De Cirkel --- Uitbreiding




De Cirkel --- Basisbegrippen

De basisbegrippen werden behandeld op de pagina De Cirkel --- Basisbegrippen

Parametervergelijkingen van een cirkel

Neem de kromme C met parametervergelijkingen [ x = a + r cos(t) , y = b + r sin(t) ].
 
     P(x,y) ligt op C
<=>
    / x = a + r cos(t)
    \ y = b + r sin(t)

<=>
    / (x - a)/r = cos(t)
    \ (y - b)/r = sin(t)

<=>
     ( (x - a)/r )2 + ( (y - b)/r )2 = 1
<=>
     (x - a)2  + (y - b)2 = r2
<=>
    P(x,y) ligt op de cirkel met middelpunt (a,b) en straal r
Besluit: de cirkel C met middelpunt (a,b) en straal r heeft parameter vergelijkingen
[ x = a + r cos(t) , y = b + r sin(t) ].

Met elke t correspondeert een punt van de cirkel en omgekeerd.

P(a + r cos(t), b + r sin(t)) is een veranderlijk punt van de cirkel. Als t vloeiend verandert doorloopt P de cirkel.

Voorbeeld 1:

De cirkel C heeft vergelijking (x - 3)2 + (y - 6)2 = 25 en P(6,10) ligt op C. Noem M het middelpunt van C. Bereken de punten A en B op C zodat |PA|=|PB| = 5.

Daar de straal van de cirkel 5 is zijn de driehoeken MPA en MPB gelijkzijdig. De hoeken zijn dan pi/3 radialen.

De parametervergelijkingen van C zijn : [ x = 3 + 5 cos(t) , y = 6 + 5 sin(t) ].

Het punt P correspondeert met to zodat cos(to)=0.6 en sin(to)= 0.8. Hieruit halen we to = 0.927295218

Voor punt A is t dan to+pi/3 en dan is A(1.036 , 10.598)

Voor punt B is t dan to-pi/3 en dan is B(7.964 , 5.402)

Voorbeeld 2:

We nemen een cirkeldeel voorgesteld door de parametervergelijkingen
[ x = cos(t) , y = 1 + sin(t) ] met t in [- pi/2 , 0]
en de kromme y = arccos(x).
Bereken het snijpunt van deze twee krommen.

Daartoe moeten we de t-waarde berekenen zodat 1 + sin(t) = arccos(cos(t)).
Daar t in [- pi/2 , 0] ligt is arccos(cos(t)) = -t.
We zoeken dus t zodat 1 + sin(t) = -t of sin(t) + t + 1 = 0.
De laatste vergelijking is niet algebraisch op te lossen. Met behulp van een plot kunnen we t goed benaderen. We vinden t = -0.51 als een eerste benadering.
Met een efficiente iteratiemethode vinden we in slechts 4 stappen een zeer goede waarde voor t.
-0.51
-0.51090446454
-0.510972899149
-0.510973425307
-0.510973429357

Het gezochte snijpunt van de twee krommen is bij benadering ( 0.87 , 0.51)

 

         

Vier punten op een cirkel en vergelijking van een cirkel door drie punten

 
Gegeven : punten P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3); P4(x4,y4)
          Geen drie punten zijn collineair.

        De vier punten liggen op een cirkel

                <=>

        Er is een cirkel

        x2  + y2  + a x + b y + c = 0
        zodat de punten erop liggen

                <=>

        Er bestaan getallen a, b en c zodat
     /
     |  x12  + y12  + a x1 + b y1 + c = 0
     |  x22  + y22  + a x2 + b y2 + c = 0
     |  x32 + y32   + a x3 + b y3 + c = 0
     |  x42  + y42  + a x4 + b y4 + c = 0
     \

                <=>

        Er bestaan getallen a, b en c zodat

          /
          | a x1 + b y1 + c = -(x12  + y12 )
          | a x2 + b y2 + c = -(x22  + y22 )
          | a x3 + b y3 + c = -(x32 + y32  )
          | a x4 + b y4 + c = -(x42  + y42 )
          \


        Dit is een stelsel van 4 vergelijkingen met 3 onbekenden.
        We weten uit de theorie van de stelsels van lineaire vergelijkingen dat de
        coefficientenmatrix is :

     [   x1     y1   1   ]
     [   x2     y2   1   ]
     [   x3     y3   1   ]
     [   x4     y4   1   ]

