geheel getal voor.

 
      

Goniometrische vorm van complexe getallen

Zojuist zagen we dat S( cos(t) , sin(t) )
en we hebben de gelijkheid van de vectoren OP = r. OS
Daardoor geldt: P( r cos(t) , r sin(t) ) en ook P(a,b).
Hieruit volgt a = r cos(t) ; b = r sin(t).
Zodat a + ib = r cos(t) + i r sin(t) of

a + ib = r (cos(t) + i sin(t))


r(cos(t) + i sin(t)) noemen we de goniometrische voorstelling van a+bi.

Voorbeeld :

i = 1(cos(pi/2) + i sin(pi/2))

1+i = sqrt(2).( cos(pi/4) + i sin(pi/4) )

3+4i = 5 ( cos(0.927295218002) +i sin(0.927295218002) )

Gelijke complexe getallen in goniometrische vorm

Als z en z' gelijke complexe getallen zijn, hebben ze dezelfde voorstelling in het vlak van Gauss. Ze hebben dus dezelfde modulus en het argument-verschil is 2.k.pi
We hebben dan :
 
        r(cos(t) + i sin(t)) = r'(cos(t') + i sin(t'))
<=>     r = r' en t = t' + 2.k.pi
Voorbeeld:
 
      r(cos(t) + i sin(t)) = sqrt(2).( cos(pi/4) + i sin(pi/4) )
<=>   r = sqrt(2) en t = pi/4 +  2.k.pi

Product in goniometrische vorm

We hebben :
 
  r(cos(t) + i sin(t)).r'(cos(t') + i sin(t'))

= rr'(cos(t).cos(t') - sin(t)sin(t') + i cos(t)sin(t') +i sin(t)cos(t'))

= rr'(cos(t+t')  +  i sin(t + t'))
Regel: Om twee complexe getallen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de moduli en we tellen de argumenten op.

Deze regel is vanzelfsprekend uitbreidbaar voor een product van meerdere complexe getallen.

Oefening:
Teken de complexe getallen c1=1+i en c2=2-i in het vlak van Gauss. Teken ook het product c3=3+i.
Meet van elk van die getallen de modulus en stel vast dat |c1|.|c2| = |c3|
Meet van elk van die getallen het argument en stel vast dat
het argument van c1 + het argument van c2 = het argument van c3.

Voorbeeld

5 ( cos(1.2) + i sin(1.2) ) * 4 ( cos(-0.2) + i sin(-0.2) ) = 20 (cos(1)+ i sin(1))

r(cos(t) + i sin(t)). r'(cos(t') + i sin(t')) = r r'(cos(t+t') + i sin(t + t'))


Met deze regel hebben we een meetkundige betekenis van het vermenigvuldigen van complexe getallen.

Teken in het vlak van Gauss een complex getal c (vector) en vermenigvuldig dit complex getal met i. Stel vast dat het resultaat ook ontstaat door c in positieve zin te roteren, om O, over een rechte hoek.

Teken twee complexe getallen met modulus 1 en construeer het product.

Toegevoegde complexe getallen in goniometrische vorm

De beeldpunten van de complexe getallen liggen nu symmetrisch ten opzichte van de x-as. Dus toegevoegde complexe getallen hebben dezelfde modulus en tegengestelde argumenten.

Het toegevoegde van r(cos(t) + i sin(t)) is r(cos(-t) + i sin(-t))

Teken twee toegevoegde complexe getallen. Construeer het product. Stel vast dat het product reeel is.

Bewijs dat het product van twee toegevoegde getallen altijd reeel is.

Het inverse van een complex getal in goniometrische vorm

We hebben :
 
        1                       r(cos(t) - i sin(t))
  -------------------- = ----------------------------------------
  r(cos(t) + i sin(t))   r(cos(t) + i sin(t)).r(cos(t)- i sin(t))

   r(cos(t) - i sin(t))     1
= ---------------------- =  -.(cos(-t) + i sin(-t))
        r2                  r
Regel: Om een complex getal te inverteren nemen we het inverse van de modulus en het tegengestelde van het argument.

 
        1                1
  -------------------- = -.(cos(-t) + i sin(-t))
  r(cos(t) + i sin(t))   r


Teken een complex getal en zijn inverse in het vlak van Gauss.

