De Cirkel --- Basisbegrippen




Vergelijking van een cirkel

We werken in een orthonormaal assenstelsel met assen x en y.
Zij M(a,b) het middelpunt van een cirkel C met straal r.
 
                P(x,y) is punt van  C
                        <=>
                     |P,M| = r
                        <=>
               _______________________
              V (x - a)2  + (y - b)2   = r
                        <=>

                (x - a)2  + (y - b)2 = r2            (1)
De laatste vergelijking is de vergelijking van C.

De vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a,b) en straal r is

(x - a)2 + (y - b)2 = r2


Na uitwerking krijgen we de vorm

 

        x2  + y2  - 2 a x - 2 b y + c = 0             (2)
Dus elke cirkel heeft een vergelijking van de vorm (2).

Speciaal geval:

Elke cirkel met middelpunt in de oosprong O(0,0) heeft een vergelijking van de vorm

 
         x2 + y2 = r2
Voorbeeld:

We berekenen de vergelijking van de cirkel met middelpunt A(1,2) en door punt B(4,6).

De straal van de cirkel is |A,B| = sqrt((4-1)2 + (6-2)2 ) = 5.

De vergelijking is dus (x-1)2 + (y-2)2 = 25

of ook x2 +y2 - 2x - 4y - 20 = 0

Omgekeerde eigenschap

Elke vergelijking van de vorm
 

        x2  + y2  + 2 m x + 2 n y + c = 0             (3)
met

        m2  + n2 - c > 0
is de vergelijking van een cirkel.

Bewijs:
We proberen (3) te omvormen tot de vorm (1).
 
x2  + y2  + 2 m x + 2 n y + c + m2  + n2  =  m2  + n2

                <=>

        (x + m)2  + (y + n)2  = m2  + n2  - c

Als  m2  + n2  - c > 0 kunnen we schrijven  m2  + n2  - c = r2
De vergelijking (3) kan geschreven worden in de vorm
 
        (x + m)2  + (y + n)2  = r2

Het is dus de vergelijking van een cirkel met middelpunt M(-m,-n)
                  ____________
                |  2    2
en straal  r = \| m  + n  - c

Voorbeelden

Parametervergelijkingen van een cirkel

Neem de kromme C met parametervergelijkingen [ x = a + r cos(t) , y = b + r sin(t) ].
 
     P(x,y) ligt op C
<=>
    / x = a + r cos(t)
    \ y = b + r sin(t)

<=>
    / (x - a)/r = cos(t)
    \ (y - b)/r = sin(t)

<=>
     ( (x - a)/r )2 + ( (y - b)/r )2 = 1
<=>
     (x - a)2  + (y - b)2 = r2
<=>
    P(x,y) ligt op de cirkel met middelpunt (a,b) en straal r
Besluit: de cirkel C met middelpunt (a,b) en straal r heeft parametervergelijkingen
[ x = a + r cos(t) , y = b + r sin(t) ].

Met elke t correspondeert een punt van de cirkel en omgekeerd.

P(a + r cos(t), b + r sin(t)) is een veranderlijk punt van de cirkel. Als t vloeiend verandert doorloopt P de cirkel.

Voorbeeld 1

Een cirkel met middelpunt M(3,-2) en straal 4 heeft parametervergelijkingen

 
   x = 3 + 4 cos(t)
   y = -2 + 4 sin(t)
Met elke waarde van t correspondeert juist 1 punt van de cirkel.

Oefening: Teken de cirkel. Geef aan t een paar waarden en bereken telkens de coordinaten van het overeenkomstige punt P. Controleer op je figuur of P op de cirkel ligt.

Voorbeeld 2

De cirkel C heeft vergelijking (x - 3)2 + (y - 6)2 = 25 en P(6,10) ligt op C. Noem M het middelpunt van C. Bereken de punten A en B op C zodat |PA|=|PB| = 5.

Daar de straal van de cirkel 5 is zijn de driehoeken MPA en MPB gelijkzijdig. De hoeken zijn dan pi/3 radialen.

De parametervergelijkingen van C zijn : [ x = 3 + 5 cos(t) , y = 6 + 5 sin(t) ].