        Omdat P1,P2,P3 niet op 1 rechte liggen, is de rang van deze
        matrix drie. De laatste vergelijking is de neven vergelijking.
        De karakteristieke determinant van deze vergelijking is


     |  x1     y1   1  -(x12  + y12 ) |
     |  x2     y2   1  -(x22  + y22 ) |
     |  x3     y3   1  -(x32  + y32 ) |
     |  x4     y4   1  -(x42  + y42 ) |


        Dit stelsel heeft een oplossing voor a, b en c als en slechts als
        deze determinant nul is. Gebruik makend van eigenschappen van determinanten
        kunnen we die determinant omvormen tot

     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0
     |(x42  + y42 )   x4     y4   1 |

 
De vier punten P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3); P4(x4,y4)
liggen op een cirkel

                <=>

     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0
     |(x42  + y42 )   x4     y4   1 |


Gevolg :
 
        Neem P1,P2,P3 niet collineair

        Punt P(x,y) ligt op de cirkel gedefinieerd door  P1,P2,P3

                        <=>
        P,P1,P2,P3 liggen op een cirkel

                        <=>
     |(x2  + y2   )   x      y    1 |
     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0

 
De vergelijking van een cirkel door 3 gegeven niet collineaire punten
    P1(x1,y1); P2(x2,y2); P3(x3,y3) is

     |(x2  + y2   )   x      y    1 |
     |(x12  + y12 )   x1     y1   1 |
     |(x22  + y22 )   x2     y2   1 |
     |(x32  + y32 )   x3     y3   1 |   = 0


Macht van een punt

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Neem een punt P en een cirkel C met middelpunt M en straal r.
De afstand |P,M| = d.
Een variabele rechte door P snijdt de cirkel in punten A en A'.
Noem MN de middelloodlijn van [A,A'].

We hebben (vectoren staan in het vetjes)

 
        PA . PA' = (PN + NA)(PN + NA')
                 = (PN + NA)(PN - NA)
                     2     2
                 = PN  - NA

                 = |P,N|2  - |N,A|2

Nu is   |P,N|2 = d2  - |M,N|2   and |N,A|2 =   r2  - |M,N|2

Dus     PA . PA' = d2 - r2
Het resultaat hangt alleen af van de afstand d en de straal r.
Dit resultaat noemt men de macht van P ten opzichte van C.
De macht is strikt positief voor P buiten C, ze is nul voor P op C, en ze is strikt negatief voor P binnen C.

Analytische uitdrukking voor de macht van een punt

Neem P(xo,yo) en een cirkel C met vergelijking
 
        (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0
De macht van P is
 
        d2 - r2  = (xo - a)2  + (yo - b)2 - r2
 
De macht van  P(xo,yo) ten opzichte van een cirkel C met vergelijking
        (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0
is
        (xo - a)2  + (yo - b)2 - r2

Voorbeeld:
 
C :     (x - 2)2  + (y - 3)2  = 25  en  P(3,1)

De macht van P ten opzichte van C is   1 + 4 - 25 = - 20

machtlijn

Neem 2 cirkels
 
C1:     (x - a)2  + (y - b)2 - r2  = 0
C2:     (x - c)2  + (y - d)2 - r'2 = 0
We zoeken de verzameling van de punten P(x,y) zodat
 
  De macht van P ten opzichte van C1 = De macht van P ten opzichte van  C2.

                                <=>
  (x - a)2  + (y - b)2 - r2  =  (x - c)2  + (y - d)2 - r'2

                                <=>
                (a - c) x + (b - d) y + k = 0
We zien dat die verzameling een rechte is.
Die rechte heet de machtlijn van de twee cirkels.
De rico van deze rechte is (a-c)/(d-b)
De verbindingslijn van de twee middelpunten heeft rico (d-b)/(c-a).
Vandaar: De machtlijn staat loodrecht op de verbindingslijn van de twee middelpunten.
Voorbeeld:
 
C1:     x2  + y2  = 25

C2:     (x - 2)2  + (y - 3)2  = 9

De machtlijn is 4 x + 6 y - 29 = 0

machtpunt

Neem drie cirkels C1, C2, C3.
Als de machtlijn van C1 en C2 en de machtlijn van C2 en C3 snijden in punt S, dan heeft S dezelfde macht ten opzichte van de drie cirkels.
Dit punt S heet het machtpunt van C1, C2 and C3.
Vanzelfsprekend ligt dit punt dan ook op de derde machtlijn.

Oefeningen

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.