Quotient van 2 complexe getallen in goniometrische vorm

We hebben :
 

 r(cos(t)  +  i sin(t))                                     1
 -----------------------  = r(cos(t) + i sin(t)).----------------------
 r'(cos(t') + i sin(t'))                          r'(cos(t') + i sin(t'))

                            1
= r(cos(t)  +  i sin(t)) . ---(cos(-t') + i sin(-t'))
                            r'
  r
= - .(cos(t - t')  +  i sin(t - t')
  r'
Regel: Om twee complex getallen te delen, delen we de moduli en we maken het verschil van de argumenten. Met deze regel hebben we een meetkundige interpretatie van het quotient van complexe getallen.

 
 r(cos(t)  +  i sin(t))      r
 -----------------------  =  - .(cos(t - t')  +  i sin(t - t')
 r'(cos(t') + i sin(t'))     r'

Voorbeeld:

 
 5 ( cos(1.2) + i sin(1.2) )
----------------------------   = 1.25 ( cos(1.4) + i sin(1.4) )
 4 ( cos(-0.2) + i sin(-0.2))

Natuurlijke macht van een complex getal

Als we herhaaldelijk de vermenigvuldigingsregel gebruiken krijgen we

( r (cos(t) + i sin(t)) )n = rn .(cos(nt) + i sin(nt))


Voorbeeld: ( 2( cos1.2 + i sin1.2 ) )5 = 32( cos 6 + i sin 6 )

Bereken (1+i)5 ; (omvorm eerst 1+i naar goniometrische vorm)

Formule van 'De Moivre'

Neem de vorige formule met r=1.

(cos(t) + i sin(t))n = cos(nt) + i sin(nt)


Gehele negatieve macht van een complex getal

We nemen eerst het inverse van het complex getal en daarna de gepaste macht
 
 (r(cos(t) + i sin(t)))-n  = (1/r)n (cos(-t) + i sin(-t))n

  = (1/r)n (cos(-nt) + i sin(-nt))
Voorbeeld: (cos(0.1) + i sin(0.1))-10 = (cos(-1) + i sin(-1)) = (cos(1) - i sin(1))

Andere eigenschappen van complexe getallen

c en c' zijn 2 complexe getallen
We schrijven conj(c) voor het toegevoegde van c.
Met vorige formules is het gemakkelijk aan te tonen dat

 
 conj(c.c') = conj(c).conj(c')      (uitbreidbaar voor n factoren)
 conj(c/c') = conj(c)/conj(c')
 conj(c + c') = conj(c) + conj(c')
 |c.c'| = |c|.|c'|        (uitbreidbaar voor n factoren)
 |c/c'| = |c|/|c'|

n-de machtswortel van een complex getal

Neem complex getal c = r(cos(t) + i sin(t)). We zoeken alle complexe getallen c' = r'(cos(t') + i sin(t')) zodat
 
        (c')n  = c

<=>     (r')n  (cos(nt') + i sin(nt')) = r(cos(t) + i sin(t))

<=>     (r')n  = r  en nt' = t + 2k.pi

<=>     r'= positieve nde machtswortel uit r  en  t' = t/n + 2 k pi/n

Daar we r en t kennen, is het eenvoudig r' en de verschillende waarden van t' te berekenen.

Als we deze resultaten bekijken in het vlak van Gauss, dan zien we juist n verschillende wortels uit c. De beeldpunten vormen de hoekpunten van een regelmatige veelhoek.

Een complex getal c = r(cos(t) + i sin(t)) heeft juist n n-de machtswortels.
Deze n-de machtswortels zijn : r1/n( cos(t/n + 2kpi/n) + i sin(t/n + 2kpi/n) ) met k = 0, ... ,n-1
en met r1/n > 0.

Het spreekt vanzelf dat ook op deze manier de twee vierkantswortels uit een complex getal kunnen berekend worden.

Een complex getal c = r(cos(t) + i sin(t)) heeft juist 2 vierkantswortels.
Deze vierkantswortels zijn sqrt(r).( cos(t/2) + i sin(t/2)) en het tegengestelde ervan.


Voorbeeld 1
We berekenen de vierkantswortels uit (-32 + 32.sqrt(3).i)
De modulus is r = 64. Het argument is (2.pi/3).
De vierkantswortels zijn 8(cos(pi/3) + i sin(pi/3)) en -8(cos(pi/3) + i sin(pi/3))

Voorbeeld 2
We berekenen de zesde machtswortels uit (-32 + 32.sqrt(3).i)
De modulus is r = 64. Het argument is (2.pi/3).
De wortels zijn 2( cos(pi/9 + 2 k pi/6) + i sin(pi/9 + 2 k pi/6) ) met k = 0,1,..,5
In het vlak van Gauss krijgen we een regelmatige zeshoek.

 
          
Oefening:
Teken in het vlak van Gauss een willekeurig complex getal met modulus 4.
Construeer nu de 2 vierkantwortels uit dit complex getal.

Veeltermen en complexe getallen

Eigenschappen

Men kan aantonen dat veel formules en eigenschappen voor veeltermen met reele coefficienten ook geldig zijn voor veeltermen met complexe coefficienten.
Voorbeelden: Voorbeelden:
  1. Los op : x2 + 2 x + 2 = 0

    Discriminant = -4. De twee wortels uit die discriminant zijn 2i en -2i.
    De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn -1 + i en -1 -i.