Het punt P correspondeert met to zodat cos(to)=0.6 en sin(to)= 0.8. Hieruit halen we to = 0.927295218

Voor punt A is t dan to+pi/3 en dan is A(1.036 , 10.598)

Voor punt B is t dan to-pi/3 en dan is B(7.964 , 5.402)

Gemene punten van cirkel en rechte

De coordinaten van de snijpunten van een cirkel en een rechte zijn de oplossingen van het stelsel gevormd door die vergelijkingen. Als dit stelsel juist 1 oplossing heeft dan is de rechte een raaklijn aan de cirkel.
Voorbeeld:
 
C :     (x - 9)2  + (y - 6)2  = 25    (4)

a :     y = -2 x + 14                   (5)

(5) in (4) geeft

        (x - 9)2  + (14 - 2 x - 6)2  = 25
<=>
        -5 x2  + 50 x - 120 = 0
<=>
        x =  4  or x = 6
dan is
        y = 6   or y = 2
De snijpunten zijn (6,2) ; (4,6)

Gemene punten van twee cirkels

De coordinaten van de snijpunten van twee cirkels zijn de oplossingen van het stelsel gevormd door de vergelijkingen van die cirkels.
Voorbeeld:
 
C1 :    (x - 2)2  + (y - 5)2  = 25    (6)

C2 :    (x - 6)2  + (y - 13)2  = 65   (7)

Het stelsel wordt
     /
     |  x2 + y2  - 4 x - 10 y + 4 = 0
     |
     \  x2  + y2  - 12 x - 26 y + 140 = 0

<=>
     /
     |  x2  + y2  - 4 x - 10 y + 4 = 0
     |
     \  16 y + 8 x - 136 = 0
<=>
     /
     |  x2  + y2  - 4 x - 10 y + 4 = 0
     |
     \  x = 17 - 2 y
<=>
        ...
De snijpunten zijn (-1,9) and (7,5).

Raaklijn, in een punt van een cirkel, aan die cirkel

Neem een cirkel C met middelpunt M(a,b) en straal r.
 

C:      (x - a)2  + (y - b)2 = r2

en punt  P(xo,yo) ligt op C

                b - yo
MP heeft rico   ------
                a - xo
                              a - xo
De raaklijn heeft rico      - ------
                              b - yo

De raaklijn heeft vergelijking

           a - xo
y - yo = - ------   (x - xo)
           b - yo
Voorbeeld :

Neem de cirkel met middelpunt M(3,4) en straal 5. Bereken de vergelijking van de raaklijn in het punt O(0,0) van de cirkel.

Oplossing:

De vergelijking van de cirkel is (x-3)2 + (y-4)2 = 25

De raaklijn heeft vergelijking

 
                  3 - 0
      y - 0 = -  ------- (x - 0)
                  4 - 0

<=>    y = (-3/4) x

<=>    3x + 4 y = 0

Lengte van een cirkelboog

We weten dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2.pi.r
Beschouw nu een cirkelboog met corresponderende middelpuntshoek van t radialen. De lengte van de boog is recht evenredig met grootte van die hoek. De lengte is
 
                  t
     (2 pi r) . ------  = r t
                 2 pi
Een cirkel heeft straal r.
De lengte van een boog, met corresponderende middelpuntshoek van t radialen, is r.t

Oppervlakte van een cirkelsector

We weten dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan pi.r2
Beschouw nu een cirkelsector met middelpuntshoek van t radialen. De oppervlakte van de sector is recht evenredig met grootte van die hoek. De oppervlakte is
 
                  t
     (pi r2) . ------  = (1/2) t r2
                 2 pi
Een cirkel heeft straal r. De oppervlakte van de sector met middelpuntshoek van t radialen is (1/2) t r2

Meer over de cirkel

In deze inleidende pagina zagen we hoe enkele basiseigenschappen in verband met de cirkel kunnen uitgedrukt worden op analytische wijze.

Een meer uitgebreide analytische behandeling van eigenschappen omtrent de cirkel vind je op een tweede pagina over de cirkel .

Oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de verborgen oplossing leest.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.