  2. Los op : x2 - 4 i - 3 = 0

    We moeten de vierkantswortels vinden uit 3 + 4i.
    De modulus is 5; het argument is 0.9273
    The vierkantswortels hebben modulus 2.2360 en argument 0.463647 of -0.463647.
    De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn 2+i and -2-i.

  3. Los op : x2 + (2 - 2i) x - 1 - 2i = 0

    Discriminant = 4.
    De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn i en i-2.

  4. Bereken som en product van de wortels van ix2 +(2-i)x + 3 -2i = 0

    De som is -(2-i)/i = 1 + 2i
    Het product is (3 -2i)/i = -2 -3i

  5. Deel x3- i x2 + (1+i)x +1 door (x-i)
  6. Bereken c zodat x3- c x2 + (1+i)x +1 deelbaar is door x+2i

    We vervangen x door (-2i) in x3- c x2 + (1+i)x +1
    We vinden 4 c + 6 i + 3. Deze rest moet 0 zijn.
    c = -3/2 i - 3/4

Stelling van d'Alembert

Elke veeltermvergelijking met complexe coefficienten en met graad n > 0, heeft minstens 1 wortel in C.

Aantal wortels van een veeltermvergelijking

Elke veeltermvergelijking met complexe coefficienten met graad n > 0, heeft juist n wortels in C.

Deze wortels zijn niet noodzakelijk verschillend.

Bewijs:
We geven een bewijs voor n=3, maar de methode is algemeen.
Zij P(x)=0 de vergelijking.
Met d'Alembert zeggen we dat P(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)Q(x)=0 met Q(x) van graad 2.
Met d'Alembert zeggen we dat Q(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)(x-c)Q'(x)=0 met Q'(x) van graad 1.
Met d'Alembert zeggen we dat Q'(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)(x-c)(x-d)Q"(x)=0 met Q"(x) van graad 0. Q"(x) is een constante a.
Vandaar P(x)=0 <=> a(x-b)(x-c)(x-d)=0 .
Zo zien we dat P(x)=0 juist 3 wortels heeft.
Opm : Men kan aantonen dat de wortels van een veeltermvergelijking niet afhangen van de volgorde waarin ze gekozen worden.

Wortels van een veeltermvergelijking met reele coefficienten

Als c een wortel is van een veeltermvergelijking met reele coefficienten, dan is conj(c) ook een wortel

We geven het bewijs voor n=3, maar de methode is algemeen.
 
P(x) = a x3  + b x2  + d x + e

Daar c een wortel is van P(x) = 0 , hebben we

        a c3  + b c2  + d c + e = 0

=>      conj(a c3  + b c2  + d c + e)= 0

=>      a conj(c)3 + b conj(c)2 + d conj(c)+ e = 0

=> conj(c) is een wortel van  P(x) = 0.
Toepassing :

Zoek een vierkantsvergelijking met reele coefficienten zodat 2 -3i een wortel is.

Oplossing:
Als de vierkantsvergelijking reele coefficienten heeft moet het toegevoegde complex getal 2+3i ook een wortel zijn. De som van de wortels is dan 4 en het product is 13. De gevraagde vierkantsvergelijking is x2 -4x + 13 = 0.

Het ontbinden van een veelterm met reele coefficienten

We weten dat als c een wortel is van een veeltermvergelijking met reele coefficienten, conj(c) ook een wortel is. De niet reele wortels kunnen in paren samengenomen worden, c en conj(c).
De veelterm is dan deelbaar door (x-c)(x-conj(c)) en dit is na uitwerking een reele kwadratische factor.
Dus elke veelterm met reele coefficienten kan ontbonden worden in reele factoren van eerste of tweede graad.
Voorbeeld : x4+1 = (x2 - sqrt(2) x + 1). (x2 + sqrt(2) x + 1)

Som en product van de wortels van een veeltermvergelijking.

 
 P(x) = a x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
We ontbinden deze veelterm: P(x) = a(x-g)(x-h)(x-i)(x-j)(x-k)

Dan P(x) = a(x5  - (g+h+i+j+k)x4 + ...+(-1)5 g h i j k)

Vandaar , -a(g+h+i+j+k) = b

en    a((-1)5 g h i j k) = f

De som van de wortels is -b/a

Ze is geldig voor elke veeltermvergelijking !

Het product van de wortels is  (-1)5 f/a

Voor een veeltermvergelijking a xn + b xn-1 + ... + l van graad n hebben we

Het product van de wortels is  (-1)n  l/a .
Voorbeeld:
De som en het product van de wortels van x4 + i x3 -(1-i)x2 +3x - 4 is -i en -4
 

Allerhande oefeningen omtrent complexe getallen

 
opgeloste oefeningen over complexe getallen kan je via deze link vinden.
 





MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.